第2章 相交线与平行线 单元复习（5大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学《相交线与平行线》单元复习讲义通过表格系统梳理核心知识点、常考考点与高频易错点，构建“知识梳理-题型归纳-错题警示”的复习框架，清晰呈现对顶角、平行线判定与性质等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的对顶角计算到提升的角平分线综合题，再到培优的拐点辅助线问题，如“过拐点作平行线”技巧培养推理意识。生活情境题（如建筑、光学）引导用数学眼光观察现实世界，同步练习支持分层教学，助力教师精准提升学生解题能力。

第2章 相交线与平行线 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.相交线（对顶角、邻补角、垂线） 1.对顶角、邻补角的性质与角度计算； 2.垂线的定义、性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短）； 3.点到直线的距离的定义与计算； 4.与垂线相关的角度计算（含角平分线） 1.混淆对顶角与邻补角的性质，误将邻补角相等作为依据； 2.点到直线的距离概念理解错误，误将线段（非垂线段）长度当作距离； 3.忽略垂线的“同一平面内”前提，误认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直； 4.计算邻补角时漏加“互补”条件，或角度换算错误（如180°减错） 2.三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 1.同位角、内错角、同旁内角的识别； 2.结合图形判断角的位置关系，为平行线的判定铺垫 1.识别角时找错截线与被截线，导致角的类型判断错误； 2.混淆内错角与同旁内角的位置特征（同内异侧vs同内同侧）； 3.复杂图形中漏认隐藏的“三线八角”，无法快速定位相关角 3.平行线的判定 1.同位角相等→两直线平行； 2.内错角相等→两直线平行； 3.同旁内角互补→两直线平行； 4.平行于同一直线的两条直线平行 1.判定平行线时，角的关系与直线关系颠倒（如用两直线平行推导角相等）； 2.忽略“同位角/内错角相等”“同旁内角互补”的前提是“三线八角”模型； 3.多个角并存时，找错对应的“相等/互补”角，导致判定错误 4.平行线的性质 1.两直线平行→同位角相等； 2.两直线平行→内错角相等； 3.两直线平行→同旁内角互补； 4.平行线的性质与判定的综合应用 1.性质与判定混淆，已知平行线却误用判定定理，已知角关系却误用性质定理； 2.复杂图形中未结合辅助线，无法将角进行“等角转化”； 3.计算同旁内角时，误将“互补”当作“相等”，或忽略角的符号（如负角、外角） 5.辅助线与综合应用 1.过“拐点”作平行线的辅助线方法； 2.平行线与角平分线、垂线的综合计算； 3.生活情境中平行线的应用（如建筑、光学、运动轨迹） 1.不会作辅助线，或作辅助线后未标注平行关系，无法衔接已知与未知； 2.综合题中思路混乱，无法区分“判定”与“性质”的使用顺序； 3.忽略生活情境中“平行”“垂直”的隐含条件，无法抽象为几何图形 【易错题型】 【题型1】平行线的判定与性质及角的位置关系易混辨析 1.易错点总结 -逻辑颠倒：将平行线的判定（角关系→线平行）与性质（线平行→角关系）混用，如“因为两直线平行，所以同位角相等”误用于判定平行； -角类误判：找错同位角、内错角、同旁内角的截线与被截线，或混淆三种角的位置特征； -辅助线失误：过“拐点”作辅助线后，未利用“平行传递性”，或漏标平行关系，导致角转化失败； -概念混淆：对顶角与邻补角、点到直线的距离与垂线段、垂线与平行线的概念记忆模糊。 2.纠错技巧 -口诀区分逻辑：判定“先角后线”（角相等/互补→线平行），性质“先线后角”（线平行→角相等/互补）； -角类识别技巧：先找截线（与两条直线都相交的线），再看角的位置：同位角“同旁同侧”，内错角“同内异侧”，同旁内角“同内同侧”； -辅助线规范：过“拐点”作平行线时，标注“∥”符号，明确与已知直线的平行关系，利用“平行于同一直线的两条直线平行”衔接； -概念对比记忆：用表格区分易混概念（如对顶角vs邻补角、判定vs性质），强化核心特征。 【例题1】.（2026·福建漳州·一模）数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点落在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·甘肃白银·一模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【基础题型】 【题型2】对顶角与邻补角的角度计算 1.考点总结 -核心：对顶角相等、邻补角互补（和为180°）的性质，简单相交线中的角度计算； -常考：两直线相交求对顶角、邻补角的度数，结合角平分线求角的度数； -关键：准确识别对顶角与邻补角，利用“相等”“互补”建立数量关系。 2.解题技巧 -识别方法：对顶角“两边互为反向延长线”，邻补角“有一条公共边，另一边互为反向延长线”； -计算步骤：①标记已知角与所求角的位置关系（对顶/邻补）；②利用性质列等式（对顶→相等，邻补→和为180°）；③代入已知角求解，若含角平分线则先求半角； -验证：计算后检查邻补角之和是否为180°，对顶角是否相等，确保结果正确。 【例题2】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·广西崇左·月考）下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·福建福州·期中）如图是一把剪刀示意图，当剪口减少时，的值（   ） A．增加 B．减少 C．不变 D．等于 【变式题2-3】.（2026·甘肃陇南·一模）如图，已知点O在直线上，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3】垂线的性质与点到直线的距离 1.考点总结 -核心：垂线的定义、“垂线段最短”“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质，点到直线的距离的定义； -常考：判断垂线的存在性、利用垂线段最短解决最短路径问题、点到直线距离的计算与辨析； -关键：区分“垂线”（直线）与“垂线段”（线段），理解点到直线的距离是垂线段的长度。 2.解题技巧 -最短路径：涉及“最短距离”（如引水、铺路）时，直接应用“垂线段最短”，作已知直线的垂线段； -距离辨析：点到直线的距离必须是垂线段的长度，非垂线段的线段长度不能作为距离； -垂线判定：若两条直线相交且有一个角为90°，则两直线垂直，可利用邻补角互补推导其余三个角均为90°。 【例题3】.（25-26七年级下·广西崇左·月考）已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1 【变式题3-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式题3-2】.（2026七年级下·新疆·专题练习）若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题3-3】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）点是直线上一点，，平分，，___________． 【题型4】“三线八角”的识别 1.考点总结 -核心：同位角、内错角、同旁内角的定义与位置特征，在复杂图形中快速识别三种角； -常考：判断两个角的位置关系（同位/内错/同旁内），为平行线的判定与性质铺垫； -关键：找准“截线”（连接两个角的公共边所在直线）与“被截线”（两个角的另一边所在直线）。 2.解题技巧 -截线定位：先找两个角的公共边或与两个角的边都相交的直线，确定为截线； -位置口诀：同位角“同旁同侧像‘F’”，内错角“同内异侧像‘Z’”，同旁内角“同内同侧像‘U’”； -复杂图形：先标记截线与被截线，排除无关线段干扰，聚焦“三线八角”核心模型。 【例题4】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【变式题4-3】.（2026七年级下·广东深圳·专题练习）纸鸢是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，纸鸢的制作融合了竹篾的坚韧、纸张的轻盈以及丝线的柔韧，展现了独特的艺术魅力．在如图所示的纸鸢骨架中，与构成内错角的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】平行线的判定 1.考点总结 -核心：同位角相等→两直线平行、内错角相等→两直线平行、同旁内角互补→两直线平行的判定定理； -常考：已知角的相等或互补关系，判定两条直线平行，结合对顶角、邻补角转化角关系； -关键：找到与两条直线相关的“相等/互补”角，确保角是“三线八角”模型中的对应角。 2.解题技巧 -角转化：若已知角不是直接对应的同位角、内错角、同旁内角，先利用对顶角相等、邻补角互补转化为目标角； -判定选择：优先找同位角或内错角（相等关系），若为同旁内角需验证“互补”（和为180°）； -书写规范：明确标注“∵∠×=∠×（已知/转化），∴×∥×（同位角相等，两直线平行）”，逻辑清晰。 【例题5】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，与相交于点E，，，，P是上的一点． (1)判断与的位置关系． (2)若，判断与是否平行，并说明理由． 【变式题5-3】.（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【题型6】平行线的性质 1.考点总结 -核心：两直线平行→同位角相等、两直线平行→内错角相等、两直线平行→同旁内角互补的性质定理； -常考：已知两条直线平行，求相关角的度数，结合角平分线、对顶角进行角的转化； -关键：紧扣“线平行”的前提，准确找到对应的同位角、内错角、同旁内角。 2.解题技巧 -角定位：根据平行线与截线，快速锁定对应的同位角、内错角、同旁内角，避免找错角； -计算方法：同位角/内错角直接相等，同旁内角用180°减去已知角；若含角平分线，先求半角再结合性质； -验证：计算后可反向利用判定定理检查（如求出的角相等，验证直线是否平行）。 【例题6】.（2026年安徽省初中学业水平考试试题卷数学）如图，，点A，B，D分别在直线a，b上，，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，，点、分别在直线、上，连接，平分，平分，求证：与互余． 【变式题6-3】.（重庆市重庆市九龙坡区川外基础教育集团2025-2026学年度下期七年级数学作业）如图， ，平分，，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明． 【提升题型】 【题型7】平行线与角平分线的综合计算 1.考点总结 -核心：平行线的性质与判定、角平分线的定义（将角分为两个相等的角）的综合应用； -常考：已知平行线与角平分线，求未知角的度数，或通过角的关系判定平行； -关键：利用角平分线将角转化为相等的两个角，再结合平行线的性质/判定建立数量关系。 2.解题技巧 -步骤：①标记角平分线，设半角为x，表达出原角（2x）；②利用平行线的性质/判定，建立x的方程（如相等、互补）；③解方程求出x，进而求目标角； -转化技巧：若有两个角平分线，可推导“新角=原角的一半”，简化计算； -易错提醒：区分角平分线对应的“原角”是同位角、内错角还是同旁内角，避免符号错误。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是桁架桥主桁架及其部分示意图．已知，若平分，平分，，则________°． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 【变式题7-2】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)试问与的关系． 解：（1）平分， 直线，相交于点O 又平分 （________的定义） （2）直线，相交于点O （________） 又平分 （________） 【变式题7-3】.（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，是直线上一点，平分，且． (1)请写出图中所有与互补的角______； (2)求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 【题型8】生活情境中的平行线应用 1.考点总结 -核心：将生活中的平行/垂直关系抽象为几何图形，应用平行线的性质与判定解决实际问题（如建筑、光学反射、运动轨迹）； -常考：根据实际场景（如路灯、折纸、路线规划）求角度、最短距离，或判断平行关系； -关键：提取情境中的“平行”“垂直”隐含条件，忽略无关细节，构建几何模型。 2.解题技巧 -模型抽象：将实际物体的边、光线、路线等抽象为直线，标记平行（∥）、垂直（⊥）关系； -知识迁移：最短路径用“垂线段最短”，角度计算用平行线的性质，平行判定用角关系； -单位统一：若涉及长度计算（如距离），注意单位统一，结合实际场景验证结果合理性。 【例题8】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图1，某电风扇的支架垂直于地面，叶片，，，，可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即． (1)如图1，若平分，求的度数． (2)如图2，叶片从与重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当与互补时，求旋转的最小角度． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示，A、B是马边县至沐川县之间是一座高山，仁沐新高速公路马边支线要通过A、B两点并打通隧道，在B地测得公路走向是北偏西．如果A、B两地同时施工，那么在A地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通?并说明理由? 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·单元测试）“村村通”是国家的一个系统工程，其中包含公路、电力、互联网等．现计划在A，B，C村周边修公路，公路从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，那么要想从C村修路CE，沿什么方向修，可以保证CE与AB平行？请说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    【培优题型】 【题型9】过“拐点”作辅助线解决平行线综合题 1.考点总结 -核心：“拐点”模型（如“Z”型、“U”型、“N”型）的辅助线作法（过拐点作平行线），平行线的传递性； -常考：含一个或多个“拐点”的复杂图形，求未知角的度数，或证明角的关系； -关键：过每个“拐点”作与已知直线平行的辅助线，将复杂角拆分为多个同位角、内错角或同旁内角。 2.解题技巧 -辅助线作法：过拐点P作PE∥AB（假设AB∥CD），则PE∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）； -角拆分：“Z”型拐点（∠APD）→∠APD=∠A+∠D（内错角相等）；“U”型拐点→∠APD=180°-∠A-∠D（同旁内角互补）； -多个拐点：依次过每个拐点作平行线，逐步拆分角，避免漏作或多作辅助线。 【例题9】.（25-26七年级下·天津西青·月考）2025年4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点G，则（1）___________度；（2）___________度． 【变式题9-1】.（山西省2026学年中考数学一模试卷（2））皮影戏是民间古老的传统艺术，如图是皮影造型抽象出的几何图形，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·山东烟台·月考）如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，．        (1)的度数为 ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·北京·期中）篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点，求的度数．由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ，， （______）， （______）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （______）， ， ______（平角的定义）． 【题型10】平行线综合压轴题（多知识点融合） 1.考点总结 -核心：融合平行线、角平分线、垂线、对顶角、邻补角等多个知识点，解决复杂的几何计算与证明； -常考：压轴题中求多个角的度数、证明角的关系或直线平行，需综合运用多种性质与判定； -关键：拆分复杂图形为基础模型（如三线八角、拐点模型、角平分线模型），逐步突破。 2.解题技巧 -图形拆分：将复杂图形拆分为多个基础模型，分别应用对应的知识点（如角平分线+平行线→等腰三角形）； -步骤分解：将压轴题分解为多个小问题，逐一解决，前一个问题的结果作为后一个问题的条件； -逆向推导：从最终目标出发，逆向推导所需的条件，逐步向已知条件靠拢，明确解题思路。 【例题10】.（25-26七年级上·北京·月考）完成以下问题 (1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长． (2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数． (3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·重庆长寿·月考）某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·福建莆田·月考）在数学活动课上，同学们以“一个60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上平移，始终保持与线段（不含端点）有交点且．并把的位置改变，请探究此时与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，组同学改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 同步练习 一、单选题 1．已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 2．小红将一把直尺与一块三角板如图放置，并测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知和互余，且，则______． 5．如图，与相交于O点，若，则______． 6．如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 三、解答题 7．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 8．完成下面的求解过程． 如图，，，，求的度数． 解： （ ）， （ ）， 又（ ）， （ ）， ∴ （ ）， （ ）， 又， ． 9．如图，已知与互为余角，且，平分，平分． (1)求的度数； (2)如果已知，其他条件不变，求的度数； (3)从以上求的过程中，你得出的结论是________． 10．小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，则______； (2)如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 相交线与平行线 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.相交线（对顶角、邻补角、垂线） 1.对顶角、邻补角的性质与角度计算； 2.垂线的定义、性质（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直、垂线段最短）； 3.点到直线的距离的定义与计算； 4.与垂线相关的角度计算（含角平分线） 1.混淆对顶角与邻补角的性质，误将邻补角相等作为依据； 2.点到直线的距离概念理解错误，误将线段（非垂线段）长度当作距离； 3.忽略垂线的“同一平面内”前提，误认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直； 4.计算邻补角时漏加“互补”条件，或角度换算错误（如180°减错） 2.三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 1.同位角、内错角、同旁内角的识别； 2.结合图形判断角的位置关系，为平行线的判定铺垫 1.识别角时找错截线与被截线，导致角的类型判断错误； 2.混淆内错角与同旁内角的位置特征（同内异侧vs同内同侧）； 3.复杂图形中漏认隐藏的“三线八角”，无法快速定位相关角 3.平行线的判定 1.同位角相等→两直线平行； 2.内错角相等→两直线平行； 3.同旁内角互补→两直线平行； 4.平行于同一直线的两条直线平行 1.判定平行线时，角的关系与直线关系颠倒（如用两直线平行推导角相等）； 2.忽略“同位角/内错角相等”“同旁内角互补”的前提是“三线八角”模型； 3.多个角并存时，找错对应的“相等/互补”角，导致判定错误 4.平行线的性质 1.两直线平行→同位角相等； 2.两直线平行→内错角相等； 3.两直线平行→同旁内角互补； 4.平行线的性质与判定的综合应用 1.性质与判定混淆，已知平行线却误用判定定理，已知角关系却误用性质定理； 2.复杂图形中未结合辅助线，无法将角进行“等角转化”； 3.计算同旁内角时，误将“互补”当作“相等”，或忽略角的符号（如负角、外角） 5.辅助线与综合应用 1.过“拐点”作平行线的辅助线方法； 2.平行线与角平分线、垂线的综合计算； 3.生活情境中平行线的应用（如建筑、光学、运动轨迹） 1.不会作辅助线，或作辅助线后未标注平行关系，无法衔接已知与未知； 2.综合题中思路混乱，无法区分“判定”与“性质”的使用顺序； 3.忽略生活情境中“平行”“垂直”的隐含条件，无法抽象为几何图形 【易错题型】 【题型1】平行线的判定与性质及角的位置关系易混辨析 1.易错点总结 -逻辑颠倒：将平行线的判定（角关系→线平行）与性质（线平行→角关系）混用，如“因为两直线平行，所以同位角相等”误用于判定平行； -角类误判：找错同位角、内错角、同旁内角的截线与被截线，或混淆三种角的位置特征； -辅助线失误：过“拐点”作辅助线后，未利用“平行传递性”，或漏标平行关系，导致角转化失败； -概念混淆：对顶角与邻补角、点到直线的距离与垂线段、垂线与平行线的概念记忆模糊。 2.纠错技巧 -口诀区分逻辑：判定“先角后线”（角相等/互补→线平行），性质“先线后角”（线平行→角相等/互补）； -角类识别技巧：先找截线（与两条直线都相交的线），再看角的位置：同位角“同旁同侧”，内错角“同内异侧”，同旁内角“同内同侧”； -辅助线规范：过“拐点”作平行线时，标注“∥”符号，明确与已知直线的平行关系，利用“平行于同一直线的两条直线平行”衔接； -概念对比记忆：用表格区分易混概念（如对顶角vs邻补角、判定vs性质），强化核心特征。 【例题1】.（2026·福建漳州·一模）数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点落在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行性质得，用求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题1-1】.（2026·甘肃白银·一模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角板的相关角的度数和平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过A作， 则， 由题意知：，， ∴，， ∴． 【基础题型】 【题型2】对顶角与邻补角的角度计算 1.考点总结 -核心：对顶角相等、邻补角互补（和为180°）的性质，简单相交线中的角度计算； -常考：两直线相交求对顶角、邻补角的度数，结合角平分线求角的度数； -关键：准确识别对顶角与邻补角，利用“相等”“互补”建立数量关系。 2.解题技巧 -识别方法：对顶角“两边互为反向延长线”，邻补角“有一条公共边，另一边互为反向延长线”； -计算步骤：①标记已知角与所求角的位置关系（对顶/邻补）；②利用性质列等式（对顶→相等，邻补→和为180°）；③代入已知角求解，若含角平分线则先求半角； -验证：计算后检查邻补角之和是否为180°，对顶角是否相等，确保结果正确。 【例题2】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项C中的与是对顶角． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·广西崇左·月考）下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【详解】解：观察发现：选项D中的∠1与∠2互为邻补角． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·福建福州·期中）如图是一把剪刀示意图，当剪口减少时，的值（   ） A．增加 B．减少 C．不变 D．等于 【答案】B 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： ， 减少时，减小． 【变式题2-3】.（2026·甘肃陇南·一模）如图，已知点O在直线上，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用邻补角求出，再结合角平分线的定义，求出，最后根据求解即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 【题型3】垂线的性质与点到直线的距离 1.考点总结 -核心：垂线的定义、“垂线段最短”“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质，点到直线的距离的定义； -常考：判断垂线的存在性、利用垂线段最短解决最短路径问题、点到直线距离的计算与辨析； -关键：区分“垂线”（直线）与“垂线段”（线段），理解点到直线的距离是垂线段的长度。 2.解题技巧 -最短路径：涉及“最短距离”（如引水、铺路）时，直接应用“垂线段最短”，作已知直线的垂线段； -距离辨析：点到直线的距离必须是垂线段的长度，非垂线段的线段长度不能作为距离； -垂线判定：若两条直线相交且有一个角为90°，则两直线垂直，可利用邻补角互补推导其余三个角均为90°。 【例题3】.（25-26七年级下·广西崇左·月考）已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：垂线段最短， ∴点P到直线的距离不大于、、． ，，， ． 点P到直线的距离不大于，即不大于1． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，在直角三角形中，于点，则点到的距离是（   ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义并结合图形即可得出结果． 【详解】解：∵在直角三角形中，于点， ∴点到的距离是线段的长． 【变式题3-2】.（2026七年级下·新疆·专题练习）若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义（直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离）即可得． 【详解】解：因为P是直线l外一点，且， 所以点P到直线l的距离是5． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）点是直线上一点，，平分，，___________． 【答案】或 【分析】先求出，再由角平分线的定义求解的度数，然后由垂直的定义得到，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴ ①当在上方时，如图： ∴； ②当在下方时，如图： ∴ ∴， ∴或． 【题型4】“三线八角”的识别 1.考点总结 -核心：同位角、内错角、同旁内角的定义与位置特征，在复杂图形中快速识别三种角； -常考：判断两个角的位置关系（同位/内错/同旁内），为平行线的判定与性质铺垫； -关键：找准“截线”（连接两个角的公共边所在直线）与“被截线”（两个角的另一边所在直线）。 2.解题技巧 -截线定位：先找两个角的公共边或与两个角的边都相交的直线，确定为截线； -位置口诀：同位角“同旁同侧像‘F’”，内错角“同内异侧像‘Z’”，同旁内角“同内同侧像‘U’”； -复杂图形：先标记截线与被截线，排除无关线段干扰，聚焦“三线八角”核心模型。 【例题4】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，指出下列各对角是什么位置关系的角，它们各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）根据内错角的定义即可求得答案； （2）根据同旁内角的定义即可求得答案； （3）根据同位角的定义即可求得答案． 【详解】（1）与是内错角，它们是直线，被直线所截形成的． （2）与是同旁内角，它们是直线，被直线所截形成的． （3）与是同位角，它们是直线，被直线所截形成的． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；依此逐一判断即可． 【详解】解：和是同位角，故①正确， 和是对顶角，故②正确， 与不都在两直线之间，不是内错角，故③错误， 和是同旁内角，故④正确， ∴结论正确的是①②④． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可． 【详解】解：如图所示，与两个角都在两条被截直线之间，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故与是直线a，b被c所截而成的同旁内角． 故选：C． 【变式题4-3】.（2026七年级下·广东深圳·专题练习）纸鸢是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，纸鸢的制作融合了竹篾的坚韧、纸张的轻盈以及丝线的柔韧，展现了独特的艺术魅力．在如图所示的纸鸢骨架中，与构成内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案． 【详解】解：与构成内错角的是． 【题型5】平行线的判定 1.考点总结 -核心：同位角相等→两直线平行、内错角相等→两直线平行、同旁内角互补→两直线平行的判定定理； -常考：已知角的相等或互补关系，判定两条直线平行，结合对顶角、邻补角转化角关系； -关键：找到与两条直线相关的“相等/互补”角，确保角是“三线八角”模型中的对应角。 2.解题技巧 -角转化：若已知角不是直接对应的同位角、内错角、同旁内角，先利用对顶角相等、邻补角互补转化为目标角； -判定选择：优先找同位角或内错角（相等关系），若为同旁内角需验证“互补”（和为180°）； -书写规范：明确标注“∵∠×=∠×（已知/转化），∴×∥×（同位角相等，两直线平行）”，逻辑清晰。 【例题5】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定，需要寻找由直线和被第三条直线（截线）所截形成的角，判定，需要寻找由直线和被第三条直线（截线）所截形成的角，逐一分析每个选项中的角是由哪两条直线被哪条直线所截，从而判断能判定哪两条直线平行即可． 【详解】A项：与是直线、被所截形成的内错角， ∵， ∴，故A不符合题意； B项：∵， ∴通过内错角相等，两直线平行可得，不能判定，故B符合题意； C项：∵， ∴通过内错角相等，两直线平行可得，故C不符合题意； D项：∵， ∴通过同旁内角互补，两直线平行可得，故D不符合题意． 【变式题5-1】.（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的判定定理可证得，选项A，C，D能证得，只有选项B能证得．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A．∵，本选项不能判断，故A错误； B．∵，∴，故B正确； C．∵，∴．本选项不能判断，故C错误； D．∵，∴．故本选项不能判断，故D错误． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·安徽滁州·月考）如图，与相交于点E，，，，P是上的一点． (1)判断与的位置关系． (2)若，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1) (2)PE与BF不平行，见解析 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行求解即可． （2）证明即可判定． 【详解】（1）解：（1），， ． ，，， （2）解：与不平行理由如下： ，， ． ， ， 与不平行； 【变式题5-3】.（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【题型6】平行线的性质 1.考点总结 -核心：两直线平行→同位角相等、两直线平行→内错角相等、两直线平行→同旁内角互补的性质定理； -常考：已知两条直线平行，求相关角的度数，结合角平分线、对顶角进行角的转化； -关键：紧扣“线平行”的前提，准确找到对应的同位角、内错角、同旁内角。 2.解题技巧 -角定位：根据平行线与截线，快速锁定对应的同位角、内错角、同旁内角，避免找错角； -计算方法：同位角/内错角直接相等，同旁内角用180°减去已知角；若含角平分线，先求半角再结合性质； -验证：计算后可反向利用判定定理检查（如求出的角相等，验证直线是否平行）。 【例题6】.（2026年安徽省初中学业水平考试试题卷数学）如图，，点A，B，D分别在直线a，b上，，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，利用平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【变式题6-1】.（25-26九年级下·河南周口·月考）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，则，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，，点、分别在直线、上，连接，平分，平分，求证：与互余． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，结合邻补角定义求出，等量代换得出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴与互余． 【变式题6-3】.（重庆市重庆市九龙坡区川外基础教育集团2025-2026学年度下期七年级数学作业）如图， ，平分，，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设，根据平行线的性质以及已知条件得出，，根据角平分线的定义可得，则，得出，即可求解； （2）设，同（1）的方法求得，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵，． ∴，， 又∵ , ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 解得：，即 （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，． ∴，， ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 解得：，即 ∴ 【提升题型】 【题型7】平行线与角平分线的综合计算 1.考点总结 -核心：平行线的性质与判定、角平分线的定义（将角分为两个相等的角）的综合应用； -常考：已知平行线与角平分线，求未知角的度数，或通过角的关系判定平行； -关键：利用角平分线将角转化为相等的两个角，再结合平行线的性质/判定建立数量关系。 2.解题技巧 -步骤：①标记角平分线，设半角为x，表达出原角（2x）；②利用平行线的性质/判定，建立x的方程（如相等、互补）；③解方程求出x，进而求目标角； -转化技巧：若有两个角平分线，可推导“新角=原角的一半”，简化计算； -易错提醒：区分角平分线对应的“原角”是同位角、内错角还是同旁内角，避免符号错误。 【例题7】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是桁架桥主桁架及其部分示意图．已知，若平分，平分，，则________°． 【答案】30 【分析】本题考查直线平行的性质．根据直线平行的性质即可求出． 【详解】解：如图： 由题可知， 故答案为：30． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，，与，交于点，，平分，，求的度数． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：与交于点（已知）， （ ） （已知）， （ ） （已知）， （ ） ， 平分（已知） ______（ ） 【答案】对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义 【分析】利用对顶角相等和等量代换得到，由得到，则，由平分即可得到 此题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键 【详解】解：与交于点（已知）， （对顶角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 平分（已知）， （角平分线的定义）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，直线，相交于点，平分，平分． (1)若，求的度数． (2)试问与的关系． 解：（1）平分， 直线，相交于点O 又平分 （________的定义） （2）直线，相交于点O （________） 又平分 （________） 【答案】(1)，，角平分线 (2)，同角的补角相等，等量代换 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，同角的补角相等， （1）根据角平分线的定义和平角的定义求解即可； （2）首先根据同角的补角相等得到，然后等量代换求解即可． 【详解】（1）解：平分， 直线，相交于点O 又平分 （角平分线的定义）； （2）解：直线，相交于点O （同角的补角相等） 又平分 （等量代换）． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·福建泉州·月考）如图，是直线上一点，平分，且． (1)请写出图中所有与互补的角______； (2)求证：平分． 下面给出平分的证明过程，请你将过程补充完整． 证明：平分， ______（角平分线的定义）． 是直线上一点， ． ， ______－______． ， ， ______（    ）． 平分． 【答案】(1)和 (2)，，，，等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线，互余、互补，角的和差，数形结合是解题的关键． （1）结合图形找到与和为的角； （2）根据证明过程逐一回答即可． 【详解】（1）解：如图，是直线上一点， ，即与互补， ， ，， 平分， ， ， ，即与互补， 与互补的角有和． 故答案为：和． （2）证明：平分， ．（角平分线定义） 是直线上一点， ． ， ． ， ， ，（等角的余角相等） 平分． 故答案为：，，，，等角的余角相等． 【题型8】生活情境中的平行线应用 1.考点总结 -核心：将生活中的平行/垂直关系抽象为几何图形，应用平行线的性质与判定解决实际问题（如建筑、光学反射、运动轨迹）； -常考：根据实际场景（如路灯、折纸、路线规划）求角度、最短距离，或判断平行关系； -关键：提取情境中的“平行”“垂直”隐含条件，忽略无关细节，构建几何模型。 2.解题技巧 -模型抽象：将实际物体的边、光线、路线等抽象为直线，标记平行（∥）、垂直（⊥）关系； -知识迁移：最短路径用“垂线段最短”，角度计算用平行线的性质，平行判定用角关系； -单位统一：若涉及长度计算（如距离），注意单位统一，结合实际场景验证结果合理性。 【例题8】.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图1，某电风扇的支架垂直于地面，叶片，，，，可绕轴心O旋转，且相邻的叶片所成角相等，即． (1)如图1，若平分，求的度数． (2)如图2，叶片从与重合的位置开始，按顺时针方向旋转，当与互补时，求旋转的最小角度． 【答案】(1) (2)旋转的最小角度为 【分析】本题主要考查了角平分线定义，补角定义，一元一次方程的应用，熟练掌握相关定义，是解题的关键． （1）根据题意得：，根据角平分线定义得出，最后根据角度间的数量关系求出结果即可； （2）设旋转的最小角度为，则，根据补角定义，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 因为平分， 所以， 所以； （2）解：设旋转的最小角度为，则， 因为， 所以得， 解得：， 所以，旋转的最小角度为． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示，A、B是马边县至沐川县之间是一座高山，仁沐新高速公路马边支线要通过A、B两点并打通隧道，在B地测得公路走向是北偏西．如果A、B两地同时施工，那么在A地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通?并说明理由? 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查方位角的概念，平行线的应用．根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解． 【详解】解：在A地按北偏东施工，才能使公路在山腹中准确接通．理由如下： 因为指北方向相互平行，A、B两地公路走向形成一条直线，这样就构成了一对同旁内角，由两直线平行，同旁内角互补，可得在A地按北偏东 施工，就能使公路在山腹中准确接通． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·全国·单元测试）“村村通”是国家的一个系统工程，其中包含公路、电力、互联网等．现计划在A，B，C村周边修公路，公路从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，那么要想从C村修路CE，沿什么方向修，可以保证CE与AB平行？请说明理由． 【答案】使沿垂直于方向修建，可以保证与平行，理由见解析 【分析】根据题意，利用平行线的性质，求出即可得出的度数，从而求得修路的方向． 【详解】解：使沿垂直于方向修建，可以保证与平行，理由如下： 如图．由题意，得， ． ． 要使， 只需， ． 故使沿垂直于方向修建，可以保证与平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，理解题意，正确运用平行线的性质与判定是解题的关键． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用． 过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【培优题型】 【题型9】过“拐点”作辅助线解决平行线综合题 1.考点总结 -核心：“拐点”模型（如“Z”型、“U”型、“N”型）的辅助线作法（过拐点作平行线），平行线的传递性； -常考：含一个或多个“拐点”的复杂图形，求未知角的度数，或证明角的关系； -关键：过每个“拐点”作与已知直线平行的辅助线，将复杂角拆分为多个同位角、内错角或同旁内角。 2.解题技巧 -辅助线作法：过拐点P作PE∥AB（假设AB∥CD），则PE∥CD（平行于同一直线的两条直线平行）； -角拆分：“Z”型拐点（∠APD）→∠APD=∠A+∠D（内错角相等）；“U”型拐点→∠APD=180°-∠A-∠D（同旁内角互补）； -多个拐点：依次过每个拐点作平行线，逐步拆分角，避免漏作或多作辅助线。 【例题9】.（25-26七年级下·天津西青·月考）2025年4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点G，则（1）___________度；（2）___________度． 【答案】 120 150 【分析】由已知可得，过点作，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（山西省2026学年中考数学一模试卷（2））皮影戏是民间古老的传统艺术，如图是皮影造型抽象出的几何图形，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据平行线的性质以及角的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·山东烟台·月考）如图，已知，是直线，间的一点，于点，交于点，．        (1)的度数为 ． (2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为秒． ①当时，求的度数； ②当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①或；②的值为秒或秒或秒 【分析】 （1）延长与相交于点，利用三角形外角的性质求解即可； （2）①根据，在的上方和下方两种情况讨论求解即可； ②根据逆时针旋转和顺时针旋转的不同位置，满足的不同情况进行分类讨论即可. 【详解】（1）解：延长与相交于点，如图， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①Ⅰ、如图， ，， ， 射线运动的时间（秒）， 射线旋转的角度， 又， ； Ⅱ、如图所示， ，， ， 射线运动的时间（秒）， 射线旋转的角度， 又， ； 综上：的度数为或； ②解：Ⅰ、当由运动到如图时，，与相交于点， 根据题意可知，经过秒，则，， ， ， ， 解得（秒）； Ⅱ、当运动到，再由运动到如图时，，与相交于点， 根据题意可知，经过秒， ， ， ，， 运动的度数为：，即， 解得； Ⅲ、当由运动如图时，， 根据题意可知，经过秒， ，， ，， ，， 又， ， ， 解得（秒）， 当的值为秒或秒或秒时，． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·北京·期中）篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点，求的度数．由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ，， （______）， （______）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （______）， ， ______（平角的定义）． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直定义；60 【分析】由平行于同一条直线的两条直线平行得；由两直线平行同旁内角互补得；由垂直定义得，由两直线平行，内错角相等得；由平角定义得． 【详解】解：过点作平行于， ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （垂直定义）， ， 60（平角的定义）． 【题型10】平行线综合压轴题（多知识点融合） 1.考点总结 -核心：融合平行线、角平分线、垂线、对顶角、邻补角等多个知识点，解决复杂的几何计算与证明； -常考：压轴题中求多个角的度数、证明角的关系或直线平行，需综合运用多种性质与判定； -关键：拆分复杂图形为基础模型（如三线八角、拐点模型、角平分线模型），逐步突破。 2.解题技巧 -图形拆分：将复杂图形拆分为多个基础模型，分别应用对应的知识点（如角平分线+平行线→等腰三角形）； -步骤分解：将压轴题分解为多个小问题，逐一解决，前一个问题的结果作为后一个问题的条件； -逆向推导：从最终目标出发，逆向推导所需的条件，逐步向已知条件靠拢，明确解题思路。 【例题10】.（25-26七年级上·北京·月考）完成以下问题 (1)如图1，，点D是线段的中点，点C是线段上一点，且，求线段的长． (2)如图2，是内部的两条射线，，求的度数． (3)如图3，点O是直线上的一点，与互余，求的度数． 【答案】(1)3或7 (2) (3) 【分析】（1）先根据中点的定义求出，再分两种情况根据线段的和差得出答案； （2）先根据题意得出，，再根据得出关于的方程，求出解即可； （3）根据互余的定义得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：因为，且点D是的中点， 所以． 当点C在上时，； 当点C在上时，， 所以线段的长为3或7； （2）解：因为， 所以，． 因为， 所以， 解得； （3）解：因为与互余， 所以， 所以． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·重庆长寿·月考）某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图2，若，，，则___________°； (2)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （2）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （3）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】（1）解：过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （3）解：∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·福建莆田·月考）在数学活动课上，同学们以“一个60°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上平移，始终保持与线段（不含端点）有交点且．并把的位置改变，请探究此时与间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，组同学改变三角尺的位置，将直角三角尺的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角尺绕点以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：，理由如下， 如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 同步练习 一、单选题 1．已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和为180度的两个角互为补角，计算即可. 【详解】解：. 2．小红将一把直尺与一块三角板如图放置，并测得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余角的定义求出的度数，再由平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的两边互相平行， ∴． 3．如图，直线与相交于点，平分，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，平分，得出，则，根据，得出，再根据即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 4．已知和互余，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，角度制．根据互余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互余，因此可得，进行角度制换算即可求解． 【详解】解：与互余，， ． 5．如图，与相交于O点，若，则______． 【答案】/69度 【分析】根据对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵与相交于O点，， ∴． 6．如图，把长方形沿折叠后使两部分重合，若，则_____ 【答案】 【分析】根据折痕是角平分线，结合平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵把长方形沿折叠后使两部分重合， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 三、解答题 7．如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再求得，得到，根据求解即可； （2）设，，解得，根据对顶角相等，角的和求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， 平分， ， ； （2）解：平分， ， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 8．完成下面的求解过程． 如图，，，，求的度数． 解： （ ）， （ ）， 又（ ）， （ ）， ∴ （ ）， （ ）， 又， ． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 【分析】由得出，从而得出，推出，再由两直线平行，同旁内角互补得出，从而得出答案，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 9．如图，已知与互为余角，且，平分，平分． (1)求的度数； (2)如果已知，其他条件不变，求的度数； (3)从以上求的过程中，你得出的结论是________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据题目提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可； （2）根据所提供的条件和角平分线的性质和两角互余的性质，求出角的度数即可； （3）利用上面的计算过程即可得出结论． 【详解】（1）解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当，其它条件不变时， ； （3）解：由（1）（2）可得：． 10．小明同学在完成七年级下册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下． (1)如图①，已知，，则______； (2)如图②，已知，平分平分所在直线交于点． ①若，求的度数； ②将图②中的点移到点的右侧得到图③，其他条件不变，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； ②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点E作， ， ， ， ， ． （2）解：①过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； ②设，，则由题意得，， 过点E作， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $