【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（20-17）

【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（20-17） 一．选择题（共10小题） 1．（2026•张家口一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且满足|F1B|＝3|F1A|，l⊥OA（O为坐标原点），∠F1BF2＝60°，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 2．（2026•荆州模拟）已知n∈N*，设函数的零点个数为an，则a1+a2+…+a10＝（　　） A．120 B．210 C．75 D．240 3．（2026•湖南模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D为AC边靠近C的三等分点，G为BC中点，过D作AC垂线交BC于点E，AG∩BD＝F，若，则（　　） A． B．4 C． D．8 4．（2026•襄阳模拟）已知数列{an}为等差数列，首项a1＝m（m为整数），公差d＝2，前n项和Sn＝700，则满足题意的n的所有取值的和为（　　） A．3720 B．4320 C．2940 D．1736 5．（2026•重庆模拟）若方程|lnx|＝kx的三个根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）成等比数列，则公比为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•河东区一模）如图所示，正方形ABCD内有一个动点E，AE⊥DE，，当A，E，F三点共线时，DE的延长线与BC交于点G，正方形边长为2，则的最小值为（　　） A．0 B． C． D．1 7．（2026•浦东新区校级模拟）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（　　） A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝Δ（Y），则b＝2 B．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若Δ（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x） C．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}则存在实数a，使得Δ（Y）＜1 D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ（X∪Y）≤3 8．（2021•济南模拟）椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（　　） A． B． C． D． 9．（2026•湖北模拟）已知曲线C：y＝a（ex﹣1）（x≥0），将C绕坐标原点逆时针旋转后所得的曲线是某个函数的图像，则正实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．（2024•辽阳二模）已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若直线PF1和OP的倾斜角分别为α和2α，且，则双曲线C的离心率为（　　） A．5 B． C．2 D． 二．多选题（共10小题） （多选）11．（2026•张家口一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（　　） A．若1≤|PF1|≤5，则椭圆C的离心率为 B．若b＝2，，则△PF1F2的面积为2 C．若a＝5，b＝3，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2内切圆的半径为 D．若∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则椭圆C的离心率为 （多选）12．（2026•荆州模拟）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，其中a∈R，则（　　） A．若函数f（x）有且仅有1个零点，则 B．若函数f（x）有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在a∈R，使函数f（x）存在唯一的极值点 D．若对∀x＞0，f（x）≥0恒成立，则 （多选）13．（2026•湖南模拟）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为E1，E2，P为双曲线上任意一点，则P处的切线平分∠E1PE2，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左、右焦点分别为F3，F4，过F2作直线l与双曲线B相切于点M，与椭圆相交于点N，且点M，N均位于第一象限，若|MF2|＝|F2F3|，则下列说法正确的是（　　） A．直线l的斜率为定值1 B．椭圆A的离心率为 C．双曲线B的离心率为 D．为定值 （多选）14．（2026•襄阳模拟）已知f（x）＝x3+ax2+cx+d，则下列结论正确的是（　　） A．y＝f（x）的对称中心为 B．若y＝f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则与y＝f（x）有3个交点 C．若f（1）＝2026，f（2）＝4052，则f（5）﹣f（﹣2）＝14266 D．若c＝0，d＝﹣（1﹣a）2，f（x）＝0有三个不等实根α，β，γ，且，则实数a的取值范围是 （多选）15．（2026•重庆模拟）已知点，动点P（x，y）满足，动点P（x，y）的轨迹为曲线C，H为直线l：x+y+1＝0上一动点，则下列说法正确的是（　　） A．若点D（2，1），则2|PD|+|PA|的最小值为 B．过H作C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 C．若点F（m，n）是C上一点，则2m+n的最大值为 D．若点F（m，n）是C上一点，则的最大值为 （多选）16．（2026•红塔区校级模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，，则下列结论正确的有（　　） A．当x∈[2，3]时， B．f（x）的图象在处的切线方程为 C．f（x）的图象与g（x）＝lg|x﹣1|的图象所有交点的横坐标之和为10 D．f（x）的图象与直线y＝x+b恰有一个公共点，则实数 （多选）17．（2026•湖北模拟）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623﹣1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项的和为218﹣53 （多选）18．（2026•石家庄校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（　　） A．方程（x2+y2）3＝16x2y2（xy＜0），表示的曲线在第二和第四象限 B．曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） （多选）19．（2026•日照一模）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．曲线y＝f2（x）关于直线对称 B． C． D．记fn（x）的最小值为an，则 （多选）20．（2026•洛阳模拟）将函数的图象向左平移后得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则（　　） A． B．函数y＝f（x）的图象关于点对称 C．函数y＝f（x）g（x）在上单调递增 D．函数y＝g（x）﹣f（x）﹣m在[0，π]上的所有零点之和为，则m的取值范围是 三．填空题（共10小题） 21．（2026•张家口一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记X为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则X的数学期望E（X）＝　 　 ． 22．（2026•荆州模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去．记这n个球的表面积和为Tn，若Tn＜M对n∈N*总成立，则M的最小值为　 　 ． 23．（2026•湖南模拟）函数的所有零点的和为　 　 ． 24．（2026•襄阳模拟）已知f（x）＝2sinx+3cosx，若f（x1）＝f（x2），且x1﹣x2≠2nπ（n∈Z），则sin（x1+x2）＝　 　 ． 25．（2026•重庆模拟）在△ABC中，P为边AB上一点，CP＝1，∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，AP＝λBP，∠CPB＝θ．当△ABC面积最小时，tanθ＝　 　 ． 26．（2026•河东区一模）已知二次函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，为奇函数，且f（﹣1）＝4．f（x）的解析式为　 　 ；若∀x∈[3，8]，，则实数m的取值范围是　 　 ． 27．（2026•浦东新区校级模拟）整数列{Un}，n≥0，U0＝1，对∀n≥1有Un+1Un﹣1＝kUn，k为固定正整数，求使U2024＝2024成立时，k的值为 　 　 ． 28．（2024•重庆模拟）已知实数a，b满足a2﹣ab+b2＝1，则ab的最大值为 　 　 ； 的取值范围为 　 　 ． 29．（2026•湖北模拟）已知点F1，F2在x轴上，其既是椭圆C1的焦点，也是双曲线C2的焦点．设椭圆C1和双曲线C2在第二象限的交点为P，点Q在第一象限的双曲线C2上，且，若C2为等轴双曲线，则椭圆C1的离心率为　 　 ． 30．（2026•石家庄校级模拟）现有n（n＞3，n∈N*）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k＝1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n﹣k个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则n＝　 　 ． 四．解答题（共10小题） 31．（2026•张家口一模）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线的距离为． （1）求抛物线E的方程． （2）点P为直线l上的一点，过点P作E的切线，切点分别为M，N． ①问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点P在抛物线E的准线上，切点M在第一象限内，存在过点P的直线与E相交于A，B两点，过点A作平行于PM的直线，分别与直线MN和直线MB交于点G，H，若|AG|＝λ|AH|，求λ的值． 32．（2026•荆州模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣sinx+1． （1）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程； （2）讨论f（x）在x∈（0，π）上的单调性； （3）f′（x）为f（x）的导数，若两个不相等的实数x1，x2∈（0，π）满足f′（x1）＝f′（x2），求证：f（x1）+f（x2）＞0． （参考公式） 33．（2026•湖南模拟）已知f（x）＝xex+aex﹣1． （1）若a≥0，证明：f（x）≥x+lnx恒成立． （2）令gn（x）＝f（x）﹣n，且∀n∈N*，gn（x）有唯一的正零点xn． （i）求a的取值范围； （ii）当a＝1时，证明：． 34．（2026•襄阳模拟）集合M＝{0，1，2，3，⋯，n}，，对T中的两个不同元素X＝（x0，x1，x2，…，xn）和Y＝（y0，y1，y2，…，yn）， 若存在一个函数f：M→M满足： ①f（f（x））＝x，∀x∈M ②yi＝f（xi），∀i∈{0，1，2，…，n} ③（xi+yi）∈{0，n，2n}，∀i∈{0，1，2，…，n} 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． （1）当n＝4时，若X＝（0，0，1，3，4），写出X对应的一个“友好元素”； （2）若X＝（x0，x1，x2，…，xn）和Y＝（y0，y1，y2，…，yn）是T中的一对“友好元素”，且满足max{x0，x1，…，xn}＝n，规定：随机变量ζ服从分布，当n＝6时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； （3）当n≥4时，若A＝（a0，a1，a2，…，an）∈T且满足max{a0，a1，a2，…，an}＝n，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有n﹣2个0． 35．（2026•重庆模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+1）lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a＝2，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各恰有一个零点，分别记为x1和x2． （i）证明：函数f（x）在两点（x1，0），（x2，0）处的切线平行； （ii）记曲线y＝f（x）在点（x1，0）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值． 36．（2026•河东区一模）已知函数f（x）＝（x+a）lnx（a＞0）． （Ⅰ）函数f（x）在定义域内无极值，求a的取值范围； （Ⅱ）函数g（x）＝f（x）x（a＞0），g（x）有三个不同的极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3； （i）求a的取值范围； （ii）证明：x1+x2+x3＞2a． 37．（2026•浦东新区校级模拟）已知函数． （1）当k＝1时，若对任意x∈[﹣1，1]不等式f（x）≥g（1）恒成立，求实数a的取值范围． （2）当f（x）＝0在有解，求实数k的取值范围． （3）当函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 38．（2025•菏泽二模）某选数游戏规则：给定n个不同数（参与者不知道具体数值但知道n的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前n﹣1个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这n个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败． 小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的n，前m﹣1个数均按N键跳过（1≤m≤n，m＝1表示直接选取第一次出现的数），从第m个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为Pm． （1）当n＝3时，写出P1，P2，P3的值； （2）当n＝2022时，求Pm，并证明当Pm最大时，m满足； （3）已知当n≥500时，（C＝0.5772…为欧拉常数）．在本次游戏中，如果n＝2022，Pm最大时，求m的估计值．（e≈2.7） 39．（2026•湖北模拟）如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为α，截面与圆锥的轴线的夹角为β，当β时，截线是圆；当α＜β时，截线是椭圆；当α＝β时，截线是抛物线；当α＞β时，截线为双曲线． 如图（2）所示，P为圆锥的顶点，O为底面圆心，AB为圆O的一条直径，且PA＝AB＝4，Q为弧AB的中点，点H满足，点E为线段PB的中点； （1）求直线PO与平面AHE所成角的大小； （2）平面AHE与圆锥PO的截线记为曲线G，在平面AHE内，以AE所在的直线为x轴（设以AE的方向为x轴正方向），以线段AE的中垂线为y轴（设以AE逆时针旋转90°后的方向为y轴正方向），建立平面直角坐标系． ①求出曲线G的标准方程； ②设S，T为曲线G上两动点，若∠SHT的平分线与x轴垂直，求证：直线ST的斜率是定值，并求出这个定值． 40．（2026•石家庄校级模拟）已知圆O：x2+y2＝1与x轴正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B，点C为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）若两条直线l1：y＝kx和分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值； （3）研究曲线Γ的对称性并证明Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标． 【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（20-17） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D B B D B D A 二．多选题（共10小题） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 ACD ABD ABD ACD ABD BCD BCD AC ACD BC 一．选择题（共10小题） 1．（2026•张家口一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且满足|F1B|＝3|F1A|，l⊥OA（O为坐标原点），∠F1BF2＝60°，则双曲线C的离心率为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解答】解：|因为F1B|＝3|F1A|，设|F1A|＝m，则|F1B|＝3m，F1（﹣c，0），F2（c，0）， 由双曲线的定义可得：|AF2|＝m+2a，|BF2|＝3m﹣2a，|AB|＝2m， 在△ABF2中，∠F1BF2＝60°， 所以由余弦定理得：， 化简得m＝2a，所以|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|BF2|＝4a，|AB|＝4a， 因为l⊥OA，所以， ， 由余弦定理得：， 所以，化简得c2＝7a2， 所以双曲线C的离心率． 故选：C． 2．（2026•荆州模拟）已知n∈N*，设函数的零点个数为an，则a1+a2+…+a10＝（　　） A．120 B．210 C．75 D．240 【答案】A 【解答】解：因为n∈N*，的零点个数为an， 所以与y＝log（4n﹣1）x的交点个数为an， 所以作出的图象， 当n＝1时，作出y＝log3x的图象， n＝2时，作出y＝log7x的图象， 因为log33＝1，故y＝log3x的图象与图象有3个交点； 注意到的周期为4，log4n﹣1（4n﹣1）＝1， n每增加1个单位，4n﹣1也增加4个单位（一个周期），则交点增加2个， 故数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以． 故选：A． 3．（2026•湖南模拟）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，D为AC边靠近C的三等分点，G为BC中点，过D作AC垂线交BC于点E，AG∩BD＝F，若，则（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【解答】解：由题意，D为AC边靠近C的三等分点，G为BC中点， 不妨设，由F，A，G三点共线，得λ+μ＝1， 设，则， 由D为AC边靠近C的三等分点， 得， 又不共线，则有， 即，解得， 即， 由DE⊥AC，∠BAC＝90°，得DE∥AB， 因，， 因此 ， 因， 所以． 故选：A． 4．（2026•襄阳模拟）已知数列{an}为等差数列，首项a1＝m（m为整数），公差d＝2，前n项和Sn＝700，则满足题意的n的所有取值的和为（　　） A．3720 B．4320 C．2940 D．1736 【答案】D 【解答】解：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝m（m为整数），公差d＝2， 所以， 所以n（m+n﹣1）＝700＝22×52×7， 所以n的取值为22×52×7的所有因数， 所以所求和为（1+2+22）×（1+5+52）×（1+7）＝1736． 故选：D． 5．（2026•重庆模拟）若方程|lnx|＝kx的三个根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）成等比数列，则公比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由|lnx|＝kx得x＞0，所以， 令，则． 方程|lnx|＝kx的根等价于直线y＝k与f（x）图象的交点的横坐标． 因为， 当0＜x＜e时，y′＞0，单调递增； 当x≥e时，y′≤0，单调递减，且为正． 又当x→0时，；当x→+∞时，． （*）， 因x1，x2，x3（0＜x1＜x2＜x3）成等比数列，可设， 所以，x3＝qx2， 代入（*）式得， 由得，即， 所以q（lnq﹣lnx2）＝lnx2，解得， 代入，可得， 整理得q2﹣2q﹣1＝0，解得或（舍）． 故选：B． 6．（2026•河东区一模）如图所示，正方形ABCD内有一个动点E，AE⊥DE，，当A，E，F三点共线时，DE的延长线与BC交于点G，正方形边长为2，则的最小值为（　　） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：正方形ABCD内有一个动点E，AE⊥DE，， 当A，E，F三点共线时，DE的延长线与BC交于点G，正方形边长为2， 以A为坐标原点，AB，AD所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则A（0，0），D（0，2），， 设E（x，y）（x＞0），则，， 因为AE⊥DE，所以， 所以点E的轨迹方程为x2+（y﹣1）2＝1（x＞0）， 直线AF方程为， 联立，解得或（舍去）， 所以当A，E，F三点共线时，， 此时直线DE方程为， 令x＝2，解得，所以， 设E（cosθ，1+sinθ），其中， 则，， 所以 ， 其中，， 所以当cos（θ﹣φ）＝1，即，时， 取得最小值，最小值为． 故选：B． 7．（2026•浦东新区校级模拟）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ（X）＝M﹣m．下列命题中正确的是（　　） A．已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝Δ（Y），则b＝2 B．已知X＝{x|f（x）≥g（x），x∈[﹣1，1]}，若Δ（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x） C．已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}则存在实数a，使得Δ（Y）＜1 D．已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ（X∪Y）≤3 【答案】D 【解答】解：对于A：已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝M﹣m＝Δ（Y）＝|b﹣0|，则b＝±2，故A错误； 对于B：由于△X＝2知：X＝[﹣1，1]，则f（1）≥g（1）且f（﹣1）≥g（﹣1）但是f（0）≥g（0）不一定成立，比如f（x）＝x2﹣1，g（x）＝0，故B错误； 对于C：由题意知：Y＝{y|y＝x2，a＜X＜a+2}，当a≤﹣2或a≥0时，|M﹣m|＝|f（a+2）﹣f（a）|＝|4a+4|≥4， 当﹣2＜x＜﹣1时，|f（a）﹣f（0）|＝a2＞1， 当﹣1≤x＜0时，|M﹣m|＝|f（a+2）﹣f（0）|＝a2+4a+4≥1，综上所述，△（Y）≥1，故C错误； 对于D：取b＝a，易知△（X∪Y）＝3，对于任意的实数a，总存在b使之成立，故D正确． 故选：D． 8．（2021•济南模拟）椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，P到两焦点的距离分别为m，n（m＞n＞0），焦距为2c， 由椭圆的定义可得m+n＝2a1，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a2， 解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2， 由余弦定理可得m2+n2﹣2mncos2θ＝4c2， 则（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos2θ＝4c2， 化为a12（1﹣cos2θ）+a22（1+cos2θ）＝2c2， 可得1， 由e1，e2， 可得1． 故选：B． 9．（2026•湖北模拟）已知曲线C：y＝a（ex﹣1）（x≥0），将C绕坐标原点逆时针旋转后所得的曲线是某个函数的图像，则正实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：易知曲线C：y＝a（ex﹣1）（x≥0）绕坐标原点逆时针旋转后所得函数为y＝f（x）， 则∀t∈R，函数y＝f（x）与直线x＝t至多有1个交点， 设直线x＝t上任意异于坐标原点的一点M（t，y0），设∠MOx＝θ，则， 设将点M绕坐标原点顺时针旋转后得M′（x，y）， 此时满足， 且，则， 即将直线x＝t顺时针方向旋转后，得， 且直线与函数y＝a（ex﹣1）（x≥0）至多只有一个交点， 即方程，t∈R，在[0，+∞）上至多只有一个解， 设， 即对于∀t∈R，曲线g（x）与直线y＝﹣2t在[0，+∞）至多一个交点， 则，x∈[0，+∞）， 由a＞0，可知，g′（x）在[0，+∞）上单调递增， 且，， 当时，g′（x）≥g′（0）≥0，即g（x）在[0，+∞）上单调递增， 此时曲线g（x）与直线y＝﹣2t在[0，+∞）至多一个交点，成立； 当时，， 即∃x0∈（0，+∞），使得g′（x0）＝0， 即g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 所以当﹣2t∈（g（x0），g（0））时，曲线g（x）与直线y＝﹣2t在[0，+∞）有两个交点，不成立． 综上所述，，即a的取值范围是[，+∞）． 故选：D． 10．（2024•辽阳二模）已知O为坐标原点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，P是双曲线C上一点，若直线PF1和OP的倾斜角分别为α和2α，且，则双曲线C的离心率为（　　） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：由题意得， 所以直线PF1的斜率为，直线OP的斜率为， 设P（x，y），则有，解得， 代入双曲线方程，得， 又b2＝c2﹣a2，所以， 化简可得：， 所以，解得e＝5或，舍）． 故选：A． 二．多选题（共10小题） （多选）11．（2026•张家口一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，则下列说法正确的是（　　） A．若1≤|PF1|≤5，则椭圆C的离心率为 B．若b＝2，，则△PF1F2的面积为2 C．若a＝5，b＝3，∠F1PF2＝60°，则△PF1F2内切圆的半径为 D．若∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，则椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【解答】解：对A：因为1≤|PF1|≤5，所以⇒， 此时椭圆C的离心率为，故A正确； 对B：因为，所以PF1⊥FP2，即， 所以，故B错误； 对C：因为， 由a＝5，b＝3，所以， 设△PF1F2内切圆半径为r， 则，故C正确； 对D：如图： 由∠PF1F2＝15°，∠PF2F1＝105°，可得∠F1PF2＝60°． 由正弦定理：， 所以，即， 又， 同理可得， 所以，故D正确． 故选：ACD． （多选）12．（2026•荆州模拟）已知函数f（x）＝ex﹣ax2，其中a∈R，则（　　） A．若函数f（x）有且仅有1个零点，则 B．若函数f（x）有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在a∈R，使函数f（x）存在唯一的极值点 D．若对∀x＞0，f（x）≥0恒成立，则 【答案】ABD 【解答】解：对于A选项，显然0不是函数的零点，当x≠0时，令ex﹣ax2＝0，变形为， 令，x≠0，则， 令得x＞2或x＜0，令g′（x）＜0得0＜x＜2， 所以g（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减， ，作出的图象，如下： 直线y＝a与其仅有一个公共点，则，因此A选项正确； 对于B选项，f′（x）＝ex﹣2ax，令h（x）＝f′（x）， 函数f（x）有且仅有2个极值点，故h（x）＝0有2个变号零点， 令h（x）＝0得ex﹣2ax＝0，显然0不是函数的零点， 当x≠0时，ex﹣2ax＝0变形为，令， 则，令q′（x）＞0得x＞1，令q′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1， 故在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， q（1）＝e，作出的图象，如下： 直线y＝2a与其交于两点，则2a∈（e，+∞），故，因此B选项正确； 对于C选项，结合B的分析，显然当a＜0时，h（x）有且仅有一个变号零点， 函数f（x）存在唯一的极值点，因此C选项错误； 对于D选项，f（x）≥0，即ex﹣ax2≥0，当x＝0时，1≥0满足要求， 当x≠0时，ex﹣ax2≥0，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，因此D选项正确． 故选：ABD． （多选）13．（2026•湖南模拟）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为E1，E2，P为双曲线上任意一点，则P处的切线平分∠E1PE2，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的左、右焦点分别为F3，F4，过F2作直线l与双曲线B相切于点M，与椭圆相交于点N，且点M，N均位于第一象限，若|MF2|＝|F2F3|，则下列说法正确的是（　　） A．直线l的斜率为定值1 B．椭圆A的离心率为 C．双曲线B的离心率为 D．为定值 【答案】ABD 【解答】解：设椭圆A的半焦距为c1，离心率为e1，双曲线B的半焦距为c2，离心率为e2， 设直线l为x＝my+c1（m＞0）， 联立x＝my+c1与，得， 由Δ＝0得m2＝1，又点M，N均位于第一象限，所以m＞0， 所以直线l的斜率为定值1，切点，故A选项正确； 如下图所示： 由双曲线光学性质知，直线l为∠F3MF4的平分线，由角平分线定理知， 设，则|MF3|＝λ（c2+c1），|MF4|＝λ（c2﹣c1）， 从而|MF3|﹣|MF4|＝2a，2a＝2λc1，椭圆A的离心率为， 由选项A知，又|MF2|＝|F2F3|，所以， 在△MF3F2中，由正弦定理知， 所以椭圆A的离心率为，故B选项正确； 因为， 所以，双曲线B的离心率为，故C选项错误； 切点，在椭圆的右准线上， 过点M作x轴的垂线，交x轴于点K，过点N作准线MK的垂线交准线于点H， 由椭圆第二定义知|NF2|＝e1|NH|，又， 故，故D选项正确． 故选：ABD． （多选）14．（2026•襄阳模拟）已知f（x）＝x3+ax2+cx+d，则下列结论正确的是（　　） A．y＝f（x）的对称中心为 B．若y＝f（x）存在两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则与y＝f（x）有3个交点 C．若f（1）＝2026，f（2）＝4052，则f（5）﹣f（﹣2）＝14266 D．若c＝0，d＝﹣（1﹣a）2，f（x）＝0有三个不等实根α，β，γ，且，则实数a的取值范围是 【答案】ACD 【解答】解：对于A，f′（x）＝3x2+2ax+c，f″（x）＝6x+2a＝0， 所以，y＝f（x）的对称中心为，A对； 对于B，设f（x）＝f（m）， 则， 得a＝﹣m﹣2x1， 又， 所以， 由x1是f（x）的极大值点，且f（x1）＝f（m）， 故与y＝f（x）有两个交点，B错； 对于C，由题意知，1和2是f（x）﹣2026x＝0的两根，设f（x）﹣2026x＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣k） 则f（5）﹣f（﹣2）＝2026×5+12×（5﹣k）﹣[2026×（﹣2）+12（﹣2﹣k）]＝14266，C 正确； 对于D，f（x）＝x3+ax2+cx+d＝x3+ax2﹣（1﹣a）2＝（x﹣α）（x﹣β）（x﹣γ）， 而（x﹣α）（x﹣β）（x﹣γ）＝x3﹣（α+β+γ）x2+（αβ+αγ+βγ）x﹣αβγ， 所以：， ， 解得， 又有f（x）＝x3+ax2﹣（1﹣a）2三个不等实根，所以极大值大于0，极小值小于0， 所以，a＞0， f（x）在为增函数，在为减函数，在（0，+∞）为增函数，则， 解得，，且a≠3，即a的范围为，D对． 故选：ACD． （多选）15．（2026•重庆模拟）已知点，动点P（x，y）满足，动点P（x，y）的轨迹为曲线C，H为直线l：x+y+1＝0上一动点，则下列说法正确的是（　　） A．若点D（2，1），则2|PD|+|PA|的最小值为 B．过H作C的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 C．若点F（m，n）是C上一点，则2m+n的最大值为 D．若点F（m，n）是C上一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解答】解：因为点，动点P（x，y）满足， 所以， 所以整理得（x﹣1）2+y2＝1，因此曲线C是以点C（1，0）为圆心，1为半径的圆， 所以针对各个选项分析如下： 对于A，， 当且仅当P是线段BD与圆C的交点时取等号，A正确； 对于B，由H为直线l：x+y+1＝0上一点，设点H（x0，﹣1﹣x0），以线段CH为直径的圆 （x﹣1）（x﹣x0）+y（y+1+x0）＝0，即x2+y2﹣（x0+1）x+（x0+1）y+x0＝0， 因此直线MN的方程为（﹣x+y+1）x0+x+y＝0， 令，可得直线MN过定点，B正确； 对于C，由点F（m，n）是C上一点，令m＝1+cosθ，n＝sinθ，θ∈[0，2π）， 因此，其中锐角φ由tanφ＝2确定， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 表示圆C上点F（m，n）到点A（﹣1，0）的距离， 取E（0，1），，， 则 ， 当直线AF与圆C相切于第一象限内的点F时， 最小，最大， 而AC＝2，FC＝1，CF⊥AF，则，， ， 因此，D正确． 故选：ABD． （多选）16．（2026•红塔区校级模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时，，则下列结论正确的有（　　） A．当x∈[2，3]时， B．f（x）的图象在处的切线方程为 C．f（x）的图象与g（x）＝lg|x﹣1|的图象所有交点的横坐标之和为10 D．f（x）的图象与直线y＝x+b恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解答】解：由函数f（x）为R上的奇函数，所以f（﹣x）＝f（x），由f（2+x）＝f（﹣x）， 所以函数f（x）关于x＝1对称，且f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（4+x）＝f（x）， 所以4为函数f（x）的一个周期． 对A，x∈[2，3]，则x﹣2∈[0，1]，f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（x），所以f（x）＝﹣f（x﹣2）， 由当x∈[0，1]时，，所以，错误； 对B，由A可知：当x∈[2，3]时，，所以当x∈[﹣3，﹣2]时，， 所以当x∈[1，2]时，x﹣4∈[﹣3，﹣2]，则， ，， ，所以函数f（x）的图象在x处的切线方程为y， 即，正确； 对C，作出函数y＝f（x）与g（x）＝lg|x﹣1]图象， 函数g（x）＝lg|x﹣1|图象关于x＝1对称，当x＞1时，图象共有5个交点， 由f（x）为奇函数，所以当x＜1时，图象也有5个交点， 所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当x∈[﹣1，0]时，； 当x∈[4，5]时，， 当为图中l1情况，，， 令，， 所以切点为， 所以， 当为图中l2情况，f（x）， 令，， 所以切点为，所以； 所以函数f（x）的图象与直线y＝x+b恰有一个公共点， 则实数，正确． 故选：BCD． （多选）17．（2026•湖北模拟）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n行的第r个数可以表示为时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623﹣1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（　　） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列前135项的和为218﹣53 【答案】BCD 【解答】解：根据杨辉三角的性质，可知第2026行共有2027个数，故A错误； 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 ⋯，故B正确； 第48行的所有数字之和为 ＝248＝816＝（1+7）16 ， 根据能被7整除，可知第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故C正确， 第n行的所有数字之和为， 当n≥1时，第n行中去除为1的项的和为2n﹣2， 所以前n行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为218﹣36， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的数的个数为0，1，2，3，4，…， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，故前n行共有个数， 当n＝17时，，即前17行中，去掉为1的项，共有136项， 且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 所以此数列的前135项的和为218﹣36﹣17＝218﹣53，故D正确． 故选：BCD． （多选）18．（2026•石家庄校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（　　） A．方程（x2+y2）3＝16x2y2（xy＜0），表示的曲线在第二和第四象限 B．曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AC 【解答】解：A项：因为xy＜0，所以x、y异号，在第二和第四象限，故A正确； C项：因为 x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立， 所以xy，（x2+y2）3＝16x2y2≤164（x2+y2）， 即x2+y2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确； B项：由C可知，曲线上任意一点到原点的距离都不大于2， 又以O为圆心，2为半径的圆O的面积为4π，显然曲线C构成的四叶玫瑰线面积小于圆O的面积，故B错误； D项：可以先讨论第一象限内的图像上是否有整点，因为曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2， 将（0，0）、（2，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1）、（0，2）代入曲线C的方程中，通过验证可知，仅有点（0，0）在曲线C上，故结合曲线C的对称性可知，曲线C仅经过整点（0.0），故D错误． 故选：AC． （多选）19．（2026•日照一模）对于函数，下列说法正确的是（　　） A．曲线y＝f2（x）关于直线对称 B． C． D．记fn（x）的最小值为an，则 【答案】ACD 【解答】解：对于A：由已知 ， 令4x＝kπ，k∈Z，则，k∈Z， 当k＝1时，，即曲线y＝f2（x）关于直线对称，因此A正确； 对于B： ， 所以由cos4x∈[﹣1，1]，得，因此B错误； 对于C：当n≥2时， ＝sin2nx（1﹣sin2x）+cos2nx（1﹣cos2x）＝sin2nxcos2x+cos2nxsin2x ＝sin2xcos2x（sin2（n﹣1）x+cos2（n﹣1）x）， 又fn（x）＞0恒成立，即fn﹣1（x）＞0，且sin22x∈[0，1]， 则，因此C正确； 对于D：n＝1时，f1（x）＝1的最小值为a1＝1， n≥2时，设t＝sin2x，则cos2x＝1﹣t，t∈[0，1]， 则g（t）＝tn+（1﹣t）n，g′（t）＝ntn﹣1﹣n（1﹣t）n﹣1＝n[tn﹣1﹣（1﹣t）n﹣1]， 又，易知函数在t∈[0，1]上单调递减， 且当时，y＝1， 即当时，，t＜1﹣t，即tn﹣1＜（1﹣t）n﹣1，g′（t）＝n[tn﹣1﹣（1﹣t）n﹣1]＜0； 当时，，t＞1﹣t，即tn﹣1＞（1﹣t）n﹣1，g′（t）＝n[tn﹣1﹣（1﹣t）n﹣1]＞0； 即函数g（t）在上单调递减，在上单调递增， 所以函数，即， n＝1时也符合上式，所以， 令h（x）＝ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，， 所以h（x）在x∈（0，1]上单调递减，且h（x）＜h（0）＝0， 所以ln（1+x）＜x， 所以，因此D正确． 故答案为：ACD． （多选）20．（2026•洛阳模拟）将函数的图象向左平移后得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则（　　） A． B．函数y＝f（x）的图象关于点对称 C．函数y＝f（x）g（x）在上单调递增 D．函数y＝g（x）﹣f（x）﹣m在[0，π]上的所有零点之和为，则m的取值范围是 【答案】BC 【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移后得到函数y＝g（x）的图象，所以g（x）＝sin[2（x）+φ]＝sin（2xφ）， 又因为g（x）是偶函数，所以g（0）＝sin（φ）＝±1，得φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z， 由0＜φ，得k＝0，φ，选项A错误； 因为f（x）＝sin（2x），所以f（）＝sin（2）＝sinπ＝0， 所以y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，选项B正确； 因为g（x）＝sin（2x）＝sin（2x）＝cos2x， 所以y＝f（x）g（x）＝sin（2x）cos2xsin2xcos2xcos2x sin4x（1+cos4x）（sin4xcos4x）sin（4x）， 因为x∈[，]，所以4x∈[，]，y＝sin（4x）在[，]上单调递增，选项C正确； 因为y＝g（x）﹣f（x）＝cos2x﹣sin（2x）cos2xsin2x＝cos（2x）， 所以y＝g（x）﹣f（x）﹣m在[0，π]上的零点，转化为y＝cos（2x）与y＝m图象在[0，π]上的交点的横坐标， 令t＝2x，x∈[0，π]，则t∈[，]，所以函数y＝cost在有两条对称轴t＝π和t＝2π，如图： 当时，y＝cost与y＝m有两个交点，且关于t＝π对称， 即t1+t2＝2×π，所以，得． 当时，y＝cost与y＝m有3个交点，， ，所以，得． 所以y＝g（x）﹣f（x）﹣m在[0，π]上的所有零点之和为，则﹣1＜m，选项D错误． 故选：BC． 三．填空题（共10小题） 21．（2026•张家口一模）已知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记X为抽到数字2，0，6的次数的最大值，则X的数学期望E（X）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2，0，2，6，每次随机抽取1个球， 又每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取， 所以每次抽取2的概率为，抽取0的概率为，抽取6的概率为， 所以X可取2，3，4， 当X＝2时，4次中2，0，6有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元素出现两次，其余两个元素各出现一次， 故， 当X＝4时，4次中2，0，6有一个元素抽到4次，故， 故， 故X的分布列如下： X 2 3 4 P 故． 故答案为：． 22．（2026•荆州模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去．记这n个球的表面积和为Tn，若Tn＜M对n∈N*总成立，则M的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过棱AA1，CC1作正方体的截面， 由对称性知，这些球的球心都在线段AC1上，与底面ABCD的切点都在线段AC上， 设第i（i＝1，2，…）个球的球心为Oi，半径为ri，与底面ABCD切于Qi， 作O2P⊥O1Q1于P，因为△O1O2P∽△O1AQ1，所以， 所以，即，所以， 同理可得，对于任意i∈N+，， 又因为r1＝1，所以，其表面积， 所以， 注意到当n→+∞时，， 此时，且， 所以M的最小值为． 故答案为：． 23．（2026•湖南模拟）函数的所有零点的和为　﹣4　 ． 【答案】﹣4． 【解答】解：令， 则 ， 所以g（x）＝g（﹣2﹣x）， 即g（x）的图象关于直线x＝﹣1对称， 当x≥1时，， 因为函数y，y在[1，+∞）上单调递增， 所以g（x）在[1，+∞）上单调递增， 当﹣1≤x≤1时，， 则， 所以g（x）在[﹣1，1]上单调递减， 结合g（x）的图象关于直线x＝﹣1对称可得： g（x）在（﹣∞，﹣3]上单调递减，在（﹣3，﹣1]上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 又， 且当x趋于+∞时，g（x）趋于+∞，当x趋于﹣∞时，g（x）趋于+∞， 所以与有4个交点，且关于x＝﹣1对称， 故有4个零点，且关于x＝﹣1对称， 则所有零点的和为﹣4． 故答案为：﹣4． 24．（2026•襄阳模拟）已知f（x）＝2sinx+3cosx，若f（x1）＝f（x2），且x1﹣x2≠2nπ（n∈Z），则sin（x1+x2）＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵2sinx1+3cosx1＝2sinx2+3cosx2， ∴2（sinx1﹣sinx2）＝3（cosx2﹣cosx1）， ∴， 由于x1﹣x2≠2nπ（n∈Z）， 故， 则， ∴， ∴sin（x1+x2） ． 故答案为：． 25．（2026•重庆模拟）在△ABC中，P为边AB上一点，CP＝1，∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，AP＝λBP，∠CPB＝θ．当△ABC面积最小时，tanθ＝　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：CP＝1，∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，AP＝λBP，∠CPB＝θ． 可得，， 所以， 在△ACP中，由正弦定理得，，CP＝1， 即， 在△BCP中，由正弦定理得，，即， 因此S△ABC（）（）， 设， 可得S△ABC（）•， 由二次函数性质可知，， 当时，f（m）取最大值，且最大值为正， 即当，S△ABC取到最小值，此时tanθ1． 故答案为：1． 26．（2026•河东区一模）已知二次函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，为奇函数，且f（﹣1）＝4．f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x+1　 ；若∀x∈[3，8]，，则实数m的取值范围是　　 ． 【答案】f（x）＝x2﹣2x+1；． 【解答】解：根据题意，对于第一空：设二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）， 函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，则f（x）的对称轴为x＝1，则有1，变形可得b＝﹣2a， 而 因为g（x）是奇函数，所以g（﹣x）＝﹣g（x），即 化简得b+2＝﹣（b+2），即b＝﹣2， 又2a+b＝0，所以a＝1，所以f（x）＝x2﹣2x+c， 又f（﹣1）＝4，所以1+2+c＝4，解得c＝1， 所以f（x）＝x2﹣2x+1，， 对于第二空：令t＝log3x，t∈[1，log38]， 则可化为：，t＞0， 两边除以t，可得， 令，则，设， 对称轴为，，故最大值为 若，恒成立，则m≥h（u）max，故m的取值范围是． 故答案为：f（x）＝x2﹣2x+1；． 27．（2026•浦东新区校级模拟）整数列{Un}，n≥0，U0＝1，对∀n≥1有Un+1Un﹣1＝kUn，k为固定正整数，求使U2024＝2024成立时，k的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：①设U1＝0，则U2＝0， 若Ut﹣1＝0，则由kUt＝Ut+1Ut﹣1，可得Ut＝0， 故对任意正整数n，Un＝0，这与U2024＝2024矛盾，所以U1≠0； ②设U1＝m（m≠0），则U2＝km，，，，U6＝1，U7＝m， 因此整个数列{Un}是以6为周期的循环数列． 因此U2024＝U6×337+2＝U2＝km＝2024， 设是整数（k，m都是正整数），则024＝m2t＝23•11•23， 因此m只可能是1或2，对应的k也只有2个，即2024与1012． 故答案为：2． 28．（2024•重庆模拟）已知实数a，b满足a2﹣ab+b2＝1，则ab的最大值为 　1　 ； 的取值范围为 　[1，]　 ． 【答案】1； ． 【解答】解：由题意a2﹣ab+b2＝1≥2ab﹣ab＝ab，等号成立当且仅当a＝b＝±1，即ab的最大值为1； 由题意， 因为，所以设， 所以， 所以， 所以， 令，所以， 又， 所以， 所以． 故答案为：1；． 29．（2026•湖北模拟）已知点F1，F2在x轴上，其既是椭圆C1的焦点，也是双曲线C2的焦点．设椭圆C1和双曲线C2在第二象限的交点为P，点Q在第一象限的双曲线C2上，且，若C2为等轴双曲线，则椭圆C1的离心率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由点F1，F2在x轴上，其既是椭圆C1的焦点，也是双曲线C2的焦点， 设椭圆的长半轴长为a′，半焦距为c，双曲线的实半轴长为a，半焦距也为c， 双曲线的离心率为，则， 延长PF1交双曲线于点T， 因为，由双曲线的对称性得|TF1|＝4|F1P|． 设|PF1|＝m，则|TF1|＝4m，由双曲线的定义得|PF2|＝m+2a，|TF2|＝4m+2a， 由cos∠PF1F2+cos∠TF1F2＝0， 知，结合， 化简得，即，， 由P点在椭圆上，可得|PF1|+|PF2|＝2a′，即，则， 结合，可得椭圆离心率为． 故答案为：． 30．（2026•石家庄校级模拟）现有n（n＞3，n∈N*）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k＝1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n﹣k个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则n＝　9　 ． 【答案】9． 【解答】解：根据题意，设取到第k个袋子为事件Ak，第四次取出的球为白球为事件B， 则P（Ak），P（B|Ak）， 故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+……+P（An）P（B|An）， 变形可得：n＝9． 故答案为：9． 四．解答题（共10小题） 31．（2026•张家口一模）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线的距离为． （1）求抛物线E的方程． （2）点P为直线l上的一点，过点P作E的切线，切点分别为M，N． ①问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． ②若点P在抛物线E的准线上，切点M在第一象限内，存在过点P的直线与E相交于A，B两点，过点A作平行于PM的直线，分别与直线MN和直线MB交于点G，H，若|AG|＝λ|AH|，求λ的值． 【答案】（1）y2＝4x； （2）①；②． 【解答】解：（1）由题意可得， 故焦点F到直线的距离， 因此，解得p＝2或p＝﹣9（舍去）， 因此抛物线E的方程为y2＝4x； （2）设抛物线y2＝2px在点（x0，y0）的切线方程为y﹣y0＝k（x﹣x0）， 切线与抛物线联立方程组，得， 则， 化简可得，因此， 因为点（x0，y0）在抛物线y2＝2px上，则，因此， 因此切线方程为，即2yx0＝y0（x+x0）， 将代入化简可得yy0＝p（x+x0）， 因此抛物线y2＝2px在点（x0，y0）的切线方程为yy0＝p（x+x0）； ①设M（x1，y1），N（x2，y2），因为抛物线y2＝4x， 因此点M处的切线方程为y1y＝2（x+x1），点N处的切线为y2y＝2（x+x2）， 设点，由题意可得，点P在直线y1y＝2（x+x1）和直线y2y＝2（x+x2）上， 因此， 因此直线过点M，N， 因此直线MN的方程为，故， 令，解得， 因此直线MN过定点； ②由题意可得，直线MN的方程为3y＝4x﹣4，联立y2＝4x，解得M（4，4），因此， 设A（x3，y3），B（x4，y4），直线AG的方程为， 联立方程，解得， 设直线MB的方程为x﹣4＝a（y﹣4）， 因此， 因此直线MB的方程为， 联立方程，解得， 设直线AB的方程为， 联立方程，消去x可得y2﹣4my+6m+4＝0， 由韦达定理可得，， 整理可得， 因此 ， 因此，即． 32．（2026•荆州模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣sinx+1． （1）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程； （2）讨论f（x）在x∈（0，π）上的单调性； （3）f′（x）为f（x）的导数，若两个不相等的实数x1，x2∈（0，π）满足f′（x1）＝f′（x2），求证：f（x1）+f（x2）＞0． （参考公式） 【答案】（1）； （2）f（x）在x∈（0，n）上单调递增． （3）证明：由题意可得， 不妨设π＞x1＞x2＞0，则， 先证明当时，有sinx＜x， 设φ（x）＝sinx﹣x，则φ'（x）＝cosx﹣1≤0， 所以φ（x）在单调递减，φ（x）＜φ（0）＝0，即当，有sinx＜x， 于是有 ， 所以x1x2＞1，故有f（x1）+f（x2）＝ln（x1x2）﹣sinx1﹣sinx2+2＞0． 【解答】（1）解：求导可得， 则，又f（）＝ln， 所以所求切线方程为，即； （2）解：求导可得， （a）当时，cosx＜0，则f′（x）＞0，f（x）在单调递增； （b）当x∈（0，1）时，，则f′（x）＞0，f（x）在x∈（0，1）单调递增； （c）当时，设，可知在上单调递增， ， 则存在使得F'（x0）＝0满足， 则x∈（1，x0），F'（x0）＜0，F（x）单调递减，，F'（x0）＞0，F（x）单调递增， 所以， 所以，则f'（x）＞0，f（x）在单调递增． 综上所述：f（x）在x∈（0，n）上单调递增． （3）证明：由题意可得， 不妨设π＞x1＞x2＞0，则， 先证明当时，有sinx＜x， 设φ（x）＝sinx﹣x，则φ'（x）＝cosx﹣1≤0， 所以φ（x）在单调递减，φ（x）＜φ（0）＝0，即当，有sinx＜x， 于是有 ， 所以x1x2＞1，故有f（x1）+f（x2）＝ln（x1x2）﹣sinx1﹣sinx2+2＞0． 33．（2026•湖南模拟）已知f（x）＝xex+aex﹣1． （1）若a≥0，证明：f（x）≥x+lnx恒成立． （2）令gn（x）＝f（x）﹣n，且∀n∈N*，gn（x）有唯一的正零点xn． （i）求a的取值范围； （ii）当a＝1时，证明：． 【答案】（1）证明：令h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1， 当x≤0时，h′（x）≤0，当x≥0时，h′（x）≥0， 所以h（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增， 所以有h（x）≥h（0）＝0，即ex≥x+1， 当a≥0时，f（x）﹣（x+lnx）＝ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1+aex≥aex≥0恒成立． （2）（i）（﹣∞，2）． （ii）证明：由题意可知，也即ln（xn+1）+xn＝ln（n+1）， 由（1）知ex≥x+1，则x＝elnx≥lnx+1，即x﹣1≥lnx，且x＝lnex≥ln（x+1）， 因此有ln（n+1）＝ln（xn+1）+xn≥2ln（xn+1）， 即，也即，可得， 所以有， 故， 又因为x﹣1≥lnx，所以有， 根据题意有ln（xn+1）+xn＝ln（n+1）， 从而有， 即，可得，进一步得， 又，所以，所以，故， 所以， 由x﹣1≥lnx可得，也即， 令得，进一步得， 所以， 故， 综上有． 【解答】解：（1）证明：令h（x）＝ex﹣x﹣1，则h′（x）＝ex﹣1， 当x≤0时，h′（x）≤0，当x≥0时，h′（x）≥0， 所以h（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增， 所以有h（x）≥h（0）＝0，即ex≥x+1， 当a≥0时，f（x）﹣（x+lnx）＝ex+lnx﹣（x+lnx）﹣1+aex≥aex≥0恒成立． （2）（i）由题意有有唯一的正零点xn， 因为， 所以gn（x）在（﹣∞，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增， 当x＜﹣a﹣1时，gn（x）＜0；，gn（﹣a）＝﹣（n+1）＜0， 当x→+∞时，gn（x）→+∞， 由零点存在性定理可知，gn（x）在（﹣a，+∞）有唯一零点xn， 当a≤0时，﹣a≥0，则xn＞0满足题意； 当a＞0时，要保证xn＞0，则只要gn（0）＝a﹣n﹣1＜0， 即a＜n+1，n∈N*恒成立，所以0＜a＜2， 综合可得a＜2，即a的取值范围是（﹣∞，2）． （ii）证明：由题意可知，也即ln（xn+1）+xn＝ln（n+1）， 由（1）知ex≥x+1，则x＝elnx≥lnx+1，即x﹣1≥lnx，且x＝lnex≥ln（x+1）， 因此有ln（n+1）＝ln（xn+1）+xn≥2ln（xn+1）， 即，也即，可得， 所以有， 故， 又因为x﹣1≥lnx，所以有， 根据题意有ln（xn+1）+xn＝ln（n+1）， 从而有， 即，可得，进一步得， 又，所以，所以，故， 所以， 由x﹣1≥lnx可得，也即， 令得，进一步得， 所以， 故， 综上有． 34．（2026•襄阳模拟）集合M＝{0，1，2，3，⋯，n}，，对T中的两个不同元素X＝（x0，x1，x2，…，xn）和Y＝（y0，y1，y2，…，yn）， 若存在一个函数f：M→M满足： ①f（f（x））＝x，∀x∈M ②yi＝f（xi），∀i∈{0，1，2，…，n} ③（xi+yi）∈{0，n，2n}，∀i∈{0，1，2，…，n} 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． （1）当n＝4时，若X＝（0，0，1，3，4），写出X对应的一个“友好元素”； （2）若X＝（x0，x1，x2，…，xn）和Y＝（y0，y1，y2，…，yn）是T中的一对“友好元素”，且满足max{x0，x1，…，xn}＝n，规定：随机变量ζ服从分布，当n＝6时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； （3）当n≥4时，若A＝（a0，a1，a2，…，an）∈T且满足max{a0，a1，a2，…，an}＝n，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有n﹣2个0． 【答案】（1）Y＝（0，0，3，1，4）； （2）ξ的分布列为： ζ 0 2 4 6 p 0 X＝（0，0，0，0，2，4，6），Y＝（0，0，0，0，4，2，6）； （3）证明：当n≥4时，若A＝（a0，a1，a2，…，an）∈T且满足max{a0，a1，…，an}＝n，不妨令a0＝n， ①由于a0+a1+a2+…+an＝2n，所以a1＝2，a2，…，an不可能都是0． ②若A中有n﹣1个0，不妨设a1≠0，a2＝…＝an＝0，则a1＝n，此时A＝（n，n，0，0，…，0）， 根据题意ai+bi∈{0，n，2n}，则B＝（n，n，0，0，…，0），B＝（0，0，n，n，…，n）， 但是当B＝（n，n，0，0，…，0）时与A≠B矛盾，所以不成立； 当B＝（0，0，n，n，…，n）时，b0+b1+b2+b3+…+bn＝0+0+n+n+…+n＝（n﹣1）n＞2n（n≥4）， 与矛盾． 所以A中不可能有n﹣1个0． ③若A中有n﹣2个0，不妨设a1≠0，a2≠0，则A＝（n，a1，a2，0，0，…，0），其中a1+a2＝n， 则存在函数f使得： f（n）＝n，f（a1）＝n﹣a1，f（a2）＝n﹣a2，f（n﹣a1）＝a1，f（n﹣a2）＝a2，f（0）＝0， 即存在B＝（n，n﹣a1，n﹣a2，0，0，…，0）使得A与B是T中的友好元素． ④若A中0的个数小于等于n﹣3个，不妨设A＝（n，a1，a2，a3，a4，…，an）， 其中a1≠0，a2≠0，a3≠0，a4，a5，…，an≥0，则a1+a2+a3≤n． 假设存在B，则有两种可能： 第一种：B＝（n，n﹣a1，n﹣a2，n﹣a3，f（a4），…，f（an）），其中若aj≠0，（j＝4，5，…，n）， 则f（aj）＝n﹣aj；若aj＝0，（j＝4，5，…，n），则f（aj）＝0，此时， b0+b1+b2+…+bn≥n+n﹣a1+n﹣a2+n﹣a3＝4n﹣（a1+a2+a3）≥4n﹣n＝3n， 不符合题意； 第二种：B＝（0，n﹣a1，n﹣a2，n﹣a3，n﹣a4，…，n﹣an）， 则b0+b1+b2+…+bn≥0+n﹣a1+n﹣a2+…+n﹣an ． 即这两种情况都有，矛盾． 综上可知，当n≥4时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有n﹣2个0． 【解答】解：（1）当n＝4时，由X＝（0，0，1，3，4），需构造Y＝（y0，y1，y2，y3，y4）满足： ①f（f（x））＝x，∀x∈M， ②yi＝f（xi）， ③xi+yi∈{0，4，8}，∀i∈{0，1，2，3，4}， 设f（0）＝0，f（1）＝3，f（2）＝2，f（3）＝1，f（4）＝4，则f（x）满足①②③， 此时Y＝（0，0，3，1，4）；故Y＝（0，0，3，1，4）满足题意． （2）取X＝（0，0，0，0，2，4，6），Y＝（0，0，0，0，4，2，6）满足xi+yi∈{0，6，12}且满足： f（0）＝0，f（1）＝5，f（2）＝4，f（4）＝2，f（3）＝3，f（5）＝1，f（6）＝6， ξ的分布列为： ζ 0 2 4 6 p 0 ， 所以X＝（0，0，0，0，2，4，6），Y＝（0，0，0，0，4，2，6）． （其他合理答案，同样给分，如：X＝（0，0，0，2，4，6，0），Y＝（0，0，0，4，2，6，0）等）． （3）证明：当n≥4时，若A＝（a0，a1，a2，…，an）∈T且满足max{a0，a1，…，an}＝n，不妨令a0＝n， ①由于a0+a1+a2+…+an＝2n，所以a1＝2，a2，…，an不可能都是0． ②若A中有n﹣1个0，不妨设a1≠0，a2＝…＝an＝0，则a1＝n，此时A＝（n，n，0，0，…，0）， 根据题意ai+bi∈{0，n，2n}，则B＝（n，n，0，0，…，0），B＝（0，0，n，n，…，n）， 但是当B＝（n，n，0，0，…，0）时与A≠B矛盾，所以不成立； 当B＝（0，0，n，n，…，n）时，b0+b1+b2+b3+…+bn＝0+0+n+n+…+n＝（n﹣1）n＞2n（n≥4）， 与矛盾． 所以A中不可能有n﹣1个0． ③若A中有n﹣2个0，不妨设a1≠0，a2≠0，则A＝（n，a1，a2，0，0，…，0），其中a1+a2＝n， 则存在函数f使得： f（n）＝n，f（a1）＝n﹣a1，f（a2）＝n﹣a2，f（n﹣a1）＝a1，f（n﹣a2）＝a2，f（0）＝0， 即存在B＝（n，n﹣a1，n﹣a2，0，0，…，0）使得A与B是T中的友好元素． ④若A中0的个数小于等于n﹣3个，不妨设A＝（n，a1，a2，a3，a4，…，an）， 其中a1≠0，a2≠0，a3≠0，a4，a5，…，an≥0，则a1+a2+a3≤n． 假设存在B，则有两种可能： 第一种：B＝（n，n﹣a1，n﹣a2，n﹣a3，f（a4），…，f（an）），其中若aj≠0，（j＝4，5，…，n）， 则f（aj）＝n﹣aj；若aj＝0，（j＝4，5，…，n），则f（aj）＝0，此时， b0+b1+b2+…+bn≥n+n﹣a1+n﹣a2+n﹣a3＝4n﹣（a1+a2+a3）≥4n﹣n＝3n， 不符合题意； 第二种：B＝（0，n﹣a1，n﹣a2，n﹣a3，n﹣a4，…，n﹣an）， 则b0+b1+b2+…+bn≥0+n﹣a1+n﹣a2+…+n﹣an ． 即这两种情况都有，矛盾． 综上可知，当n≥4时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有n﹣2个0． 35．（2026•重庆模拟）已知函数f（x）＝（x2﹣ax+1）lnx（a∈R）． （Ⅰ）若a＝2，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各恰有一个零点，分别记为x1和x2． （i）证明：函数f（x）在两点（x1，0），（x2，0）处的切线平行； （ii）记曲线y＝f（x）在点（x1，0）处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间； （2）（i）证明：当lnx＝0时，x＝1， 根据题意，零点x1，x2分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不等于1，因此x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根， 故x1+x2＝a，x1x2＝1，则x2＝a﹣x1，， 且有，则， 则， 同 ＝（x1﹣a+x1）lnx1＝（2x1﹣a）lnx1＝f（x1）， 故函数f（x）在两点（x1，0），（x2，0）处的切线平行； （ii）． 【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝（x2﹣2x+1）lnx， 则， 令，则，故h（x）在（0，+∞）上递增， 又h（1）＝2ln1+1﹣1＝0，则x∈（0，1）时，h（x）＜0，又x﹣1＜0，故f'（x）＞0， 当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，又x﹣1＞0，故f'（x）＞0， 故f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增， 即函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间； （2）（i）证明：当lnx＝0时，x＝1， 根据题意，零点x1，x2分别在区间（0，1）和（1，+∞）内，不等于1，因此x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个根， 故x1+x2＝a，x1x2＝1，则x2＝a﹣x1，， 且有，则， ， 则， 同 ＝（x1﹣a+x1）lnx1＝（2x1﹣a）lnx1＝f（x1）， 故函数f（x）在两点（x1，0），（x2，0）处的切线平行； （ii）由（i）知f'（x1）＝（2x1﹣a）lnx1， 故y＝f（x）在点（x1，0）处的切线为y＝（2x1﹣a）lnx1•（x﹣x1），0＜x1＜1， 令x＝0，则， 又，故， 故，又，且0＜x1＜1＜x2， 所以， 令，则，又， 当时m'（t）＞0，当时m'（t）＜0， 所以m（t）在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为． 36．（2026•河东区一模）已知函数f（x）＝（x+a）lnx（a＞0）． （Ⅰ）函数f（x）在定义域内无极值，求a的取值范围； （Ⅱ）函数g（x）＝f（x）x（a＞0），g（x）有三个不同的极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3； （i）求a的取值范围； （ii）证明：x1+x2+x3＞2a． 【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）（i）； （ii）证明：由（Ⅰ）可知x2＝1，，函数在 （1，+∞）单调递增， ∴． 【解答】解：（Ⅰ）， 令f'（x）＝0，可得xlnx+x+a＝0， 令F（x）＝xlnx+x+a（x＞0），F'（x）＝lnx+2＝0， ∴，在上，F'（x）＜0，F（x）单调递减， 在上，F'（x）＞0，F（x）单调递增， F（x）的极小值为， 由函数f（x）在定义域内无极值， 可得F（x）≥0，即a∈； （Ⅱ）（i）由题意， ，令G（x）＝g′（x）， 必有两根， 令为t1＜t2，t1t2＝1且有t1＜1＜t2， 由Δ＞0解为， G（x）在（0，t1）递减，（t1，t2）递增．（t2，+∞）递减， 必有x2＝1为极小值点G（t2）＞G（1）＝0， 当x→+∞时，必有G（t）＜0，G（x）在（t2，+∞）有唯一零点， 必有x3∈（t2，+∞）为极大值点，且， ，必有为极大值点，a∈； （ii）证明：由（Ⅰ）可知x2＝1，，函数在 （1，+∞）单调递增， ∴． 37．（2026•浦东新区校级模拟）已知函数． （1）当k＝1时，若对任意x∈[﹣1，1]不等式f（x）≥g（1）恒成立，求实数a的取值范围． （2）当f（x）＝0在有解，求实数k的取值范围． （3）当函数g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1≠1时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）[1，+∞）； （2）； （3）存在，（﹣∞，﹣1]． 【解答】解：（1）已知函数f（x）＝ex﹣kx，，当k＝1时，f（x）＝ex﹣x，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0， 当x∈（﹣1，0）时，f（x）单调递减，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增， 因此f（x）在[﹣1，1]上的最小值为f（0）＝1． 又g（1）＝2﹣a，因此由对任意x∈[﹣1，1]不等式f（x）≥g（1）恒成立， 即1≥2﹣a，因此a的取值范围为[1，+∞）； （2）令f（x）＝ex﹣kx＝0，因为，则x≠0，故， 令，则， 故当单调递减；当x∈（1，2），h（x）单调递增， 又，且， 故h（x）的值域为，则要满足题意，只需k的取值范围为； （3）由题， 因为g（x）有两个极值点x1，x2，故可得， 因此0＜a＜8，且． 因为x1≠1，x1＜x2，故x1∈（0，1）∪（1，2）， 则，即， 因为4﹣x1＞0，故上式等价于， 又当x1∈（0，1）时，，当x1∈（1，2）时，， 令，则， 当m≥0时，t′（x）＞0，故t（x）在（0，2）单调递增，又t（1）＝0， 故当x∈（0，1）时，t（x）＜0，当x∈（1，2）时，t（x）＞0，故不满足题意； 当m＜0时，令n（x）＝mx2+2x+m， 若方程n（x）＝0对应Δ＝4﹣4m2≤0时，即m≤﹣1时，t′（x）≤0，t（x）单调递减， 又t（1）＝0，故当x∈（0，1）时，t（x）＞0，当x∈（1，2）时，t（x）＜0，满足题意； 若Δ＝4﹣4m2＞0，即﹣1＜m＜0时，又y＝n（x）的对称轴，且开口向下， 又n（1）＝2m+2＞0，不妨取， 故当x∈（1，b），t′（x）＞0，t（x）单调递增，又t（1）＝0， 故此时t（x）＞0，不满足题意，舍去， 综上所述，m的取值范围为（﹣∞，﹣1]． 38．（2025•菏泽二模）某选数游戏规则：给定n个不同数（参与者不知道具体数值但知道n的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前n﹣1个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这n个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败． 小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的n，前m﹣1个数均按N键跳过（1≤m≤n，m＝1表示直接选取第一次出现的数），从第m个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为Pm． （1）当n＝3时，写出P1，P2，P3的值； （2）当n＝2022时，求Pm，并证明当Pm最大时，m满足； （3）已知当n≥500时，（C＝0.5772…为欧拉常数）．在本次游戏中，如果n＝2022，Pm最大时，求m的估计值．（e≈2.7） 【答案】（1）；；； （2），证明见解析； （3）m＝750． 【解答】解：（1）根据题目：对于给定的n，前m﹣1个数均按N键跳过（1≤m≤n，m＝1表示直接选取第一次出现的数）， 从第m个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择， 否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为Pm． 不妨设三个数是1，2，3，三个数的大小排列有6种情形：123，132，213，231，312，321． 当m＝1时，取到最大的情形有：132，213，231．所以； 当m＝2时，取到最大的情形有：132，213，231，所以； 当m＝3时，取到最大的情形有：123，213．所以． （2）证明：当最大数在第m，m+1，⋯，2022次出现时，均有可能获胜．设最大数在k（k＝m，m+1，⋯，2022）次出现， 要想获胜，前k﹣1个数中的最大值必出现在前m﹣1次中，且第k次取到最大值，所以 Pm﹣Pm+1 ， 同理 Pm﹣Pm﹣1， 因此，当时，Pm最大． （3）根据题目：已知当n≥500时，（C＝0.5772…为欧拉常数）． 首先对于n＝2022，当Pm最大时，m≥502．否则若m＜502， 则． ①， ②， ③， ①﹣②得 ，所以， ①﹣③得 ，所以， 所以，m＝750． 39．（2026•湖北模拟）如图1所示，用一个截面去截圆锥，记圆锥的母线与圆锥的轴线的夹角为α，截面与圆锥的轴线的夹角为β，当β时，截线是圆；当α＜β时，截线是椭圆；当α＝β时，截线是抛物线；当α＞β时，截线为双曲线． 如图（2）所示，P为圆锥的顶点，O为底面圆心，AB为圆O的一条直径，且PA＝AB＝4，Q为弧AB的中点，点H满足，点E为线段PB的中点； （1）求直线PO与平面AHE所成角的大小； （2）平面AHE与圆锥PO的截线记为曲线G，在平面AHE内，以AE所在的直线为x轴（设以AE的方向为x轴正方向），以线段AE的中垂线为y轴（设以AE逆时针旋转90°后的方向为y轴正方向），建立平面直角坐标系． ①求出曲线G的标准方程； ②设S，T为曲线G上两动点，若∠SHT的平分线与x轴垂直，求证：直线ST的斜率是定值，并求出这个定值． 【答案】（1）； （2）①； ②证明：易知直线SH的斜率存在，设其方程为， 联立， 得， 设点S（x1，y1），由韦达定理与H点坐标， 则， ∠SHT的平分线与x轴垂直，故直线SH与直线TH的斜率互为相反数， 设直线TH的方程为， 设点T（x2，y2）， 同理可得， 故直线ST的斜率为，是一个定值；． 【解答】解：（1）由题设以O为原点，分别以．．所在直线和正方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，P（0，0，6），，，， 故，，， 设平面AEH的一个法向量为， 则， 令x＝1，则， 故，， 则， 故直线PO与平面AHE所成角的大小为． （2）①由（1）知，直线PO与圆锥母线所成的角为，且，故曲线G为椭圆， 设该椭圆的方程为，2a＝AE＝6，故a＝3， 由（1）可得，设PO与AE的交点为F， 则F（0，0，2），，， 易得，即FH⊥AE，且， 设AE的中点为O′，易得．，故FO'＝1， 故点H在平面AHE内的坐标为， 因为点H在曲线G上，故有， 故曲线G的标准方程为． ②证明：易知直线SH的斜率存在，设其方程为， 联立， 得， 设点S（x1，y1），由韦达定理与H点坐标， 则， ∠SHT的平分线与x轴垂直，故直线SH与直线TH的斜率互为相反数， 设直线TH的方程为， 设点T（x2，y2）， 同理可得， 故直线ST的斜率为，是一个定值． 40．（2026•石家庄校级模拟）已知圆O：x2+y2＝1与x轴正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B，点C为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ． （1）求曲线Γ的方程； （2）若两条直线l1：y＝kx和分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值； （3）研究曲线Γ的对称性并证明Γ为椭圆，并求椭圆Γ的焦点坐标． 【答案】（1）x2+y2+xy＝1． （2）当k＝±1时，四边形EMFN面积取得最大值，为． （3）（，），（，）． 【解答】解：（1）由题意可得A（1，0），B（，）， 因为， 所以C（xy，y）， 又因为点C在圆O上， 所以（xy）2y2＝1， 所以x2+y2+xy＝1， 所以曲线Γ的方程为x2+y2+xy＝1． （2）联立，得（1+k+k2）x2﹣1＝0， 所以E（，），F（，）， 所以|EF|＝2， 同理可得|MN|＝22， 因为EF⊥MN， 所以四边形EMFN面积S|EF||MN|2， 所以， 因为k22， 所以， 所以S， 当且仅当k2，即k＝±1时取等号， 所以当k＝±1时，四边形EMFN面积取得最大值，为． （3）曲线Γ关于直线y＝x，y＝﹣x和原点对称， 设曲线Γ与y＝x交于P，Q，与直线y＝x交于R，S， 联立， 解得或， 所以P（，），Q（，）， 联立， 解得或， 所以R（1，﹣1），S（﹣1，1）， 所以|PQ|，|RS|＝2， 所以|PQ|＜|RS|， 所以椭圆的焦点在直线y＝﹣x上， 设椭圆的焦点为F1（a，﹣a），F2（﹣a，a）， 所以|PF1|， 又|OP|， 所以|OF1|， 所以2a2， 解得a＝±， 所以曲线Γ的焦点坐标为（，），（，）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $