三角恒等变换与三角函数的性质综合问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

三角恒等变换与三角函数的性质综合问题讲义 三角恒等变换与三角函数的性质综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 先通过三角恒等变换将复杂三角函数式化简为标准型/（），再依托正弦/余弦函数的核心性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值）求解问题；核心逻辑是先化简定型，再用性质解题，恒等变换是基础，性质应用是核心。 二、通用解题思路（四步法，核心：化简→定型→析性质→求结果） 1. 恒等变换，化简解析式 对原函数式依次用同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式（核心）化简，消去多重角、乘积、和差形式，最终化为或的标准形式，注意化简过程中系数、符号、角的合并准确，这是后续解题的前提。 【核心技巧】遇二次式（如、）先二倍角降幂，遇直接用辅助角公式合并为单一三角函数。 1. 确定参数，明确标准型特征 标注化简后标准型的核心参数：振幅、角频率、初相、纵向平移量，快速推导基础性质： · 周期：； · 值域：； · 最值：，。 1. 结合定义域，分析核心性质 先明确函数的定义域（无特殊说明则为，有约束则按题干限定），再针对问题所求，分析标准型三角函数的对应性质，关键步骤为“整体代换”：令，将/转化为正弦/余弦基本函数，结合的定义域求的取值范围，再依托基本函数的性质分析： · 单调性：根据的范围，结合/的单调区间，解不等式求的单调区间； · 奇偶性：验证，或看初相是否满足奇偶性条件（如为奇函数，为偶函数）； · 对称性：求对称轴（令/）、对称中心（令/），解出即为对称点/对称轴； · 周期性：直接用公式，若有绝对值/分段则结合图像调整； · 最值/值域：根据的范围，结合/的有界性，求的最值或值域。 1. 结合题干，求解最终问题 根据题型要求（求单调区间、最值、周期、对称轴，或已知性质求参数），将性质分析的结果整理作答： · 求性质类：直接写出推导结果（如单调增区间、最值点）； · 已知性质求参数类：根据性质列关于的方程/不等式，求解参数（注意参数的约束条件，如）； · 综合应用类（如解不等式、求参数范围）：结合性质转化为代数不等式，求解后验证定义域。 三、高频考向及专属解法 考向1：求函数的周期、值域、最值 · 解法：化简定型→求的范围→结合/的有界性，直接求周期、值域，根据取/求最值点及最值。 考向2：求函数的单调区间 · 解法：化简定型→令，写出/的单调区间→解关于的不等式→结合定义域取交集，注意时需反向不等式。 考向3：求函数的对称轴、对称中心（对称性） · 解法：化简定型→令，根据/的对称性质列方程（如正弦对称轴，对称中心）→解出，即得对称轴/对称中心（）。 考向4：已知函数性质求参数（如、、） · 解法：化简定型→根据已知性质（如周期、最值、对称轴）列关于参数的方程/不等式→求解参数，注意参数的实际意义（如为振幅，为角频率）。 考向5：结合定义域的性质综合应用 · 解法：核心是先定的范围，再结合基本三角函数的图像（而非整体性质）分析，避免直接套用上的性质导致错误（如闭区间上的最值可能在端点取到）。 四、注意事项 1. 化简必到标准型：未化为的形式，切勿直接用性质，否则易出错； 1. 整体代换是关键：所有性质分析均围绕展开，避免直接分析导致的区间/对称点错误； 1. 定义域优先：有定义域约束时，先求的范围，再结合三角函数图像分析，闭区间上的最值需验证区间端点和极值点； 1. 符号与系数：二倍角降幂、辅助角公式、诱导公式的符号是高频易错点，化简后需反向验证（如展开标准型看是否与原式一致）； 1. 参数多解性：求初相时，需结合题干约束（如）确定唯一解，否则保留的通解。 例题分析 例1．（25-26高一上·江苏常州·期末·多选）函数，下列结论正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 【答案】AD 【详解】， 对于A，由，得，而在上单调递增，故函数在上单调递增，A正确； 对于B，，故函数的图象不关于直线对称，B错误； 对于C，由，可得，由，得， 因为在上单调递增，在上单调递减， 且当，即时，，当，即时， 当，即时，， 要使方程在上有两个不相等的实数根， ，故，C错误； 对于D，因 ， 因，则当时，取得最大值，故D正确. 例2．（25-26高一下·江苏连云港·月考·多选）已知，则下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 【答案】AB 【详解】 ， ，选项A正确； ，令，在单调递减， 所以在上单调递减，选项B正确； ，所以函数图象的对称中心为， 选项C错误； 函数图象上各点的横坐标不变， 纵坐标伸长为原来的2倍得到，选项D错误. 例3．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间． (2)若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 【答案】(1) (2)（i）（ii），最多8个元素. 【详解】（1） ， 令，解得， 即函数的单调递增区间为. （2）当时，即，化简得，解得. 同理时，解得. 所以， （i）当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 当时，，可知，则， 综上，在上的值域为. （ii）由题意，且是周期为的函数， 结合（2）可知，在上的根依次为， 因为，且，所以，且集合A中最多有8个元素. 例4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1） ， 因为的最小正周期为， 所以，解得； （2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得， 再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数， 当时，，则， 当，，则， 因为，使得成立， 当时，符合题意； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，． （3）由题意设，其定义域为． ①当时，单调递增， 且，， 故存在，使得； ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立，即此时函数无零点. 综上，存在唯一的，使得，且． 由题意可知，，因， 要证成立，只需证（*）， 令，则， 则（*）为，即证：， 又因，显然成立， 故（*）成立，也即得证. 例5．（25-26高一下·云南·开学考试）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若在区间上存在最大值，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 因为的图象关于y轴对称，则，，， 又因为，所以，． （2）由，，， 当时，的单调递增区间为， 因，则在上单调递增， 若函数在上存在最大值， 由于在上单调递增，且， 即在时取得最大值，所以， 即实数a的取值范围为． 例6．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知函数（）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求ω的值； (2)求在上的单调递减区间； (3)求方程在上所有解的和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． 由题意可知函数的最小正周期，即，解得． （2）由（1）可知，． 由，，解得，， 因为，令，得， 所以函数在上的单调递减区间为． （3）由，得， 所以或，， 解得或，． 令，得，； 令，得，； 令，得，（舍去）． 故在上所有解的和为． 变式训练 变式1．（25-26高一上·山西吕梁·期末·多选）下面关于函数的叙述正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 【答案】ACD 【详解】， 对于A选项，因为，故函数的图象关于点对称，A对； 对于B选项，， 故函数的图象不关于直线对称，B错； 对于C选项，当时，， 所以函数在区间上单调递增，C对； 对于D选项，， 所以函数是偶函数，D对. 故选：ACD. 变式2．（25-26高一上·浙江·期末·多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．在内有2个零点 D．若，则 【答案】ACD 【详解】已知函数， 所以最小正周期为，A选项正确； 因为，所以不是的一个对称中心，B选项错误； 因为，所以，当或时，， 所以在内有2个零点，C选项正确； 若，则 ，D选项正确； 故选：ACD. 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， 正弦型函数的单调递减区间为， 则，解得， 的单调减区间为． （2）不等式在时恒成立，即，在内恒成立； 当时，， ，则， 当时，恒成立，； 当时，，的最小值为，故； 当时，，的最大值为，故； 综上，的取值范围是． （3）函数在区间上有两个零点，即， 当时，， 方程有两个解，则，即， 两解关于对称轴对称，故， ． 变式4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）， 则由， 得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以，因此， 所以函数在上的值域为. （3）方法1：即，可得， 解得， 又. 方法2：由可得， 解得， 解得； 解得， 所以不等式解集为. 变式5．（25-26高一上·河南周口·期末）若的最小值为. (1)求实数的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3)或 【详解】（1）， ， （2）因为，. ， （3）令，则， ，，，， 则原方程可化为，整理得 即，或，因关于的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根，则有1个根， 则需，解得， 综上：的取值范围为或 . 变式6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数（），的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调增区间； (2)若函数在上有最大值，没有最小值，求实数的取值范围； (3)是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）因为 ， ，，所以. 令（），解得（）. ，所以增区间为，. （2），， 由题意， . （3）当时，，得， 存在，使成立， 所以， 令（），得，且， 所以对恒成立， 设，则，即， 解得. 实战演练 1．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)化简解析式，并求出的对称中心.（统一格式为） (2)写出，的单调递增区间； (3)若函数（）在区间上有两个零点，，，请写出的取值范围，以及的值. 【答案】(1)，对称中心为， (2)，. (3)，. 【详解】（1） 则，即，所以对称中心为； （2）当，所以， 所以，的单调递增区间为，； （3）函数在上有两个不同的零点，， 可转化为函数与的图像有两个交点， 由，可得， 令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 结合正弦函数的性质可知当时，即时，函数与直线有两个交点， 其横坐标分别为，，且关于对称，故， 所以. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以令，则， 所以的单调递增区间为. （2） 不等式等价于，即， 因为该不等式对任意恒成立， 所以 所以实数的取值范围是. （3）由题意有， 则关于的方程为， 令， 当时，， ， 则，有， 若关于的方程在上有解， 则关于的方程在上有解， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换与三角函数的性质综合问题讲义 三角恒等变换与三角函数的性质综合问题讲义 知识点解析 一、核心原理 先通过三角恒等变换将复杂三角函数式化简为标准型/（），再依托正弦/余弦函数的核心性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值）求解问题；核心逻辑是先化简定型，再用性质解题，恒等变换是基础，性质应用是核心。 二、通用解题思路（四步法，核心：化简→定型→析性质→求结果） 1. 恒等变换，化简解析式 对原函数式依次用同角关系、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式（核心）化简，消去多重角、乘积、和差形式，最终化为或的标准形式，注意化简过程中系数、符号、角的合并准确，这是后续解题的前提。 【核心技巧】遇二次式（如、）先二倍角降幂，遇直接用辅助角公式合并为单一三角函数。 1. 确定参数，明确标准型特征 标注化简后标准型的核心参数：振幅、角频率、初相、纵向平移量，快速推导基础性质： · 周期：； · 值域：； · 最值：，。 1. 结合定义域，分析核心性质 先明确函数的定义域（无特殊说明则为，有约束则按题干限定），再针对问题所求，分析标准型三角函数的对应性质，关键步骤为“整体代换”：令，将/转化为正弦/余弦基本函数，结合的定义域求的取值范围，再依托基本函数的性质分析： · 单调性：根据的范围，结合/的单调区间，解不等式求的单调区间； · 奇偶性：验证，或看初相是否满足奇偶性条件（如为奇函数，为偶函数）； · 对称性：求对称轴（令/）、对称中心（令/），解出即为对称点/对称轴； · 周期性：直接用公式，若有绝对值/分段则结合图像调整； · 最值/值域：根据的范围，结合/的有界性，求的最值或值域。 1. 结合题干，求解最终问题 根据题型要求（求单调区间、最值、周期、对称轴，或已知性质求参数），将性质分析的结果整理作答： · 求性质类：直接写出推导结果（如单调增区间、最值点）； · 已知性质求参数类：根据性质列关于的方程/不等式，求解参数（注意参数的约束条件，如）； · 综合应用类（如解不等式、求参数范围）：结合性质转化为代数不等式，求解后验证定义域。 三、高频考向及专属解法 考向1：求函数的周期、值域、最值 · 解法：化简定型→求的范围→结合/的有界性，直接求周期、值域，根据取/求最值点及最值。 考向2：求函数的单调区间 · 解法：化简定型→令，写出/的单调区间→解关于的不等式→结合定义域取交集，注意时需反向不等式。 考向3：求函数的对称轴、对称中心（对称性） · 解法：化简定型→令，根据/的对称性质列方程（如正弦对称轴，对称中心）→解出，即得对称轴/对称中心（）。 考向4：已知函数性质求参数（如、、） · 解法：化简定型→根据已知性质（如周期、最值、对称轴）列关于参数的方程/不等式→求解参数，注意参数的实际意义（如为振幅，为角频率）。 考向5：结合定义域的性质综合应用 · 解法：核心是先定的范围，再结合基本三角函数的图像（而非整体性质）分析，避免直接套用上的性质导致错误（如闭区间上的最值可能在端点取到）。 四、注意事项 1. 化简必到标准型：未化为的形式，切勿直接用性质，否则易出错； 1. 整体代换是关键：所有性质分析均围绕展开，避免直接分析导致的区间/对称点错误； 1. 定义域优先：有定义域约束时，先求的范围，再结合三角函数图像分析，闭区间上的最值需验证区间端点和极值点； 1. 符号与系数：二倍角降幂、辅助角公式、诱导公式的符号是高频易错点，化简后需反向验证（如展开标准型看是否与原式一致）； 1. 参数多解性：求初相时，需结合题干约束（如）确定唯一解，否则保留的通解。 例题分析 例1．（25-26高一上·江苏常州·期末·多选）函数，下列结论正确的有（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则 D．函数的最大值为 例2．（25-26高一下·江苏连云港·月考·多选）已知，则下列说法中正确的是（    ）． A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递减 C．是函数图象的一个对称中心 D．函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 例3．（25-26高一下·安徽·开学考试）已知函数． (1)求的单调递增区间． (2)若函数， （i）求在上的值域； （ii）若方程在上的所有根组成的集合为A，，且，求的取值范围，并判断A中最多有多少个元素． 例4．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 例5．（25-26高一下·云南·开学考试）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若在区间上存在最大值，求实数a的取值范围． 例6．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知函数（）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求ω的值； (2)求在上的单调递减区间； (3)求方程在上所有解的和． 变式训练 变式1．（25-26高一上·山西吕梁·期末·多选）下面关于函数的叙述正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是偶函数 变式2．（25-26高一上·浙江·期末·多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．最小正周期为 B．是的一个对称中心 C．在内有2个零点 D．若，则 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数． (1)求的单调减区间； (2)若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上有两个零点，求的值． 变式4．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的值域； (3)求在上的解集. 变式5．（25-26高一上·河南周口·期末）若的最小值为. (1)求实数的值； (2)若，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 变式6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数（），的最小正周期为. (1)求函数在区间上的单调增区间； (2)若函数在上有最大值，没有最小值，求实数的取值范围； (3)是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 实战演练 1．（25-26高一上·安徽六安·期末）已知函数. (1)化简解析式，并求出的对称中心.（统一格式为） (2)写出，的单调递增区间； (3)若函数（）在区间上有两个零点，，，请写出的取值范围，以及的值. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围； (3)将函数的图像上点的横坐标向右平移个单位得到函数的图像，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $