第04课时 立体几何综合突破讲义-2026届高考数学二轮复习

高考数学二轮复习讲义 第04课时 立体几何综合突破 例1设底面半径为，圆锥母线为。圆柱侧面积： 圆锥侧面积： 由侧面积相等： 由： 体积： 备用题1 台体体积公式： 代入： 备用题2 旋转体为圆锥，，母线 侧面积： 例2 由条件推出两两垂直。设，边长为2，得。 墙角模型： 体积： 例3 在中： 故为直角三角形，外接圆半径。 外接球： 体积： 例4 对棱相等四面体补成长方体。 设长宽高为： 三式相加： 外接球半径满足 表面积： 例5 由三角形面积公式： 代入 ，： 化简得： 由余弦定理求 ： 代入 ： 得 。 由正弦定理 ： 因为 底面 ，三棱锥的外接球可看作直棱柱的外接球，球心在过△ABC外接圆圆心且垂直于底面的直线上，且到P、A的距离相等。 设球心到底面的距离为 ，由勾股定理： 得 。 球的表面积公式 ，代入 ： 备用题1解正三角形外接圆半径公式：（ 为边长） 上底面边长 ，则 下底面边长 ，则 正三棱台的高 ，上下底面平行且中心在同一条竖直线上，外接球的球心必在这条竖直线上。 设球心到下底面的距离为 ，则到上底面的距离为 ，设球半径为 。 根据球的截面性质：球心到截面的距离、截面圆半径、球半径满足勾股定理： 联立 (1)(2)：展开右边： 消去 ：解得： 将 代入 (1)：球的表面积公式： 因此： 备用题2 解正三角形外接圆半径公式：（为边长）代入，得。 对于侧棱垂直于底面的三棱锥，外接球半径公式： 其中，代入得： 球的体积公式：代入： 备用题3 解底面正方形边长为，对角线长为，故外接圆半径。 设正四棱锥的高为，球心到底面的距离为，分两种情况： 球心在棱锥内部：，球心在棱锥外部：（统一为） 由勾股定理：（为球半径） 代入得： 解得，即或。 备用题4 解圆柱外接球的直径等于圆柱的体对角线长，即： 代入，：故。 球的表面积公式：代入： 备用题5 解因为是球的直径，所以，为中点。 由，，得，（等腰三角形三线合一）。 又平面平面，且交线为，故平面（面面垂直的性质定理）。 中，，，则，又，，，故（为等腰直角三角形）。同理。 。 三棱锥的体积。 已知，则，解得，。 球的表面积。 备用题6 解球的体积，解得，。 设正四棱锥，底面中心为，外接球球心为，则在直线上。 设，底面正方形边长为，则。由，得。 由外接球性质：，分两种情况： 若在线段上：，由，得； 若在延长线上：，同理，与上式一致。 联立与，消去： 得，代入，得，即。 正四棱锥体积，代入、： 令，由，得，则。 求导：。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 计算关键点： ：； ：； ：。 比较得：最小值为，最大值为，故体积取值范围为，对应选项C。 例6 A：线面平行不能推出线线平行，错。 B：同垂直一条直线的两平面平行，错。 C：，正确。 D：面面垂直不能推出面内直线垂直另一面，错。 备用题1ABD 例7正四棱台体积公式： 已知：上底边长，；下底边长，；体积。 代入公式：解得：。 以下底面中心为原点，为轴，为轴，为轴（为上底面中心）。 下底面顶点坐标：，， 上底面中心，上底面顶点坐标：， 向量，向量。 异面直线夹角取两向量夹角的锐角/直角，余弦值为： 计算点积： 绝对值：计算模长： 代入得： 对应选项。 备用题 正三棱台体积公式： 正三角形面积公式： 下底边长，；上底边长，；体积 代入公式：解得：。 正三角形中心（重心）到顶点的距离为高的： 下底面高：，中心到顶点距离 上底面高：，中心到顶点距离 侧棱在底面的投影长度： 侧棱与底面所成角的正切值为高与投影长度的比值： 对应选项。 例8：方法一：空间向量法 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系。 由正方体棱长为2，得各点坐标： 平面内两个向量：，，设平面的法向量为，则 令，解得，即 取平面内点，向量，根据点到平面的距离公式： 代入计算： ， 方法二：等体积法 由正方体棱长为2，得：， 为等腰三角形，取中点，则， 设点到平面的距离为，则，计算： 为边长的等边三角形，面积 平面平面，在上，到平面的距离等于到平面的距离，由正方体性质得距离为，， 由，得： 例9：方法一：几何法 取的中点，连接正方体中，故；平面，由三垂线定理，，即为到直线的距离。 在中，，由勾股定理： 方法二：向量法 以为原点建立空间直角坐标系，得，直线的方向向量，向量，点到直线的距离公式： 计算叉乘： ， ， 备用题1 解 方法一：等体积法 底面为菱形，，，因此为等边三角形，对角线，，且，交点为，则，。 由底面，得，又，，故平面，因此。 ，， ，其中，故。 设点到平面的距离为，则，即 代入，得 方法二：空间向量法 建立坐标系以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系： ，，，，。，， 设平面的法向量为，则 两式相减得，令，则，故。 ，点到平面的距离为 备用题2 解 方法一：空间向量法 取中点，以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系： ，，，，。 ，，点到直线的距离公式为： 计算得：， ，， 代入得： 方法二：几何法 连接、，正三棱柱中， ，，故为等腰三角形。 取中点，则，即为所求距离。， ：中，由余弦定理： 故， 点到的距离，与向量法结果一致。 例10(1) 证明：四点共面，且平面平面 由折叠前后的图形性质不变：矩形中，；菱形中，。 折叠后与重合，因此，进而可得。根据平面的基本性质：两条平行直线确定唯一平面，因此四点共面。由矩形的性质，折叠后；由的性质，。 折叠后与重合，因此都在平面内，且。 根据线面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于该平面，可得平面。 又平面，根据面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，因此平面平面。 (2) 方法一：几何法（找平面角求解） 由(1)知平面，且平面，因此。 菱形中，，，因此为等边三角形。 取的中点，连接，由等边三角形的性质，，且。 因为，，且，平面，根据线面垂直判定定理，平面。 又平面，因此，故即为二面角的平面角。 由平面，平面，因此，即为直角三角形。 在中，，，因此： 因为为锐角，所以，即二面角的大小为（或）。 方法二：空间向量法（建系求解） 由(1)知平面，以为原点，以为轴正方向，以平面内垂直于的方向为轴， 以为轴正方向，建立空间直角坐标系。根据已知条件，计算各点坐标：，；菱形中，，，因此； 点坐标：由，沿轴，故； 点坐标：矩形中，，沿轴，故。 取平面内向量，， 由叉乘求法向量： 简化得平面的一个法向量。平面（即平面）： 取平面内向量，， 设平面的法向量为，则： 令，解得，，因此。 二面角的大小等于两个法向量夹角（或其补角），计算两法向量的夹角余弦： 结合几何直观，二面角为锐角，因此： 最终得二面角大小为（或）。 例11(1) 证明：方法一：几何法 取 的中点 ，连接 、。 由 ， 为等腰三角形，故 ； 由 ， 为等腰三角形，故 。 因为 ，且 平面 ，根据线面垂直判定定理， 平面 。 又 平面 ，因此 ，即 。 (2) 由(1)知 ，，且 平面 ，故以 为原点，建立空间直角坐标系： 由 ，且 在平面 内， 平面 ，设 ； 由 ，，在 中，由余弦定理： 故 ，取 ，； 由 ， 中点 坐标可求，结合 平面 ，，，由 ： 故 ； 由 ， 在平面 内，且 ，求得 。 最终各点坐标：，，，，。 四边形 为平行四边形，故 ，。 平面 ， 平面 ，由线面平行性质， 平面 ，故 ； 同理 ，因此平面 ，且 过 。 由 平面 ，且 ，平面 内 ，（平行四边形对边平行），故平面 的方向向量为 、：；。 平面的法向量 ： 简化为 （同方向）。直线方向向量 。 设线面角为 ，则 ： ； （已知），； 。因此 。 备用题1、(1)以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系。 由，，得各点坐标：，，，，。 因、分别为、的中点，故：，。 求向量：。平面的一个法向量为（轴方向，因平面在平面内）。 验证垂直：，即。 结论： 平面，故 平面。 (2) 求平面的法向量：向量，。 设法向量为，则： 令，则，，得。求向量：。 线面角公式：设线面角为，则。 计算：，绝对值为；； ；故。 (3) 利用点到平面距离公式：。向量，则。 代入得：。 备用题2(1) 方法一：几何法（线面平行判定定理）取的中点，连接、。 因为、分别为、的中点，根据三角形中位线定理，，且。 四边形为菱形，故且。由题设，，因此且。 四边形为平行四边形，故。 又 平面， 平面，根据线面平行判定定理，得 平面。 (2) 取的中点，连接。由，得。因平面 平面，且交线为，故 平面。菱形中，，，则，为等边三角形，。以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系： ，，，，，。 由，，，单位向量为，故。 向量，。设平面的法向量为，则 令，得，，即，。 由(1)知 平面，故点到平面的距离 = 点到平面的距离。 为中点，坐标为，。 点到平面距离公式： 验证（等体积法） ，到平面的距离，故。 。 由，得，解得， 例题12解答解析： 补全截面：正方体棱长为2，E、F分别为AB、AD中点。连接，延长与的延长线交于点，连接交于点；延长与的延长线交于点，连接交于点。最终截面为五边形。 计算各边长：：为等腰直角三角形，。 与：由相似三角形可知，（与等长）。 ：连接，四边形为矩形，。 与：在中，，，故，同理。 求周长：。 备用题1解答 【分析】详解】因为平面，平面， ，又，，平面，所以平面， 若，显然面，由为平面上一动点，平面， 所以，因为到的距离与到的距离相等，所以到点距离与的距离相等， 结合抛物线定义，轨迹是在平面内，以为焦点，为准线的抛物线. 故选：D    备用题2【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC, 因为平面，所以又因为，，平面， 所以平面 （2）①在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设,设平面的法向量， 由，取，得， 所以平面的一个法向量，又平面的法向量， 所以，解得所以， 所以设与平面所成角为，则 ②因为，所以 因为三棱锥的体积为，所以到平面的距离为 因为在侧面上，可设,到平面的距离为， 即轨迹方程为，而,所以在侧面上的运动轨迹是线段， 所以的轨迹长度为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学二轮复习讲义 第04课时 立体几何综合突破 【核心知识点】 1. 表面积与体积公式 柱体（棱柱、圆柱）：（为底面积，为高）；圆柱侧面积（为底面半径，为高，高考基础设问高频考点） 锥体（棱锥、圆锥）：（为底面积，为高）；圆锥侧面积（为底面半径，为母线长，注意母线长与高的关系） 台体（棱台、圆台）：（为上下底面积，为高）；圆台侧面积（为上下底面半径，为母线长） 球：表面积，体积（为球的半径，小题高频必考） 2. 空间位置关系 线面平行：① 平面外一条直线∥平面内一条直线 ⇒ 直线∥平面（判定定理，核心条件：线在面外、线线平行）；② 两个平面平行 ⇒ 一个平面内的直线∥另一个平面（性质定理，高考高频证明方向） 线面垂直：一条直线⊥平面内两条相交直线 ⇒ 直线⊥平面（判定定理，核心条件：两条相交直线、均与已知直线垂直，证明线面垂直的核心方法） 面面垂直：一个平面内的一条直线⊥另一个平面 ⇒ 两个平面垂直（判定定理，解答题必考证明题型，规范书写条件可避免步骤扣分） 3. 空间角计算（向量法通法，关注几何法） 异面直线所成角（范围）：（为两直线方向向量，结果必为非负，避免符号错误） 线面角（范围）：（为直线方向向量，为平面法向量，牢记“正弦值=法向量与方向向量夹角的余弦值绝对值”） 二面角（范围）：（为两平面法向量，先判断二面角锐钝，再确定符号，避免符号失分） 4. 空间距离（高频计算，向量法通用，含点到线、点到面） 点面距离：（为平面外一点，为平面内任一点，为平面法向量，向量点乘计算需准确，分母不为0） 点到线的距离：（为直线外一点，为直线上任一点，为直线的方向向量，表示向量叉乘，重点掌握正方体、棱柱中的应用） 5. 球的切接核心（高考最热点，小题压轴必考） 外接球通用公式：（ 为底面外接圆半径， 为球心到底面的距离，通用适配所有几何体外接球求解） 长方体/墙角模型：（三条棱两两垂直，为三条棱长度，高考高频模型，快速套公式解题） 内切球公式：（为几何体体积，为表面积，适用于任意可内切球的几何体，无需复杂推导） 【典例分析】 模块1 表面积、体积与简单几何体 例1已知圆柱和圆锥底面半径相等，侧面积相等，且两者的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. 　 B. 　 C.　 D. 备用题1正四棱台上下底面面积分别为4、16，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. 　 B. 　 C. 56　 D. 备用题2 已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，将其绕较长的直角边旋转一周，求所得旋转体的侧面积。 模块2 外接球、内切球 例2已知三棱锥 的 四个顶点在球 的球面上, , 是边长为 2 的正三角形, 分别 是 的中点, ,则球 的 体积为 ( ) A. B. C. D. 例3 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 平面 , ,则球 的体 积为 ( ) A. B. C. D. 例4 在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例5在三棱锥中，底面，，，.若的面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）. A． B． C． D． 备用题1正三棱台的高为1，上下底面边长分别为、，则该正三棱台外接球的表面积为______。 备用题2三棱锥中，底面，为边长为2的正三角形，，求该三棱锥外接球的体积为______。 备用题3正四棱锥底面边长为4，其各顶点均在半径为3的球面上，则该正四棱锥的高为______。 备用题4圆柱的底面半径为2，高为3，求该圆柱的外接球表面积为______。 备用题5 已知三棱锥 的 所有顶点都在球 的球面上, 是球 的 直径. 若平面 平面 , ,三棱锥 的体积为 9,则球 的表面积为 备用题6 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 模块3 线面位置关系 例6 设为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（） A. B. C. D. 备用题1 在正方体 中, 分别为 的中点,则 A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 模块4 空间角 例7 正四棱台中，上底面边长，下底面边长，体积为28，求异面直线与所成角的余弦值为（） A. 　 B. 　 C. 　 D. 备用题 正三棱台体积为，下底面边长，上底面边长，求侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 　B. 1　C. 2　D. 3 模块5 空间距离 例8 在棱长为2的正方体中，为的中点，求点到平面的距离。 例9 在棱长为2的正方体中，求点到直线的距离。 备用题1 四棱锥中，底面为菱形，底面，，，求点到平面的距离。 备用题2 正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为3，求点到直线的距离。 模块6 立体几何解答题 例10图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中，，。将其沿，折起使得与重合，连接，如图2。 (1) 证明：图2中的四点共面，且平面平面； (2) 求图2中的二面角的大小。 例11 在四面体 中，，。 (1) 求证：； (2) 已知点 在平面 内， 平面 ，；过 作平面交棱 于 ，四边形 为平行四边形，求直线 与平面 所成角的正弦值。 备用题1 四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点。 (1) 证明：平面； (2) 求直线与平面所成角的正弦值； (3) 求点到平面的距离。 备用题2在如图所示的五面体中，四边形为菱形，且，，，为的中点。 (1) 求证：平面； (2) 若平面平面，求点到平面的距离。 模块7 截面、动点、动态问题 例12 正方体棱长为2，分别为的中点，过作截面，求该截面的周长为______。 备用题1已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 备用题2 如图，在直三棱柱中，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 三、课堂总结 1、小题抓模型：外接球优先判断垂直关系（墙角/补柱模型），内切球直接套用，快速解题不耗时，确保小题正确率。 2、证明靠定理：线线、线面、面面垂直/平行的转化核心是“判定定理+性质定理”，条件写全、步骤规范，避免步骤扣分，确保证明题拿满基础分。 3、计算用向量：空间角、空间距离（点到线、点到面）优先用向量法，遵循“建系→求点坐标→求向量→求法向量（或叉乘）→套公式”的模板，计算精准，避免计算失分。 ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $