7.3.2等比数列的前n项和（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第七章 数列 7.3.2等比数列的前n项和 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节是等比数列的核心延伸，承接等比数列定义、通项公式，聚焦前 n 项和公式的推导与应用。通过错位相减法推导公式，渗透重要数列求和方法，既是对前面等比数列知识的巩固，也是后续数列综合问题、实际应用问题的解题工具，在中职数学数列模块中占据重要地位，贴合中职学生数学应用能力培养目标。 五、学情分析 学生已掌握等比数列定义、通项公式，具备基本的代数运算能力，但逻辑推理、公式推导能力较弱，对抽象数学方法理解困难。学生对生活实例、情景化教学接受度高，适合通过生活案例引入，降低公式推导难度，侧重公式理解与应用。 六、教学目标 知识层面 理解等比数列前n项和公式的推导过程，掌握等比数列前n项和公式及适用条件 能力层面 能运用等比数列前n项和公式解决数列求和问题；能根据已知条件准确选择公式完成计算 核心素养层面 通过错位相减法的探究，培养逻辑推理与数学运算能力，提升数学建模与抽象思维的核心素养 七、教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导与记忆 2.公式适用条件（q=1 与 q≠1）的区分 八、教学难点 1.错位相减法的理解与推导思路 2.灵活选择公式解决不同已知条件的求和问题 九、教学方法 1.情景教学法：用传销危害、复印纸面积、细胞分裂等实例引入，激发兴趣，渗透德育。 2.引导探究法：教师引导、学生动手，共同完成公式推导，突出主体地位。 3.讲练结合法：例题精讲 + 当堂练习 + 即时反馈，巩固知识。 4.分层教学法：基础题、中档题、提高题分层设计，兼顾不同水平学生。 5.口诀记忆法：用简短口诀帮助记忆推导步骤与公式条件。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 情景导入——有毒的传销 某人于一月被骗参与传销活动，二月发展2人作为其下线。 一个月后，每个下线各发展2人作其下线，依此继续。 问：年底共有多少人受骗？ 由于每个人各发展2人作为其下线，各个月受骗人数依次为 于是总受骗人数就是 即求首项为1，公比为2的等比数列的前12项的和。 情景导入——常见复印纸 在街上看到某大型复印公司的门面上贴出如下广告：“本部承接超大型工程图纸复印业务，规格可达A0，A1” A1，A0的纸有多大？能不能根据手边常见复印纸的大小，推算出A1，A0纸的大小？ 把A5到A1的纸按从小到大的顺序平铺，其总面积是纸A5的多少倍？ 记A5纸的面积为单位1： 说明等比数列也有前n项和公式！ 以传销受骗人数的真实生活场景切入，将抽象的等比数列求和问题转化为可感知的实际问题，激发学生探究兴趣，让学生体会数学源于生活、服务生活。 借助复印纸面积的直观素材，用简单倍数关系呈现等比数列求和规律，降低公式推导的认知门槛，自然引出 “等比数列存在固定求和公式” 的核心问题。 新知讲授 推导：等比数列前n项和公式 设公比为q的等比数列的前n项和为 ①式两边同乘公比q得 由①−②得 错位相减 等比数列前n项和公式 当时 由推导得： 当时 注意：当q未知时，要分和两种情况讨论。 错位相减法步骤 乘公比：等式两边同乘等比数列公比q 错位写：构建相减条件，对齐同次幂 对位减：消去中间同类项 归纳步骤：乘公比，错位写，对位减。 填一填，记一记 当时 已知首项、公比q与项数n求和公式： 已知首项、公比q与末项求和公式： 采用错位相减法推导公式，让学生亲历 “观察 — 猜想 — 推导 — 验证” 的完整过程，理解公式本质而非死记硬背，培养逻辑推理核心素养。 分q≠1和q=1两种情况给出公式，强调分类讨论思想，规避解题易错点，培养严谨的数学思维。 提炼乘公比 — 错位写 — 对位减三步口诀，简化推导步骤，便于学生记忆与复述，降低方法掌握难度。 给出已知 a₁、q、n和已知 a₁、q、aₙ两种形式的公式，适配不同已知条件，提升学生灵活选用公式的能力。 案例分析 例1 在等比数列中，，，求该数列前5项的和。 解： 由等比数列的前n项和公式 该数列前5项的和为242。 例2 在等比数列中，，，，求该数列前n项的和。 解： 由等比数列的前n项和公式 该数列前n项的和为242。 例3 已知等比数列1,2,4,8,…，求该数列第5项至第10项的和。 解： 第5项至第10项的和为，可表示为 归纳：等比数列的前n项和公式 设等比数列的首项为，公比为q，则其前n项和为 注意：当q未知时，要分和两种情况讨论。 例 1 直接套用基础公式，巩固公式记忆与基础运算，落实数学运算核心素养。 例 2 选用含末项 aₙ的公式，对比两种公式的适用场景，强化 “根据条件选公式” 的解题意识。 例 3 讲解片段和（S₁₀−S₄）的求解方法，拓展求和思路，培养整体代换的解题技巧。 例题由浅入深、层层递进，覆盖基础计算、公式选择、片段求和三大核心题型，为学生独立解题提供示范。 学以致用 1.在等比数列中，若，公比，求该数列的前9项和。 解： 2.求等比数列−2，−2，−2，…的前10项和。 解： 3.等比数列的前n项和，求数列的公比。 解： 4.在等比数列中，已知，，求 解： 5.在等比数列中，，公比，当时，求n 解： 由，，， 当时，则， 解得。 基础题直接套用公式，夯实本节课核心知识，检验学生对公式的掌握程度。 q=1 的特殊题型，强化分类讨论的重要性，纠正 “只记 q≠1 公式” 的误区。 由 Sₙ反求 aₙ、q 的逆向题型，培养逆向思维与公式变形能力。 整体代换、片段和拓展题，提升学生综合运用知识解决复杂问题的能力，落实数学建模素养。 课堂练习 1.在等比数列中，，求该数列前5项的和。 解： 由等比数列的前n项和公式 2.在等比数列中，，，求该数列前n项的和。 解： 由等比数列的前n项和公式 3.求等比数列，3，6，12，…前6项的和。 解： 4.求等比数列，3，6，12，…第7项至第10项的和。 解： 5.等比数列的前n项和是，若，求公比q 解： 又 得 6.等比数列的前n项和是，若，求 解： 分层设计练习，兼顾基础巩固与能力提升，满足不同层次学生的学习需求。 分数、小数、负数公比等多样化题型，全面训练学生运算准确性，突破计算易错点。 逆向求解、片段和、方程求解等综合题型，深化对公式的理解，提升知识迁移能力。 即时练习、即时反馈，帮助学生查漏补缺，强化课堂学习效果。 课堂小结 推导方法：错位相减法 设等比数列的首项为，公比为q，则其前n项和为 梳理错位相减法与求和公式，构建完整知识框架，帮助学生形成系统认知。 强调分类讨论、公式选择等关键要点，突出本节课重难点，强化记忆。 引导学生自主回顾总结，培养归纳概括能力，提升学习自主性。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 推导方法：错位相减法 设等比数列的首项为，公比为q，则其前n项和为 突出错位相减法与等比数列前 n 项和公式，简洁清晰，便于学生记录与回顾。 分类呈现公式，强化分类讨论思想，突出本节课重难点。 11、 教学反思 本节课的情景导入贴近生活且兼具德育意义，通过传销受骗人数的真实案例，既直观呈现等比数列增长特征，又自然渗透反诈与法治安全教育，让学生在数学学习中树立安全防范意识，快速抓住学生注意力，高效引出等比数列求和核心问题。 错位相减法按照乘公比、错位写、对位减三步完整拆解，逻辑清晰、步骤易懂，配合简洁口诀强化记忆，降低公式推导的理解难度，帮助学生扎实掌握推导方法与核心思想。 例题与练习设置梯度合理，由直接套用公式到片段和求解，再到逆向反求参数，层层递进、由易到难，完全贴合中职学生从具象到抽象、从模仿到应用的认知规律。 课堂重点强调q=1 与 q≠1 分类讨论，明确公式适用边界，针对性纠正学生常见错解、漏解问题，有效提升解题严谨性与正确率。 整节课讲练结合紧密，讲解与练习交替推进，当堂训练、即时纠错、及时反馈，学习闭环完整，多数学生能熟练掌握等比数列前 n 项和公式的基本用法与常见题型解法。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $