第97卷平面向量的内积（教师讲解卷）-江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

编写说明：江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，严格依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（2025年8月）》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 江苏省职教高考《数学考点双析卷》 第97卷 平面向量的内积 教师讲解卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知向量，则（   ） A．5 B．2 C． D．8 2．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 3．在平行四边形中，，，则（   ） A．1 B．4 C．6 D．11 4．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则（    ） A． B．3 C． D．4 6．已知与 互相垂直，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 8．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 10．已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知向量满足，则__________. 12．已知向量，满足，，，则__________. 13．已知向量，若，则________． 14．已知向量，，且与的夹角为，则______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16．已知向量，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若向量，求． 17．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 18．已知，. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，严格依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（2025年8月）》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 江苏省职教高考《数学考点双析卷》 第97卷 平面向量的内积 教师讲解卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知向量，则（   ） A．5 B．2 C． D．8 【答案】C 【详解】由. 2．如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，则， 则. 3．在平行四边形中，，，则（   ） A．1 B．4 C．6 D．11 【答案】C 【详解】，，则在平行四边形中，， . 4．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 5．已知向量，，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 6．已知与 互相垂直，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，因为与垂直，所以， 即，所以，所以与的夹角为. 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. 【详解】， 由题意：， 所以. 故选：C. 8．设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 9．已知向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 则，解得． 故选：D. 10．已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 又因为， 所以. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知向量满足，则__________. 【答案】 【分析】根据数量积运算律计算得，再由向量的模的公式计算即得. 【详解】因为，，， 则，解得， 又由，可得. 12．已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【详解】因为可得， 又，得． 因为，所以，即，解得． 13．已知向量，若，则________． 【答案】 【分析】利用向量平行求出，再计算 【详解】由，则，解得， ， ． 14．已知向量，，且与的夹角为，则______． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】向量，，则. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知向量，其中． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【详解】（1）， ，解得． （2）由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 16．已知向量，． (1)求与的夹角的余弦值； (2)若向量，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量夹角的坐标公式计算即得； （2）先求出向量的坐标，再求其模即可. 【详解】（1）由，，可得， 且， 则； （2）因， 则. 17．已知是互相垂直的单位向量，，， (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合向量垂直性质，根据数量积的运算律列方程求解即可； （2）先利用数量积的运算律求解，利用数量积模的运算求解和，然后代入向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）由，得，则，即，所以，解得； （2）因为与的夹角为， 所以， ， ， 所以， 平方化简得，解得. 由夹角为 可知 ，即 ， 所以. 18．已知，. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据向量的模长公式计算即可. （2）根据向量平行可设，结合向量的模长公式求解即可. （3）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）. （2）因为，设， 则，解得. 因此或. （3）由（1）知，. 因为， 则， 所以，所以. 又，所以. 故与的夹角为. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $