第90卷空间角的求解（学生练习卷）-江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

编写说明：江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，严格依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（2025年8月）》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 江苏省职教高考《数学考点双析卷》 第90卷 空间角的求解 学生练习卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 4．已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（    ） A． B． C． D． 5．在正三棱台中，，，M为的中点，则直线AM与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 7．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 10．正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是__________. 12．已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________. 13．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 14．如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 16．如图，在三棱锥中，平面. (1)异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； (3)若平面平面，证明：. 17．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 18．在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，严格依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（2025年8月）》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 江苏省职教高考《数学考点双析卷》 第90卷 空间角的求解 学生练习卷 1、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，再根据直线与平面所成角的范围即可判断. 【详解】如图，在直三棱柱中，，平面平面， 平面平面，直线在平面内的投影是直线， 则直线与平面所成的角都是， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 不妨设直线为直线，平面为平面，直线在平面内，此时满足直线与平面所成的角为，直线与直线垂直. 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为； 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为. 所以直线与平面所成角的取值范围为. 故选：A. 2．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，则和平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，可得平面，可得为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正三棱柱，可得，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 设正三棱柱的棱长为2，则可得， ， 在中，. 故和平面所成角的正弦值为. 故选：A 3．如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接    在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 4．已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，证得，得到异面直线与所成的角，即为直线与所成的角，根据，证得，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，且，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以， 又由，所以，所以， 即，所以异面直线与所成的角为. 故选：D.    5．在正三棱台中，，，M为的中点，则直线AM与BC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到（或其补角）即为AM与BC所成角，并求出各边长，利用余弦定理进行求解. 【详解】如图，取的中点N，连接MN，AN，则，且，故， 故（或其补角）即为AM与BC所成角， 易得，，，， 延长，相交于点， 因为，所以均为等边三角形， 又，根据比例关系可知，且， 由余弦定理得， 故， 所以， 即直线AM与BC所成角的余弦值为． 故选：B 6．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，由为正三角形，为线段的中点即可求得. 【详解】如图，在正方体中，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 易知为正三角形，又为线段的中点， 所以， 故选:B． 7．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，又，则就是异面直线与BD所成角或其补角，利用余弦定理推理求余弦值即可. 【详解】 如图，因为和与底面所成的角分别为和， 所以，又， 则， ， 在长方体中，， 所以就是异面直线与BD所成角或其补角， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 8．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 9．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为45°，则该四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方形的对角线相交于点O，连接，易得平面，为与底面所成角，根据侧棱长，求得正四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求解. 【详解】如图所示： 正四棱锥中，正方形的对角线相交于点O，连接， 则平面，则为与底面所成角，且， 所以，且，所以， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C. 10．正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【详解】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是__________. 【答案】 【分析】根据条件确定母线与圆锥底面半径之间的数量关系，进而求母线与圆锥底面所成角的大小. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为， 由题意：. 设圆锥母线与底面所成的角为，则，所以. 故答案为： 12．已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________. 【答案】/ 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意，求得，进而求得圆锥的母线与底面所成角，得到答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积是底面面积的2倍，可得，所以， 设该圆锥的母线与底面所成角为，则， 因为，所以. 故答案为：. 13．如图所示，在直三棱柱中，，.则异面直线，所成角的大小是______. 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义求解即可. 【详解】如图，连接， 直三棱柱中，， 所以异面直线与所成角为， 因为，，易得， 所以为等边三角形，所以， 故答案为： 14．如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为___________．    【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合线面角的定义、圆的性质、余弦定理进行求解即可. 【详解】在圆内，延长交圆上一点，连接， 因为是圆的直径， 所以，因此是异面直线与所成的角（或其补角）， 在圆中，因为， 所以， 由圆柱的性质可知：底面圆，与底面圆所成的角为， 所以，因为，所以， 因此有， ， 因为， 所以， 所以， 因为底面圆，底面圆， 所以， 因此， 在中，由余弦定理可知： ， 故答案为：    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小．    【答案】 【分析】取BD的中点O，利用定义法求出异面直线AD与BC所成的角. 【详解】如图所示，    设BD的中点为O，连接EO，FO，则， 所以是异面直线AD与BC所成的角或其补角， 而，， 在中，由余弦定理，得， 而，因此， 所以异面直线AD与BC所成的角为． 16．如图，在三棱锥中，平面. (1)异面直线与所成角的大小为_______；（填度数） (2)若三棱锥的体积为，的面积为，则棱的长为_______； (3)若平面平面，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理即可求解； （2）利用三棱锥的体积公式即可求解； （3）过点作于点，由面面垂直的性质定理得平面，进而得，再由线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的定义即可得证. 【详解】（1）由平面，平面， 所以， 所以异面直线与所成角大小为； （2）由三棱锥的体积为， 所以； （3）过点作于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以. 17．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）将所求转换为直线与直线所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解. 【详解】（1）因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为. 18．在正方体中，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的余弦值后可求异面直线与所成角的余弦值； （2）利用等积法可求三棱锥的体积. 【详解】（1） 因为，故或其补角为异面直线与所成角的余弦值， 因为平面平面，所以， 而，，故， 故异面直线所成的角为. （2）. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $