专题04 二元一次方程组（十五大类题型）（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版

专题04 二元一次方程组 题型1 二元一次方程(组)的定义 题型9 方案问题（难点） 题型2 二元一次方程的解（常考点） 题型10 分配问题（常考点） 题型3 解二元一次方程组（常考点） 题型11 销售经济问题（重点） 题型4 二元一次方程组的特殊解法（常考点） 题型12 几何问题（常考点） 题型5二元一次方程组的错解复原问题（重点） 题型13 古代问题（常考点） 题型6 构造二元一次方程组求解 题型14 其他问题 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 题型15 三元一次方程的应用（拓展） 题型8 方程组相同解问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二元一次方程(组)的定义 （共3小题） 1．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 题型2 二元一次方程的解（共4小题） 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列各组数满足方程的是（） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 6．（24-25七年级下·河北沧州·期末）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）小明去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费240元．其中毛笔每支8元，围棋每副10元，共有多少种购买方案．（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型3 解二元一次方程组（共3小题） 8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）解方程组： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1) (2) 10．（24-25八年级上·江苏南通·月考）解方程： (1) (2) 题型4 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 12．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 13．（24-25七年级下·山东日照·期中）问题提出： 已知实数满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为__________． (2)请说明在关于的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 题型5二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 14．（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 16．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 题型6 构造二元一次方程组求解（共3小题） 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 18．（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 19．（24-25八年级上·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为______． (2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共4小题） 20．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 21．（25-26七年级上·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 23．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）关于、的方程组的解，也是二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型8 方程组相同解问题（共3小题） 24．（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 26．（25-26七年级上·广西崇左·月考）关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 题型9 方案问题（共3小题） 27．（25-26七年级上·福建厦门·月考）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 28．（24-25七年级下·四川泸州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 30 40 雪容融 50 65 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 题型10 分配问题（共4小题） 30．（24-25七年级下·山东泰安·月考）某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 31．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 32．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？ 33．（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 题型11 销售经济问题（共4小题） 34．（25-26七年级上·山东青岛·月考）某服装店购进一批文化衫和帽子，共件，总进货款为元，这两种商品的进价、预售价如表： 商品 进价(元/件) 预售价(元/件) 文化衫 帽子 (1)求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？ (2)若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得______元的利润． (3)在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？ 35．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如皋香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进两种规格的如皋香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，两种规格如皋香肠的进价、售价均保持不变） (1)求两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1035元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 36．（22-23七年级下·重庆大渡口·开学考试）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． (2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案． (3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 37．（24-25七年级下·广东广州·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，圆满发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的售价比“天宫”模型多5元，小文在店里总共买了3个“神舟模型”4个“天宫”模型共花了120元．请问：“神舟”和“天宫”模型的售价各是多少元？ 题型12 几何问题（共4小题） 38．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 39．（24-25七年级下·广西南宁·月考）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 40．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少? 41．（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 题型13 古代问题（共4小题） 42．（23-24七年级上·安徽亳州·月考）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 44．（24-25八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A．B．C． D． 45．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 题型14 其他问题（共小题） 46．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 47．（25-26七年级上·北京·月考）列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 48．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若要从这两种食品中摄入的蛋白质含量等于，应选用两种食品各多少包（两种食品都选且不能拆分）？ 49．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 50．（24-25七年级下·河南新乡·期末）2025年5月11日日是第三十四届全国城市节约用水宣传周，为促进城市节水工作高质量发展，增强人民群众参与节水工作的积极性、主动性，河南省工人文化宫开展了一系列内容丰富、形式多样的主题宣传活动．某市采用价格调控的手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量/ 水费/元 甲户 200 930 乙户 240 1170 (1)求该市居民用水的基本水价和超过部分的水价； (2)若该市丙户居民去年的水费为1050元，求该市丙户居民去年的用水量． 题型15 三元一次方程的应用（共5小题） 51．（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 52．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一个三位数的三个数字的和为15，十位上的数字与个位上的数字是从大到小排列的两个连续的奇数．若去掉百位上的数字，并将十位上的数字和个位上的数字对调，所得的两位数与原三位数去掉个位上的数字所得的两位数之和等于110，求这个三位数． 53．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 54．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 55．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． $专题04 二元一次方程组 题型1 二元一次方程(组)的定义 题型9 方案问题（难点） 题型2 二元一次方程的解（常考点） 题型10 分配问题（常考点） 题型3 解二元一次方程组（常考点） 题型11 销售经济问题（重点） 题型4 二元一次方程组的特殊解法（常考点） 题型12 几何问题（常考点） 题型5二元一次方程组的错解复原问题（重点） 题型13 古代问题（常考点） 题型6 构造二元一次方程组求解 题型14 其他问题 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（难点） 题型15 三元一次方程的应用（拓展） 题型8 方程组相同解问题（常考点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二元一次方程(组)的定义 （共3小题） 1．（24-25七年级下·吉林白山·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：，含两个未知数，但含未知数的项的次数为2，不是一次方程； B：，含两个未知数，但次数均为2，不是一次方程； C：，含两个未知数x和y，次数均为1，是二元一次方程； D：，含两个未知数，但y在分母，不是二元一次方程． 故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组需满足：含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意； B、含有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； C、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； D、的未知数的最高次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，且含有两个未知数的整式方程叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：由二元一次方程组的定义可知，只有C选项中的方程组是二元一次方程组， 故选：C． 题型2 二元一次方程的解（共4小题） 4．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列各组数满足方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否成立即可． 【详解】解：方程是， 对于选项A：， 代入得，成立； 对于选项B：， 代入得，不成立； 对于选项C：， 代入得，不成立； 对于选项D：， 代入得，不成立． ∴只有选项A满足方程． 故选:A． 5．（24-25七年级下·陕西商洛·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，将给定的解代入方程，通过解一元一次方程求k的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴把代入得：， 即， ∴， ∴， 因此，k的值为2， 故选：D 6．（24-25七年级下·河北沧州·期末）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的正整数解的定义是解题的关键． 列举出二元一次方程的正整数解，即可解答． 【详解】解：二元一次方程的正整数解有： ，，共2组， 故选：B． 7．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）小明去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费240元．其中毛笔每支8元，围棋每副10元，共有多少种购买方案．（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买毛笔支，围棋副，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有种购买方案． 【详解】解：设购买毛笔支，围棋副，根据题意得： ， ， 又，均为正整数， 或或或或， 共有种购买方案． 故选：B． 题型3 解二元一次方程组（共3小题） 8．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】采用加减消元法进行方程组求解即可． 【详解】（1）解：， 得：③， 得，解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：③， 得，解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）（2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是：； （2）解：， 得：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是：． 10．（24-25八年级上·江苏南通·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组的知识点，解二元一次方程组主要有代入消元法、加减消元法两种方法，观察相同未知数的系数之间的关系是关键． 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）加减消元法解方程即可； （2）加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：将方程组进行变形可得：， ①−②得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型4 二元一次方程组的特殊解法（共3小题） 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·广东江门·期中）阅读列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可转化为，运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的，熟练掌握解方程及方程组的方法是解题的关键． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 13．（24-25七年级下·山东日照·期中）问题提出： 已知实数满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为__________． (2)请说明在关于的方程组中，无论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 故答案为：2； （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． 题型5二元一次方程组的错解复原问题（共3小题） 14．（24-25七年级下·吉林白山·期中）已知方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为 (1)求、的值； (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意可得满足方程②，满足方程①，分别代入方程进行求解即可得到答案； （2）根据（1）所求得到原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， 满足方程②， ， ； 乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 满足方程①， ， ； （2）解：由（1）得原方程组为， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 方程组的解为． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期中）阅读下面情境：甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，代数式求值，分别把方程组的解代入没有看错的方程中，即可求出的值，然后再把的值代入代数式中计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入方程组中的得：，解得， 将代入方程组中的得：，解得， 当，时， ∴ ． 16．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， 即， 所以． 题型6 构造二元一次方程组求解（共3小题） 17．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在等式中，当时，；当时，． (1)求k、b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程．解题关键是掌握消元的思想． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值． （2）由（1）中结果可得x，y的关系式，把代入解方程即得x值． 【详解】（1）解：∵中，当时，；当时，， ∴， 解得：， （2）解：由（1）知，， ∴， ∴当时，， 解得． 18．（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 19．（24-25八年级上·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且）．例如：点的“2阶智慧点”为点，即点． (1)点的“3阶智慧点”的坐标为______． (2)若点B的“4阶智慧点”为，求点B的坐标． (3)若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，求m的值． 【答案】(1) (2)点B的坐标为； (3)或． 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是理解“a阶智慧点”的定义，灵活运用方程组来解决问题，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）依据“a阶智慧点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）设点B的坐标为，根据题意即可得到关于的方程组，进而得解； （3）点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，即可得到关于m的方程，进而得到m的值． 【详解】（1）解：点的“3阶智慧点”的坐标为， 即坐标为； 故答案为：； （2）解：设点B的坐标为， ∵点B的“4阶智慧点”为， ∴， 解得， ∴点B的坐标为； （3）解：∵点， ∴点C的“阶智慧点”为． ∵点C的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或． 解得或． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数（共4小题） 20．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若方程组的解满足，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与代数式求值，解题的关键是将方程组中的两个方程相加，结合建立关于的方程． 将方程组的两个方程左右两边分别相加，得到含与的等式，再代入求解． 【详解】解：已知方程组， 将两方程相加，得：， 整理得：， 两边同时除以5，得：． 又因为，所以， 解得． 故选：B． 21．（25-26七年级上·广西玉林·月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的消元法应用，熟练掌握通过方程组相减直接表示出的方法是解题的关键．先通过方程组消元，用表示出，再结合列方程求解． 【详解】解： 用得，整理得， ∵ ， ∴ ， 解得， 故选：． 22．（24-25七年级下·山东济宁·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 【详解】解：把代入二元一次方程组， 得，解得：， 则， 故选：A． 23．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）关于、的方程组的解，也是二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，首先让，得到：，根据可得：，解方程求出的值即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：． 故选：C． 题型8 方程组相同解问题（共3小题） 24．（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 25．（25-26九年级上·重庆·期中）若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 26．（25-26七年级上·广西崇左·月考）关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能根据已知得出关于、的方程组是解此题的关键． 根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 关于、的二元一次方程组中， 解得：， 故选：A． 题型9 方案问题（共3小题） 27．（25-26七年级上·福建厦门·月考）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． (2)共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 28．（24-25七年级下·四川泸州·期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，这两种吉祥物的进价、售价如表： 进价（元/个） 售价（元/个） 冰墩墩 30 40 雪容融 50 65 (1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？ (2)这60个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（至少一个），且恰好用完，那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？ 【答案】(1)冰墩墩进了50个，雪容融进了10个 (2)该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个，根据某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共60个，花去2000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个，根据所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设冰墩墩进了x个，雪容融进了y个， 根据题意得：， 解得：， 答：冰墩墩进了50个，雪容融进了10个； （2）解：由题意可知，（元） 设再次购进冰墩墩a个，雪容融b个， 根据题意得：， 整理得：， 、b为正整数， 或或或， 答：该纪念品店再次购进冰墩墩5个，雪容融10个或冰墩墩10个，雪容融7个或冰墩墩15个，雪容融4个或冰墩墩20个，雪容融1个． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量的空瓶， b个最大容量的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量的空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量的空瓶，3个最大容量的空瓶． 方案2：购买10个最大容量的空瓶，6个最大容量的空瓶． 方案3：购买5个最大容量的空瓶，9个最大容量的空瓶． 题型10 分配问题（共4小题） 30．（24-25七年级下·山东泰安·月考）某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 【答案】每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，根据共有140名工人及一个卷筒与两个圆板配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，由题意得， ， 解得：， ∴每天生产卷筒：（个）， 每天生产圆板：（个）， ∴圆板数量恰好为卷筒数量的2倍，则可配成1000套，无剩余 答：每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板才能使每天生产出来的产品配成最多套． 31．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 32．（23-24七年级下·河南南阳·期末）某眼镜生产车间有18名工人，若每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片．为使每天生产的镜框和镜片刚好配套，生产车间应该安排生产镜框和镜片的工人各多少名？ 【答案】安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，根据生产车间有18名工人，每名工人每天可以生产100副镜框或250片镜片，1副镜框需要配2片镜片，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名，由题意，得： ， 解得：； 答：安排生产镜框的工人名，生产镜片的工人名． 33．（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 题型11 销售经济问题（共4小题） 34．（25-26七年级上·山东青岛·月考）某服装店购进一批文化衫和帽子，共件，总进货款为元，这两种商品的进价、预售价如表： 商品 进价(元/件) 预售价(元/件) 文化衫 帽子 (1)求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？ (2)若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得______元的利润． (3)在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？ 【答案】(1)文化衫件，帽子件 (2) (3)折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次方程的应用； （1）设该服装店购进文化衫件，帽子件，根据某服装店购进一批文化衫和帽子，共件，总进货款为元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）设帽子售出一半后是按预售价的折销售的，根据服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该服装店购进文化衫件，帽子件， 根据题意得： 解得： （2）根据题意得：元， 即若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得元的利润， 故答案为：； （3）设帽子售出一半后是按预售价的折销售的， 根据题意得：， 解得：， 答：帽子售出一半后是按预售价的折销售的． 35．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如皋香肠历史悠久，是闻名全国的香肠品种之一．某超市分别以18元/袋、30元/袋的价格购进两种规格的如皋香肠销售，近两天的销售情况如表： 销售时段 销售数量 销售收入 第一天 10袋 6袋 570元 第二天 5袋 8袋 510元 （说明：本题中，两种规格如皋香肠的进价、售价均保持不变） (1)求两种规格香肠的销售单价； (2)若该超市准备用不超过1800元再购进这两种规格香肠共80袋，求规格香肠最多能采购多少袋？ (3)在（2）的条件下，销售完这80袋香肠，能否实现利润为1035元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A规格销售单价元/袋，B规格销售单价元/袋 (2)B规格香肠最多能采购袋 (3)能，采购A规格香肠55袋，B规格香肠25袋 【分析】（1）根据两天的销售数量和销售收入，设A、B两种规格香肠的销售单价，利用“销售收入 = 销售单价×销售数量”列二元一次方程组求解． （2）设采购B规格香肠的袋数，结合A规格袋数（总袋数 - B规格袋数），根据“采购费用 = 进价×采购数量”以及“费用不超过1800元”列一元一次不等式求解． （3）先算出A、B两种规格香肠的单件利润（销售单价 - 进价），设采购B规格袋数，根据“总利润 = 单件利润×销售数量”列一元一次方程，结合（2）中B规格袋数的取值范围判断是否能实现目标． 本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式、一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握方程与不等式的建模思路、求解方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设A规格香肠销售单价为元/袋，B规格香肠销售单价为元/袋．由题意可得， 解得， 答：A规格销售单价元/袋，B规格销售单价元/袋． （2）解：设采购B规格香肠袋，则采购A规格香肠袋．由题意可得 解得 ∴B规格香肠最多能采购袋． （3）解：能实现利润为1035元的目标，理由如下： A规格单件利润：（元/袋），B规格单件利润：（元/袋） 设采购B规格香肠袋，则采购A规格香肠袋， 解得， 由（2）知，，符合条件． ∴采购A规格香肠袋，B规格香肠袋，能实现利润为1035元的目标． 36．（22-23七年级下·重庆大渡口·开学考试）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元． (2)该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案． (3)若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润． 【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元 (2)专卖店共有种采购方案 (3)购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组与销售，利润的综合问题，掌握题意的数量关系列方程，判断最大利润，选择合适的方案是解题的关键． （1）根据题意，设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，根据数量关系列方程解方程即可求解； （2）计划恰好用元购进玩具，由（1）可知“冰墩墩”毛绒玩具每只进价，“雪容融”毛绒玩具每只进价，设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，根据数量关系即可求解； （3）根据（2）中的方案，分别计算各自的利润，进行比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元， 由题意得，， 解方程组得，， ∴“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元． （2）解：设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只， 由题意得，， 整理得，， ∵、为正整数， ∴或或， ∴专卖店共有种采购方案． （3）解：当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； ∵， ∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，最大利润为元． 37．（24-25七年级下·广东广州·期末）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心，圆满发射成功，某火箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型，已知每个“神舟”模型的售价比“天宫”模型多5元，小文在店里总共买了3个“神舟模型”4个“天宫”模型共花了120元．请问：“神舟”和“天宫”模型的售价各是多少元？ 【答案】“神舟”模型的售价是20元，“天宫”模型的售价是15元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设“神舟”模型的售价是x元，“天宫”模型的售价是y元，根据每个“神舟”模型的售价比“天宫”模型多5元及小文在店里总共买了3个“神舟”模型4个“天宫”模型共花了120元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设“神舟”模型的售价是x元，“天宫”模型的售价是y元， 根据题意得：， 解得： 答：“神舟”模型的售价是20元，“天宫”模型的售价是15元． 题型12 几何问题（共4小题） 38．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 39．（24-25七年级下·广西南宁·月考）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 【答案】(1)3 (2)，； (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合平方根的定义求解即可； （2）根据设每个小长方形的长为，宽为，根据长方形对边相等列二元一次方程组求解即可． （3）求出、，即可得出每个小长方形的面积. 【详解】（1）解：设阴影小正方形的边长为，依题意得： ，解得：，（负值不合题意已经舍去） （2）设每个小长方形的长为，宽为， 则由图1可列二元一次方程为， 由图2可列二元一次方程为. （3）设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形面积为． 40．（24-25七年级下·天津河西·期末）如图，学校规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边，那么通道的宽是多少? 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设通道的宽为，，则，根据长包含3个的长和2个通道宽，宽包含2个长和1个通道宽建立方程组求解． 【详解】解：设通道的宽为的长是，则， 由题意，列方程组为，解得． 答：通道的宽是． 41．（24-25七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 题型13 古代问题（共4小题） 42．（23-24七年级上·安徽亳州·月考）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子对折后量长木，长木剩余尺，表明对折绳子长度比木长短尺，从而得到另一个方程找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设木长为尺，绳子长为尺， ∵屈绳量之，不足一尺， ∴对折绳子长度比木长短尺， 即， 故选：． 43．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键． 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组． 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 44．（24-25八年级上·四川成都·期中）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查列二元一次方程组，解题的关键是根据题意找到等量关系. 设雀每只两，燕每只两，根据五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻.互换其中一只，恰好一样重，找到等量关系即可列出方程组. 【详解】∵雀每只两，燕每只两， 依题意可得 故选A 45．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、鸡价各几何？”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱．问人数和鸡的价钱各是多少？”设人数有x人，鸡的价钱是y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设人数为x人，鸡的价钱为y钱， 根据题意，列方程组得：． 故选：A． 题型14 其他问题（共小题） 46．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 47．（25-26七年级上·北京·月考）列方程或方程组解下列问题． 老师准备讲授“球赛积分表问题”，为了节省课上时间，课前他将一道球赛积分表的例题抄在黑板上，值日生李明不注意擦掉了表格的一部分内容（如图）．王老师随即利用残缺的积分表给出了下面两个问题，试根据表中信息解答下列各题： (1)求这次比赛中胜1场、负1场各积多少分； (2)求这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数． 【答案】(1)胜1场积分2分，负1场积分1分 (2)这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）理解题意，先设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分，再结合表格前进队，光明队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，先设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场，再结合表格雄鹰队的比赛积分情况，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：设这次比赛中胜1场积分分，负1场积分分， 则根据前进队，光明队的比赛积分情况，得， 解得， 即这次比赛中胜1场积分2分，负1场积分1分， （2）解：设这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，场， 依题意，得， 解得， ∴这次比赛中雄鹰队的胜场数和负场数分别是场，7场． 48．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若要从这两种食品中摄入的蛋白质含量等于，应选用两种食品各多少包（两种食品都选且不能拆分）？ 【答案】(1)应选用两种食品各为3包，2包 (2)应选用两种食品各为5包，2包或2包，4包 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设两种食品各为x包，y包，，根据材料提示的热量与蛋白质的数量列方程组求解即可； （2）设两种食品各为m包，n包，，根据题意列方程，结合题意，分别列举不等的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设两种食品各为x包，y包，根据题意可列方程组， ， 解方程组得， ∴应选用两种食品各为3包，2包． （2）解：设两种食品各为m包，n包，根据题意可列方程为， ∴， ∵为正整数， ∴当，或，时，符合题意， ∴应选用两种食品各为5包，2包或2包，4包． 49．（24-25七年级下·浙江台州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，准确列式是关键． （1）将数据代入得出二元一次方程组求解即可； （2）求出当时的的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ②①得：  ， 解得：， 把代入①得：， 所以， ∴， 答：，． （2）解：当时，， 解得． 答：当水位时，时间为． 50．（24-25七年级下·河南新乡·期末）2025年5月11日日是第三十四届全国城市节约用水宣传周，为促进城市节水工作高质量发展，增强人民群众参与节水工作的积极性、主动性，河南省工人文化宫开展了一系列内容丰富、形式多样的主题宣传活动．某市采用价格调控的手段来引导市民节约用水：每户居民每年用水不超过时，按基本水价收费；超过时，超过的部分加价收费．该市甲、乙两户居民去年的用水量和水费如下表所示： 居民 用水量/ 水费/元 甲户 200 930 乙户 240 1170 (1)求该市居民用水的基本水价和超过部分的水价； (2)若该市丙户居民去年的水费为1050元，求该市丙户居民去年的用水量． 【答案】(1)该市居民用水的基本水价为4.5元/，超过部分的水价为6元/ (2)该市丙户居民去年的用水量为220立方米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据以及题意，列出二元一次方程组，再解出，即可作答． （2）先分析出，再根据超过部分的水价为6元进行列式，进行作答即可． 【详解】（1）解：设该市居民用水的基本水价为元，超过部分的水价为元． 根据题意，得 解得 答：该市居民用水的基本水价为4.5元，超过部分的水价为6元． （2）解：由（1）可知基本水价为4.5元，超过部分的水价为6元． 则（元） ∵ ∴设该市丙户居民去年的用水量为立方米，且， 根据题意，得． 解得． 答：该市丙户居民去年的用水量为220立方米． 题型15 三元一次方程的应用（共5小题） 51．（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【详解】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 52．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一个三位数的三个数字的和为15，十位上的数字与个位上的数字是从大到小排列的两个连续的奇数．若去掉百位上的数字，并将十位上的数字和个位上的数字对调，所得的两位数与原三位数去掉个位上的数字所得的两位数之和等于110，求这个三位数． 【答案】753 【分析】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 设个位上数字为，十位上数字为，百位上数字为，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设个位上数字为，十位上数字为，百位上数字为， 根据题意，得 解得， 所以． 答：这个三位数是753． 53．（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）非负整数解为1、0；（3）见解析；（4）购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，解一元一次不等式； （1）由，即可求解； （2）依据题意，，得，则，又，故，进而计算即可判断得解； （3）由，得，即可求解； （4）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： ， 得，， 故答案为：2； （2）解： ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴m的非负整数解为1、0； （3）解： ， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变； （4）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴，即， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 54．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【答案】(1)；5 (2)购买这批防疫物资共需6700元 (3) 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 依题意，得： ， 由可得， ∴． 答：购买这批防疫物资共需6700元． （3）解：依题意，得： ， 由可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 55．（24-25七年级下·江苏南京·期中）用方程组解决问题：某动物保护机构要准备三种类型的食物共310份给需要救助的动物，现安排40名志愿者来准备这些食物，每名志愿者只能准备同一种类型的食物，且要求每名志愿者满工作量．根据以下表格信息，回答问题． 食物类型 每名志愿者准备量（份） 6 8 9 (1)如果类型食物安排了16名志愿者，那么两种类型食物各需多少名志愿者？ (2)现要求每种类型的食物至少安排11名志愿者，求三种类型的食物各需安排多少名志愿者，写出所有可行的方案． 【答案】(1)两种类型食物各需13名，11名志愿者 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． （1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，根据共有40名志愿者和共310份食物列方程组求解即可． 【详解】（1）设两种类型食物各需x名，y名志愿者，由题意，得 ， 解得， 所以两种类型食物各需13名，11名志愿者； （2）设三种类型的食物各需x，y，z名志愿者，由题意，得 ， 得： ， ∴， ∵每种类型的食物至少安排11名志愿者， ∴当时，， 当时，， 当时，， 所以方案一：A类型11人，B类型17人，C类型12人；方案二：A类型12人，B类型14人，C类型14人；方案三：A类型13人，B类型11人，C类型16人． $