【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（20-13）

【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（20-13） 一．选择题（共10小题） 1．（2026•北京校级模拟）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则直径AB的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 2．（2026•白山二模）函数，若f（x）≥0恒成立，则a（b+1）的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e] B．（0，2e] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2] 3．（2026•扬州模拟）已知，则的最小值为（　　） A．8 B． C．6 D．5 4．（2026•辽宁模拟）已知，则（　　） A． B． C． D． 5．（2010•天津）若函数f（x），若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 6．（2026•浦东新区校级模拟）设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上任意两个不等的实数，下列结论正确的有（　　） ①若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立且y＝f（x）为奇函数，则y＝g（x）为奇函数； ②若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立且y＝f（x）为周期函数，则y＝g（x）也是周期函数； ③若|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立且y＝f（x）为R上的严格增函数，则y＝f（x）+g（x），y＝f（x）﹣g（x）都是R上的严格增函数． A．②③ B．①② C．①②③ D．①③ 7．（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||•2，则点集{P|λμ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（2026•宜昌模拟）有一组样本数据x1，x2，⋯，x10，其中xi∈R（i＝1，2，⋯，10）．已知，设函数．则f（x）的最小值为（　　） A．19 B．100 C．190 D．200 9．（2013•新课标Ⅰ）设△AnBn∁n的三边长分别为an，bn，cn，△AnBn∁n的面积为Sn，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，an+1＝an，，，则（　　） A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列 10．（2026•蜀山区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，F1Q为∠PF1F2的角平分线，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共10小题） （多选）11．（2026•白山二模）设函数，则（　　） A． B．|f（x）|＜5|x| C．曲线y＝f（x）存在对称轴 D．曲线y＝f（x）存在对称中心 （多选）12．（2026•扬州模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝b（a+b），则（　　） A．c＜b B．C＝2B C． D． （多选）13．（2026•辽宁模拟）已知圆M：x2+y2﹣4x＝0和椭圆，直线l与圆M相切于点D，与C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　） A．存在b，使圆M和C有4个公共点 B．若圆M与C有2个公共点，则或 C．若b＝3，则直线l的斜率不存在 D．若点D的横坐标为，则|AB|＝2 （多选）14．（2026•广安一模）已知函数，则下列说法中正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）的图象关于点对称 C．若f（x1）﹣f（x2）＝4，则|x1﹣x2|的最小值为 D．若f（x1）+f（x2）＝2（x1≠x2），则|x1+x2|的最小值为 （多选）15．（2026•宜昌模拟）已知{an}是首项为a1，公比为q的递增等比数列，其前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得an≤Sm＜an+1，则称{an}是“可分等比数列”，则（　　） A．不是“可分等比数列” B．是“可分等比数列” C．若{an}是“可分等比数列”，则m＝n D．若{an}是“可分等比数列”，则q≥2 （多选）16．（2025•济南模拟）现进行如下试验：从1，2，3，…，10中任选一个数，记为a1，若a1＝1，则试验结束；否则再从1，2，…，a1﹣1中任选一个数，记为a2，若a2＝1，则试验结束；否则再从1，2，…，a2﹣1中任选一个数，依次类推，直至选中1为止．记事件Ai＝“试验过程中，数字i被选到”，pi表示事件Ai发生的概率（i＝1，2，3，…，10），则（　　） A． B． C．P（A8|A9）＝P（A8|A10） D．P（AiAj）＝pi•pj（i，j∈{1，2，…，10}且i≠j） （多选）17．（2026•蜀山区校级模拟）已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），曲线y＝lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（x0，y0），则（　　） A． B．x1x2＝ex0 C．y1+y2＝1+y0 D． （多选）18．（2026•泉州模拟）以坐标轴为对称轴的双曲线C过点，其一条渐近线过点，且两焦点为F1，F2.若直线l：x＝my+t，分别与C的两支交于M，N两点，线段MN的中点为P，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线C的方程为 B．若m＝1，则点P在直线y＝4x上 C．若t＝0，则|MF1|•|NF1|的取值范围为（8，+∞） D．若t＝3，则△MF1F2与△NF1F2的内切圆的半径之比为2或 （多选）19．（2026•济宁一模）对于一个有限集合M＝{a1，a2，…，an}（n∈N*），定义集合M的模为该集合中所有元素的和，记作|M|，即|M|＝a1+a2+…+an，则下列说法中正确的是（　　） A．若集合A＝{}，则 B．若集合B＝{x|x3﹣3x2+4x﹣2＝0}，则|B|＝﹣1 C．若集合，则|C|＞2e D．记集合Dn⊆{x|1≤x≤11n，x∈N*}，且Dn中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若|D5|的最大值为a，|D1|的最大值为b，则a﹣b＝220 （多选）20．（2026•长沙模拟）已知直线l与圆C：（x﹣5）2+y2＝9相切于点P，与抛物线E：y2＝2x相交于M，N两点，点F为抛物线E的焦点．下列说法正确的是（　　） A．记点M的横坐标为xM，则|MP|＝|xM﹣4| B．|MN|的最小值为4 C．当点P在直线x＝4的左侧时，△MNF的周长为定值9 D．当点P在直线x＝4的右侧时，△MNF的周长有最小值25 三．填空题（共10小题） 21．（2026•北京校级模拟）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”．给出下列4个结论： ①函数y＝x3+x可以是某个圆的“太极函数” ②正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数” ③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” ④函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 其中所有正确的结论的序号为 　 　 ． 22．（2026•白山二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足D1P∥平面A1BC1，则AP的最小值为 　 　 ． 23．（2026•扬州模拟）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M（﹣1，0）位置的条件下，水平方向移动3次的概率为　 　 ． 24．（2026•辽宁模拟）已知三棱锥P﹣ABC的底面是边长为4cm的等边三角形，侧棱PA与底面ABC所成角为60°，侧棱PC与底面ABC所成角为30°，则三棱锥P﹣ABC体积的最小值为　 　 cm3；假如恰有一块这样的三棱锥宝石（体积最小时对应的三棱锥），则此块宝石　 　 （填“能”或“不能”）打磨出一个半径为1cm的球形饰品． 25．（2026•金凤区校级一模）已知函数f（x）＝（x+1）（x﹣b）（x﹣c）满足f（x）+f（2﹣x）＝4，m，n分别是函数f（x）极大、极小值点，则n﹣m＝　 　 ． 26．（2026•浦东新区校级模拟）将数列{an}中随机剔除两项ai、aj（其中1≤i＜j≤n，i，j∈N+）然后在原数列中添加一项ai+aj+aiaj，叫做数列{an}的一次变换，那么数列经过2025次变换后数列中还剩下的一项为　 　 ． 27．（2026•平谷区一模）在平面内，点P（x、y）位于直线x＝﹣2的右侧，点P到点F（2，0）的距离与到直线x＝﹣2的距离之积为4．给出下列四个结论： ①点P过坐标原点O； ②； ③若点P在第一象限内，y的最大值为1； ④点P经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是　 　 ． 28．（2026•宜昌模拟）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1（a∈R）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），记A（x1，f（x1）），C（x2，f（x2））．点B，D在f（x）的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴，设点B，D的横坐标为m，n． （1）m+n＝　 　 ； （2）若四边形ABCD为菱形，则a＝　 　 ． 29．（2025•开福区模拟）已知正四面体ABCD的棱长为，动点P满足PA2+PB2＝PC2+PD2，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 　 　 ． 30．（2026•蜀山区校级模拟）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 　 　 种不同的染色方案． 四．解答题（共10小题） 31．（2026•北京校级模拟）已知数列A：a1，a2，⋯，an（n≥2），定义数列A的伴随数列为B：b1，b2，⋯，bn（n≥2），其中.记T（A）＝max{a1，a2，⋯，an}﹣min{a1，a2，⋯，an}，T（B）＝max{b1，b2，⋯，bn}﹣min{b1，b2，⋯，bn}，其中，maxM表示集合M中最大的数，minM表示集合M中最小的数． （1）已知数列A：1，3，5，7，9，求T（A）和T（B）； （2）若n＝10，a1＝T（A）＝20，a1≥ai（i∈{2，3，⋯，10}），求T（B）的最小值； （3）若n＝2026，T（A）＝2026，求T（B）的最大值． 32．（2026•白山二模）已知椭圆C：的焦距为2，且过点． （1）求C的标准方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线l1，l2分别交C于P，Q和S，T，满足|NP||NQ|＝|NS||NT|． （i）证明：l1，l2的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值． 33．（2026•扬州模拟）已知在平面直角坐标系中，一条倾斜角为α的直线l1过点A（﹣2，0），其中，另一条直线l2经过点B（2，0），倾斜角为α+θ．并且两直线相交于点M （1）当θ＝45°时，求证：线段MB的垂直平分线过定点． （2）当θ＝60°，α＝30°时，若点A、B分别为椭圆的左，右两个焦点，Q点为椭圆的上顶点，且该椭圆经过点M， （i）试求出该椭圆的标准方程； （ii）如果一条直线kx﹣y+m＝0与椭圆分别交于E，F两点，且满足|EQ|＝|FQ|，请求出k的取值范围． 34．（2026•辽宁模拟）某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定目标或移动目标一次．其中每轮中出现固定目标的概率为，此人击中固定目标的概率为，出现移动目标的概率为，此人击中移动目标的概率为，每轮是否击中目标互不影响．若此人连续两轮射击均未击中目标，则被淘汰出局．设Pn为此人第n轮射击后，未被淘汰出局的概率． （1）求此人在一轮射击中击中目标的概率； （2）求P3，P4； （3）当n≥2时，不等式λ＞Pn恒成立，求λ的取值范围． 35．（2026•长沙模拟）已知函数f（x）＝exsinx﹣ax，其中a∈R． （1）当a＝0时，求f（x）在区间上的最大值； （2）若f（x）在（0，π）上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围； （3）设x0为f（x）在内的极小值点，求证：． 36．（2026•浦东新区校级模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为R，对于正实数T，定义集合KT＝{x|f（x+T）＝f（x）}． （1）若3∈K3，且x∈（0，3]时，f（x）＝log3x，求f（6）； （2）若KT≠∅，求T的取值范围； （3）若f（x）是偶函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣2，且对任意T∈（0，4），均有KT⊆K4，证明：对任意实数a，函数y＝f（x）+a在[﹣6，6]上至多有9个零点． 37．（2026•平谷区一模）设数阵A0，其中a11，a12，a21，a22∈{1，2，…6}．设S＝{e1，e2，…el}⊆{1，2…6}，其中e1＜e2＜…＜el，l∈N*且l≤6．定义变换φk为“对于数阵的每一行，若其中有k或﹣k，则将这一行中每个数都乘以﹣1；若其中没有k且没有﹣k，则这一行中所有数均保持不变”（k＝e1，e2，…el）．φs（A0）表示“将A0经过φ变换得到A1，再将A1经过φ变换的到A2，…，以此类推，最后将Al﹣1经过φ变换得到Al”，记数阵Al中四个数的和为TS（A0）． （Ⅰ）若A0，写出A0经过φ2变换后得到的数阵A1； （Ⅱ）若A0，S＝{1，3}，求TS（A0）的值； （Ⅲ）对任意确定的一个数阵A0，证明：TS（A0）的所有可能取值的和不超过﹣4． 38．（2026•宜昌模拟）已知双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P（2，1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）斜率为﹣1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P）． ①求直线AP、BP的斜率之和； ②若△PAB的外接圆圆心为M，试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ|2﹣|MP|2为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 39．（2024•青岛一模）已知O为坐标原点，点W为⊙O：x2+y2＝4 和⊙M的公共点，，⊙M与直线x+2＝0相切，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若n＞m＞0，直线l：x﹣y﹣m＝0与C交于点A，B，直线l2：x﹣y﹣n＝0与C交于点A，B'，点A，A'在第一象限，记直线AA′与BB'；的交点为G，直线AB'与BA′的交点为H，线段AB的中点为E． （i）证明：G，E，H三点共线； （ii）若（m+1）2+n＝7，过点H作l1的平行线，分别交线段AA'，BB'于点T，T′，求四边形GTET'面积的最大值． 40．（2026•蜀山区校级模拟）线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景．某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由0和1组成的序列： ①初始设置：前三位为a1＝1，a2＝1，a3＝1； ②生成规则：从第4位开始，计算公式为an+3其中n是正整数． （1）求数列{an}的前6项； （2）设Sn＝a1+a2+…+an，求Sn的通项公式； （3）设T，求T的值． 【高考二轮复习】全国2026年最新选择、填空、解答压轴题汇编40题（20-13） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C C A D C B D 二．多选题（共10小题） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 ABC BCD ACD BC ACD BCD ACD ACD AC AC 一．选择题（共10小题） 1．（2026•北京校级模拟）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线相切，则直径AB的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解答】解：根据AB为圆C的直径，且∠AOB＝90°，可知点O在圆C上， 过O向直线作垂线，垂足为D， 则当D恰为圆C与直线的切点时，圆心为OD的中点， 此时圆C的半径最小，即直径AB最小， 根据点O到的距离d2，可得|OD|＝2，即直径AB的最小值为2． 故选：B． 2．（2026•白山二模）函数，若f（x）≥0恒成立，则a（b+1）的取值范围是（　　） A．（﹣∞，e] B．（0，2e] C．[2，+∞） D．（﹣∞，2] 【答案】D 【解答】解：根据已知：函数，若f（x）≥0恒成立， 由题设在（0，+∞）上恒成立， 知a＞0（若a≤0，可得ax﹣2＜0，lnx﹣b≤0，不等式不恒成立）， 此时y＝ax﹣2，y＝lnx﹣b在（0，+∞）上都单调递增， 所以只需y＝ax﹣2，y＝lnx﹣b在（0，+∞）上的零点相同， 即，所以， 令，则， 当x＜0时，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 当x＞0时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减， 所以g（x）max＝g（0）＝2，即a（b+1）的取值范围是（﹣∞，2]． 故选：D． 3．（2026•扬州模拟）已知，则的最小值为（　　） A．8 B． C．6 D．5 【答案】A 【解答】解：原式 ＝2tan2θ6，tanθ＞0， 令t＝tanθ∈（0，+∞），， 令f（t）6，t＞0， f′（t）， 易知f′（）＝0，当时，f′（t）＜0，此时f（t）单调递减； 时，f′（t）＞0，f（t）此时单调递增， 故f（t）min＝f（）＝8． 故选：A． 4．（2026•辽宁模拟）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据，且， 可得，， 所以， 可得， ， 所以cos（），sin（）， 可得 ． 故选：C． 5．（2010•天津）若函数f（x），若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 【答案】C 【解答】解：由题意． 故选：C． 6．（2026•浦东新区校级模拟）设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上任意两个不等的实数，下列结论正确的有（　　） ①若|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立且y＝f（x）为奇函数，则y＝g（x）为奇函数； ②若|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|恒成立且y＝f（x）为周期函数，则y＝g（x）也是周期函数； ③若|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|恒成立且y＝f（x）为R上的严格增函数，则y＝f（x）+g（x），y＝f（x）﹣g（x）都是R上的严格增函数． A．②③ B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】A 【解答】解：对于①：令，， 则y＝f（x）为奇函数，y＝g（x）为非奇非偶函数， 显然|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，故①错误； 对于②：设f（x）的周期为T（T＞0），取x1＝x，x2＝x+T， 则|f（x）﹣f（x+T）|≥|g（x）﹣g（x+T）|，∵y＝f（x）以T为周期，∴f（x）﹣f（x+T）＝0，∴0≥|g（x）﹣g（x+T）|， 所以g（x）﹣g（x+T）＝0，即g（x+T）＝g（x），∴g（x）是以T为周期的周期函数，故②正确； 对于③：不妨设x1＜x2，因为y＝f（x）是R上的严格增函数，∴f（x1）＜f（x2）， 又|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|， 所以f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2）＜f（x2）﹣f（x1）， 所以f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），g（x1）+f（x1）＜g（x2）+f（x2）， 所以函数y＝f（x）+g（x）与函数y＝f（x）﹣g（x）都是R上的严格增函数，故③正确． 故选：A． 7．（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||•2，则点集{P|λμ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由两定点A，B满足||＝||•2，，则||2＝（）22•4，则||＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形． 不妨设A（），B（）．再设P（x，y）． 由，得：． 所以，解得①． 由|λ|+|μ|≤1． 所以①等价于或或或． 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域， 则区域面积为． 故选：D． 8．（2026•宜昌模拟）有一组样本数据x1，x2，⋯，x10，其中xi∈R（i＝1，2，⋯，10）．已知，设函数．则f（x）的最小值为（　　） A．19 B．100 C．190 D．200 【答案】C 【解答】解：因为， 而， 则f（x）＝10x2﹣180x+1000． 当时，f（x）min＝f（9）＝190． 故选：C． 9．（2013•新课标Ⅰ）设△AnBn∁n的三边长分别为an，bn，cn，△AnBn∁n的面积为Sn，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，an+1＝an，，，则（　　） A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【答案】B 【解答】解：b1＝2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1， ∴b1﹣a1＝2a1﹣c1﹣a1＝a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1， 又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴， 由题意，an，∴bn+1+cn+1﹣2an（bn+cn﹣2an）， ∵b1+c1＝2a1，∴b1+c1﹣2a1＝0， ∴bn+cn﹣2an＝0，∴bn+cn＝2an＝2a1，∴bn+cn＝2a1， 由此可知顶点An在以Bn、cn为焦点的椭圆上， 又由题意，bn+1﹣cn+1，∴a1﹣bn， ∴bn+1﹣a1，∴bn﹣a1， ∴，cn＝2a1﹣bn， ∴[][] []单调递增（可证当n＝1时0） 故选：B． 10．（2026•蜀山区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，与双曲线C的右支交于点P．若，，，F1Q为∠PF1F2的角平分线，则λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，得F1（﹣c，0），F2（c，0），c2＝a2+b2， 由，可得A是F1B中点， 由，可得F1B⊥F2B， ∵O是F1F2中点，∴B是以O为圆心，c为半径的圆上的点，故|OB|＝c， 设点B在双曲线渐近线上，联立x2+y2＝c2得B（a，b）， ∵点A在双曲线渐近线上，且A是F1B中点， ∴，故， 解得c＝2a，， ∴F1B的斜率，方程为， 联立，得8x2﹣4ax﹣13a2＝0，解得， ∵P在双曲线右支上，∴，， 故点， ∴， 又F1Q是∠PF1F2的角平分线， 则． 故选：D． 二．多选题（共10小题） （多选）11．（2026•白山二模）设函数，则（　　） A． B．|f（x）|＜5|x| C．曲线y＝f（x）存在对称轴 D．曲线y＝f（x）存在对称中心 【答案】ABC 【解答】解：对于A，由题意得x2﹣x+1，sinπx≤1， 当x时，x2﹣x+1取得最小值，sinπx取得最大值1， 所以的最大值为f（），即f（x），故A正确； 对于B，根据， 可得不等式|f（x）|＜5|x|成立，故B正确； 对于C，根据， 可得f（1﹣x）f（x）， 所以f（x）的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，根据f（x）的图象关于直线对称， 可知：若函数f（x）存在对称中心，则f（x）为周期函数，矛盾，故D错误． 故选：ABC． （多选）12．（2026•扬州模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝b（a+b），则（　　） A．c＜b B．C＝2B C． D． 【答案】BCD 【解答】解：对于A，因为c2＝b（a+b）＝ab+b2＞b2，所以c＞b，可知A项错误． 对于B，根据c2＝b（a+b）＝ab+b2，结合余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB， 可得c2＝ab+a2+c2﹣2accosB，整理得cosB， 由正弦定理得，所以sinC＝2sinBcosB＝sin2B， 结合B、C为三角形的内角，可得C＝2B或C+2B＝π． 当C+2B＝π时，可得A＝B，即a＝b，此时c2＝b（a+b）＝2a2，可得ca， 所以a：b：c＝1：1：，可知△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形， 可得C，B，满足C＝2B，故B项正确． 对于C，由C＝2B，得B+C＝3B∈（0，π），所以，故C项正确． 对于D，由正弦定理，得， 结合C＝2B，可得 ＝1﹣2sin2B+2（1﹣sin2B）＝3﹣4sin2B， 因为，可得sinB∈（0，）， 所以sin2B∈（0，），可得3﹣4sin2B∈（0，3），即，故D项正确． 故选：BCD． （多选）13．（2026•辽宁模拟）已知圆M：x2+y2﹣4x＝0和椭圆，直线l与圆M相切于点D，与C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，则下列说法正确的是（　　） A．存在b，使圆M和C有4个公共点 B．若圆M与C有2个公共点，则或 C．若b＝3，则直线l的斜率不存在 D．若点D的横坐标为，则|AB|＝2 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A，圆M：x2+y2﹣4x＝0的圆心（2，0）半径为2，椭圆， 当b趋向于0时，椭圆与圆M有4个公共点，故A项正确． 对于选项B，若圆M与C有2个公共点，则方程组有两组解， 即 在区间（0，4）内有唯一解， 令，因为，所以，所以f（x）的图象开口向下， 又对称轴方程为，， 所以由 ，得b4﹣18b2+72＝0，解得b2＝6或b2＝12． 当b2＝6，即时，由（*）得0，解得x＝3∈（0，4）； 当b2＝12，即时，由（*）得，解得x＝6∉（0，4）． 故B项错误． 对于选项C，联立 因为Δ＝82﹣4×18＝﹣8＜0，所以方程无解，所以圆M与C无公共点， 设直线l的斜率存在，D（x0，y0）（y0≠0），A（x1，y1），B（x2，y2 ）， 由得 0，即 ①， 又MD⊥AB，所以 ②， 由①②K可得，解得x0＝4，又，得y0＝0，矛盾，所以直线l的斜率不存在，故C项正确． 对于选项D，设，则0，所以，解得， 由图形的对称性求|AB|时不妨取， 由，， 即 ，④，由③④得b2＝8，即， 直线l的方程为，即 6， 联立 得5x2﹣36x+63＝ 0，所以（5x﹣21）（x﹣3）＝0，所以 或x＝3，不妨取， 所以，故D项正确． 故选：ACD． （多选）14．（2026•广安一模）已知函数，则下列说法中正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）的图象关于点对称 C．若f（x1）﹣f（x2）＝4，则|x1﹣x2|的最小值为 D．若f（x1）+f（x2）＝2（x1≠x2），则|x1+x2|的最小值为 【答案】BC 【解答】解：由题意，函数， 所以， 对于A：， 因为函数在对称轴处取最值， 所以f（x）的图象不关于直线对称，故A错误； 对于B：， 所以f（x）的图象关于点对称，故B正确； 对于C：因为f（x1）﹣f（x2）＝4， 所以， 所以， 因为正弦函数最大值为1，最小值为﹣1， 所以|x1﹣x2|的最小值为，故C正确； 对于D：由f（x1）+f（x2）＝2（x1≠x2）， 所以， 所以， 所以，或， 所以，或， 可取，此时，|x1+x2|＝0， 所以|x1+x2|的最小值为0，故D错误． 故选：BC． （多选）15．（2026•宜昌模拟）已知{an}是首项为a1，公比为q的递增等比数列，其前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得an≤Sm＜an+1，则称{an}是“可分等比数列”，则（　　） A．不是“可分等比数列” B．是“可分等比数列” C．若{an}是“可分等比数列”，则m＝n D．若{an}是“可分等比数列”，则q≥2 【答案】ACD 【解答】解：对于A，若，则， 因为an＜0，所以，又因， 所以不存在正整数m，使得a2≤Sm＜a3，所以不是”可分等比数列”，所以选项A正确： 对于B，若，则， 所以，当n≥2时，， 所以不存在正整数m，使得a2≤Sm＜a3，所以不是“可分等比数列”，所以选项B错误； 对于C，若a1＜0，则有Sn≤a1＜a2＜a3，所以不存在正整数m， 使得a2≤Sm＜a3，所以a1＞0，因为{an}是递增等比数列， 所以q＞1，an＞0，所以Sn+1＞an+1，因为an≤Sm＜an+1， 所以m＜n+1，即m≤n． 下证：对任意n∈N*当且仅当m＝n时，an≤Sm＜an+1． 反证法：假设存在正整数n，使得当m≤n﹣1时，an≤Sm＜an+1， 取满足条件的最小正整数n0此时有m≤n0﹣1，使得， 且，则，即， 即m＞n0﹣1与m≤n0﹣1矛盾．所以对任意n∈N*，当且仅当m＝n时，an≤Sm＜an+1，所以选项C正确； 对于D，下证：q≥2．由上可知m＝n，即an≤Sn＜an+1恒成立， 只需Sn＜an+1，即qn＜qn（q﹣1）+1恒成立， ①当q≥2时，因为qn（q﹣1）+1﹣qn＝qn（q﹣2）+1＞0恒成立，所以q≥2符合要求； ②当1＜q＜2时，因为qn（q﹣1）+1﹣qn＝qn（q﹣2）+1，当时， qn（q﹣2）+1＜﹣1+1＝0，不符合题设要求．综上，q≥2，所以选项D正确． 故选：ACD． （多选）16．（2025•济南模拟）现进行如下试验：从1，2，3，…，10中任选一个数，记为a1，若a1＝1，则试验结束；否则再从1，2，…，a1﹣1中任选一个数，记为a2，若a2＝1，则试验结束；否则再从1，2，…，a2﹣1中任选一个数，依次类推，直至选中1为止．记事件Ai＝“试验过程中，数字i被选到”，pi表示事件Ai发生的概率（i＝1，2，3，…，10），则（　　） A． B． C．P（A8|A9）＝P（A8|A10） D．P（AiAj）＝pi•pj（i，j∈{1，2，…，10}且i≠j） 【答案】BCD 【解答】解：对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况： 第一次就选到8，概率为， A9发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， A10发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若A9发生，即数字9被选到， 那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若A10发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下， 可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以P（A8|A9）＝P（A8|A10），选项C正确； 对于D，对于Ak即选中k的情况，设m为选中数当中不小于k的最小整数， 则pk＝P（m＝k）+P（m＝k+1）+P（m＝k+2）+…+P（m＝10） ， 当k≤9时，有， 结合，知，k＝1，2，…，10， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于i，j同时选中情况，不妨设i＜j，P（Ai|Aj）可理解为从1～j﹣1中按规则取数， 选中i的概率，则有， 可得，选项D正确． 故选：BCD． （多选）17．（2026•蜀山区校级模拟）已知直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），曲线y＝lnx在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P（x0，y0），则（　　） A． B．x1x2＝ex0 C．y1+y2＝1+y0 D． 【答案】ACD 【解答】解：对A，令，则， 故x∈（0，e）时f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（e，+∞）时f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）的极大值，且x＞1，f（x）＞0， 因为直线y＝kx与曲线y＝lnx相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点， 所以y＝k与f（x）图象有2个交点，所以，故A正确； 对B，设M（x1，y1），N（x2，y2），且1＜x1＜e＜x2，可得kx1＝lnx1，kx2＝lnx2， y＝lnx在M，N点处的切线程为， ，得， 即， 因为，所以x0＝x1x2k，即，故B错误； 对C，因为，所以x2lnx1＝x1lnx2， 因为P（x0，y0）为两切线的交点， 所以y0＝lnx111， 即，所以， 所以 ，故C正确； 对D，因为kx1＝y1，kx2＝y2，所以， 又因为kx1＝y1，所以lnk+lnx1＝lny1，所以lnk+y1＝lny1， 同理得lnk+y2＝lny2，得㕵y1﹣y1＝lny2﹣y2，即， 因为，所以， 所以，即，故D正确． 其中不等式（1）的证明如下： 不等式（1）（其中）， 构造函数，则， 因为x＞1，所以m′（x）＜0，所以函数m（x）在（1，+∞）上单调递减， 故m（x）＜m（1）＝0，从而不等式（1）成立． 故选：ACD． （多选）18．（2026•泉州模拟）以坐标轴为对称轴的双曲线C过点，其一条渐近线过点，且两焦点为F1，F2.若直线l：x＝my+t，分别与C的两支交于M，N两点，线段MN的中点为P，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线C的方程为 B．若m＝1，则点P在直线y＝4x上 C．若t＝0，则|MF1|•|NF1|的取值范围为（8，+∞） D．若t＝3，则△MF1F2与△NF1F2的内切圆的半径之比为2或 【答案】ACD 【解答】解：设双曲线的方程为px2﹣qy2＝1（pq＞0），则渐近线方程为px2﹣qy2＝0， 因为双曲线C过点，其一条渐近线过点， 所以2p﹣8q＝1，p﹣8q＝0，解得， 所以双曲线C的方程为，故A正确； 若m＝1，则l：x＝y+t，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y整理可得7x2+2tx﹣t2﹣8＝0， 则， 所以，故， 所以点P在直线y＝8x上，故B错误； 若t＝0，则l：x＝my，则由对称性可知M，N关于原点对称，且不与顶点重合， 所以四边形MF1NF2为平行四边形，所以|NF1|＝|MF2|． 设M在第一象限，则由双曲线的定义可知，|MF1|﹣|MF2|＝2， 所以， 因为|MF2|＞c﹣a＝3﹣1＝2，且y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1在（2，+∞）上单调递增， 所以， 则|MF1|•|NF1|的取值范围为（8，+∞），故C正确； 若t＝3，则l：x＝my+3，恒过点F2（3，0）， 联立，消去x整理得（8m2﹣1）y2+48my+64＝0， 则，即8m2﹣1＞0． 不妨设M，N分别在第二、一象限， 则，， 所以由双曲线的定义可知，， 所以△MF1F2的内切圆的半径为， △NF1F2的内切圆的半径为， 所以△MF1F2与△NF1F2的内切圆的半径之比为 ， 若M，N分别在第一、二象限，则半径之比为，故D正确． 故选：ACD． （多选）19．（2026•济宁一模）对于一个有限集合M＝{a1，a2，…，an}（n∈N*），定义集合M的模为该集合中所有元素的和，记作|M|，即|M|＝a1+a2+…+an，则下列说法中正确的是（　　） A．若集合A＝{}，则 B．若集合B＝{x|x3﹣3x2+4x﹣2＝0}，则|B|＝﹣1 C．若集合，则|C|＞2e D．记集合Dn⊆{x|1≤x≤11n，x∈N*}，且Dn中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若|D5|的最大值为a，|D1|的最大值为b，则a﹣b＝220 【答案】AC 【解答】解：选项A，，A正确； 选项B，解方程得：x3﹣3x2+4x﹣2＝（x﹣1）（x2﹣2x+2）， 二次方程x2﹣2x+2＝0判别式Δ＝﹣4＜0，无实根，故集合B＝{1}，模|B|＝1≠﹣1，B错误； C选项，设，求导得， x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减； 最大值f（e）＝1＞0，且，因此一个零点； 又f（e2）＝3﹣e＞0，f（e3）＝4﹣e2＜0，因此另一个零点， 则，C正确； 选项D，集合元素差为3或8，均小于11，因此可将[1，11n]按每11个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可， n＝1时，1～11中，要使元素和最大，选{4，5，9，10，11}，满足条件，最大和b＝4+5+9+10+11＝39； 每组（第k组，11（k﹣1）+1～11k）的和为39+5×11（k﹣1），因此n＝5时总和： a＝39+（39+55）+（39+110）+（39+165）+（39+220）＝745， a﹣b＝745﹣39＝706≠220，D错误． 故选：AC． （多选）20．（2026•长沙模拟）已知直线l与圆C：（x﹣5）2+y2＝9相切于点P，与抛物线E：y2＝2x相交于M，N两点，点F为抛物线E的焦点．下列说法正确的是（　　） A．记点M的横坐标为xM，则|MP|＝|xM﹣4| B．|MN|的最小值为4 C．当点P在直线x＝4的左侧时，△MNF的周长为定值9 D．当点P在直线x＝4的右侧时，△MNF的周长有最小值25 【答案】AC 【解答】解：由点P为切点，可得 ，故选项A正确； 如两图所示， 过点M作直线x＝4的垂线，垂足为H1，作准线的垂线，垂足为H2， 过点N作直线x＝4的垂线，垂足为H3，作准线的垂线，垂足为H4， 根据左图，当点P在直线x＝4的左侧时，可知|MN|＝|MH1|+|NH3|， 为直角梯形MH1H3N的中位线长的两倍； 若M，N在x轴的两侧时，|MN|有最小值为4； 若M，N在x轴的同一侧时，当xP→4时，|MN|→0，即选项B错误； 如左图，根据以上证明，可知|MP|＝|MH1|，|NP|＝|NH3|， 再根据抛物线定义，可知|MF|＝|MH2|，|NF|＝|NH4|， 从而△MNF的周长为，即选项C正确； 如图，当点P在直线x＝4的右侧时，同理可得|MF|+|NF|﹣|MN|＝9， 若M，N在x轴的两侧时，而|MN|＝|MH1|+|NH3|， 为直角梯形MH1H3N的中位线长的两倍，则|MN|有最小值为8， 此时△MNF的周长为9+2|MN|，其最小值为25； 若M，N在x轴的同一侧时，当xP→4时，|MN|→0， △MNF的周长趋于9，此时不存在最小值，即选项D错误． 故选：AC． 三．填空题（共10小题） 21．（2026•北京校级模拟）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”．给出下列4个结论： ①函数y＝x3+x可以是某个圆的“太极函数” ②正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数” ③存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数” ④函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形 其中所有正确的结论的序号为 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：根据题意，依次分析4个结论： 对于①，令圆O：x2+y2＝1，设y＝f（x）＝x3+x，显然f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣x3﹣x＝﹣f（x）， 即函数y＝x3+x是奇函数，它的图象将圆O的周长与面积分别等成分两部分，如图， 所以函数y＝x3+x可以是某个圆的“太极函数“，①正确； 对于②，函数y＝sinx是奇函数，它的图象将圆x2+y2＝a（a＞0）的周长与面积同时等分成两部分，如图， 因此正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”，②正确； 对于③，如图，函数y＝g（x）是偶函数，其中A（0，1），D（，0），C（2，0）， AB⊥BC，AD＝CD，BD＝CDcos∠ODA， 于是S△BCD＝S△OAD，因此函数y＝g（x）也是圆O：x2+y2＝4的一个太极函数，③正确； 对于④，由③的例子，g（x）为偶函数，但g（x）是“太极函数”， 故函数y＝f（x）是“太极函数”不是函数y＝f（x）的图象是中心对称图形的充分条件，④错误． 故答案为：①②③． 22．（2026•白山二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足D1P∥平面A1BC1，则AP的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点O，内切球半径， AD1∥BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1， ∴AD1∥平面A1BC1， 同理可得AC∥平面A1BC1，∵AD1，AC⊂平面D1AC，AD1∩AC＝A， ∴平面D1AC∥平面A1BC1， ∵D1P∥平面A1BC1，∴D1P⊂平面D1AC， 故点P的轨迹是平面D1AC与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为O1， 如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），， ∴，，， 设平面D1AC的法向量为， 则， 令x＝1，则y＝z＝1， 故， ∴点O到平面D1AC的距离为， ∴圆O1的半径为， 由，得， ∴， ∴AP的最小值为． 故答案为：． 23．（2026•扬州模拟）2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M（﹣1，0）位置的条件下，水平方向移动3次的概率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设事件A＝“有且仅有一次经过（含到达）M（﹣1，0）”，事件B＝“水平方向移动3次”， 按移动到M（﹣1，0）位置需要1步还是3步分类讨论， 记L＝向左，R＝向右，U＝向上，D＝向下， （1）若第1步到M（﹣1，0）为事件A1，则移动3次满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D），LR（U或D或R）， 所以； （2）若3步到M（﹣1，0）为事件A2，则移动3次满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL， 所以， 因为A＝A1∪A2，且A1，A2互斥， 所以， 满足AB的情况有：LLL，LRR，RLL， 所以， 所以P（B|A）． 故答案为：． 24．（2026•辽宁模拟）已知三棱锥P﹣ABC的底面是边长为4cm的等边三角形，侧棱PA与底面ABC所成角为60°，侧棱PC与底面ABC所成角为30°，则三棱锥P﹣ABC体积的最小值为　4　 cm3；假如恰有一块这样的三棱锥宝石（体积最小时对应的三棱锥），则此块宝石　不能　 （填“能”或“不能”）打磨出一个半径为1cm的球形饰品． 【答案】4；不能． 【解答】解：如图，过P作PH⊥平面ABC于点H，连接AH，HC， 则∠PAH＝60°，∠PCH＝30°，在Rt△PAH中，， 在Rt△PCH中，，因此CH＝3AH， 又AH+CH≥AC＝4，因此AH+3AH≥4，因此AH≥1（当A，H，C三点共线时取等号）， 因此， 因此三棱锥P﹣ABC体积的最小值为4，此时点H在AC上，如图所示： ， 在Rt△PAH中，， 在Rt△PHC中，． 在△ABH中，由余弦定理得， 在Rt△PBH中，， 在△PAB中，AB＝PB＝4，PA＝2，因此， 在△PBC中，， 因此， 设三棱锥P﹣ABC内切球的半径为r，则， 因此， 则， 因此此块宝石不能打磨出一个半径为1cm的球形饰品． 故答案为：4；不能． 25．（2026•金凤区校级一模）已知函数f（x）＝（x+1）（x﹣b）（x﹣c）满足f（x）+f（2﹣x）＝4，m，n分别是函数f（x）极大、极小值点，则n﹣m＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意有f（1）＝2，f（0）+f（2）＝4，所以，解得b＝c＝2， 所以f（x）＝（x+1）（x﹣2）2，所以f′（x）＝（x﹣2）2+2（x+1）（x﹣2）＝3x（x﹣2）， 令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，由f′（x）＜0有0＜x＜2，f′（x）＞0有x＞2或x＜0， 所以f（x）在（﹣∞，0）上递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 所以f（x）的极大值点为m＝0，极小值点为n＝2，所以n﹣m＝2． 故答案为：2． 26．（2026•浦东新区校级模拟）将数列{an}中随机剔除两项ai、aj（其中1≤i＜j≤n，i，j∈N+）然后在原数列中添加一项ai+aj+aiaj，叫做数列{an}的一次变换，那么数列经过2025次变换后数列中还剩下的一项为　2026　 ． 【答案】2026． 【解答】解：因为题目中一次变换是：删除两项ai、aj，添加ai+aj+aiaj， 观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：（1+ai）（1+aj）＝1+ai+aj+aiaj， 这正好是1+新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的（1+ak）的乘积在变换前后是不变的． 原数列是共 2026 项， 初始乘积为： ＝2027， 每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026 项，经过2025次变换后， 数列只剩1项，设为x， 根据不变量，有1+x＝2027， 解得x＝2026． 故答案为：2026． 27．（2026•平谷区一模）在平面内，点P（x、y）位于直线x＝﹣2的右侧，点P到点F（2，0）的距离与到直线x＝﹣2的距离之积为4．给出下列四个结论： ①点P过坐标原点O； ②； ③若点P在第一象限内，y的最大值为1； ④点P经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：设点P（x，y），由题意可得：， 因为点P位于直线x＝﹣2的右侧，所以x+2＞0， 故方程化为：， ①、将（0，0）代入：左边右边，故曲线过原点，故①正确， ②、由， 两边平方得，结合x＞﹣2，解得，故②正确； ③、将代入：， 解得，因此曲线上存在点满足|y|＞1，故③错误； ④、由题意，x＞﹣2， 当x＝﹣1时，无整数y对应； 当x＝0时，y＝0，整点为（0，0）； 当x＝1时，无整数y对应； 当x＝2时，y＝±1，整点为（2，1），（2，﹣1）； 当x≥3时，y2＜0，无整点； 综上，点P经过3个整点，故④正确． 故答案为：①②④． 28．（2026•宜昌模拟）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1（a∈R）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），记A（x1，f（x1）），C（x2，f（x2））．点B，D在f（x）的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴，设点B，D的横坐标为m，n． （1）m+n＝　0　 ； （2）若四边形ABCD为菱形，则a＝　　 ． 【答案】（1）0； （2）． 【解答】解：（1）根据函数f（x）＝x3﹣ax+1（a∈R），得导函数f′（x）＝3x2﹣a， 根据题意可知x1，x2（x1＜x2）为3x2﹣a＝0的两实数根，则判别式Δ＝12a＞0，即a＞0， 那么x1+x2＝0，且， AB均垂直于y轴，那么f（m）＝f（x1），即， 整理得，而m≠x1，因此， 结合，那么可得，解得m＝﹣2x1或m＝x1（此时A，B重合，舍）， 同理可得n＝﹣2x2，故m+n＝﹣2（x1+x2）＝0； （2）根据上面分析可知C（x2，f（x2）），D（﹣2x2，f（x2）），A（x1，f（x1）），B（﹣2x1，f（x1））， 此时BD的中点为，即， AC的中点为，即， 即AC，BD的中点重合，四边形ABCD为平行四边形； 若四边形ABCD为菱形，那么AC，BD垂直，那么kACkBD＝﹣1； ， 因为，那么， 那么， ， 由kACkBD＝﹣1，得，结合a＞0，解得． 故答案为：0；． 29．（2025•开福区模拟）已知正四面体ABCD的棱长为，动点P满足PA2+PB2＝PC2+PD2，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为A（1，1，1），B（﹣1，﹣1，1），C（﹣1，1，﹣1），D（1，﹣1，﹣1）， 每条棱长均为，设动点P（x，y，z）， 则PA2＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2， PB2＝（x+1）2+（y+1）2+（z﹣1）2， PC2＝（x+1）2+（y﹣1）2+（z+1）2， PD2＝（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2， PA2+PB2＝2x2+2y2+2z2﹣4z+6， PC2+PD2＝2x2+2y2+2z2+4z+6， 因为PA2+PB2＝PC2+PD2， 所以z＝0，即所有满足条件的点P构成的平面为z＝0平面（xOy平面）， 而A，B，C，D为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱AC交于（0，1，0），棱AD交于（1，0，0），棱BC交于（﹣1，0，0），棱BD交于（0，﹣1，0）， 截面四边形的顶点为（0，1，0），（1，0，0），（﹣1，0，0），（0，﹣1，0）， 在xOy平面上形成一个菱形，其对角线的长度为2，故面积为2． 故答案为：2． 30．（2026•蜀山区校级模拟）如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 　192　 种不同的染色方案． 【答案】192． 【解答】解：间隔元素分析法： ①A，C同色，B，D同色，则E有两种上色方式，F被E确定，故有种； ②A，C同色，B，D不同色，则F仅有1中上色方式，E被F确定，故有种； ③A，C不同色，B，D同色，则若F与A同色，则E有1种上色方式； 若F与A不同色，则F，E只有1种上色方式； 故有种； ④A，C不同色，B、D不同色， 1）A，D同色，则有种；2）A，D不同色，则有种． 综上，共有24+24+48+48+48＝192种方式． 故答案为：192． 四．解答题（共10小题） 31．（2026•北京校级模拟）已知数列A：a1，a2，⋯，an（n≥2），定义数列A的伴随数列为B：b1，b2，⋯，bn（n≥2），其中.记T（A）＝max{a1，a2，⋯，an}﹣min{a1，a2，⋯，an}，T（B）＝max{b1，b2，⋯，bn}﹣min{b1，b2，⋯，bn}，其中，maxM表示集合M中最大的数，minM表示集合M中最小的数． （1）已知数列A：1，3，5，7，9，求T（A）和T（B）； （2）若n＝10，a1＝T（A）＝20，a1≥ai（i∈{2，3，⋯，10}），求T（B）的最小值； （3）若n＝2026，T（A）＝2026，求T（B）的最大值． 【答案】（1）T（A）＝8，T（B）＝4； （2）2； （3）2025． 【解答】解：（1）因为数列A：1，3，5，7，9， 所以max{1，3，5，7，9}＝9，min{1，3，5，7，9}＝1， 所以T（A）＝9﹣1＝8； 又因为， 所以数列B：1，2，3，4，5． 所以max{1，2，3，4，5}＝5，min{1，2，3，4，5}＝1， 所以T（B）＝5﹣1＝4． （2）因为当n＝10时，T（A）＝20，a1≥ai（i∈{2，3，⋯，10}）， 所以a1＝max{a1，a2，⋯，a10}＝20，且∃i∈{2，3，⋯，10}，使得ai＝0＝min{a1，a2，⋯，a10}， 所以b1＝max{b1，b2，⋯，b10}＝20，， 所以T（B）＝max{b1，b2，⋯，b10}﹣min{b1，b2，⋯，b10}≥b1﹣b10≥20﹣18＝2． 此时，构造数列A：20，20，⋯，20，0满足等号成立． 所以T（B）的最小值为2． （3）对任意实数c，若A1：a1﹣c，a2﹣c，⋯，an﹣c（n≥2），则数列A1的伴随数列B1：b1﹣c，b2﹣c，⋯，bn﹣c（n≥2）， 其中T（A1）＝T（A），T（B1）＝T（B）， 不妨设数列A中最大值为T（A），最小值为0． 记α＝min{b1，b2，⋯，b2026}，β＝max{b1，b2，⋯，b2026}， 令p＝max{i|bi＝α，i∈{1，2，⋯，2026}}，q＝max{j|bj＝β，j∈{1，2，⋯，2026}}， 若p＜q，则由a1+a2+⋯+ap≥0，，ap+1+ap+2+⋯+aq≤2026（q﹣p）可得： ， 构造数列A：0，2026，⋯，2026，满足上述式子等号成立． 若p＞q，则 ． 构造数列A：2026，0，⋯，0，满足上述式子等号成立． 显然当p＝q时不成立． 综上，T（B）的最大值为2025． 32．（2026•白山二模）已知椭圆C：的焦距为2，且过点． （1）求C的标准方程； （2）过点作两条斜率存在且不为零的直线l1，l2分别交C于P，Q和S，T，满足|NP||NQ|＝|NS||NT|． （i）证明：l1，l2的斜率之和为定值； （ii）求四边形PSQT面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）证明：设P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2）， 设l1的方程为，联立， 整理得， 所以， ， ， 设l2的方程为，同理有， 所以，即， 由于k1≠k2，所以k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，所以l1，l2的斜率之和为定值0； （ⅱ）． 【解答】解：（1）由焦距2c＝2，即c＝1，可知两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）， 则2a4， 即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3， 所以C的标准方程为． （2）（i）证明：设P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2）， 设l1的方程为，联立， 整理得， 所以， ， ， 设l2的方程为，同理有， 所以，即， 由于k1≠k2，所以k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，所以l1，l2的斜率之和为定值0． （ⅱ）不妨设l1的斜率k1＞0，其倾斜角为α， 则四边形PSQT的面积为， |PQ||x1﹣x2| ， 同理得， 由k1+k2＝0，得， 又， 所以， 设，由基本不等式得， 当且仅当等号成立， 设，，， 所以f（t）在区间上单调递减， 当时，f（t）取得最大值， 所以四边形PSQT的面积最大值为， 或 ， 设，由基本不等式得，当且仅当等号成立， 设， 可知f（t）在区间上单调递增，当时，f（t）取得最大值， 所以四边形PSQT的面积最大值为． 33．（2026•扬州模拟）已知在平面直角坐标系中，一条倾斜角为α的直线l1过点A（﹣2，0），其中，另一条直线l2经过点B（2，0），倾斜角为α+θ．并且两直线相交于点M （1）当θ＝45°时，求证：线段MB的垂直平分线过定点． （2）当θ＝60°，α＝30°时，若点A、B分别为椭圆的左，右两个焦点，Q点为椭圆的上顶点，且该椭圆经过点M， （i）试求出该椭圆的标准方程； （ii）如果一条直线kx﹣y+m＝0与椭圆分别交于E，F两点，且满足|EQ|＝|FQ|，请求出k的取值范围． 【答案】（1）证明：当θ＝45°时，∠AMB＝45°， 由正弦定理得，△AMB的外接圆半径为定值， ∵△AMB的外接圆圆心在AB的中垂线上，， ∴△AMB的外接圆圆心为P（0，2）， 又∵线段MB的垂直平分线恒过圆心， ∴线段MB的垂直平分线过定点（0，2）． （2）（i）；（ii）k＝0． 【解答】解：（1）证明：当θ＝45°时，∠AMB＝45°， 由正弦定理得，△AMB的外接圆半径为定值， ∵△AMB的外接圆圆心在AB的中垂线上，， ∴△AMB的外接圆圆心为P（0，2）， 又∵线段MB的垂直平分线恒过圆心， ∴线段MB的垂直平分线过定点（0，2）． （2）（i）当θ＝60°，α＝30°时，∠MAB＝30°，∠MBA＝90°， 在Rt△ABM中，|AB|＝4， 则，， 设椭圆的方程为， 则，即， |AB|＝2c＝4，即c＝2， ∴， ∴椭圆的标准方程为． （ii）点Q坐标为， 当k＝0时，根据对称性可得|EQ|＝|FQ|，符合题意， 当k≠0时， 设E（x1，y1），F（x2，y2）， 联立，整理得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣24＝0， 则Δ＝36k2m2﹣4（2+3k2）（3m2﹣24）＞0，即12k2﹣m2+8＞0（*）， ，， 则EF的中点横坐标为， 代入y＝kx+m求出EF的中点纵坐标为， 则EF的中点坐标为， 则EF中垂线方程为， ∵|EQ|＝|FQ|，∴Q在EF中垂线上， ∴，化简得， 代入（*）得， 令t＝k2，t＞0，不等式可化为6t2+7t+2＜0， 当t＞0时，不等式无解，即k无解． 综上所述，k的取值范围为k＝0． 34．（2026•辽宁模拟）某人参加趣味射击比赛，比赛按轮进行，每轮比赛中需射击固定目标或移动目标一次．其中每轮中出现固定目标的概率为，此人击中固定目标的概率为，出现移动目标的概率为，此人击中移动目标的概率为，每轮是否击中目标互不影响．若此人连续两轮射击均未击中目标，则被淘汰出局．设Pn为此人第n轮射击后，未被淘汰出局的概率． （1）求此人在一轮射击中击中目标的概率； （2）求P3，P4； （3）当n≥2时，不等式λ＞Pn恒成立，求λ的取值范围． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【解答】解：（1）设出现固定目标为事件 A，则出现移动目标为 ，击中目标为事件 B， 由题意 ， 所以由全概率公式可得 ， 所以此人在一轮射击中击中目标的概率为 ； （2）设此人在第 n 轮击中目标为事件 Bn， 显然 P1＝1， ， ， ； （3）设此人第 n 轮比赛结束时，未被淘汰出局为事件 ∁n， 当 n≥3 时，第 n 轮比赛结束时，未被淘汰出局有两种情况： 情况一：第 n 轮击中目标，且第 n﹣1 轮结束时未被淘汰出局； 情况二：第 n 轮未击中目标，且第 n﹣1 轮击中目标，且第 n﹣2 轮结束时未被淘汰出局． 所以 ， 所以 ， 所以当 n≥3 时，， 即当 n≥2 时，． （*） 设存在实数 μ，使得 {Pn+1﹣μPn} 为等比数列，且公比为 q， 则 Pn+1﹣μPn＝q（Pn﹣μPn﹣1）， 所以 Pn+1＝（μ+q）Pn﹣μqPn﹣1， 与 （*） 式对照得 解方程组可得 或 当 n＝1 时，， 当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式可得 ，① 当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式可得 ，② 由 ①②联立可得 ， 所以 ， 当 n 为偶数时，， 当 n 为奇数时，， 所以 Pn+1＜Pn，所以 {Pn} 是递减数列， 所以当 n≥2 时，不等式 ， 故 λ 的取值范围是 ． 35．（2026•长沙模拟）已知函数f（x）＝exsinx﹣ax，其中a∈R． （1）当a＝0时，求f（x）在区间上的最大值； （2）若f（x）在（0，π）上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围； （3）设x0为f（x）在内的极小值点，求证：． 【答案】（1）； （2）（﹣eπ，1]； （3）证明：由题知，，即， 要证，即证， 令g（x）＝ex（sinx+cosx）﹣（x+1）2，则g′（x）＝2（excosx﹣x﹣1）， 令 h（x）＝excosx﹣x﹣1，得h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1， 再令j（x）＝h′（x），j′（x）＝﹣2exsinx， 当时，j′（x）＜0，则j（x）单调递减， 所以h′（x）≤h′（0）＝0，h（x）单调递减， 所以h（x）＜h（0）＝0，从而g′（x）＜0，可得g（x）单调递减， 所以有g（x）＜g（0）＝0， 则有， 因此． 【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝exsinx，， 时，，故f′（x）＞0，f（x）单调递增， 故． （2）由题，f′（x）＝ex（sinx+cosx）﹣a，令t（x）＝f′（x），则t′（x）＝2excosx， 当时，t′（x）＞0，则f′（x）在上单调递增； 当时，t′（x）＜0，则f′（x）在上单调递减． ①当时，，则f′（x）≤0在（0，π）上恒成立，此时f（x）单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当x∈（0，x1）时，f（x）单调递减， 当x∈（x1，x2）时，f（x）单调递增，当x∈（x2，π）时，f（x）单调递减，此时f（x）有唯一极小值点x1，极大值点x2； ③当﹣eπ＜a≤1时，， 存在唯一，使得f′（x3）＝0， 所以f（x）在（0，x3）上单调递增，在（x3，π）上单调递减，此时f（x）在（0，π）上有唯一极大值点x3； ④当a≤﹣eπ时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，π）上单调递增，此时f（x）无极值点． 综上，实数a的取值范围为（﹣eπ，1]． （3）证明：由题知，，即， 要证，即证， 令g（x）＝ex（sinx+cosx）﹣（x+1）2，则g′（x）＝2（excosx﹣x﹣1）， 令 h（x）＝excosx﹣x﹣1，得h′（x）＝ex（cosx﹣sinx）﹣1， 再令j（x）＝h′（x），j′（x）＝﹣2exsinx， 当时，j′（x）＜0，则j（x）单调递减， 所以h′（x）≤h′（0）＝0，h（x）单调递减， 所以h（x）＜h（0）＝0，从而g′（x）＜0，可得g（x）单调递减， 所以有g（x）＜g（0）＝0， 则有， 因此． 36．（2026•浦东新区校级模拟）已知函数y＝f（x）的定义域为R，对于正实数T，定义集合KT＝{x|f（x+T）＝f（x）}． （1）若3∈K3，且x∈（0，3]时，f（x）＝log3x，求f（6）； （2）若KT≠∅，求T的取值范围； （3）若f（x）是偶函数，当x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣2，且对任意T∈（0，4），均有KT⊆K4，证明：对任意实数a，函数y＝f（x）+a在[﹣6，6]上至多有9个零点． 【答案】（1）1； （2）； （3）证明：对任意的x0∈（2，4），x0﹣4∈（﹣2，0），由f（x）是偶函数，得f（x0﹣4）＝f（4﹣x0）， 又4﹣x0﹣（x0﹣4）＝8﹣2x0∈（0，4），所以， 所以f（x0）＝f（x0﹣4）＝f（4﹣x0），因为x0∈（2，4），则4﹣x0∈（0，2）， 所以f（x0）＝f（4﹣x0）＝（4﹣x0）﹣2＝2﹣x0，所以f（x）＝2﹣x，x∈（2，4）． 对任意的s∈（0，2）时，2﹣s∈（0，2），2+s∈（2，4）， 则f（2﹣s）＝（2﹣s）﹣2＝﹣s，f（2+s）＝2﹣（2+s）＝﹣s， 所以f（2﹣s）＝f（2+s）．又2+s﹣（2﹣s）＝2s，（6﹣s）﹣（2﹣s）＝4， 则2﹣s∈K2s⊆K4，即f（2﹣s）＝f（6﹣s）， 所以当x∈（4，6）时，f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）﹣2＝x﹣6， 而f（x）为偶函数，画出函数f（x）在[﹣6，6]上的图象如图1所示， 其中f（﹣6）＝f（6），f（﹣4）＝f（4），但f（0），f（4），f（6）均未知． 首先说明f（﹣6）＝n∉（﹣2，0）， 若f（﹣6）＝n∈（﹣2，0），则﹣6﹣n∈（﹣6，﹣4）， 易知此时f（x）＝﹣x﹣6，x∈（﹣6，﹣4），则f（﹣6﹣n）＝n， 所以f（﹣6）∈K﹣n⊆K4，而x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x﹣2， 所以f（﹣6）＝f（﹣2）＝0，与f（﹣6）＝n∈（﹣2，0）矛盾， 所以f（﹣6）∉（﹣2，0），即f（﹣6）＝f（6）∉（﹣2，0）， 令y＝f（x）+a＝0，则f（x）＝﹣a， 当a＝0时，若f（﹣6）＝f（6）＝f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝0，如图2，y＝f（x）+a最多有7个零点， 当a≥2时，若f（﹣6）＝f（6）＝f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝﹣a，如图3，y＝f（x）+a有5个零点，故y＝f（x）+a最多有5个零点； 当a＜0时，若f（﹣6）＝f（6）＝f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝﹣a，如图4，y＝f（x）+a有5个零点，故y＝f（x）+a最多有5个零点； 当0＜a＜2时，若f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝﹣a，则﹣4，0，4是y＝f（x）+a的零点， 又f（﹣6）＝n∉（﹣2，0），如图5， y＝f（x）+a在区间（﹣6，﹣4），（﹣4，﹣2），（﹣2，0），（0，2），（2，4），（4，6）上各有1个零点，以及﹣4，0，4是零点， 故y＝f（x）+a最多有9个零点． 综上所述，对任意实数a，函数y＝f（x）+a在[﹣6，6]上至多有9个零点． 【解答】解：（1）因为y＝f（x）的定义域为R，对于正实数T，定义集合KT＝{x|f（x+T）＝f（x）}， 又3∈K3，且x∈（0，3]时，f（x）＝log3x， 所以f（3+3）＝f（3）， 所以f（6）＝f（3）＝log33＝1； （2）因为KT≠∅，所以存在实数x0使得f（x0+T）＝f（x0），且T＞0， 当x＜2时，f（x）＝x，f（x）在（﹣∞，2）上单调递增；当x≥2时，，f（x）在[2，+∞）上单调递增， 由f（x0+T）＝f（x0），得x0＜2≤x0+T，所以， 若x0＜0，则方程无解； 若0≤x0＜2，则方程可以化为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且当x0＝0时，T＝2，当时，，当x0＝2时，T＝4，所以，即T的取值范围是； （3）证明：对任意的x0∈（2，4），x0﹣4∈（﹣2，0），由f（x）是偶函数，得f（x0﹣4）＝f（4﹣x0）， 又4﹣x0﹣（x0﹣4）＝8﹣2x0∈（0，4），所以， 所以f（x0）＝f（x0﹣4）＝f（4﹣x0），因为x0∈（2，4），则4﹣x0∈（0，2）， 所以f（x0）＝f（4﹣x0）＝（4﹣x0）﹣2＝2﹣x0，所以f（x）＝2﹣x，x∈（2，4）． 对任意的s∈（0，2）时，2﹣s∈（0，2），2+s∈（2，4）， 则f（2﹣s）＝（2﹣s）﹣2＝﹣s，f（2+s）＝2﹣（2+s）＝﹣s， 所以f（2﹣s）＝f（2+s）．又2+s﹣（2﹣s）＝2s，（6﹣s）﹣（2﹣s）＝4， 则2﹣s∈K2s⊆K4，即f（2﹣s）＝f（6﹣s）， 所以当x∈（4，6）时，f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）﹣2＝x﹣6， 而f（x）为偶函数，画出函数f（x）在[﹣6，6]上的图象如图1所示， 其中f（﹣6）＝f（6），f（﹣4）＝f（4），但f（0），f（4），f（6）均未知． 首先说明f（﹣6）＝n∉（﹣2，0）， 若f（﹣6）＝n∈（﹣2，0），则﹣6﹣n∈（﹣6，﹣4）， 易知此时f（x）＝﹣x﹣6，x∈（﹣6，﹣4），则f（﹣6﹣n）＝n， 所以f（﹣6）∈K﹣n⊆K4，而x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x﹣2， 所以f（﹣6）＝f（﹣2）＝0，与f（﹣6）＝n∈（﹣2，0）矛盾， 所以f（﹣6）∉（﹣2，0），即f（﹣6）＝f（6）∉（﹣2，0）， 令y＝f（x）+a＝0，则f（x）＝﹣a， 当a＝0时，若f（﹣6）＝f（6）＝f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝0，如图2，y＝f（x）+a最多有7个零点， 当a≥2时，若f（﹣6）＝f（6）＝f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝﹣a，如图3，y＝f（x）+a有5个零点，故y＝f（x）+a最多有5个零点； 当a＜0时，若f（﹣6）＝f（6）＝f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝﹣a，如图4，y＝f（x）+a有5个零点，故y＝f（x）+a最多有5个零点； 当0＜a＜2时，若f（﹣4）＝f（4）＝f（0）＝﹣a，则﹣4，0，4是y＝f（x）+a的零点， 又f（﹣6）＝n∉（﹣2，0），如图5， y＝f（x）+a在区间（﹣6，﹣4），（﹣4，﹣2），（﹣2，0），（0，2），（2，4），（4，6）上各有1个零点，以及﹣4，0，4是零点， 故y＝f（x）+a最多有9个零点． 综上所述，对任意实数a，函数y＝f（x）+a在[﹣6，6]上至多有9个零点． 37．（2026•平谷区一模）设数阵A0，其中a11，a12，a21，a22∈{1，2，…6}．设S＝{e1，e2，…el}⊆{1，2…6}，其中e1＜e2＜…＜el，l∈N*且l≤6．定义变换φk为“对于数阵的每一行，若其中有k或﹣k，则将这一行中每个数都乘以﹣1；若其中没有k且没有﹣k，则这一行中所有数均保持不变”（k＝e1，e2，…el）．φs（A0）表示“将A0经过φ变换得到A1，再将A1经过φ变换的到A2，…，以此类推，最后将Al﹣1经过φ变换得到Al”，记数阵Al中四个数的和为TS（A0）． （Ⅰ）若A0，写出A0经过φ2变换后得到的数阵A1； （Ⅱ）若A0，S＝{1，3}，求TS（A0）的值； （Ⅲ）对任意确定的一个数阵A0，证明：TS（A0）的所有可能取值的和不超过﹣4． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）解：A0，A0经过φ2变换后得到的数阵A1． （Ⅱ）解：A0，S＝{1，3}， A0经过s变换后，得到， ∴TS（A0）＝1+3﹣3﹣6＝﹣5． （Ⅲ）证明：若a11≠a12，在{1，2，3，4，5，6}的所有非空子集中， 含有a11且不含有a12的子集共有24个，经过变换后第一行均变为﹣a11，﹣a12， 含有a12，不含有a11的子集共有24个，经过变换后第一行均变为﹣a11，﹣a12， 同时含有a11且含有a12的子集共有24个，经过变换后第一行均变为a11，a12， 不含有a11且不含有a12的子集共有24﹣1个，经过变换后第一行均变为a11，a12， ∴经过变换后所有Ai的第一行的所有数的和为： a11﹣a12， 若a11＝a12，则{1，2，3，4，5，6}的所有非空子集中，含有a11的子集共25个， 经过变换后第一行变为﹣a11，﹣a12，不含有a11的子集共有25﹣1个， 经过变换后仍为a11，a12， ∴经过变换后所有Ai的第一行的所有数的和为： 25×（﹣a11﹣a12）+（25﹣1）×（a11+a12）＝﹣a11﹣a12， 同理，经过变换后所有Ai的第二行的所有数的和为﹣a21﹣a22， ∴Ts（A0）的所有可能取值的和为﹣a11﹣a12﹣a21﹣a22， ∵a11，a12，a21，a22∈{1，2，…，6}， ∴TS（A0）的所有可能取值的和不超过﹣4． 38．（2026•宜昌模拟）已知双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为1，且点P（2，1）在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程； （2）斜率为﹣1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P）． ①求直线AP、BP的斜率之和； ②若△PAB的外接圆圆心为M，试问在x轴上是否存在定点Q使|MQ|2﹣|MP|2为定值，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①0；②存在，且点Q（1，0）． 【解答】解：（1）双曲线C的右焦点为F（c，0），双曲线C的渐近线方程为，即bx±ay＝0． 因为双曲线的焦点F到一条渐近线的距离为1， 所以焦点F到一条渐近线的距离为， 因为点P（2，1）在双曲线C上，所以，解得， 所以双曲线C的标准方程为； （2）①设直线AB的方程为y＝﹣x+m，点A（x1，y1）、B（x2，y2）． 因为点P不在直线AB上，则m﹣1≠2，可得m≠3， 联立，消去y整理可得x2﹣4mx+2（m2+1）＝0， 则 ， 即直线AP、BP的斜率之和为0． ②设△PAB的外接圆方程为x2+y2+sx+ty+n＝0， 则， 由y1＝﹣x1+m代入， 可得， 所以． 同理可得， 所以x1、x2为关于x的方程2x2+（s﹣t﹣2m）x+（m2+tm﹣n）＝0的两根， 又因为x1、x2为关于x的方程x2﹣4mx+2（m2+1）＝0的两根， 所以方程2x2+（s﹣t﹣2m）x+（m2+tm﹣n）＝0与方程x2﹣4mx+2（m2+1）＝0为同解方程， 所以，解得， 易知x2+y2+sx+ty+n＝0的圆心为点， 所以点，， 所以直线MP的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x+3． 当PQ⊥MP时，直线PQ的斜率为1， 所以直线PQ的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1， 直线y＝x﹣1与x轴的交点为（1，0），不妨取点Q（1，0），此时PQ⊥MP， 则|MQ|2﹣|MP|2＝|PQ|2＝（2﹣1）2+（1﹣0）2＝2， 故在x轴上存在定点Q（1，0），使得|MQ|2﹣|MP|2为定值2． 39．（2024•青岛一模）已知O为坐标原点，点W为⊙O：x2+y2＝4 和⊙M的公共点，，⊙M与直线x+2＝0相切，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）若n＞m＞0，直线l：x﹣y﹣m＝0与C交于点A，B，直线l2：x﹣y﹣n＝0与C交于点A，B'，点A，A'在第一象限，记直线AA′与BB'；的交点为G，直线AB'与BA′的交点为H，线段AB的中点为E． （i）证明：G，E，H三点共线； （ii）若（m+1）2+n＝7，过点H作l1的平行线，分别交线段AA'，BB'于点T，T′，求四边形GTET'面积的最大值． 【答案】（1）y2＝4x； （2）（i）证明过程见详解； （ii）16． 【解答】解：（1）设M（x，y），切点为N，则|MN|2＝|MW|2＝|OM|2+|OW|2，所以|x+2|2＝x2+y2+4， 化简得y2＝4x， 所以C的方程为：y2＝4x； （2）（i）证明：因为l1∥l2，可设，， 又因为， 所以G，E，F三点共线，同理H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线； （ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），A'（x3，y3），B'（x4，y4）， AB中点为E，A'B'中点为F，将x＝y+m代入y2＝4x可得：y2﹣4y﹣4m＝0， 所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4m， 所以，同理yF＝2（G，E，H，F均在定直线y＝2上）， 因为TT'∥l1，所以△EAT与△EAH面积相等，△EBT'与△EBH面积相等， 所以四边形GTET'面积等于四边形GAHB面积， 设G（xG，2），H（xH，2）， 直线，即， 整理得：直线，又因为yG＝2， 所以， 同理，直线，yH＝2， 所以， 所以， 所以四边形GAHB面积 ， 当且仅当（1+m）2＝1+n， 即，即时取等号， 所以四边形GTET'面积的最大值为16． 40．（2026•蜀山区校级模拟）线性反馈移位寄存器是现代通信应用中的关键技术，利用它进行简单的逻辑运算和移位操作能生成伪随机序列，因而被广泛用于干扰码、加密和同步等场景．某线性反馈移位寄存器通过以下规则生成由0和1组成的序列： ①初始设置：前三位为a1＝1，a2＝1，a3＝1； ②生成规则：从第4位开始，计算公式为an+3其中n是正整数． （1）求数列{an}的前6项； （2）设Sn＝a1+a2+…+an，求Sn的通项公式； （3）设T，求T的值． 【答案】（1）a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝0，a5＝0，a6＝1； （2）； （3）T＝319． 【解答】解：（1）因为a1＝1，a2＝1，a3＝1，an+3其中n是正整数， 所以a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝0，a5＝0，a6＝1； （2）观察：a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝0，a5＝0，a6＝1，a7＝0，a8＝1，a9＝1，…， 可得{an}的周期T＝7，且a1+a2+⋯+a7＝4， 当n＝7k+1（k∈N）时，； 当n＝7k+2（k∈N）时，； 当n＝7k+3（k∈N）时，； 当n＝7k+4（k∈N）时，； 当n＝7k+5（k∈N）时，； 当n＝7k+6（k∈N）时，； 当n＝7k+7（k∈N）时，， 所以Sn的通项公式为； （3）数列的前20项：1，1，1，0，0，1，0，1，1，1，0，0，1，0，1，1，1，0，0，1，共有12个数字1，有8个数字0， 数对（ai，aj），1≤i＜j≤20的选法，分成3种情况： ①当ai＝aj时，有种情况，每一种情况， ②当ai＝1，aj＝0时，有3×8+1×6+3×5+1×3+3×2＝54种情况，每一种情况， ③当ai＝0，aj＝1时，有2×9+1×8+2×5+1×4+2×1＝42种情况，每一种情况， 所以． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $