高一数学下学期期中模拟卷（北师大版必修第二册第1～2章：三角函数+平面向量+解三角形）

2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据相反向量的性质，然后利用向量加法的三角形法则即可得到答案. 【详解】. 故选:D. 2．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】因为一个扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 3．，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式求解即得. 【详解】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 4．下列结论正确的是（    ） A．若角，则角是第一象限角 B．若角，则角与角的终边相同 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若角的终边上有一点，则 【答案】B 【分析】根据角度直接判断A；根据判断B，根据，判断C，根据三角函数终边点的定义判断D. 【详解】对于A，角是第四象限角，故错误； 对于B，由于，故角与角的终边相同，正确； 对于C，角为锐角，则，，故为钝角不一定成立，错误； 对于D，由题，故，错误. 故选：B 5．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合图象可知，即可得，进而求对称中心逐项分析判断即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 结合图象可知， 则，即， 且，则，解得，所以， 令，解得， 可知的一个对称中心为. 对于选项A：令，解得，故A错误； 对于选项B：令，解得，故B正确； 对于选项C：令，解得，故C错误； 对于选项D：令，解得，故D错误； 故选：B. 6．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量求得，进而求夹角余弦值. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 所以，所以， 故选：D. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可. 【详解】∵， 由余弦定理有：， ∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，， ∴. 故选：A． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件求出，利用图象平移规律得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则，解得， 又因为对，在上都不单调，所以，解得. 综上，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】根据向量的模公式、向量平行、向量垂直的坐标表示以及投影向量的公式进行逐项判断即可. 【详解】因为，所以，所以A错误； 因为，所以，解得，所以B正确； 因为，所以，解得，所以C正确； 在上的投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 10．已知函数为奇函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为的最小值为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．曲线的一条对称轴为直线 B．曲线的一个对称中心为点 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域为 【答案】ACD 【分析】先根据正余弦函数的性质求出的解析式，再根据平移变换得出函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性及值域逐一分析判断即可. 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 又，所以， 所以， 则， 又的图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为的最小值为， 所以函数的最小正周期，即，所以， 所以， 则， 对于A，因为， 所以曲线的一条对称轴为直线，故A正确； 对于B，因为， 所以点不是曲线的一个对称中心，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以函数在上的值域为，故D正确. 故选：ACD. 11．在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（    ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ACD 【分析】根据三角形重心的性质，可判断A的真假；结合三角形内心与三角形面积之间的关系，可判断B的真假；确定点位置，可判断C的真假；结合三角形外接圆的性质与三角形的面积公式可判断D的真假. 【详解】对A：若为的重心，则，结合，所以，故A正确； 对B：若为的内心，设内切圆半径为，则，，， 所以 ，故B错误； 对C：如图： 因为，所以，，延长交于点， 则, 因为三点共线，所以 . 设，则，，, 所以，故C正确； 对D：如图： 因为为的外心，且，设外接圆半径为， 则，，，， 所以 ，同理，， 结合， 可得. 又，所以，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理求解即可． 【详解】因为，且，， 所以，则， 因为，所以． 故答案为：． 13．若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【分析】分析当时，函数的零点及函数值的变化情况，由不等式对恒成立，可得二次函数的零点，建立关于的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的零点为和， 当时，；当时，；当时，， 不等式对恒成立， 则函数满足，有， 解得，所以.     故答案为： 14．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 【答案】 0 【分析】在正八边形中，各边夹角都是已知的，各边长也是已知的，把目标向量用边长向量表示出来，再根据向量乘法运算律求出结果. 【详解】 如图所示,连接，因为三点共线，且 ，解得， 则， 与夹角为,与夹角为, . 设,可知, , , , , ,当或时, 有最小值,最小值为0. 故答案为: ； 0. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的面积． (1)求证：； (2)设为的中点，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）利用正弦定理及三角形面积公式边化角即可证明； （2）利用余弦定理解与得出，再利用正弦定理解计算即可. 【详解】（1）记角，的对边分别为，，， 由题意可知， 由正弦定理得 因为， 所以． （2）在中，由余弦定理得，① 同理，在中，② ①-②得，． 在中，由正弦定理得，， 所以，即， 所以． 16．（15分）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 【答案】(1)， (2)，；，. 【分析】（1）根据正弦函数的图象识别，可得到正弦函数的周期、振幅，进而可求得函数的解析式和对称中心的坐标. （2）先根据正弦函数的平移和奇偶性求得的解析式，然后根据正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 17．（15分）如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 【答案】(1) (2)， (3)存在，，理由见解析； 【分析】（1）利用扇形的面积公式即可； （2）利用向量的线性运算将化简为，即可列方程组求解； （3）以为原点建系，设，再通过关系式得出与的关系式，利用即可求得的值，再结合的范围即可. 【详解】（1）由题意可得，，则. （2）因，则，则， 因，则， 解得，. （3）设存在， 以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则由，可得，即 则， 即，得或， 因，则，则，则， 故存在，使得. 18．（17分）已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或; (2); (3) 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【详解】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 19．（17分）设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．    (1)试求向量的坐标，并求出当时的值； (2)若为锐角，求的取值范围； (3)若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 【答案】(1)，； (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）由比例关系得到，结合向量减法法则得到，同理可得，两边平方，结合向量数量积公式求出，开方得到模长； （2）若为锐角，则且不同向共线，利用基底法和向量数量积公式得到，结合正弦和余弦函数单调性，得到； （3）作出辅助线，得到四边形与平行四边形的面积比为，结合平行四边形与平行四边形的面积比为，求出答案. 【详解】（1）由题意得，故， 因为为的中点，，所以， 因为， 所以， 所以； 所以； 同理，，，为的中点，所以， 故， 则， 即， 又，故 ， 故； （2）， ， 若为锐角，则且不同向共线， 由于，两向量显然不共线， 其中 ， 故，， 又是平面内相交成角的两条不共线射线，故， 在上单调递减， 设，故，其中为锐角， 而在上单调递增，所以， 而，故；    （3）连接，与相交于点，连接， 则，且，点为中点，四边形为平行四边形， 其中，， 所以， 设，则，， 所以， 故四边形与平行四边形的面积比为， 又平行四边形与平行四边形的面积比为， 故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值.    1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版必修第二册第1~2章（三角函数+平面向量及其应用） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 2．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 4．下列结论正确的是（    ） A．若角，则角是第一象限角 B．若角，则角与角的终边相同 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若角的终边上有一点，则 5．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 10．已知函数为奇函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为的最小值为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．曲线的一条对称轴为直线 B．曲线的一个对称中心为点 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域为 11．在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（    ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若，则 D．若是的外心，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____. 13．若不等式对恒成立，则______. 14．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的面积． (1)求证：； (2)设为的中点，且，求的值． 16．（15分）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 17．（15分）如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 18．（17分）已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19．（17分）设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．    (1)试求向量的坐标，并求出当时的值； (2)若为锐角，求的取值范围； (3)若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A B B D A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 13. 14. 0 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【详解】（1）记角，的对边分别为，，， 由题意可知， 由正弦定理得 因为， 所以． （6分） （2）在中，由余弦定理得，① 同理，在中，② ①-②得，． 在中，由正弦定理得，， 所以，即， 所以． （7分） 16．（15分）【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （7分） （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. （8分） 17．（15分）【详解】（1）由题意可得，，则. （4分） （2）因，则，则， 因，则， 解得，. （4分） （3）设存在， 以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则由，可得，即 则， 即，得或， 因，则，则，则， 故存在，使得. （7分） 18．（17分）【详解】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （5分） （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （6分） （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. （6分） 19．（17分）【详解】（1）由题意得，故， 因为为的中点，，所以， 因为， 所以， 所以； 所以； 同理，，，为的中点，所以， 故， 则， 即， 又，故 ， 故； （6分） （2）， ， 若为锐角，则且不同向共线， 由于，两向量显然不共线， 其中 ， 故，， 又是平面内相交成角的两条不共线射线，故， 在上单调递减， 设，故，其中为锐角， 而在上单调递增，所以， 而，故； （6分）    （3）连接，与相交于点，连接， 则，且，点为中点，四边形为平行四边形， 其中，， 所以， 设，则，， 所以， 故四边形与平行四边形的面积比为， 又平行四边形与平行四边形的面积比为， 故四边形与平行四边形的面积之比为，为定值. （5分）    1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期中模拟卷 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知在三角形中，，，用，表示向量（   ） A． B． C． D． 2．若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．，是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 4．下列结论正确的是（    ） A．若角，则角是第一象限角 B．若角，则角与角的终边相同 C．若角为锐角，则角为钝角 D．若角的终边上有一点，则 5．已知函数的部分图象如图所示（P为图象与x轴的一个交点，Q为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 6．已知平面向量满足且在方向上的投影向量为，则与夹角的余弦值大小为（    ） A． B． C． D． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 10．已知函数为奇函数，其图象与直线的其中两个交点的横坐标分别为的最小值为，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．曲线的一条对称轴为直线 B．曲线的一个对称中心为点 C．函数在上单调递增 D．函数在上的值域为 11．在三角形中有如下结论：已知的内角所对的边分别为，点为内任意一点，则.根据上述结论，下列说法正确的有（    ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若，则 D．若是的外心，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．记的内角，，的对边分别为，，，其面积为，已知，则_____. 13．若不等式对恒成立，则______. 14．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且，则的值为________；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的面积． (1)求证：； (2)设为的中点，且，求的值． 16．（15分）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 17．（15分）如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 18．（17分）已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19．（17分）设是平面内相交成角的两条不共线射线，则称该平面坐标系为斜坐标系．向量和分别是与轴和轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作．在如图所示的斜坐标系中，若分别是的中点，分别与交于两点．    (1)试求向量的坐标，并求出当时的值； (2)若为锐角，求的取值范围； (3)若与相交于点，求证：四边形与的面积之比为定值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $