21.1四边形及多边形 （小模块.微专题.大压轴）（十五大题型） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.1四边形及多边形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 四边形的不稳定性 模块9复杂多边形的内角和 模块2 多边形的概念 模块10 正多边形外角问题的计算 模块3 正多边形的概念辨析 模块11 多边形外角和的实际应用 模块4 多边形截角后的边数问题 模块12多边形的内角和外角的综合 模块5 多边形的周长与面积问题 微专题1多边形截角后的内角和问题 模块6多边形对角线的条数问题 微专题2多(少)算一个角问题 模块7对角线分成的三角形个数问题 压轴1 平面镶嵌 模块8 多边形内角和的计算 模块通关·举一反三 【模块一】四边形的不稳定性 【方法点拨】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【例1】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【变式1-3】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 【模块二】多边形的概念 【方法点拨】1.在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点 2.多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角 3.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线， 【例2】如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】在如图所示的图形中，是多边形的有__________;是凸多边形的有________． 【变式2-3】长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是______． 【模块三】 正多边形的概念辨析 【方法点拨】1. 正多边形的定义：每条边都相等 ，每个内角都相等的多边形是正多边形。 2. 正多边形的每个内角度数为： 。 3. 正多边形的每个外角度数为： 。 特别提示：。 【例3】用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【变式3-2】下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【变式3-3】若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（    ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【模块四】 多边形截角后的边数问题 【方法点拨】主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键． 【例4】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ） A．5 B．5或6 C．6或7或8 D．7或8或9 【变式4-1】一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是_____ 边形． 【变式4-3】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为_______． 【模块五】多边形的周长与面积问题 【方法点拨】主要考查多边形的性质，正确识别图形，合理分析图形，利用图形的周长公式，面积公式进行计算．有时借助图形变换（平移、对称、旋转等）进行整体求解。 【例5】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为_________ 【变式5-1】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于________． 【变式5-2】学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为_______．    【变式5-3】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【模块六】多边形对角线的条数问题 【方法点拨】多边形的对角线数量计算： 总结规律：（下列式子中出现的n都是多边形的边数） 多边形一个顶点引出的对角线条数为： 条。 多边形所有对角线条数为： 条。 【例6】给出下列关于七边形的说法：①七边形有7条边；②七边形有7个内角；③七边形有7个顶点；④七边形有7条对角线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若一个多边形的内角和比它的外角和的倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是（    ） A． B．5 C．6 D． 【变式6-3】连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 【模块七】对角线分成的三角形个数问题 【方法点拨】多边形一个顶点的对角线分多边形的成三角形的数量计算： 由下图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为：个。 【例7】把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n，则的值为（    ） A．7 B．4 C．12 D．1 【变式7-1】过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【变式7-2】要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式7-3】探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 【模块八】多边形内角和的计算 【方法点拨】多边形的内角和计算： 由下图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。即： 特别提示：多边形的内角和一定是180的整数倍。多边形每增加一边，内角和增加180° 【例8】如图，在中，，沿虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】九边形的内角和为（   ） A．1260° B．1440° C．1800° D．720° 【变式8-2】一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-3】综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【模块九】复杂多边形的内角和 【方法点拨】考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【例9】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则_______． 【变式9-3】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=__________． 【模块十】正多边形外角问题的计算 【方法点拨】 正确理解多边形的外角和的概念，掌握并灵活运用多边形的外角和 定理是解题关键 【例10】如图，小明从点O出发，前进15m后向右转，再前进15m后又向右转…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为 _____． 【变式10-2】如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图所示，一束平行光线照射在垂直放置于地面的正六边形上，已知正六边形的每个角均为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【模块十一】多边形外角和的实际应用 【方法点拨】 正确理解多边形的外角和的概念，掌握并灵活运用多边形的外角和 定理是解题关键 【例11】如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【变式11-1】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A．外角和减少 B．外角和增加 C．周长变大 D．周长变小 【变式11-2】创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式11-3】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【模块十二】多边形的内角和外角的综合 【方法点拨】正确理解多边形的外角和的概念，掌握并灵活运用多边形的内角和公式与外角和 定理是解题关键 【例12】若一个多边形的内角和比它的外角和的倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是（    ） A． B．5 C．6 D． 【变式12-1】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式12-2】一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是_________. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】多边形截角后的内角和问题 【例13】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ） A．5 B．5或6 C．6或7或8 D．7或8或9 【变式13-1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【变式13-2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【变式13-3】一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（  ） A．增加180° B．减少180° C．不变 D．以上三种情况都有可能 【微专题二】 多(少)算一个角问题 【例14】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式14-2】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 压轴突破·素养提升 【压轴一】平面镶嵌 【方法点拨】 【例15】如果只用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌整个平面的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【变式15-1】将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【变式15-2】用正多边形密铺地面，下列组合可行的是（   ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正十二边形 D．正方形和正六边形 【变式15-3】要用边长相同的正三角形、正六边形（两种材料都要用到）密铺地面，必须满足：有公共顶点的m个正三角形的内角与n个正六边形的内角的和等于，则 ． 【变式15-4】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，在平面镶嵌中，要求在同一个拼接点处，这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周角（即）．若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z，其中x、y、z均为正整数，则________． 【变式15-5】综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【变式15-6】．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《21.1四边形及多边形》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 四边形的不稳定性 模块9复杂多边形的内角和 模块2 多边形的概念 模块10 正多边形外角问题的计算 模块3 正多边形的概念辨析 模块11 多边形外角和的实际应用 模块4 多边形截角后的边数问题 模块12多边形的内角和外角的综合 模块5 多边形的周长与面积问题 微专题1多边形截角后的内角和问题 模块6多边形对角线的条数问题 微专题2多(少)算一个角问题 模块7对角线分成的三角形个数问题 压轴1 平面镶嵌 模块8 多边形内角和的计算 模块通关·举一反三 【模块一】四边形的不稳定性 【方法点拨】三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【例1】下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】山东省淄博市沂源县2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，准确分析判断是解题的关键． 根据题目选项是否分为三角形为依据判断即可； 【详解】解：A中分为两个四边形，四边形不具有稳定性； B中分为2个三角形和1个长方形，长方形不具有稳定性； C中分为1个四边形和2个三角形，四边形不具有稳定性； D中分为4个三角形，具有稳定性； 故选D． 【变式1-1】下列图形中不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】 山东省临沂市沂南县2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是判断图形是否由三角形完全分割（三角形具有稳定性，未被三角形分割的多边形不具有稳定性）． 【详解】解：A、该图形包含未被三角形完全分割的四边形结构，不具有稳定性，此选项符合题意； B、图形由多个三角形组成，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； C、四边形被对角线分隔为两个三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意； D、图形是三角形，三角形具有稳定性，此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【难度】0.85 【来源】湖北省宜昌市伍家岗区2024-2025学年下学期期末学业水平监测试题八年级数学 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 【变式1-3】以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三脚架 C．升降平台 D．旧木门钉木条 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省驻马店市确山县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】四边形的不稳定性、三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，A，B，D都应用了三角形的稳定性，C应用了四边形的不稳定性， 故选C． 【模块二】多边形的概念 【方法点拨】1.在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形，这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点 2.多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角 3.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线， 【例2】如图所示的图形中，多边形的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【难度】0.94 【来源】章末对点导练（单元考点整合 中考真题演练） 七年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年七年级上学期同步练 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了多边形，关键是掌握多边形的定义． 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：题图中依次是扇形、八边形、半圆形、五边形和长方体，其中八边形和五边形是多边形， 所以多边形的个数为， 故选：A． 【变式2-1】在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【难度】0.85 【来源】山西省运城市闻喜县2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 【变式2-2】在如图所示的图形中，是多边形的有__________;是凸多边形的有________． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【难度】0.85 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 【变式2-3】长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是______． 【答案】4（答案不唯一） 【难度】0.85 【来源】2025年江苏省南京市联合体中考二模数学练习卷- 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、多边形的概念与分类 【分析】此题考查了四边形存在的条件，所有边中最大的边必须小于其余三边之和，据此确定a的值即可． 【详解】解：根据四边形存在的条件，所有边中最大的边必须小于其余三边之和， 当时， 需要，即，故可取5或6， 当时， 需要，即，故可取2，3或4， 因此符合条件的整数为2，3，4，5，6，任选其一即可． 故答案为：4（答案不唯一）． 【模块三】 正多边形的概念辨析 【方法点拨】1. 正多边形的定义：每条边都相等 ，每个内角都相等的多边形是正多边形。 2. 正多边形的每个内角度数为： 。 3. 正多边形的每个外角度数为： 。 特别提示：。 【例3】用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河北省沧州市任丘市梁召镇辛安庄中学等校2024-2025学年九年级下学期模拟预测数学试题 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．以上说法都对 【答案】C 【难度】0.94 【来源】8.2多边形的内角和与外角和 第1课时 多边形的内角和 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题主要考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键．根据正多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形， 故选：C． 【变式3-2】下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】C 【难度】0.94 【来源】【智】33 2.7 正多边形与圆（26春学海九数湘-课时检测） 【知识点】正多边形概念辨析 【分析】本题考查四边形，解题的关键是理解正多边形的定义． 正多边形需所有边相等且所有角相等，矩形角相等但边不一定相等；菱形边相等但角不一定相等；梯形边和角都不一定相等；正方形所有边相等且所有角相等，符合正多边形定义． 【详解】解： 正多边形必须所有边相等且所有角相等， A、矩形所有角相等但边不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； B、菱形所有边相等但角不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； C、正方形所有边相等且所有角相等，故是正多边形，符合题意； D、梯形边和角都不一定相等，故不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（    ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】A 【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n=360°，求解即可． 【详解】解：设所求正多边形边数为n， ∵正n边形的每个内角都等于120°， ∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°． 又因为多边形的外角和为360°， 即60°•n=360°， ∴n=6． 所以这个正多边形是正六边形． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形内角和外角和的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°． 【模块四】 多边形截角后的边数问题 【方法点拨】主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键． 【例4】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ） A．5 B．5或6 C．6或7或8 D．7或8或9 【答案】C 【分析】利用多边形内角和公式：，得出截后的是几边形，分以下三种情况进行讨论：(1)不经过顶点，(2)经过一个顶点，(3)经过2个顶点，即可得出结果． 【详解】解：设截后的多边形为边形 解得： (1)顶点剪，则比原来边数多1 (2)过一个顶点剪，则和原来的边数相同 (3)过两个顶点剪，则比原来的边数少1 则原多边形的边数为6或7或8 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键． 【变式4-1】一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和求出剪去一个角后的多边形的边数即可判断． 【详解】解：由题意得， ，解得， 由于剪去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形， 故选A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键． 【变式4-2】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是_____ 边形． 【答案】六或七或八 【难度】0.85 【来源】黑龙江省牡丹江市海林市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形截角后的边数问题 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 【变式4-3】若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为_______． 【答案】14或15或16 【难度】0.85 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 【模块五】多边形的周长与面积问题 【方法点拨】主要考查多边形的性质，正确识别图形，合理分析图形，利用图形的周长公式，面积公式进行计算．有时借助图形变换（平移、对称、旋转等）进行整体求解。 【例5】将3个大小完全相同的正六边形按如图位置摆放，使得每两个正六边形都有一条边重合，连接正六边形的三个顶点得到，若每个正六边形的面积均为6，则的面积为_________ 【答案】4 【难度】0.65 【来源】2024年陕西省西安市长安区西咸新区沣东上林学校中考模拟数学试题 【知识点】全等三角形综合问题、多边形的概念与分类 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，全等三角的判定以及性质，根据正六边形的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如下图1正六边形中，O为正三角的中心， ∴， ∵为正三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴图 1中，实线画出的6个三角形的面积都相等，为正六边形的， 在下图2中，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式5-1】已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于________． 【答案】6 【难度】0.65 【来源】4.3多边形和圆的初步认识（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024） 【知识点】多边形的概念与分类、多边形的周长 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 【变式5-2】学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为_______．    【答案】/ 【难度】0.85 【来源】福建省龙岩市新罗区多校2023—-2024学年上学期七年级数学期中测试卷 【知识点】多边形的周长、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质和求多边形的周长，直接利用平移的性质将原图形平移为矩形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，这个多边形的周长为， 故答案为：． 【变式5-3】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正多边形概念辨析 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 【模块六】多边形对角线的条数问题 【方法点拨】多边形的对角线数量计算： 总结规律：（下列式子中出现的n都是多边形的边数） 多边形一个顶点引出的对角线条数为： 条。 多边形所有对角线条数为： 条。 【例6】给出下列关于七边形的说法：①七边形有7条边；②七边形有7个内角；③七边形有7个顶点；④七边形有7条对角线．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.94 【来源】3 多边形和圆的初步认识 七年级数学上册（北师大2024）【江西铭文�支点】2025-2026学年七年级上学期同步练 【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题需要根据多边形的基本概念，对关于七边形的四个说法逐一进行判断，从而确定正确说法的个数． 【详解】说法①：根据多边形的定义，边形有条边，所以七边形有7条边，该说法正确； 说法②：边形有个内角，所以七边形有7个内角，该说法正确； 说法③：边形有个顶点，所以七边形有7个顶点，该说法正确； 说法④：边形对角线的条数公式为，对于七边形，，则对角线的条数为条，不是7条，该说法错误． 所以正确的说法有①②③，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的基本概念，掌握边形有条边、个内角、个顶点，对角线的条数公式为，据此判断关于七边形说法的正误是解题的关键． 【变式6-1】若正多边形的一个顶点出发有条对角线，则该正多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】2025年6月北京市三帆中学中考三模数学试卷 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形对角线的条数求法． 根据正多边形的一个顶点出发有15条对角线，列出方程求解． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴，解得：， 故选：D． 【变式6-2】若一个多边形的内角和比它的外角和的倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】内蒙古呼和浩特市第二十七中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形的内角和与外角和定理． 先求出多边形的边数，再求出这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得：， 所以这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是6， 故选：C． 【变式6-3】连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 【答案】C 【难度】0.85 【来源】四川省达州市（7 3）2025-2026学年七年级上学期第三次（11月）教学质量调研联考数学试卷 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据多边形从一个顶点引出的对角线数量为即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出八条对角线， ∴， ∴． 故选：C． 【模块七】对角线分成的三角形个数问题 【方法点拨】多边形一个顶点的对角线分多边形的成三角形的数量计算： 由下图总结：一个顶点的对角线分多边形成三角形的个数为：个。 【例7】把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n，则的值为（    ） A．7 B．4 C．12 D．1 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省南阳市唐河县2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题主要考查了多边形分对角线问题和多边形分三角形问题，过t边形的一个顶点的对角线条数为条，过t边形的一个顶点的对角线把多边形分割成个三角形，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵把六边形分割成三角形，至少可以分割成m个三角形，这时分割六边形的线段的条数为n， ∴， ， ∴． 故选：C． 【变式7-1】过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【难度】0.65 【来源】广东省揭阳市榕城区实验学校2025-2026学年上学期七年级第二次月考数学试题 【知识点】多边形对角线的条数问题、对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 【变式7-2】要使一个多边形具有稳定性，从该多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【难度】0.94 【来源】山东省滕州市滕东中学2024-2025学年七年级上学期第二次质量检测数学试卷 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，设多边形的边数为n，根据n边形从一个顶点出发画对角线，可分成个三角形进行计算． 【详解】解：设多边形的边数为n，则： ， 解得． 故选：C． 【变式7-3】探究与归纳： (1)如图①，经过点A可以作1条对角线；经过点B可以作 条对角线；经过点C可以作 条对角线；经过点D可以作 条对角线．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线． (2)运用（1）的分析方法，可得图②共有 条对角线，图③共有 条对角线． (3)对于n边形（），共有 （用含n的式子表示）条对角线． (4)对于n边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成 （用含n的式子表示）个三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【来源】【智】058 6.5 多边形 学习与评价 七年级数学上册（苏科版2024） 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）（2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据探索，可发现规律从而得到答案． 【详解】（1）解：根据公式 当 时为 通过以上分析和总结，图①共有条对角线． （2）解：运用（1）的分析方法，通过画图，可得图②共有条对角线，图③共有条对角线． （3）解：对于n边形（），从边形的一个顶点出发，可以作条对角线，因为有个顶点，且每条对角线重复计算了一次，所以共有条对角线． （4）解：如图，四边形经过一个顶点可以作条对角线，它把四边形分为个三角形； 五边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 六边形过一个顶点作条对角线，把这个多边形分为个三角形； 所以对于边形，从同一顶点出发的对角线把该多边形共分割成个三角形． 【模块八】多边形内角和的计算 【方法点拨】多边形的内角和计算： 由下图可知，多边形的内角和等于图中所有三角形的内角和之和。即： 特别提示：多边形的内角和一定是180的整数倍。多边形每增加一边，内角和增加180° 【例8】如图，在中，，沿虚线剪去，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】云南省怒江傈僳族自治州泸水市泸水市鲁掌中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和四边形内角和，掌握三角形内角和定理和四边形内角和是解题的关键．先根据三角形内角和求出的度数，再利用四边形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【变式8-1】九边形的内角和为（   ） A．1260° B．1440° C．1800° D．720° 【答案】A 【难度】0.94 【来源】甘肃省武威市天祝藏族自治县第三中学2025-2026学年上学期八年级第一次月考数学试卷 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和；根据多边形的内角和定理，n边形的内角和为. 【详解】解：∵n边形的内角和公式为， ∴九边形的内角和为. 故选：A. 【变式8-2】一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年人教版八年级数学上册第一次月考试卷 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和问题，利用多边形内角和公式求解，设边数为n，则，解方程即可． 【详解】解：∵ 多边形内角和公式为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 【变式8-3】综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【难度】0.85 【来源】广东省江门市台山市新宁中学2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、多边形内角和问题 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，多边形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （2）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （3）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （4）理解题意，根据前面三小问，进行分析总结，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 【模块九】复杂多边形的内角和 【方法点拨】考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【例9】如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】辽宁省抚顺市望花区2022-2023学年八年级上学期阶段练习（一）数学试题 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【变式9-1】如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【来源】海南省三亚市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式9-2】如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则_______． 【答案】68 【难度】0.85 【知识点】复杂图形的内角和、三角形的外角的定义及性质、利用邻补角互补求角度 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式9-3】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=__________． 【答案】（1）（2） 【难度】0.65 【来源】第二十二章 四边形【专项训练】-2020-2021学年八年级数学下学期期末专项复习 （沪教版） 【知识点】复杂图形的内角和 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【模块十】正多边形外角问题的计算 【方法点拨】 正确理解多边形的外角和的概念，掌握并灵活运用多边形的外角和 定理是解题关键 【例10】如图，小明从点O出发，前进15m后向右转，再前进15m后又向右转…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】浙江省台州市临海市东塍镇中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】正多边形的外角问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了多边形的外角和、一元一次方程的应用等知识点，发现小明所走路径为正多边形是解题的关键． 由题意可知，小明所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，根据正多边形外角和的性质列方程可得，然后再求所走的路程即可． 【详解】解：依题意可知，小明所走路径为正多边形， 设这个正多边形的边数为n， 则，解得：， ∴他第一次回到出发点O时一共走了：． 故选：D． 【变式10-1】一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数为 _____． 【答案】6 【难度】0.94 【来源】 广东省惠州市2024-2025学年八年级上学期期末数学模拟试卷 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形的外角和定理，即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于，每个外角为， ∴边数． 故答案为：6． 【变式10-2】如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】辽宁省沈阳市沈河区2024-2025学年 下学期八年级数学 期末试卷 【知识点】正多边形的内角问题、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故选：D． 【变式10-3】如图所示，一束平行光线照射在垂直放置于地面的正六边形上，已知正六边形的每个角均为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年六年级下学期期末考试数学试题 【知识点】角度的四则运算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、正多边形的外角问题 【分析】本题考查平行线的性质、多边形外角性质以及三角形内角和定理，根据正六边形得到，利用三角形内角和求出的度数，根据平行线的性质得出． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴其每个外角都相等， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【模块十一】多边形外角和的实际应用 【方法点拨】 正确理解多边形的外角和的概念，掌握并灵活运用多边形的外角和 定理是解题关键 【例11】如图，小明从点出发沿直线前进12米到达点，向左转后又沿直线前进12米到达点，再向左转后沿直线前进12米到达点，．．．，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为（    ） A．120米 B．96米 C．72米 D．48米 【答案】B 【难度】0.85 【来源】河南省南阳市新野县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学考试题 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键． 根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以12米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进12米后向左转45度， ∴他走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴他第一次回到出发点A时，一共走了米． 故选B． 【变式11-1】如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） A．外角和减少 B．外角和增加 C．周长变大 D．周长变小 【答案】D 【难度】0.85 【来源】2025年河北省唐山市古冶区中考数学三模试卷 【知识点】多边形外角和的实际应用、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形三边关系，多边形的外角和，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】解：将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∵五边形的外角和为：，六边形的外角和为：， 将五边形沿虚线裁去一个角，外角和不变， ∵， ∴周长变小． 故选：D． 【变式11-2】创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区南宁市青秀区第十四中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 【变式11-3】一个机器人在平地上按如下要求行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为多少米？（    ） A．9 B．12 C．24 D．45 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省新乡市辉县市2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形外角和是是解题的关键．根据多边形外角和是即可求出多边形的边数，再乘3即可得出答案． 【详解】解：， 即机器人从开始到停止围成的多边形为八边形， （米， 即该机器人从开始到停止所行走的路程为24米， 故选：C． 【模块十二】多边形的内角和外角的综合 【方法点拨】正确理解多边形的外角和的概念，掌握并灵活运用多边形的内角和公式与外角和 定理是解题关键 【例12】若一个多边形的内角和比它的外角和的倍大，则这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】内蒙古呼和浩特市第二十七中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，多边形对角线的条数问题，解题关键是掌握多边形的内角和与外角和定理． 先求出多边形的边数，再求出这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得：， 所以这个多边形从一个顶点出发可以作的对角线的条数是6， 故选：C． 【变式12-1】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.94 【来源】新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试卷 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 利用多边形外角和为的性质以及内角和公式建立方程求解即可． 【详解】设多边形的边数为， ∵ 多边形的外角和为，且内角和是外角和的倍， ∴ 内角和， 又∵ 内角和 ， ∴ ， 解得：， 即这个多边形的边数为． 故选：C． 【变式12-2】一个多边形的内角和比四边形的内角和多，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】5.4多边形的内角和与外角和（4大题型提分练）数学鲁教版五四制八年级上册 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题． 设多边形边数为n，利用多边形内角和公式列出方程，可求出边数，再根据外角和定理即可求外角． 【详解】解：设多边形边数为n， ∵ 四边形内角和为，多边形的内角和比四边形的内角和多， ∴ 多边形内角和为， ∴， 解得： ∴外角为． 故选：B 【变式12-3】第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是_________. 【答案】12 【难度】0.65 【来源】第二十二章 圆（下）（复习讲义）数学北京版九年级上册 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边形的外角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故答案为：12． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】多边形截角后的内角和问题 【例13】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（    ） A．5 B．5或6 C．6或7或8 D．7或8或9 【答案】C 【分析】利用多边形内角和公式：，得出截后的是几边形，分以下三种情况进行讨论：(1)不经过顶点，(2)经过一个顶点，(3)经过2个顶点，即可得出结果． 【详解】解：设截后的多边形为边形 解得： (1)顶点剪，则比原来边数多1 (2)过一个顶点剪，则和原来的边数相同 (3)过两个顶点剪，则比原来的边数少1 则原多边形的边数为6或7或8 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式，正确的掌握多边形的内角和公式以及分情况进行讨论是解题的关键． 【变式13-1】一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．7或8 B．8或9 C．7或9 D．7或8或9 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河南省周口市郸城县部分学校2024-2025学年七年级下学期质量检测三数学试卷 【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟练掌握一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1、可能减少1或不变是解题的关键．求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形． 则， 解得：， ∵一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， ∴原多边形的边数可能为7或8或9， 故选：D． 【变式13-2】一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是(      ) A．或 B． C．或 D．或或 【答案】D 【难度】0.94 【来源】重庆市黔江区2020-2021学年七年级下学期期末考试数学试题 【知识点】多边形截角后的内角和问题 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n﹣2）•180°＝2520°， 解得：n＝16， 则多边形的边数是15或16或17． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 【变式13-3】一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（  ） A．增加180° B．减少180° C．不变 D．以上三种情况都有可能 【答案】D 【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形， ∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 【微专题二】 多(少)算一个角问题 【例14】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为，则这个内角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】江苏省盐城市盐都区盐都区第一共同体 2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】本题考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是根据多边形内角和公式建立边数与内角度数的等式．设这个内角度数为，边数为，根据多边形内角和的公式建立等式，再根据多边形的一个内角一定大于，并且小于计算出边数，最后再根据边数和内角和计算出所求内角的值． 【详解】解：设这个内角度数为，边数为， 则， ， ∵为正整数，， ∴， ∴这个内角度数为． 故选：C． 【变式14-1】小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【难度】0.65 【来源】河北省保定市涿州市实验中学2023--2024学年八年级上学期第一次月考数学试题 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 【变式14-2】小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】湖南省永州市冷水滩区京华中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度． 【详解】解：设多边形的边数为，小红少加的这个角的度数是， 则有， 则， 因为， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为与一个正整数的积再减去一个小于的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【变式14-3】已知一个多边形剪去一个角后得到七边形，则这个多边形的边数不可能是（  ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【难度】0.85 【来源】河北省沧州市青县第二中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题 【知识点】多（少）算一个角问题 【分析】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数． 【详解】∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为6或7或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的定义，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变． 压轴突破·素养提升 【压轴一】平面镶嵌 【方法点拨】 【例15】如果只用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌整个平面的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【难度】0.85 【来源】陕西省西安市工业大学附属中学2024-2025学年下学期第二次月考八年级数学试题 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题考查一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除即可作出判断． 【详解】解：正三角形的每个内角是，能整除，能镶嵌整个平面； 正方形的每个内角是，能整除； 正五边形每个内角是，不能整除，不能镶嵌整个平面； 正六边形的每个内角是，能整除； 故选：C． 【变式15-1】将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题、正多边形的外角问题 【分析】本题考查了平面镶嵌及正多边形的知识，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件是解决本题的关键． 正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．求出第三块木板的内角即可解答． 【详解】解：正五边形每个内角是， 两块木板2个内角的和是， 所以第三块木板的一个内角是， 所以第三块木板的边数是． 故选C． 【变式15-2】用正多边形密铺地面，下列组合可行的是（   ） A．正三角形和正五边形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正十二边形 D．正方形和正六边形 【答案】B 【难度】0.65 【来源】河南省新乡市2024-2025学年七年级下学期6月期末考试数学试题 【知识点】二元一次方程的解、平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了平面镶嵌，正多边形的内角和问题，判断正多边形组合能否密铺，需满足每个顶点处各多边形内角之和为，计算各选项内角并验证是否存在整数解，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A.正三角形的每个内角为，正五边形的每个内角为，设顶点处有个三角形和个五边形，则，化简得，无正整数解，故不符合题意； B.正方形每个内角为，正八边形的每个内角为，设个正方形和个八边形，则，化简得，解得，，满足条件，符合题意； C.正六边形每个内角为，正十二边形的每个内角为，设个六边形和个十二边形，则，化简得，无正整数解，故不符合题意； D.正方形每个内角为，正六边形每个内角为，设个正方形和个六边形，则，化简得，无正整数解，故不符合题意； 故选：B． 【变式15-3】要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的m个正三角形的内角与n个正六边形的内角的和等于，则 ． 【答案】2或4 【难度】0.65 【来源】江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【知识点】二元一次方程的解、等边三角形的性质、平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 【变式15-4】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，在平面镶嵌中，要求在同一个拼接点处，这几个多边形的内角拼接后恰好组成一个周角（即）．若用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z，其中x、y、z均为正整数，则________． 【答案】 【难度】0.65 【来源】湖南省邵阳市洞口县2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷 【知识点】三元一次方程组的定义及解、平面镶嵌、正多边形的内角问题 【分析】本题考查的是平面镶嵌，三元一次方程的正整数解的应用，根据平面镶嵌可得，即，再求解正整数解即可得到答案. 【详解】解：∵用边长相等的正三角形、正方形和正六边形这三种平面图形进行镶嵌，在同一个拼接点处正三角形、正方形和正六边形的个数分别为x、y、z， ∴， ∴， ∴方程的正整数解：， ∴， 故答案为： 【变式15-5】综合与实践 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．比如，我们知道，若用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，如题图1． 【发现问题】（1）①如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着__________个正六边形的内角；②平面镶嵌的一个“奥秘”是：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于__________度； 【探究问题】（2）人们为了达到某种图案效果，往往会选择同时用多种不同的正多边形镶嵌平面．那么，是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？请通过计算加以说明； 【解决问题】（3）小明家浴室装修，在墙中央留下了如题图2所示的空白区域，经测量该区域完全可以按题图3所示的边长为的正三角形瓷砖镶嵌．小明经过市场调查后发现：一块边长为的正三角形瓷砖比一块边长为的正六边形瓷砖便宜45元；用600元购买正三角形瓷砖与用2400元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①正三角形瓷砖的单价为__________元，正六边形瓷砖的单价为__________元； ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为的正三角形瓷砖和边长为的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白区域全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要__________元． 【答案】（1）①3个；②360（2）用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌，见解析；（3）①15；60②当时，w取得最小值，且最小费用为元． 【难度】0.4 【来源】广东省佛山市南海区佛山市南海区桂城街道灯湖初级中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题 【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题、分式方程的经济问题 【分析】（1）①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为，用，解答即可； ②根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； （2）设用x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得，求的x，y的正整数解即可； （3）①设正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元，根据题意，得，解方程即可． ②根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为，设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元，根据题意，得，，故故，解答即可． 本题考查了镶嵌，分式方程，二元一次方程的整数解，一次函数的性质应用，熟练掌握解方程，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角，恰好是，正六边形的一个内角为， 用， 故答案为：3； ②解：根据题意，得拼接在同一个点的各个角的和恰好等于； 故答案为：360； （2）解：设x个正三角形和y个正六边形进行镶嵌，根据题意，得， ， 故， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故可以用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． （3）①解：正三角形瓷砖价格为x元，则正六边形瓷砖价格元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 故正三角形瓷砖价格为15元，则正六边形瓷砖价格60元． ②解：根据题意，一共需要瓷砖块，设一块正三角形瓷砖的面积为，则一块正六边形瓷砖的面积为，空白面积为， 设购买正三角形瓷砖块，则购买正六边形瓷砖块，总费用为w元， 根据题意，得，， 故 故， 故 由，得w随x的增大而增大， 根据题意，得用2个正三角形和2个正六边形镶嵌或4个正三角形和1个正六边形镶嵌． 故，此时， 故当时，w取得最小值，且最小值为， 故当时，w取得最小值，且最小费用为元． 【变式15-6】．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5） 【难度】0.4 【来源】山东省潍坊安丘市2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题 【知识点】平面镶嵌、多边形内角和问题、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，即得答案； （2）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （3）根据五边形的内角和等于，即可列方程，计算即得答案； （4）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （5）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）由题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想； 故选B． （2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺， 为整数， 当时，， 除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺； 故答案为：正六边形． （3）根据五边形的内角和可知， ，， ， 解得； （4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ， 正三角形和正六边形能密铺； 正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ， 正方形和正八边形能密铺； 故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一） 若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形： ， 正三角形，正方形和正六边形能密铺； ， 正方形，正六边形和正十二边形能密铺； 故答案为：①②④或②④⑦． （5）由题意可得， ． 故答案为：． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $