同学们，今天我们来讲一道利用空间向量来解决或接球的问题。我们知道在实际的解题过程当中，只要遇到空间几何体的外接球和内切球问题，很少有同学利用空间向量也就是间隙的方法去做。实际上在有一些题目中，如果说你没有解题思路或者辅助线，你根本就想不到我们用间隙的方法做也是可以的。你比如说这道题我们选的非常的经典，你可以将视频暂停一下，看一看能不能做出来。等一下我会用另外一个视角给大家来讲一下，这道题就是利用间隙的方法去做好。我们先把这道题审一下，在三棱锥PABC中，PAC等于角，PABAC等于两倍的，AB等于4，PA等于PB等于根号2，BC等于两倍根号3。那么3G的外接球，我们要求这个问题我们可以先画一个草图，我们任意画一个草图。大家来看一下，我把这个草图画在这个左边。因为我们目前不知道各个量之间的关系，所以说我们画出这个草图之后，一定要把相关的一些量，他们的垂直关系或者是等腰，什么直角，或者是等边等什么关系把它分析一下。甚至有些量的三角函数值要把它求出来。我们随便先画一下，就是PABAC角PAB等于角PAC这是第一个条件。AC是等于4，AB的长是2，而PAPB都是根号2。那既然PEPB都是根号2，你这个第三边用十二，很明显这个APB它就是一个等腰直角三角形。这个很简单，可以推出这个PAB和PAC这两个角都是45度，我们可以推出来这样一个条件。还有BC是二倍根三，如果BC是二倍根三的话，很明显ABC这也就是一个直角。而且我们知道这个角C它肯定是一个30度角。我们可以推出这样一些关系。既然这个是二倍根三，这个PAC它是45度，你这个AP是根号2，那我们在三角形，对，在三角形PAC中，我们利用这个余弦定理PC的平方，那么就等于PAP. 的平方。加上一个ac的平方减去二倍的AP乘以AC再乘以夹角就是45度它的余弦值。现在我们把这个值都往里面带，AP的平方就是2，AC的平方就是16，减去2乘以根号2，AC的长是4，再乘以cos 45度二分之根二。我们把它口算一下，这个算出来值是10，你既然算出来这个是十，PPC就是根号10，PC是根号10，PB是根号2，所以易得。这个PB的平方加上PC的平方就是根号2的平方，2加上根号十的平方十就是十二，刚好它是等于BC的平方。那这样的话所以这个角BPC也是等于多少度角呢？是90度角。这样的话我们可以推出这个BP垂直于PA，bp又垂直于。PC这样的话。BP就垂直于。底面。垂直于一个平面PC这是个非常重要的一个条件。好，这样的话我把这个图倒着来画。我这样倒着画很容易偏细，我把这个图这样来画。这样去画这个草图。这个是P点。B我。画在顶点的位置上，这个是A点，那么这边是C点。我们间隙的时候，我们在这个角，它是45度角，我把相关的量我再标一遍，这个是根号2，BP是根号2，那个PC的长是根号10，因为它要用得上，PC长是根号10，PA长也是一个根号2。然后我们垂直于PCPV坐标原点，垂直于PC的方向，我们来建立一个X轴。PC所在方向是Y轴，那PB肯定是这种建立如图所示的空间直角坐标系，那么这个就是我们不妨把这个焦点由A向那个X轴做垂线。假如垂足是一点，我们不妨设APE这个小角为西塔角，所以这个是90度。所以说在三角形APC中还是这个三角形，我们用正弦定理，AC的长那就是。四比上。对边那就是APC。APC可以用西塔加90度，那比上sine西塔加上一个90度等于等于这个根号10，那就是PC边，就是根号10去除以sine 45度。大家看我这个目的是求这个西塔的三角函数值，所以说由这个式子我们可以推出C西塔加上一个90度10字交叉相乘就等于四倍的sine 45度去除以一个根号10。然后我们把这个化简一下，整理一下，那么这个就是5分之2倍根号5。它也是等于cosine西塔，所以我们可以推出这个sine西塔，它就是等于五分之根号5。所以说在RT3角形哪个三角？我们刚才做的这个PE这个三角形中，那有你这个APE这个角的正弦值和余弦值都知道，而且你这个斜边AP的长是2。所以说我们可以推出PE的长，就等于P去乘以cosine西塔。好把它代进来，我们算出这个PE的长，它就是5分之2倍根号10。那么同理可以算出AE的长是等于五分之根号10。好，这样的话我们可以把各点的坐标给算出来，所以这个P的坐标就是000。我简单写一下，P的坐标是000，然后我们可以得到这个B的坐标400根号2。这个C的坐标是零根号10 0，注意它是在Y轴上的。还有这个A的坐标。最难求的就是A的坐标。我已经把这个关键的两个线段AE和PE可以求出来了。这A的坐标它就是5分之2倍根号10，然后纵坐标注意是负的，负的五分之根号10 0。我们设球心，球心O它的坐标是XYZ。那么根据这个球心O到各个点的距离相等，所以我们会有OP等于OA，OP等于OA，然后OP等于OB和O. P. 等于OC，所以把这个值给带进来，所以说这个X方加Y方加上一个Z方OA，那就是X减去5分之2倍根号10的平方，加上Y减负的就是Y加五分之根号10的平方，再加Z减0的平方就是Z方。那么同理，这个X方加Y方加上一个Z方，第二个是他们就等于X方加上Y方加上Z减根号二的平方。第三个是就是X方加上。Y方。像Z方是等于OC的平方，那就是X减0的平方再加Y减根号10的平方，再加Z减0的平方，90平方。大家看这是一式，这是2434。那么由二式和3式很容易得到。比如说由二式我们容易得到一Z是等于这个二分之根二的那三式。大家看啊把这两边的X方和Z方给消掉，用Y方等于Y减根号10的平方，可以得出Y等于2分之20。然后把Y和Z的值代入到一式，让两边的Z方消掉之后，直接把这个Y的值代到一式里面就可以了。我们可以算出X值也是二分之根号4，这样的话注意这三个都是R方，所以说这个R方就等于OP的长，OP的平方，那么就是X方加Y方加Z方，把这个三个值往里面一带算出来，这个R方它就是2分之11。所以说外接球的表面积S与四派R方而是派，所以这个答案选A好，今天关于这个戏法这个题非常的经典，大家可以认真的去揣摩一下。感谢您的收看，下期视频，我们再见。