16.5 实践与探索（题型专练）（基础达标5大题型+能力提升7大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

16.5实践与探索 题型一 一次函数与一元一次方程 1. B 2. C 3. 4. 4 题型二 一次函数与二元一次方程（组） 1. B 2．B 3．A 4. D 5.解：（1）次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0）， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵一次函数过点C（2，a）， ∴2＝1， ∴C（2，1）， ∴方程组的解为． 题型三 一次函数与一元一次不等式 1．或 2．D 3． 4.【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 题型四 建立一次函数模型解决实际问题 1. 15 2.解：（1）． 答：购买甲、乙两种石材所需总费用（元）与甲种石材数量（块）的函数关系为 （2）根据题意，得， 解得． ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，值最小，最小＝﹣100×5000+1050000＝550000． 答：该小区所购买的甲种石材5000块时，所需总费用最省，最省费用为550000元． 3. 【详解】（1）解：根据题意（，为整数）； （2）解：由（1）知， ∵， ∴随的增大而减小， ∵小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即， ∴当时，有最大值， 答：该文创店所获得的最大利润为元； （3）解：， ∵，且为整数，， ∴当时，，与的取值无关， 此时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数； 当时，即，则随的增大而增大， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为40个； 当时，即，则随的增大而减小， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为35个； 答：当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 题型五 建立反比例函数模型解决实际问题 1. A 2. 12 3.解：（1）根据题意，路程为400， 设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时， 则关于的函数表达式为； （2）设从A地匀速行驶到B地要小时，则80， 解得：， ∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时； （3）∵， 100， 解得：， ∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地， 7点至10点40分，是3小时， ∴他不能在10点40分之前到达B地． 题型一 分段函数的应用 1. 2. B 3. 【详解】（1）解：观察图象可知： 玲玲在12时到达郊外公园，此时离家． （2）解：由图可知， 玲玲第一次休息了． 题型二 函数图像与几何图形面积问题 1.解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象： ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为（1，3）， ∴二元一次方程组，的解为； （2）由图象知：函数和函数的图象与x轴的交点坐标分别为（4，0），（﹣0.5，0）， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 2. 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， 所以一次函数解析式为； 把代入得， 解得， 则M点坐标为， 把代入得， 所以反比例函数解析式为； （2）如图，过M点作轴于C，则， ∵， ∴， ∴． 3. 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 题型三 与函数有关的方案类问题 1. 【详解】（1）解：由图象可得，函数, 过点， 则， 解得： 故答案为：21，3000； （2）解：由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元， 每棵树苗的原价是（元）， 即每棵树苗的原价30元： 方案二中的树苗打九折优惠， 按照方案二购买的每棵树苗的价格为（元）， 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠，当时，， ， 的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格； （3）解：该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少， 理由：由（1）（2）可知，， 当时， ， ， 该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少． 2.【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 3.【详解】（1）解：①设裤子的标价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：裤子的标价为210元； ②选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为元， 方案三的花费为元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为； 当时，关于的函数表达式为； 当时，关于的函数表达式为； 故答案为：；；； （3）解：当时， 方案一购买需花费元， 方案三购买需花费x元， ∵， ∴按方案一购买更合算； 当时， 方案一购买需花费元， 方案三购买需花费元， 当，即时，两种方案购买花费一样多； 当，即时，用方案三购买更合算； 当，即时，用方案一购买更合算； 综上所述，当时，用方案三购买更合算． 题型四 与函数有关的利润类问题 1. 【详解】（1）解：根据题意得：， 与的函数表达式为； （2）解：购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的， ， 解得， ， 当时，最大，最大值为18750， 答：当时，商家获得最大利润，最大利润是18750元． 2.【详解】（1）解：设A型原材料单价为x元，则B型原材料单价为元 由题意得：， 解得 检验：是原方程的解，且符合题意 ， 答：A型单价80元，B型单价100元． （2）解：设购进A型原材料m千克，则购买B型原材料千克， 由题意得：，且， 解得， 根据题意，得， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，最小值为元， 答：W的最小值为8500元． 3.【详解】（1）解：由题意可得， ， 商品的件数不大于商品的件数，且不小于件， ， 解得， 即与之间的函数关系式是； （2）与之间的函数关系式是； 随的增大而增大， 当时，利润最大，最大利润为：． （3）设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进商品件，方可获得最大利润． 故答案为：． 题型五 与函数有关的行程类问题 1.【详解】（1）解：由题可知：是甲无人机的函数图象，是乙无人机的函数图象． 设的函数解析式为． ∵经过点， ， ， 的函数解析式为． 根据题意得：乙无人机的飞行速度是米/秒， 乙无人机的飞行速度是甲无人机的2倍， ∴甲无人机的飞行速度是5米/秒， ； （2）解：由（1）可得：的函数解析式为， ∵经过点， ， 解得：， ∴的函数解析式为； 由和联立得： ，解得：． ， 小博同学选用乙无人机较为合适． 由，得． 答：小博同学选用乙无人机较为合适．至少要飞行7秒才能达到小博的要求． 2. B 3.【详解】（1）线段CD表示轿车在途中停留了(小时)， 故答案为: ； （2）设线段对应的函数解析式为 由图可知，， ∴把代入得: 解得 ∴线段对应的函数解析式为； （3）设线段的函数解析式为，把代入得解得 ∴线段OA的函数解析式为， 由 得， ∴线段与线段交点的坐标为, 它的实际意义为：货车出发小时后，在距甲地千米处，轿车追上了货车. 题型六 与函数有关的跨学科融合 1.【详解】（1）解：根据题意，设关于的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得：， ∴与的函数关系式为：； （2）解：当弹簧长度为时， 即， 解得：， ∴当弹簧长度为时，所挂物体的质量为12kg． 2.【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 3.【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 题型七 一次函数与反比例函数综合应用 1.【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 2.【详解】（1）解：∵整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温y， ∵其图象过点， ∴， 解得， ∴在水温下降过程中，； （2）解：依题意，令，得， 解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待． 3.【详解】（1）解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． （3）解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 1. 2. 3.【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； 设， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的横坐标为6或2； （2）解：联立解析式得， 解得：， ， 由图象得：时，直线：的图象在直线：的图象上方， ∴． 4.【详解】解：点为直线上的动点，且 ∴设解析式为 把代入，解得 即解析式为， 设点P的坐标为， ∵，，，点在边上，且，点为的中点， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 解得 ∴ 故选：B 5. 6.【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． 7.【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 8.【详解】解：任务：设， 由题意可得：， 关于的函数关系式为． 任务：由题意得． 解得， 任务：解不等式，得， 结合 得， 因此取值范围为. 当该商品供大于求时，该商品的价格的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.5实践与探索 题型一 一次函数与一元一次方程 1.（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 2.（2024秋•岱岳区期末）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 那么方程ax+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 3.（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为 ． 4.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为 ． 题型二 一次函数与二元一次方程（组） 1.（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形是以方程2x﹣y＝2的解为坐标的点组成的图象的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 4.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 5.（2024秋•康定市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y＝mx的图象交于点C． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点C（2，a），请直接写出方程组的解． 题型三 一次函数与一元一次不等式 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 2．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b≥3的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 4.（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 题型四 建立一次函数模型解决实际问题 1.某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用y（元）与超出流量x（GB）的部分数据如表： 超出流量x（GB） 0 1 2 3 4 … 总费用y（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用y（元）是超出流量x（GB）的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出 　 　GB． 2.（2024秋•海曙区期末）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元． （1）求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系； （2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用． 3.（25-26八年级上·广东梅州·期中）2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 题型五 建立反比例函数模型解决实际问题 1.（2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2.在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离S（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力F为50N时，此物体在力的方向上移动的距离S是 　 m． 3.（2024•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时． （1）写出v关于t的函数表达式； （2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？ （3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由． 题型一 分段函数的应用 1.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 2.实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·全国·周测）星期天，玲玲骑自行车到郊外公园游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)玲玲在什么时刻到达郊外公园？此时离家多远？ (2)如果从10时至第一次休息和11时至12时，玲玲骑行的速度都是，那么玲玲第一次休息了多长时间？ 题型二 函数图像与几何图形面积问题 1.（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积． 2.（2024·宁夏·一模）如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第二象限内的交点为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； 3.（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 题型三 与函数有关的方案类问题 1.（25-26八年级上·福建漳州·月考）某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售． 设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)________；_______． (2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． (3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由． 2.（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 3.（24-25八年级下·河南开封·期中）三八妇女节期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想为自己的妈妈买一件上衣和一条裤子，上衣和裤子的价格均在两百元以上．已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 题型四 与函数有关的利润类问题 1.（2024·陕西西安·二模）为了迎接“三八”妇女节，某商家决定售卖康乃馨和玫瑰花两种花，康乃馨和玫瑰花的进价、售价如下表所示： 进价（元/支） 售价（元/支） 康乃馨 6 9 玫瑰花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和玫瑰花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的，设康乃馨购买支，出售康乃馨和玫瑰花的总利润为元． (1)求与的函数表达式； (2)当取何值时，商家获得最大利润，最大利润是多少元? 2.（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划购进一批原材料加工生产，已知购进A型原材料的单价比B型原材料单价少20元，且用800元购进A型原材料的数量与用1000元购进B型原材料的数量相同． (1)求A、B两种原材料的单价各是多少元？ (2)工厂计划购进两种原材料共100千克，且A型原材料的数量不超过B型原材料数量的3倍，设购进A型原材料m千克，购买两种原材料的总费用为W元，求W的最小值． 3.某商场购进、两种商品共件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，、两种商品的进价、售价如表： 进价元件 售价元件 请利用本章所学知识解决下列问题： (1)设商场购进商品的件数为件，购进、两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进 件，方可获得最大利润． 题型五 与函数有关的行程类问题 1.某兴趣小组的同学对甲、乙两架无人机进行测试，他们将甲无人机放在距离地面a米高的地方，将乙无人机放在地面，两架无人机同时匀速向上飞行，飞行高度y（单位：米）和飞行时间t（单位：秒）的关系如下图所示，已知乙无人机的性能更优越，其飞行速度是甲无人机的2倍．据图中信息，解答下列问题． (1)求的函数解析式，并求出a的值． (2)若小博同学想在较短的时间内令无人机的飞行高度不低于70米，则小博应选择哪一架无人机比较合适？该无人机至少要飞行多长时间才能达到小博同学的要求？ 2.（25-26八年级上·广东深圳·期末）甲、乙两人从地分别驾车前往地，、两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间（单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（   ） A． B． C． D． 3.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)线段表示轿车在途中停留了______h； (2)求线段对应的函数解析式； (3)求线段与线段交点F的坐标，并说明它的实际意义． 题型六 与函数有关的跨学科融合 1.一根弹簧在竖直且不挂物体状态下长为，随着所挂物体质量的增加，弹簧长度随之增加．已知所挂物体质量小于，弹簧长度与所挂物体质量成一次函数关系．当物体质量为时，弹簧长度为，设物体质量为，弹簧长度为． (1)当时，求关于的函数表达式； (2)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 2.（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 3.（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 题型七 一次函数与反比例函数综合应用 1.（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 2.（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式； (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？ 3.（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 1．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为 ． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 3.如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 4.如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积为6，则直线的函数表达式为 ． 6.（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 7.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 8.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）综合与实践 【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，为商品价格．当商品价格上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与的几组对应数据如下表： 价格/（万元） 需求量（） 求出与的函数表达式； 任务：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，求商品的价格的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.5实践与探索 题型一 一次函数与一元一次方程 1.（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 2.（2024秋•岱岳区期末）已知一次函数y＝ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4 那么方程ax+b＝0的解是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 【分析】方程的解为时函数的的值，根据图表即可得出此方程的解． 【解答】解：根据图表可得：当时，； 因而方程的解是． 故选：C． 3.（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 4.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是一次函数的图象，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．一次函数的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程的解，据此求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴关于x的方程的解是． ∴关于的方程的解为． 故答案为：4． 题型二 一次函数与二元一次方程（组） 1.（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数与的图像，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图得一次函数与的图象交于点， 二元一次方程组的解是 ． 故选：B． 2．下列图形是以方程2x﹣y＝2的解为坐标的点组成的图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先解出方程的三个解，再在平面直角坐标系中利用描点法解答． 【解答】解：二元一次方程的解可以为：、、， 所以，以方程的解为坐标的点分别为：（1，0）、（2，2）、（0，﹣2）， 它们在平面直角坐标系中的图象如图所示： ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，一次函数和的图象交于点，则关于的方程组解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，关键知识点为：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应的二元一次方程组的解．据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于的方程组的解就是交点的坐标， 即， 故选：A． 4.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）．则所解的二元一次方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组． 【解答】解：设过点（3，0）和（0，3）的直线解析式为y＝kx+b， 则，解得， 所以过点（3，0）和（0，3）的直线解析式为y＝﹣x+3； 设过点（2，1）和（0，﹣5）的直线解析式为y＝mx+n， 则，解得， 所以过点（2，1）和（0，﹣5）的直线解析式为y＝3x﹣5， 所以所解的二元一次方程组为． 故选：D． 5.（2024秋•康定市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0），与正比例函数y＝mx的图象交于点C． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点C（2，a），请直接写出方程组的解． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得C点的坐标，根据函数与方程组的关系即可求解． 【解答】解：（1）次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，2），与x轴交于点B（4，0）， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）∵一次函数过点C（2，a）， ∴2＝1， ∴C（2，1）， ∴方程组的解为． 题型三 一次函数与一元一次不等式 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 2．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b≥3的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【分析】由图象即可知不等式的解集． 【解答】解：由图象可知：当时，直线的图象在直线的上方， ∴关于的不等式的解集为， 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值，根据两条直线的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，， 解得：， 由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故答案为：． 4.（25-26八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 题型四 建立一次函数模型解决实际问题 1.某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用y（元）与超出流量x（GB）的部分数据如表： 超出流量x（GB） 0 1 2 3 4 … 总费用y（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用y（元）是超出流量x（GB）的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出 　 　GB． 【分析】求出总费用（元）是超出流量（GB）的函数关系式，在令算出的值即可． 【解答】解：由总费用（元）是超出流量（GB）的一次函数，设， 根据表格可得：， 解得， ∴， 令得， 解得， ∴他使用的流量共超出15GB； 故答案为：15． 2.（2024秋•海曙区期末）为了美化环境，某小区需要购买甲、乙两种石材共7000块．已知甲、乙两种石材的单价分别是50元和150元． （1）求购买甲、乙两种石材所需总费用y（元）与甲种石材数量x（块）的函数关系； （2）若该小区计划购买甲种石材的数量不多于乙种石材数量的2.5倍．问：该小区所购买的甲种石材多少块时，所需总费用最省？求出最省费用． 【分析】（1）根据“两种石材所需总费用＝甲石材单价×甲石材数量+乙石材单价×乙石材数量”计算即可； （2）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集；根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当x取何值时值最小，求出其最小值即可． 【解答】解：（1）． 答：购买甲、乙两种石材所需总费用（元）与甲种石材数量（块）的函数关系为 （2）根据题意，得， 解得． ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，值最小，最小＝﹣100×5000+1050000＝550000． 答：该小区所购买的甲种石材5000块时，所需总费用最省，最省费用为550000元． 3.（25-26八年级上·广东梅州·期中）2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 【答案】(1) （，为整数） (2) 该文创店所获得的最大利润为元； (3) 当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 【分析】（1）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，即可解答； （2）利用一次函数的性质，结合小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即可解答； （3）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，列出一次函数解析式，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意（，为整数）； （2）解：由（1）知， ∵， ∴随的增大而减小， ∵小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即， ∴当时，有最大值， 答：该文创店所获得的最大利润为元； （3）解：， ∵，且为整数，， ∴当时，，与的取值无关， 此时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数； 当时，即，则随的增大而增大， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为40个； 当时，即，则随的增大而减小， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为35个； 答：当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 题型五 建立反比例函数模型解决实际问题 1. （2024•甘肃模拟）电路上在电压保持不变的条件下，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例关系，I与R的函数图象如图，I关于R函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据电压＝电流×电阻得到稳定电压的值，让即可． 【解答】解：∵当时， ∴电压＝20×11＝220， ∴． 故选：A． 2. 在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离S（单位：m）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力F为50N时，此物体在力的方向上移动的距离S是 　 m． 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特点求出反比例函数的解析式，再把F＝50N代入即可求出s的值． 【解答】解：∵力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离S（m）成反比例函数关系， ∴其函数关系式为F， ∵点（20，30）是反比例函数图象上的点， ∴＝20×30＝600， ∴此函数的解析式为F， 把代入函数关系式得，50， ∴． ∴此物体在力的方向上移动的距离是12m， 故答案为：12． 3.（2024•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时． （1）写出v关于t的函数表达式； （2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？ （3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由． 【分析】（1）根据题意列出函数表达式； （2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得的最大值； （3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得的最大值，再和实际情况比较即可． 【解答】解：（1）根据题意，路程为400， 设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时， 则关于的函数表达式为； （2）设从A地匀速行驶到B地要小时，则80， 解得：， ∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时； （3）∵， 100， 解得：， ∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地， 7点至10点40分，是3小时， ∴他不能在10点40分之前到达B地． 题型一 分段函数的应用 1.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴ 乙用分钟追上甲，该选项说法正确，不符合题意； 、由图可得，甲的速度为米/分钟， ∴乙的速度为米/分，该选项说法正确，不符合题意； 、乙追上甲时，二人离终点的距离为米， ∴乙追上甲后，再跑米才到达终点， 该选项说法正确，不符合题意； 、乙到达终点所用的时间为分钟， 当乙到达终点时甲走的路程为米， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 2.实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 3.（25-26七年级下·全国·周测）星期天，玲玲骑自行车到郊外公园游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)玲玲在什么时刻到达郊外公园？此时离家多远？ (2)如果从10时至第一次休息和11时至12时，玲玲骑行的速度都是，那么玲玲第一次休息了多长时间？ 【答案】(1)玲玲在12时到达郊外公园，此时离家 (2) 【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案； （2）休息是指随着时间的变化路程不发生变化的部分． 【详解】（1）解：观察图象可知： 玲玲在12时到达郊外公园，此时离家． （2）解：由图可知， 玲玲第一次休息了． 题型二 函数图像与几何图形面积问题 1.（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积． 【分析】（1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与x轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象： ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为（1，3）， ∴二元一次方程组，的解为； （2）由图象知：函数和函数的图象与x轴的交点坐标分别为（4，0），（﹣0.5，0）， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 2.（2024·宁夏·一模）如图，一次函数的图象经过，两点，与反比例函数的图象在第二象限内的交点为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； 【答案】(1)； (2) 【分析】 本题主要考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的几何问题． （1）先利用待定系数法求一次函数解析式，再利用一次函数解析式确定M点的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式； （2）过M点作轴于C，则，根据三角形面积公式求得即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， 所以一次函数解析式为； 把代入得， 解得， 则M点坐标为， 把代入得， 所以反比例函数解析式为； （2）如图，过M点作轴于C，则， ∵， ∴， ∴． 3.（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)． 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 题型三 与函数有关的方案类问题 1.（25-26八年级上·福建漳州·月考）某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案： 方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售； 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售． 设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题． (1)________；_______． (2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． (3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由． 【答案】(1)21，3000 (2)，的实际意义是每棵树苗按九折出售的价格 (3)方案一购买所需费用更少．理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到和的值； （2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价； 根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式,并说明的实际意义； （3）将代入和，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）解：由图象可得，函数, 过点， 则， 解得： 故答案为：21，3000； （2）解：由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元， 每棵树苗的原价是（元）， 即每棵树苗的原价30元： 方案二中的树苗打九折优惠， 按照方案二购买的每棵树苗的价格为（元）， 方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠，当时，， ， 的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格； （3）解：该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少， 理由：由（1）（2）可知，， 当时， ， ， 该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少． 2.（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）现要把228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨，辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表： 运往地车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 (1)求这两种货车各用多少辆？ (2)如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若运往甲地的大货车不多于6辆时，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用10辆 (2)（且为整数） (3)8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式和一元一次方程的应用和最佳方案问题，综合性较强，列出函数关系式与不等式是解决问题的关键，应注意最佳方案的选择． （1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据运输228吨物资，列方程求解． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式即可； （3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用辆，根据题意得 ， 解得， ∴． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为辆，前往甲地的小货车为辆，前往乙地的小货车为辆， ， ∴（且为整数）． （3）∵运往甲地的大货车不多于6辆 ∴ ∵，， ∴w随a的增大而增大， ∵ ∴当时，w最小，最小值为． 答：使总运费最少的调配方案是：8辆小货车前往甲地；9辆大货车、1辆小货车前往乙地．最少运费为11550元． 3.（24-25八年级下·河南开封·期中）三八妇女节期间，某服装商场举行促销活动，活动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） （注：一人只能选择一种方案） (1)小明想为自己的妈妈买一件上衣和一条裤子，上衣和裤子的价格均在两百元以上．已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______；当时，关于的函数表达式为______； (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元的服装，当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1)①210元；②选择方案三，理由见解析 (2)；； (3)当时，用方案三购买更合算 【分析】（1）①设裤子的标价为x元，根据题意列出方程解答即可求解；②分别算出每一种方案的花费即可判断求解； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）分和两种情况讨论即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，函数解析式，根据题意，正确列出一元一次方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：①设裤子的标价为x元，根据题意得： ， 解得：， 答：裤子的标价为210元； ②选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二的花费为元， 方案三的花费为元， ∵， ∴应选择方案三； （2）解：当时，关于的函数表达式为； 当时，关于的函数表达式为； 当时，关于的函数表达式为； 故答案为：；；； （3）解：当时， 方案一购买需花费元， 方案三购买需花费x元， ∵， ∴按方案一购买更合算； 当时， 方案一购买需花费元， 方案三购买需花费元， 当，即时，两种方案购买花费一样多； 当，即时，用方案三购买更合算； 当，即时，用方案一购买更合算； 综上所述，当时，用方案三购买更合算． 题型四 与函数有关的利润类问题 1.（2024·陕西西安·二模）为了迎接“三八”妇女节，某商家决定售卖康乃馨和玫瑰花两种花，康乃馨和玫瑰花的进价、售价如下表所示： 进价（元/支） 售价（元/支） 康乃馨 6 9 玫瑰花 8 12 已知该商家计划购进康乃馨和玫瑰花共5000支，且购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的，设康乃馨购买支，出售康乃馨和玫瑰花的总利润为元． (1)求与的函数表达式； (2)当取何值时，商家获得最大利润，最大利润是多少元? 【答案】(1)； (2)当时，商家获得最大利润，最大利润是18750元． 【分析】 本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． （1）根据总利润每支康乃馨的利润康乃馨每支玫瑰的利润玫瑰的数量列出函数解析式； （2）根据购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的，求出的取值范围，再根据函数的性质求出最值． 【详解】（1） 解：根据题意得：， 与的函数表达式为； （2） 解：购买康乃馨的数量不少于玫瑰花的数量的， ， 解得， ， 当时，最大，最大值为18750， 答：当时，商家获得最大利润，最大利润是18750元． 2.（25-26八年级上·河南周口·期末）某工厂计划购进一批原材料加工生产，已知购进A型原材料的单价比B型原材料单价少20元，且用800元购进A型原材料的数量与用1000元购进B型原材料的数量相同． (1)求A、B两种原材料的单价各是多少元？ (2)工厂计划购进两种原材料共100千克，且A型原材料的数量不超过B型原材料数量的3倍，设购进A型原材料m千克，购买两种原材料的总费用为W元，求W的最小值． 【答案】(1)A型单价80元，B型单价100元 (2)8500元 【分析】（1）设A型原材料单价为x元，则B型原材料单价为元，由题意得：，解方程即可． （2）设购进A型原材料m千克，则购买B型原材料千克，由题意得：，且， 解得，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型原材料单价为x元，则B型原材料单价为元 由题意得：， 解得 检验：是原方程的解，且符合题意 ， 答：A型单价80元，B型单价100元． （2）解：设购进A型原材料m千克，则购买B型原材料千克， 由题意得：，且， 解得， 根据题意，得， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，最小值为元， 答：W的最小值为8500元． 3.某商场购进、两种商品共件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，、两种商品的进价、售价如表： 进价元件 售价元件 请利用本章所学知识解决下列问题： (1)设商场购进商品的件数为件，购进、两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，则该商场应购进 件，方可获得最大利润． 【答案】(1) (2)应购进商品，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据可以写出与之间的函数关系式，然后根据商品的件数不大于商品的件数，且不小于件，可以求得的取值范围； （2）由函数关系式和的取值范围计算最大值即可； （3）根据题意可以写出最后获得的利润与之间的函数关系式，再根据一次函数的性质和的取值范围，可以求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 商品的件数不大于商品的件数，且不小于件， ， 解得， 即与之间的函数关系式是； （2）与之间的函数关系式是； 随的增大而增大， 当时，利润最大，最大利润为：． （3）设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进商品件，方可获得最大利润． 故答案为：． 题型五 与函数有关的行程类问题 1.某兴趣小组的同学对甲、乙两架无人机进行测试，他们将甲无人机放在距离地面a米高的地方，将乙无人机放在地面，两架无人机同时匀速向上飞行，飞行高度y（单位：米）和飞行时间t（单位：秒）的关系如下图所示，已知乙无人机的性能更优越，其飞行速度是甲无人机的2倍．据图中信息，解答下列问题． (1)求的函数解析式，并求出a的值． (2)若小博同学想在较短的时间内令无人机的飞行高度不低于70米，则小博应选择哪一架无人机比较合适？该无人机至少要飞行多长时间才能达到小博同学的要求？ 【答案】(1)， (2)乙，7秒 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）利用待定系数法求出的函数解析式，再由题意可得乙无人机的飞行速度是米/秒，从而得到甲无人机的飞行速度是5米/秒，可求出a的值； （2）利用待定系数法求出的函数解析式，再联立，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知：是甲无人机的函数图象，是乙无人机的函数图象． 设的函数解析式为． ∵经过点， ， ， 的函数解析式为． 根据题意得：乙无人机的飞行速度是米/秒， 乙无人机的飞行速度是甲无人机的2倍， ∴甲无人机的飞行速度是5米/秒， ； （2）解：由（1）可得：的函数解析式为， ∵经过点， ， 解得：， ∴的函数解析式为； 由和联立得： ，解得：． ， 小博同学选用乙无人机较为合适． 由，得． 答：小博同学选用乙无人机较为合适．至少要飞行7秒才能达到小博的要求． 2.（25-26八年级上·广东深圳·期末）甲、乙两人从地分别驾车前往地，、两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间（单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得乙所在直线的解析式，求得点，据此求解即可． 【详解】解：设乙所在直线的解析式为， ∵乙过点和， ∴， 解得， ∴乙所在直线的解析式为， 设甲所在直线、乙所在直线交于点， ∵， ∴， ∴点， ∴甲的行驶速度为， 故选：B． 3.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)线段表示轿车在途中停留了______h； (2)求线段对应的函数解析式； (3)求线段与线段交点F的坐标，并说明它的实际意义． 【答案】(1)0.5 (2) (3)；货车出发3.9小时后，在距甲地234千米处，轿车追上了货车 【分析】 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法列出相关线段的函数关系式. （1）由图象直接可得答案； （2）用待定系数法即可求出DE对应的函数解析式; （3）求出线段OA的函数解析式，再联立函数关系式解方程组即可. 【详解】（1）线段CD表示轿车在途中停留了(小时)， 故答案为: ； （2）设线段对应的函数解析式为 由图可知，， ∴把代入得: 解得 ∴线段对应的函数解析式为； （3）设线段的函数解析式为，把代入得解得 ∴线段OA的函数解析式为， 由 得， ∴线段与线段交点的坐标为, 它的实际意义为：货车出发小时后，在距甲地千米处，轿车追上了货车. 题型六 与函数有关的跨学科融合 1.一根弹簧在竖直且不挂物体状态下长为，随着所挂物体质量的增加，弹簧长度随之增加．已知所挂物体质量小于，弹簧长度与所挂物体质量成一次函数关系．当物体质量为时，弹簧长度为，设物体质量为，弹簧长度为． (1)当时，求关于的函数表达式； (2)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量． 【答案】(1)； (2)当弹簧长度为时，所挂物体的质量为12kg． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法，即可得出答案； （2）把代入中，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，设关于的函数表达式为， 把，代入中， 得， 解得：， ∴与的函数关系式为：； （2）解：当弹簧长度为时， 即， 解得：， ∴当弹簧长度为时，所挂物体的质量为12kg． 2.（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 3.（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 题型七 一次函数与反比例函数综合应用 1.（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 2.（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式； (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？ 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键： （1）利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出x的值即为需要等待的时间． 【详解】（1） 解：∵整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温y， ∵其图象过点， ∴， 解得， ∴在水温下降过程中，； （2） 解：依题意，令，得， 解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待． 3.（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如果点 P 是y 轴上的一点，且，求点 P 的坐标； (3)请直接写出在第二象限中，当时x 的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出，再求出一次函数的解析式即可； （2）利用勾股定理求得，进而即可求得点的坐标； （3）根据函数的图象和点的坐标得出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即反比例函数的表达式是， 把点，与代入， 得， 解得， 一次函数的表达式是． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点 P 是y 轴上的一点， ∴或． （3）解：根据图象可知：在第二象限中，当时x 的取值范围为： ． 1．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为．由定义可知，一次函数的“亮点”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． 联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可． 【详解】解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， ∴一次函数的“亮点”为． 故答案为：． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，根据题意，得出的值，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为函数与的图象相交于点， 所以，， 两式相减得，， 则， 所以不等式可化为， 解得． 故答案为：． 3.如图，已知直线：与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． (1)若点P在直线上，且，求点P的横坐标． (2)根据图象，求出当时，x的取值范围是什么？ 【答案】(1)点P的横坐标为6或2 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据三角形的面积求点的坐标，一次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）先根据函数解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，设，根据三角形面积关系列出方程，然后进行求解即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∴； 设， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的横坐标为6或2； （2）解：联立解析式得， 解得：， ， 由图象得：时，直线：的图象在直线：的图象上方， ∴． 4.如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理、一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．根据已知条件得到解析式为，设点P的坐标为，得到，求得，得到，根据建立方程，即可得到结论． 【详解】解：点为直线上的动点，且 ∴设解析式为 把代入，解得 即解析式为， 设点P的坐标为， ∵，，，点在边上，且，点为的中点， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 解得 ∴ 故选：B 5.已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积为6，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，求出直线与坐标轴的交点坐标，根据面积公式求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， 由题意，得：， 解得：（正值已舍掉）； ∴； 故答案为：． 6.（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量． 注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式． ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压． (1)求出关于的函数解析式； (2)当伏时，______欧； (3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量． 【答案】(1)关于的函数解析式是； (2)130； (3)电子体重秤可称的最大质量是115千克． 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式； （2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值； （3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量． 【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，， ∴， 解得， 即关于的函数解析式是； （2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧， ∴， 解得， 即当伏时，欧， 故答案为：130； （3）∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取得最大值时，取得最小值， ∵电压表量程为0-6伏， ∴当时，取得最小值10， ∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克． 7.（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等． （1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 8.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）综合与实践 【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，为商品价格．当商品价格上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与的几组对应数据如下表： 价格/（万元） 需求量（） 求出与的函数表达式； 任务：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，求商品的价格的取值范围． 【答案】 任务：； 任务：万元； 任务： 【分析】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求函数解析式等知识点，结合函数图象判断出该商品供大于求的条件是解题的关键． 任务：设，把表格中的任意两对数值代入可得和的值，即可求得与价格的函数表达式； 任务：取，求得对应的的值即为达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务：供大于求，则，结合即可求得该商品供大于求时，价格的取值范围． 【详解】解：任务：设， 由题意可得：， 关于的函数关系式为． 任务：由题意得． 解得， 任务：解不等式，得， 结合 得， 因此取值范围为. 当该商品供大于求时，该商品的价格的取值范围是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $