同学们好，各位家长朋友们好。今天我们来讲高中数学重难点题型，视频专栏系列的第167个题型。我们拿一道题来说一下空间平行垂直关系的综合应用问题。大家来看一下，一阿基米德多面体为问题背景的一道多选题。这道题还是具有一定代表性的，难度不是特别大，但是很有一定的典型性。我们一起把这个题审一下。没有做过这道题的同学，你们可以将视频暂停五分钟，试一试看能不能做出来。尤其一般来说最多不要超过八分钟，给大家的一个参考时间。我们一起来审一下题，那么这个半正多面体大家注意，这个题已经告诉我们很多的信息量了也告诉你们去怎么去理解。你比如说他这个半正多面体就是由六个正方形和8个正六边形。大家看这个图，你们能不能发现，它有八个正六边形，还有六个正方形。再一个如果你理解不了，还可以让他后面这句话，就是其也可以由正八面体切割而成的，就是切去，大家可以看一下，那个总共是切去六个角，把六个小正四棱锥把它切掉就可以了，而且各个棱长它都是一，比如说你第一个A选项，A选项的话我们也很好得。你比如说对于AB来说，如图所示四边形，我这里面把这个标上几个字字母，你这个是A这个我标上J这个标成L这个标准H对于AB来说的话很明显，大家注意，很明显四边形哪个四边形呢？就是我标的AJLH这个四边形这个四边形它是一个正方形。好，我把这个写一下。既然是正方形，所以我们就可以推出这个AB它就平行于GF。这个A选项我们就做完了，非常的简单。我们看B选项，B选项也很好得，我们看啊GF大家看图中的这个GF，就是HF这条直线，它是在平面EFG内，你AB又平行于GF，所以说我们可以推出AB平行于平面EFG。既然AB平行平面EFG，那么经过AB的一个平面与该平行平面的交线肯定是平行。所以说这个AB一定是平行于L，又因为在正六边形AB就是我阴影部分这个平面，它这个正六边形AB和CD肯定是平行。又因为AB平行于CD所以我们可以推出CD肯定是平行L，这样的话这个B选项也是对的。AB两个选项非常的简单。那么C我们看该半正多面体的体积，我们算这个体积的时候大家注意要用大的正八棱锥，不是正八面体，就是两个正式拼接而成的。我们去减去六个小的正四棱锥，那么这个棱锥的体积怎么算呢？我们以其中一个正小正深追为例来算一下。大家看一下，比如说我把上方这个标的字母，比如说这是BB1B2，这个点我们标为B3AB3，我们用接向底面做垂线，大家看把这两个一连就连对角线一连，由接向底面做垂线。假设这个是O你的棱长是一，棱长是一，那么这个OB2，所以这个是O。那个图画的不是特别清楚，我现在把它移到移出来，这样看起来更清晰一些。一般来说，这个正式人居的体积接起来非常的简单。我就推导一个一般的形式，一般的形式大家注意，如果你的侧棱和底面边长都是A都是A。好，我们看这个高H怎么求，那么根据你这是A这个边长都是A那么这个底面正方形的对角线就是根号2A所以这一半的话就是二分之根号2A根据勾股定理，这个H也是二分之根号2，所以说该体积V一定是等于3分之1底面积。底面积就是正方形的面积，就是A方乘以高二分之根号2A那么就是六分之根号2A的3次方。所以说对于C选项，这个半自动立体的体积V一定是等于V8面体。我减V8面体的体积减去六个V以G为顶点，以BB1、B2B3为底面的深锥的体积。好，现在我们套公式，这个正八面体它是有两个正四棱锥拼接而成的，而且各个棱长都是三就咱们可以写成两个乘以六分之根号2，再乘以3的3次方。那么减去六倍的六分之根号2，它每一个小的正式都是一样。我们再乘以一的3次方。好，我们把这个计算一下，这个就是拿一个删除二三得六，消掉的是剩下一个99倍耕，然后我们再减去一个根号2，这个算出来是八倍根号，所以说这个就是错的，这不对，所以C是错的。我们再看D表面积，大家看啊这个表面积我们可以用你可以用八个正方形，不是，八个正扇形我们减去，那样减的话也麻烦一下，我们可以直接用。他说不是说是六个正方形吗？和8个正六边形，我们直接算就可以了。所以这个D选项也比较的简单，所以这个面积我们有八个。正六边形的面积大家看这个正六边形，我们可以先把它算一下，每一个正三角形的面积就是四分之根号3乘以一的平方。那总共是六个，我们再乘以6，所以说每个正六边形的面积就是2分之3倍根三。总共是八个，就是8乘以2分之3倍根三，再加上六个正方形的面积，就6乘以一的平，那结果就是12倍根号3，我们再加上一个六，这个D明显是对的，所以此题的答案就是ABD，你们看他这个思路，实际上也比较的简单，没有什么太高深的一些东西今天关于空间的平行垂直关系的综合应用就讲到这里。感谢您的收看，下期视频我们再见。