重难点04 三角函数的最值6考点（期中真题汇编，北京专用）高一数学下学期人教A版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点04三角函数的最值 ☆6大高频考点概览 考点01整体法求函数的值域最值 考点02换元法求值域最值 考点03值域最值求参数 考点04恒成立与存在问题 考点05零点问题 考点06分段函数的值域 目目 考点01 整体法求函数的值域最值 1.(2425高一下北京交通大学附属中学期中)已知函数fx)=sin2x+sinxsin(x+) (1)求f(x)的最小正周期： (2)求函数fx)的最小值，并求取最小值时x的集合； (3)求函数fx)的单调增区间： (④求函数f(x)在区间[0，]上的值域， 2.(23,24高一下北京顺义牛栏山第一中学期中设函数f(x)=sinxcos+V5sinx.与 (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)若f(x)在[0，m](m>0)上的值域为 ①若n=寺，求m的值： ②若n=1,求m的取值范围.（①②两问直接写出答案） 3.(21-22高一下.北京师范大学附属实验中学期中)己知函数f(x)=2W3 sinxcosx+2cos2x (1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程； (2)求f(x)在[0，受]上的最大值： (3)若f(x)在[t1t2]上单调递减，在[t2t3]上单调递增，其中0≤t2≤π，且t3t1=,求t2的值并 讨论f(x)在[t1t3]上的值域. 4.(2122高一下北京铁路第二中学期中)已知函数f(x)=cosx(sinx+V5cosx)-,x∈R (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)求函数f(x)的单调增区间； (3)当x∈[0，受]时，求函数f(x)的值域. 1/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(21-2高一下北京人大附中期中)已知函数f(x)=c0 sxsin(x+等)-V5c0s2x+号(x∈R) (I)求f(x)在区间[-，]的值域， (2)设函数g(x)对任意xER,有g(x+受)=g(x),且当xE[0,受]时，g(x)=克-f(x).求g(x) 在区间[-π，0]上的解析式 目目 考点02 换元法求值域最值 1.(24-25高一下·北京第八十中学，期中)函数y=sinx+cosx-4 sinxcosx的值域是 2.(23-24高一下北京怀柔区青苗学校普高部期中)函数y=3-sinx-2cos2x,x∈[吾，]的值域为 3.(22-23高一下.北京大峪中学·期中)已知f(x)=sinx+cos2x,则f(x)的值域为 4.(23-24高一下.北京翔宇中学期中)求函数f(6)=3-c0s20-4sin的值域， 5.(21-22高一下北京西城期中)已知函数f8)=2cos2x+2V3 sinxcosx. (I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若xE[-,晋]，求函数的值域： (3)若y=fx)+f(x),求函数的值域 目目 考点03 值域最值求参数 1.(24-25高一下·北京理工大大学附属中学期中)已知函数 f(x)=Asin(ωx+p)(ω>0，A>0,|p|<受)的一段图象如图所示： (1)求函数f(x)的表达式和单调递减区间； (2)若函数f(x)在[-吾，m]的值域是[-1,2，求m的取值范围： (3)若f(a)=号，ae(0,),求f(a-晋)的值. 5元 12 12 2.(24-25高一下北京第八十中学期中已知函数f(x)=sin2x+V3 sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； 2/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求f(x)的对称轴及单调递减区间； (3)若y=f(x),xE[0,m]的值域为[0，]，求m的取值范围 3.(24-25高一下北京第十九中学期中)已知函数f(x)=2sin(wx+晋)+m(ω>0) (1)若f(0)=0,求m的值 (2)在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m的值的两个条件作为己知 (i)求f(x)的解析式： (ii)求f(x)的单调递增区间； (i)若x∈(，a心)时，该函数有最小值无最大值，求实数α的取值范围 条件①：f(x)的图象过点(0,2)： 条件②：f(x)的最大值与最小值之和为0： 条件③：f(x)的图象的两个相邻对称轴的距离等于； 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分 4.(24-25高一下·北京回民学校期中)已知函数f(x)=sin2 xCoS-cos2 xsino,其中p<号，再从条 件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使f(x)存在，并完成下列两个问题。 (1)求P的值； (2)若m>0,函数f(x)在区间[0，m]上最小值为-，求实数m的取值范围. 条件①：对任意的xER,都有f(x)≤f()成立： 条件②：f(晋)=-； 条件③：f(号)-f()=2. 5.(22-23高一下北京中关村中学期中)已知函数f8)=2sin(wx+号)+m-V3(ω>0）.在下列条件①、 条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知.条件①：f0)=2;条件②： fx)最大值与最小值之和为0；条件③：f(x)最小正周期为元. ()求f()的值： (2)若函数f(x)在区间[0，a]上是增函数，求实数a的最大值 目目 考点04 恒成立与存在问题 1.(23-24高一下北京中国人民大学附属中学期中)若ex+asinx-cosx≥0在[，π]恒成立，则a的取值 范围是() 3/7 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.[0,+∞ B.[-e号，+∞) c.[-e号，0] D.[0e] 2.(23-24高一下北京十一学校期中)已知函数f8)=cosx23sinx+cosx)-sin2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期： (2)填写由函数y=2sinx的图象变换得到f(x)的图像的过程： 先将y=2sinx图象上的所有点，得到y=2sin(x+需)的图象； 再把y=2sin(x+)的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标 ，得到f(x)=2sin(2x+)的图象. (3)若当x∈[0，罗]时，关于x的不等式fx)≥m，求实数m的取值范围. 请选择①和②中的一个条件，补全问题(3)，并求解. 其中，①有解；②恒成立. 3.(21-22高一下北京第五十五中学期中)已知函数f(x)=2 sinxcosx-2V5sim3x+V5. (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)若x∈[0，]时，m<f(x)恒成立，求实数m的取值范围； (3)设ae(受，π)，f(号)=器，求sinc的值. 4.(22-23高一下北京东直门中学期中)已知函数f(x)=V3sin2wx-cos2wxω>0)，且f(x)的图象 相邻的两个对称中心之间的距离为罗 (1)求f(x)的解析式： (2)当x∈[0，变]时，关于x的不等式f(x)≤m恒成立，求实数m的取值范围. 5.(22-23高一下北京海淀区八一学校期中)已知函数f8)=2V2c0sx·sim(x-晋)+1，xER (1)请化简为正弦型函数，并求函数fx)的单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间[-，]上的最值，及取得最值时x的值. (3)若Vx1x2e[-,],都有引fx)-fx≤m恒成立，求实数m的取值范围. 目目 考点05 零点问题 1.(24-25高一下北京第一六一中学期中)已知函数f(x)=2cosx+sin(2x+p)-1,其中p|<受.再 从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使f(x)存在，并完成下列两个问题 (1)求p的值； (2)若函数f(x)在区间[0，a]上的有且仅有两个零点，求a的取值范围. 4/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 条件①f(若)=1； 条件②-最是f(x)的一个零点： 条件③f(0)=f(晋) 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 2.(24-25高一下-北京铁路第二中学期中)已知函数f(x)=V3 sinxcosx-cos2x+2cos2x-1. (I)求f()的值： (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)当xE[0,m]时，若曲线y=f(x)与直线y=专恰有两个公共点，求m的取值范围。 2x+晋 0 2π X 最 晋 毁 晋 罗 f(x) 0 Ny 0 -1 0 3.（2425高一下北京大学附属中学元路学院期中已知函数f(x)=6inxc0sx十5c0sx.与 (1)求f(x)的单调递增区间： (2)若函数h(x)=f(x)-的零点为xo,求cos(若-2xo). 4.(24-25高一下北京顺义牛栏山第一中学期中)设函数f(x)=V3 sinxcosx-cos2x- (1)求f(x)的最小正周期，单调增区间，对称中心： (2)当xE[0,号]时，求函数f(x)的最大值和最小值： (3)若函数f(x)在[-m,0]上有两个零点，请直接写出的m取值范围， 5.(23-24高一下北京延庆区期中)已知函数f8)=2V3 sinxcosx+-2sin2x-1. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； (2)若x∈[0，变]，求函数fx)的最大值和最小值及相应x的值： (3)①将函数fx)的图像向左平移号个单位，得到gx)的图像； ②将函数x的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图像； ③将函数fx)的图像向下平移√3个单位，得到g(x)的图像； 从上述①②③中选择一个变换，求出g(x)的解析式，使得g(x)在[0，]上有两个零点，并求出零点. 5/7 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 注：如果选择的条件不符合要求，第(3)中求零点得0分. 目目 考点06 分段函数的值域 sinx,sinx2 cosx 1.(24-25高一下北京第三十五中学期中)已知函数f(x)= cosx,sinx<cosx’ 给出下列四个结论： ①f(x)的值域是[0,1]： ②f(x)是以π为最小正周期的周期函数： ③f(x)在区间（π，要）上单调递增： ④f(x)在[0,2π]上有2个零点； 其中所有正确结论的序号是 2.(22-23高一下北京顺义区期中)已知f(x)=|sinx·cosx,x∈R有下列四个说法： ①fx)的一个正周期为2π；②fx)在[-，]上单增： ③f(x)值域为[-克]；④fx)图象关于x=π对称 其中，所有正确说法的序号是 |a,a≥b 3.22-23高一下北京师范大学附属中学期中)对任意实数a,b,定义运算mx{a,b}= (b,a<b,则关 于函数f(x)=max{sinx,cosx}的说法正确的是 (填序号) ①函数r(x)的规为[9，小： ②当2km<x<要+2kπ(kEZ)时，f(x)<0; ③m是函数f(x)的一个周期； ④函数f(x)图像的对称轴为x=空+kT(k∈Z) 4.(21-22高一下，北京昌平区·期末)已知函数f(x)=sinx-Cosx,x∈R.给出下列三个结论： ①f(x)是偶函数： ②f(x)的值域是[-V2,V2]: ③f(x)在区间（买，元）上是减函数. 其中，所有正确结论的序号是 5.(22-23高一下·北京西城区北京师范大学附属实验中学期中)关于函数f(x)=|sinx+Cosx,给出 下列四个结论： ①函数f(x)的最小正周期为受； 6/7 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②函数f(x)的最小值是1； ③函数f(x)的最大值是V2: ④函数f(x)在区间(O,)上单调递增 其中全部正确结论的序号是 7/7 重难点04三角函数的最值 6大高频考点概览 考点01 整体法求函数的值域最值 考点02 换元法求值域最值 考点03 值域最值求参数 考点04 恒成立与存在问题 考点05 零点问题 考点06 分段函数的值域 地 城 考点01 整体法求函数的值域最值 1．(24-25高一下·北京交通大学附属中学·期中)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求函数的最小值，并求取最小值时x的集合； (3)求函数的单调增区间； (4)求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)最小值为，x的取值集合为 (3)单调递增区间为 (4) 【分析】（1）利用二倍角及辅助角公式进行化简，再结合正弦函数的周期公式求解. （2）结合正弦函数的最值及取得最值的条件求解. （3）结合正弦函数的单调性求解. （4）结合正弦函数最值及取得最值的条件求解． 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期为. （2）当，即时，函数取得最小值， 此时x的取值集合为； （3）由，得， 所以函数的单调递增区间为. （4）当时，，，， 因此，所以函数的值域为. 2．(23-24高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若在上的值域为， ①若，求m的值； ②若，求m的取值范围．（①②两问直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用倍角公式及两角差的正弦函数公式化简可得解析式：，利用周期公式即可得解； （2）由已知的范围可得，，结合已知函数值域，以及正弦函数的性质可分别求解①②. 【详解】（1） ， . （2）①时，由，可得， 若函数的值域为，则，即； ②若函数值域为，则解得：， 故m的范围为. 3．(21-22高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)已知函数． (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在上的最大值； (3)若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域． 【答案】(1)最小正周期，对称轴方程； (2)3； (3)，值域见解析 【分析】（1）由恒等变换得，即可利用函数的性质求解； （2）先求的范围，即可结合函数单调性求得最值； （3）由上单调递减，在上单调递增得且为的极小值点，结合的范围与函数单调性，即可求得的值； 由，可得，结合函数单调性，即可对的值分类讨论（分界点为的情形），即可判断最值 【详解】（1），所以最小正周期，由得，对称轴方程为； （2）由，得，所以当时，取得最大值，为3； （3）由题， ，为的极小值点， 又，故，所以，即， 由，得，，即，当时，可解得， i.当，即，此时在上的值域为，即； ii. 当，即,此时在上的值域为，即 4．(21-22高一下·北京铁路第二中学·期中)已知函数，． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的值域． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由降幂公式化简得，再求最小正周期即可； （2）令直接解出单调增区间即可； （3）先求出整体的范围，再求的值域即可. 【详解】（1） ， 故函数的最小正周期； （2）由（1）知，令， 解得， 故的单调增区间为； （3）由得，故当时，取最小值，最小值为； 当时，取最大值，最大值为， 故函数的值域为. 5．(21-22高一下·北京人大附中·期中)已知函数. (1)求在区间的值域. (2)设函数对任意，有，且当时，.求在区间上的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换得到，再利用正弦函数的性质求解； （2）根据，得到 ，再由时，，分和求解. 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 因为， 所以，则， 所以； （2）因为函数对任意，有， 所以 , 因为当时，， 当时，， 则， 当时，， 则， 所以. 地 城 考点02 换元法求值域最值 1．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)函数的值域是_____． 【答案】 【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数，即可求解值域． 【详解】因为，所以， 令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为， 当，， 当，，即函数的值域为． 故答案为：. 2．(23-24高一下·北京怀柔区青苗学校普高部·期中)函数的值域为__________. 【答案】 【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得. 【详解】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 3．(22-23高一下·北京大峪中学·期中)已知，则的值域为____________. 【答案】 【分析】利用倍角余弦公式可得，设，则，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】 设，则 可得当时，， 当时， 可得的值域为. 故答案为：. 4．(23-24高一下·北京翔宇中学·期中)求函数的值域. 【答案】 【分析】将函数化简配方，由，利用二次函数的图象与性质，即可得到函数的值域. 【详解】， 因为， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 5．(21-22高一下·北京西城·期中)已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) (3) 【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，从而求出最小正周期，整体法求解函数单调递增区间； （2）在第一问求解的函数解析式基础上，求解函数的值域； （3）配方得到，结合求出值域. 【详解】（1）， 故的最小正周期， 令，解得：， 故单调递增区间为； （2），则， 故， 函数的值域为 （3）， 其中， 故， 所以的值域为. 地 城 考点03 值域最值求参数 1．(24-25高一下·北京理工大大学附属中学·期中)已知函数的一段图象如图所示： (1)求函数的表达式和单调递减区间； (2)若函数在的值域是，求的取值范围； (3)若，，求的值． 【答案】(1)，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）根据图象即可求得的表达式，令，求解即可得出单调减区间； （2）根据正弦函数的性质即可求解； （3）根据诱导公式，正弦函数的单调性及同角三角函数的平方关系即可求解． 【详解】（1）由图象可知，，所以，又，故， 由，得， 又，故，于是， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为． （2）因为，所以， 又，所以， 由正弦函数的性质得，，所以． （3），即， ， 由，得，又， 所以， 则， 于是． 2．(24-25高一下·北京第八十中学·期中)已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的对称轴及单调递减区间； (3)若，的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)对称轴为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）利用降幂升角及辅助角公式，得到，即可得出结果； （2）根据（1）中结果，再利用的图像与性质即可求出结果； （3）先求出的值，再结合图像与条件，即可求出结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）由（1）知，由，得到， 由，， 所以，的对称轴为，单调递减区间为. （3）因为，由，得到，即，令，得到， 如图，由对称性，轴右侧函数图像与轴第一个交点为， 又当时，的值域为，所以. 3．(24-25高一下·北京第十九中学·期中)已知函数 (1)若，求m的值 (2)在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m的值的两个条件作为已知 （i）求的解析式； （ii）求的单调递增区间； （iii）若时，该函数有最小值无最大值，求实数的取值范围. 条件①：的图象过点； 条件②：的最大值与最小值之和为0； 条件③：的图象的两个相邻对称轴的距离等于； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)-1； (2)答案见解析 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）（i）根据条件①得到，根据条件②得到，根据条件③得到，故不能选①②，若选①③，则，若选②③，则； （ii）选①③和②③，方法相同，整体法求解函数单调递增区间； （iii）选①③和②③，方法相同，先得到，数形结合得到，求出答案. 【详解】（1），解得； （2）（i）条件①，的图象过点，则，解得， 条件②，的最大值与最小值之和为0； 的最大值为，最小值为， 故，解得， 条件③，的图象的两条相邻对称轴的距离等于； 设的最小正周期为，则，解得， 又，故， 若选①②，则两者求出的值不同，不合要求，舍去； 若选①③，则有，则， 若选②③，则有，则， （ii）若选①③，则， 令，解得， 故的单调递增区间为； 若选②③，则， 令，解得， 故的单调递增区间为； （iii）若选①③，则， ，则， 时，该函数有最小值无最大值，故， 解得， 若选②③，则， ，则， 时，该函数有最小值无最大值，故， 解得. 4．(24-25高一下·北京回民学校·期中)已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并完成下列两个问题． (1)求的值； (2)若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围． 条件①：对任意的，都有成立； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使成立，从而可求解. （2）根据（1）中可得，再利用整体代换法得，从而可求得，再结合，从而可求解. 【详解】（1）由， 若选条件①：可知当时，，因为，即，且对任意，都有恒成立，故选条件①时存在，故可选①； 若选条件②：，解得或，，因为，所以与条件矛盾，故不选②； 若选条件③：， 所以，因为，可得，故条件③能使成立，故可选③； 综上所述：故可选择条件①或③，此时. （2）由（1）知，当时，， 且的最小值为，所以可得，解得，又， 所以， 所以的取值范围为. 5．(22-23高一下·北京中关村中学·期中)已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定ω和m值的两个条件作为已知. 条件①：＝2；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为π. (1)求的值； (2)若函数在区间［0，a］上是增函数，求实数a的最大值 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】本题为劣构题； （1）选择条件然后对应分析解析； 条件① ②：由①知，根据，解得m=2；由②知，根据，解得，矛盾，不能同时选； 选条件① ③：解得，从而解得，结合函数图像的单调性确定a的最大值为； 选条件② ③：根据条件解得，，解得， （2）结合函数图像的单调性确定a的最大值为； 【详解】（1）函数． 选条件① ②： 由①知，，所以m=2； 由②知，，所以，矛盾，不能同时选； 选条件① ③： 由条件③得，，又因为ω>0，所以ω=2． 由①知，，所以m=2． 则． 所以． 选条件② ③： 由于最小正周期为，所以ω=2，所以； 由最大值与最小值之和为0， ， 故，解得． 所以， 所以． （2）选条件① ③： 令，所以， 所以函数f（x）的单调增区间为． 因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0， 所以，故a的最大值为． 选条件② ③：解法同选择① ③ ： 令，所以， 所以函数的单调增区间为． 因为函数在区间［0，a]上单调递增，且，此时k=0， 所以，故a的最大值为． 地 城 考点04 恒成立与存在问题 1．(23-24高一下·北京中国人民大学附属中学·期中)若在恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式变形后，分类讨论并参变分离，分析右边函数的单调性,得到其最大值即得参数范围. 【详解】由可得（*）， 当时不等式为显然成立； 当时，（*）式可化为：， 因时，单调递增且恒为负，故单调递减； 同时又因单调递减且恒为正，则单调递增， 又单调递增，故在时单调递减. 综上可知，在时为减函数， 故当时，函数有最大值为，故. 故选：B. 2．(23-24高一下·北京十一学校·期中)已知函数． (1)求函数的单调递增区间和最小正周期； (2)填写由函数的图象变换得到的图像的过程： 先将图象上的所有点______，得到的图象； 再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标______，得到的图象． (3)若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解． 其中，①有解；②恒成立． 【答案】(1)，； (2)左平移个单位长度，变为原来的； (3)答案见解析. 【分析】（1）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期； （2）由（1）中函数，利用三角函数图象变换求解即得. （3）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）依题意， ， 所以函数的最小正周期； 由，得， 所以函数的单调增区间为. （2）先将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到的图象； 再把的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象. （3）若选择①，不等式有解，即， 由，得， 则当，即时，取得最大值，且最大值为， 所以. 若选择②，不等式恒成立，即． 由，得， 则当，即时，取得最小值，且最小值为． 所以． 【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解. 3．(21-22高一下·北京第五十五中学·期中)已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数最小正周期求法可求得结果； （2）利用正弦型函数最值求法可求得，由此可得的范围； （3）根据同角三角函数关系可得，由，利用两角差的正弦公式可求得结果. 【详解】（1）， 的最小正周期. （2）当时，， 当，即时，取得最小值，， 即实数的取值范围为. （3），， ，，， . 4．(22-23高一下·北京东直门中学·期中)已知函数，且的图象相邻的两个对称中心之间的距离为． (1)求的解析式； (2)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，根据函数的大小求出函数的周期，然后求出的值即可． （2）由的取值范围，求出的范围，根据正弦函数的性质求出函数的最大值即可． 【详解】（1）因为 ， 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为， ，即，则， ， 即． （2）当，则， 则当，即时，取得最大值，且， 若不等式恒成立，， 即实数的取值范围是． 5．(22-23高一下·北京海淀区八一学校·期中)已知函数，． (1)请化简为正弦型函数，并求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值． (3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)最大值为1，此时；最小值为，此时； (3) 【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式结合辅助角公式化简可得，结合正弦函数的单调性即可求得答案； （2）根据时，确定的范围，结合正弦函数的性质即可求得答案； （3）由，都有恒成立，可得，结合（2）的结论，即可求得答案. 【详解】（1）因为 , 令，则， 故函数的单调递增区间为. （2）当时，， 由于在单调递减，在单调递增， 当，即时，,取得最小值； 当时，； 当，即时，取得最大值； （3）若，都有恒成立， 即， 由（2）可知， 故，即实数m的取值范围为. 地 城 考点05 零点问题 1．(24-25高一下·北京第一六一中学·期中)已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题. (1)求的值； (2)若函数在区间上的有且仅有两个零点，求a的取值范围. 条件①； 条件②是的一个零点； 条件③. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将函数进行化简，然后①将函数值代入函数中，②将零点代入函数中，③列出等式，即可求出的值. （2）首先求出函数的零点，然后根据条件判断的取值范围. 【详解】（1）因为，所以. 将①作为已知条件，因为， 所以，所以. 因为，所以. 将②作为已知条件，因为是的一个零点， 所以. 所以，因为，所以. 将③作为已知条件，因为， 所以. 所以，展开化简得，进而得，因为，所以. （2）按照条件①②③求得的，所以函数解析式为：. 因为在区间上有且仅有两个零点， 所以令，则， 解得. 当时，；当时，；当时，. 所以的取值范围为：. 2．(24-25高一下·北京铁路第二中学·期中)已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，若曲线与直线恰有两个公共点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将函数化简后再代入求值即可； （2）根据正弦函数性质列不等式求解即可； （3）作出函数与直线的图象，根据题意即可求解. 【详解】（1） ， 所以； （2）令，， 解得，， 函数的单调递增区间为，； （3）根据五点作图法得如下表格： 根据函数具有周期性结合表格得函数与图象如图所示： 因为，， 当时，要使曲线与直线恰有两个公共点，则. 3．(24-25高一下·北京大学附属中学元培学院·期中)已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若函数的零点为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间； （2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由（1）得， 因为函数的零点为，所以. 4．(24-25高一下·北京顺义牛栏山第一中学·期中)设函数. (1)求的最小正周期，单调增区间，对称中心； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数在上有两个零点，请直接写出的取值范围. 【答案】(1)；单调递增区间为；对称中心为 (2)最小值；最大值. (3) 【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角公式化简，再利用周期公式求周期，令求单调增区间，令求对称中心； （2）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其值域； （3）求的取值范围，再结合正弦函数图象可求其零点. 【详解】（1） ， 则最小正周期， 令，得， 则的单调递增区间为， 令，得， 则的对称中心为. （2），则，则， 则， 故当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值. （3）函数在上有两个零点，则在上有两个根， 又，则， 结合正弦函数图象可得，，得， 则取值范围为 5．(23-24高一下·北京延庆区·期中)已知函数． (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若，求函数的最大值和最小值及相应x的值； (3)①将函数的图像向左平移个单位，得到的图像； ②将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像； ③将函数的图像向下平移个单位，得到的图像； 从上述①②③中选择一个变换，求出的解析式，使得在上有两个零点，并求出零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（3）中求零点得0分． 【答案】(1),,. (2)当时,函数的最小值为;当时,函数的最大值为. (3)答案见解析 【分析】（1）首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变换成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调区间; （2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最大值和最小值; （3）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数解析式，进一步求出零点的个数. 【详解】（1）函数, 故函数的最小正周期为, 令， 整理得, 故函数的单调递增区间为,. （2）由于,故, 故, 所以函数的值域为. 当时,函数的最小值为,当时,函数的最大值为; （3）选择①： 将函数的图像向左平移个单位, 得到的图像; 由于,故, 当时,， 故函数在上有唯一个零点. 选择②： 将函数的图像上每个点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变, 得到的图像, 由于,故, 当时,， 故函数在上有唯一个零点. 选择③： 将函数的图像向下平移个单位, 得到的图像, 令, 整理得, 当或时函数的值为0， 故函数在上有两个零点. 故只有③满足有两个零点. 地 城 考点06 分段函数的值域 1．(24-25高一下·北京第三十五中学·期中)已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②是以为最小正周期的周期函数； ③在区间上单调递增； ④在上有个零点； 其中所有正确结论的序号是_____. 【答案】①④ 【分析】化简函数的解析式，利用特殊值法可判断②；数形结合可判断①③④. 【详解】由， 当时，即当时， ，即； 当时，即当时， ，即. 所以， 作出函数的图象如下图所示： 对于①，由图可知，函数的值域为，①对； 对于②，因为，，所以， 所以不是函数的周期，②错； 对于③，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上不单调，③错； 对于④，由图可知，函数在区间上的零点为、， 即函数在上有个零点，④对. 故答案为：①④. 2．(22-23高一下·北京顺义区·期中)已知，.有下列四个说法： ①的一个正周期为；②在上单增； ③值域为；④图象关于对称. 其中，所有正确说法的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果. 【详解】对于①，因为 ，所以①正确； 对于②，当时，，此时， 又，所以在单调递增， 因为 ，为偶函数， 所以在单调递减，故②错误； 对于③，因为 ， 所以值域为，故③正确； 对于④，因为 ，所以图象关于对称. 故答案为:①③④. 3．(22-23高一下·北京师范大学附属中学·期中)对任意实数，定义运算，则关于函数的说法正确的是__________.（填序号） ①函数的值域为； ②当时，； ③是函数的一个周期； ④函数图像的对称轴为. 【答案】①④ 【分析】把根据题意写成分段函数的形式，画出函数的部分图像，根据图像即可判断值域、函数值的正负、周期性、对称轴. 【详解】由题意得，函数， 如图，作出函数在的图像. 由图可知：函数为周期函数，最小正周期为，为其中一个周期. 在内， ①当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， 所以函数的值域为正确； ②当时，，所以当时，错误； ③函数的最小正周期为，所以是函数的一个周期错误； ④函数关于和对称， 所以函数图像的对称轴为正确. 故答案为：①④ 4．(21-22高一下·北京昌平区·期末)已知函数，．给出下列三个结论： ①是偶函数； ②的值域是； ③在区间上是减函数． 其中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①③ 【分析】计算出可判断①，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当时，，然后可判断③. 【详解】因为，所以是偶函数，故①正确， 当时，， 当时， 又因为，所以的值域是，故②错误； 当时，，此时， 所以在区间上是减函数，故③正确， 故答案为：①③ 5．(22-23高一下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·期中)关于函数，给出下列四个结论： ①函数的最小正周期为； ②函数的最小值是1； ③函数的最大值是； ④函数在区间上单调递增. 其中全部正确结论的序号是__________. 【答案】①②③ 【分析】首先把三角函数变形成的形式，进而逐一分析三个结论的真假，可得答案. 【详解】函数， 则， 且， 函数图象如下所示： 所以函数的最小正周期为，故①正确； 故当时，函数的最小值为，故②正确； 当时，函数取最大值，故③正确； 当时，，因为在上不单调，故函数在区间上不单调，故④错误； 故答案为：①②③ 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $