专题03 整式乘法与因式分解（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材沪科版

专题03 整式乘法与因式分解（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的运算 题型02 单项式的乘除 题型03 单项式×多项式 题型04 多项式×多项式 题型05 平方差公式的应用 题型06 完全平方公式的应用 题型07 因式分解 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的4个运算性质 熟记并准确运用同底数幂的乘法、除法以及积的乘方。幂的乘方的法则。区分指数相加、减，相乘不混淆。会处理符号，负号，系数问题 基础必考点，常出现在选择题、填空题，以判断运算的正误，简单的计算，逆用性质等问题。 单项式乘以单项式，单项式乘单项式，多项式乘以多项式 掌握单项式乘以单项式、单项式乘单项式、多项式乘以多项式的法则。区分它们的共性和不同点。牢记多项式乘以多项式中的两个重要公式，完全平方公式和平方差公式。 以选择、填空，解答的形式出现，常出现在求某一项的系数或者是代数式求值问题，两个重要公式常与几何问题一起考查。 零指数，负整数指数 理解零指数、负整数指数的意义。 以选择、填空的形式出现，形式为有无意义求底数的参数值或是简单的计算。 因式分解的概念与基本要求 理解因式分解的概念：和差化积为因式分解，从形式，式子的乘积情况来区分，注意分解要彻底。 判断等式是否为因式分解，或直接进行因式分解。 因式分解的方法 会利用提公因式、公式法进行因式分解。理解因式分解的步骤：一提→二套→三检查是否彻底。 常以选择、填空的形式出现，偶尔也在解答题之中也考因式分解的实际应用。 整式乘法与因式分解的关系 理解因式分解为和差化积，整式乘法为积化和差，是一个互逆的过程。 以填空、选择的形式出现，考查难度偏中等，伴随着代数式求值、整体变形求值。 知识点01 同底数幂的乘法 底数不变，指数相乘。 ·示例：。 ·易错点：错误写成指数相乘，底数不同硬合并，如。 知识点02 幂的乘方 底数不变，指数相乘。 ·示例：。 ·易错点：错写成指数相加，或漏算系数，如。 知识点03 积的乘方 积的乘方等于各因式乘方的积。 ·示例：。 ·易错点：字母算乘方时漏算系数的乘方，负号处理出现错误，如，正确为，正确为。 知识点04 同底数幂相除 底数不变，指数相减 ·示例：. ·易错点：指数相减错写为指数相除或相加，如。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 ,. ·示例：. ·易错点：忽略底数不为0的情况，看到负指数直接变为负数，如，这是大错特错，正确答案为。 知识点06 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，多的字母连同字母的指数照抄。 ·示例：, ·易错点：漏乘某某一项，特别是常数项，括号前是负号，去括号时需要变号。 知识点07 单项式×多项式 利用乘法分配律将单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 ·示例：2x+2<8的解集为x<3,在数轴表示就为空心圈,往3的左边走，y-1≥3的解集为y≥4在数轴表示就为实心点，往4的右边走。 ·易错点：方向画反，实心点与空心圈分不清楚。 知识点08 多项式×多项式 用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ·示例：。 ·易错点：漏项、少乘，合并同类项出错。 知识点09 平方差公式 ，结构特点为两项、同号、异号、平方， ·示例：。 ·易错点：乱加中间项，和完全平方公式搞混淆，符号搞反，不会变形。 知识点10 完全平方公式 , ·示例：。 ·易错点：漏写积的2倍，符号搞错，如，系数不平方，如，正确为. 知识点11 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。 ·示例：。 ·易错点：指数相减算反，系数出错。 知识点12 多项式÷单项式 多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 ·示例：。 ·易错点：漏除某一项，符号出错。 知识点13 因式分解及其方法步骤 把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫因式分解。常见的方法有提取公因式法和套公式法。步骤为一提二套三检查是否分解彻底。 ·示例：。 ·易错点：公因式没有提干净，分解不彻底，首项负号不提导致后面符号混乱。 题型一 幂的运算 解｜题｜技｜巧 先定符号，再算指数，负数偶次幂为正，奇次幂为负，系数单独算，乘是指数加，乘方是指数乘。 【典例1】下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据对应法则计算各选项结果，即可得出答案． 【详解】解：A、，结果符合要求； B、，结果不符合要求； C、，结果不符合要求； D、与不是同类项，不能合并，结果不符合要求； 故选：A． 【典例2】若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，关键是熟练应用运算法则进行计算；将转化为，再利用积的乘方公式变形，代入已知条件即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【典例3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂运算的相关法则，分别利用同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，分式乘方，同底数幂除法的法则计算各选项，即可判断正误． 【详解】解：对于选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误，不符合题意； 对于选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故B错误，不符合题意； 对于选项C：∵分式乘方时，分子分母分别乘方，结合积的乘方法则可得， ∴，等式成立，故C正确，符合题意； 对于选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D错误，不符合题意． 故选C． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算幂的乘方，然后再根据同底数幂相除，指数相减，即可得出答案． 【详解】解：． 【变式2】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将所求式子变形为已知条件可表示的形式，代入计算即可． 【详解】解：． 题型二 单项式的乘法 解｜题｜技｜巧 系数相乘除，定符号，同底数幂相乘除，单独字母照抄。 【典例1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算乘方，再计算单项式乘法，运用积的乘方、同底数幂相乘的法则即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式1】计算：________． 【答案】 【分析】运用有理数乘法法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：． 【变式2】若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_______． 【答案】 【分析】由同类项的定义求出，的值，再求两个单项式的乘积即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， 这两个单项式分别为，， 这两个单项式的积为． 题型三 单项式×多项式 解｜题｜技｜巧 运用分配律全覆盖不跳步，不漏项的运算。 【典例1】计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】_______________． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以多项式的运算，直接应用此运算法则进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】计算：_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式与单项式的乘法运算，运用分配律将单项式分别乘以多项式中的每一项，再计算系数和变量的乘积． 【详解】原式 ． 故答案为 ． 题型四 多项式×多项式 解｜题｜技｜巧 逐项相乘，再进行合并同类项，预防漏交叉项。 【典例1】计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；根据多项式乘法的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘，再合并同类项即可． 【详解】解：； 故答案为． 【变式1】已知，，则___________． 【答案】3 【分析】先将代数式展开，再代入和计算结果． 【详解】原式 ， ∵，， ∴原式． 【变式2】已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先展开等式左边的多项式，再利用多项式相等时对应项系数相等的性质求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：， 根据多项式相等对应项系数相等，得，， ∴． 故选：C． 题型五 平方差公式的应用 解｜题｜技｜巧 牢记公式，找相同项和相反项简记为同方—反方。 【典例1】下列式子能运用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【详解】解：，不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意； ，满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B符合题意； ，不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意； ，不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D不符合题意． 【变式1】已知，，则__________． 【答案】 【分析】根据平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】___________． 【答案】1 【分析】先将式子变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】 ． 【变式3】计算______． 【答案】 【详解】解： 题型六 完全平方公式的应用 解｜题｜技｜巧 首平方、尾平方、积的2倍放中央，符号看前方，同时注意不要漏掉积的2倍。 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式化简即可得出答案． 【详解】解：． 故选：D． 【变式1】若，则m的值为_____． 【答案】6 【分析】利用完全平方公式将等式左边展开，再根据多项式相等时对应项系数相等求出m的值. 【详解】解：， ∴， ∴. 题型七 因式分解 解｜题｜技｜巧 因式是和差化积的结果，步骤为一提二套三检查，方法有提公因式法和套公式法以及十字相乘法。 【典例1】下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A．右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， B．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故该选项不符合题意， C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意， D．右边的不是整式，因此右边不是几个整式乘积的形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意． 【变式1】分解因式_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，掌握好配方法和换元法是关键． （1）先使用题干的配方法，再运用平方差公式进行因式分解即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再将换成即可； （3）先将系数化整，分别对、、进行配方，由非负数的性质求出、、的值，然后判断的形状． 【详解】（1）解：； （2）解：设， ， ∴； （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据运算法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 2．已知，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，对已知等式变形，代入已知条件得到关于的方程，结合幂的结果恒为正求出的值． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， ∵ ， ∴ 将，代入得 整理得 ∵， ∴． 3．化简：______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则展开原式，再合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法、公式法和十字相乘法进行的因式分解，解题关键是掌握因式分解的方法． （1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． （2）先提公因式，再利用十字相乘法即可进行因式分解． 【详解】（1）解：． （2） 解：． 5．下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： (1)小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） (2)按小思的方法，运算的结果为_________． 【答案】(1)（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟记公式是解题的关键． （1）利用积的乘方法则，完全平方公式进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为，第②步出现的错误具体是的结果应为，的结果应为， 故答案为：（为正整数）；的结果应为（或的结果应为）； （2）按小思的方法，原式 ， 故答案为：． 6．在线上教学期间，张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪分别将自己的计算过程上传给张老师，上传结果如下： 嘉嘉 琪琪 张老师经过批改，认为两名学生的作法都正确，并表扬琪琪同学的方法更简便．请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)8099 (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可． （2）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 … ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，原计算错误，故不符合题意； B. ，原计算错误，故不符合题意； C. ，原计算错误，故不符合题意； D. ，原计算正确，故符合题意． 2．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的定义，对应各项系数关系求解m即可． 【详解】解：完全平方公式为． ∵ 是完全平方式，其中首项为，末项 ∴中间项满足 ．即． 解得． 3．已知，则______． 【答案】 【分析】将两边平方后移项可得． 【详解】解：， ，即， ， ． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 5．聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽； (2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积． 【答案】(1)型卡片的长为：，宽为： (2)所拼成的长方形的面积为364 【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可； （2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积． 【详解】（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：； （2）所拼成的长方形的面积为： ， 当，时， 原式=． 6．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究． 规定：若，那么．例如，那么． (1)填空：_____； (2)若，，探索、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法． （1）先判断2的多少次方是16，然后根据定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的规定，把，写成底数是2的幂，然后进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】B 【点睛】观察图形可知，阴影部分的面积可以看作是 的面积与 的面积之和，得出阴影面积为 ，利用完全平方公式求出 的值即可求解． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积 又 ， ． 2．若是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．或3 B．或4 C．5或3 D．5或 【答案】D 【分析】根据题意可得两平方项为，据此根据完全平方式的特点得到一次项系数满足的条件，解对应的方程即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴一次项系数满足， 当时，解得； 当时，解得； 因此的值为或． 3．已知满足，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6…，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9…，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．设第n个图形三角形数为x，第个图形三角形数为y，第个图形正方形数为z，则x、y、z之间的等量关系为______． 【答案】 【分析】由题意知第n个三角形数为，第n个正方形数为，第个图形正方形数为，即可求解． 【详解】解：由题意知第n个三角形数为， 第n个正方形数为，第个图形正方形数为， ∵第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座雕像然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积；（用含a、b的代数式表示） (2)当，时，求绿化的面积． 【答案】(1)平方米 (2)129平方米 【分析】（1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得：平方米， 答：绿化面积是平方米． （2）解：当，时， （平方米）． 答：绿化面积是129平方米． 6．小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方． 例如4和5，有． (1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据． 设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以        （______）                         （______） 所以一定是正数n的平方． (2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 【答案】(1)乘法分配律；等量代换 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）设，m、n是连续的正整数，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以（乘法分配律） （等量代换） ， 所以一定是正数n的平方． 故答案为：乘法分配律；等量代换 （2）证明：设，m、n是连续的正整数， 所以， 所以， 所以． 所以一定是正数m的平方． 7．小明的老师设计了一个“神秘数字盒子”，盒子的密码由以下规则生成：将二次多项式因式分解为，其中 m，n，p，q均为整数．密码由分解后各因式的系数绝对值按从小到大的顺序排列组成（重复数字只保留一个）．例如：若分解结果为，则系数绝对值为1，2，3，密码为1，2，3．请解决以下问题： (1)将多项式分解为两个一次因式的乘积．根据分解结果，生成该数字盒子的密码． (2)若某数字盒子的密码为1，2，3，5，且其对应的多项式为，请写出该多项式的一种可能的因式分解形式，并写出此时k的值． 【答案】(1)；2，3，5 (2)当分解结果为时，；当分解结果为时，． 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法把分解因式即可得到答案； （2）根据，则可得因式分解的结果可以为或或或，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分解后的系数为， ∵， ∴数字盒子的密码为2，3，5； （2）∵， ∴因式分解的结果可以为或或或， 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 综上所述，当分解结果为时，；当分解结果为时，． 8．在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？小季同学经过思考后作如下解答： 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，，即无论取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为． (1)请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) (2)18 【分析】题目主要考查新定义，理解新定义是解题关键． （1）根据题中方法进行配方法，分解因式即可； （2）根据题中的方法进行因式分解，然后即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） 因为无论m取何值时，都小于等于0， 所以，则有最大值为18． 9．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 【观察探索】 （1）小明用大小不一的正方形卡片和长方形卡片拼成了如图①所示的大正方形．用不同的代数式表示图①中阴影部分的面积，可以得到一个等式： ； 【问题解决】 （2）已知，，则 ． （3）已知，求的值； 【拓展应用】 （4）如图②，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为120，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式和几何图形的关系，利用图形得出完全平方公式的变式是解题关键． （1）用两种方式列式即可得到等式； （2）代入（1）所得等式计算求值即可； （3）设，，利用（1）所得等式计算即可； （4）由题意可知，，，，设，，则，，再利用（1）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）用两个小正方形面积列式得：， 用大正方形面积减长方形面积列式得：， 则； （2），， ； （3）设，，则， ， ， ； （4），，， ，， 长方形的面积为120， ， ， 设，，则，， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式乘法与因式分解（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 幂的运算 题型02 单项式的乘除 题型03 单项式×多项式 题型04 多项式×多项式 题型05 平方差公式的应用 题型06 完全平方公式的应用 题型07 因式分解 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的4个运算性质 熟记并准确运用同底数幂的乘法、除法以及积的乘方。幂的乘方的法则。区分指数相加、减，相乘不混淆。会处理符号，负号，系数问题 基础必考点，常出现在选择题、填空题，以判断运算的正误，简单的计算，逆用性质等问题。 单项式乘以单项式，单项式乘单项式，多项式乘以多项式 掌握单项式乘以单项式、单项式乘单项式、多项式乘以多项式的法则。区分它们的共性和不同点。牢记多项式乘以多项式中的两个重要公式，完全平方公式和平方差公式。 以选择、填空，解答的形式出现，常出现在求某一项的系数或者是代数式求值问题，两个重要公式常与几何问题一起考查。 零指数，负整数指数 理解零指数、负整数指数的意义。 以选择、填空的形式出现，形式为有无意义求底数的参数值或是简单的计算。 因式分解的概念与基本要求 理解因式分解的概念：和差化积为因式分解，从形式，式子的乘积情况来区分，注意分解要彻底。 判断等式是否为因式分解，或直接进行因式分解。 因式分解的方法 会利用提公因式、公式法进行因式分解。理解因式分解的步骤：一提→二套→三检查是否彻底。 常以选择、填空的形式出现，偶尔也在解答题之中也考因式分解的实际应用。 整式乘法与因式分解的关系 理解因式分解为和差化积，整式乘法为积化和差，是一个互逆的过程。 以填空、选择的形式出现，考查难度偏中等，伴随着代数式求值、整体变形求值。 知识点01 同底数幂的乘法 底数不变，指数相乘。 ·示例：。 ·易错点：错误写成指数相乘，底数不同硬合并，如。 知识点02 幂的乘方 底数不变，指数相乘。 ·示例：。 ·易错点：错写成指数相加，或漏算系数，如。 知识点03 积的乘方 积的乘方等于各因式乘方的积。 ·示例：。 ·易错点：字母算乘方时漏算系数的乘方，负号处理出现错误，如，正确为，正确为。 知识点04 同底数幂相除 底数不变，指数相减 ·示例：. ·易错点：指数相减错写为指数相除或相加，如。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 ,. ·示例：. ·易错点：忽略底数不为0的情况，看到负指数直接变为负数，如，这是大错特错，正确答案为。 知识点06 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，多的字母连同字母的指数照抄。 ·示例：, ·易错点：漏乘某某一项，特别是常数项，括号前是负号，去括号时需要变号。 知识点07 单项式×多项式 利用乘法分配律将单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 ·示例：2x+2<8的解集为x<3,在数轴表示就为空心圈,往3的左边走，y-1≥3的解集为y≥4在数轴表示就为实心点，往4的右边走。 ·易错点：方向画反，实心点与空心圈分不清楚。 知识点08 多项式×多项式 用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ·示例：。 ·易错点：漏项、少乘，合并同类项出错。 知识点09 平方差公式 ，结构特点为两项、同号、异号、平方， ·示例：。 ·易错点：乱加中间项，和完全平方公式搞混淆，符号搞反，不会变形。 知识点10 完全平方公式 , ·示例：。 ·易错点：漏写积的2倍，符号搞错，如，系数不平方，如，正确为. 知识点11 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，只在被除式里的字母照抄。 ·示例：。 ·易错点：指数相减算反，系数出错。 知识点12 多项式÷单项式 多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 ·示例：。 ·易错点：漏除某一项，符号出错。 知识点13 因式分解及其方法步骤 把一个多项式化为几个整式乘积的形式叫因式分解。常见的方法有提取公因式法和套公式法。步骤为一提二套三检查是否分解彻底。 ·示例：。 ·易错点：公因式没有提干净，分解不彻底，首项负号不提导致后面符号混乱。 题型一 幂的运算 解｜题｜技｜巧 先定符号，再算指数，负数偶次幂为正，奇次幂为负，系数单独算，乘是指数加，乘方是指数乘。 【典例1】下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若，，则（　　） A． B． C． D． 【典例3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 单项式的乘法 解｜题｜技｜巧 系数相乘除，定符号，同底数幂相乘除，单独字母照抄。 【典例1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算：________． 【变式2】若单项式与是同类项，则这两个单项式的积是_______． 题型三 单项式×多项式 解｜题｜技｜巧 运用分配律全覆盖不跳步，不漏项的运算。 【典例1】计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】_______________． 【变式2】计算：_________． 题型四 多项式×多项式 解｜题｜技｜巧 逐项相乘，再进行合并同类项，预防漏交叉项。 【典例1】计算：______． 【变式1】已知，，则___________． 【变式2】已知，则的值为（   ） A．5 B．1 C． D． 题型五 平方差公式的应用 解｜题｜技｜巧 牢记公式，找相同项和相反项简记为同方—反方。 【典例1】下列式子能运用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，则__________． 【变式2】___________． 【变式3】计算______． 题型六 完全平方公式的应用 解｜题｜技｜巧 首平方、尾平方、积的2倍放中央，符号看前方，同时注意不要漏掉积的2倍。 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则m的值为_____． 题型七 因式分解 解｜题｜技｜巧 因式是和差化积的结果，步骤为一提二套三检查，方法有提公因式法和套公式法以及十字相乘法。 【典例1】下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】分解因式_______． 【变式2】阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．化简：______． 4．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 5．下面是小奇和小思两位同学化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 小奇的方法：解：原式……① ……② ．③ 小思的方法： 解：原式 任务： (1)小奇的方法中，第①步运算的依据用字母表示为_________，第②步出现的错误具体是______；（写出一处错误即可） (2)按小思的方法，运算的结果为_________． 6．在线上教学期间，张老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪分别将自己的计算过程上传给张老师，上传结果如下： 嘉嘉 琪琪 张老师经过批改，认为两名学生的作法都正确，并表扬琪琪同学的方法更简便．请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 3．已知，则______． 4．先化简，再求值：，其中． 5．聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形． (1)请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽； (2)如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积． 6．某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道、可以求的值．如果知道、可以求的值吗？他们为此进行了研究． 规定：若，那么．例如，那么． (1)填空：_____； (2)若，，探索、满足的数量关系，并说明理由． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 2．若是一个完全平方式，则k的值为（    ） A．或3 B．或4 C．5或3 D．5或 3．已知满足，则代数式的值为______． 4．毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6…，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9…，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．设第n个图形三角形数为x，第个图形三角形数为y，第个图形正方形数为z，则x、y、z之间的等量关系为______． 5．如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座雕像然后将阴影部分进行绿化． (1)求绿化的面积；（用含a、b的代数式表示） (2)当，时，求绿化的面积． 6．小明发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方． 例如4和5，有． (1)【证明结论】请填写该结论证明过程的依据． 设m，n是连续的正整数，且， 可得； 所以        （______）                         （______） 所以一定是正数n的平方． (2)【类比证明】小红发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 7．小明的老师设计了一个“神秘数字盒子”，盒子的密码由以下规则生成：将二次多项式因式分解为，其中 m，n，p，q均为整数．密码由分解后各因式的系数绝对值按从小到大的顺序排列组成（重复数字只保留一个）．例如：若分解结果为，则系数绝对值为1，2，3，密码为1，2，3．请解决以下问题： (1)将多项式分解为两个一次因式的乘积．根据分解结果，生成该数字盒子的密码． (2)若某数字盒子的密码为1，2，3，5，且其对应的多项式为，请写出该多项式的一种可能的因式分解形式，并写出此时k的值． 8．在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式进行因式分解呢？小季同学经过思考后作如下解答： 小戴同学在仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：，在代数式中，，即无论取何值，都大于等于0，所以，则有最小值为． (1)请仿照小季的解答过程，将代数式分解因式； (2)求代数式的最大值． 9．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 【观察探索】 （1）小明用大小不一的正方形卡片和长方形卡片拼成了如图①所示的大正方形．用不同的代数式表示图①中阴影部分的面积，可以得到一个等式： ； 【问题解决】 （2）已知，，则 ． （3）已知，求的值； 【拓展应用】 （4）如图②，在长方形中，，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为120，求图中阴影部分的面积和． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $