第1章 整式的乘除 单元复习（6大知识点总结+10大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

第1章 整式的乘除 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 1.幂的运算法则正用与逆用； 2.含0指数、负整数指数的幂的计算； 3.幂的混合运算及简便计算； 4.利用幂的运算比较大小、求参数 1.混淆同底数幂乘法（指数加）与幂的乘方（指数乘）； 2.积的乘方漏乘每一个因式，如误算为； 3.忽略0指数幂的条件，误算； 4.负整数指数幂转化错误，如误算为 2.整式的乘法（单×单、单×多、多×多） 1.整式乘法的运算法则应用； 2.整式乘法与幂的运算结合的混合运算； 3.整式乘法中不含某项的参数求解 1.单项式乘多项式漏乘常数项； 2.多项式乘多项式未按“每一项相乘”计算，漏项； 3.计算时忽略符号，尤其是含负号的单项式乘法 3.乘法公式（平方差、完全平方） 1.平方差、完全平方公式的正用、逆用； 2.公式的变形应用（如）； 3.含多重括号的公式应用，如添项、拆项用公式 1.完全平方公式漏乘2ab项，如误算为； 2.平方差公式判断错误，非“相同项±相反项”形式强行用公式； 3.公式变形时符号处理错误，如记混 4.整式的除法（单÷单、多÷单） 1.整式除法的运算法则应用； 2.整式乘除混合运算； 3.利用整式除法求余式、参数 1.单项式除法中，只在被除式含有的字母漏写； 2.多项式除以单项式漏除某一项； 3.整式除法与乘法混淆，运算顺序错误 5.整式的化简求值 1.整式的混合运算化简； 2.整体代入法求值； 3.含条件式（如）的求值 1.化简时未按运算顺序计算，去括号、合并同类项出错； 2.整体代入时未对代数式正确变形，无法匹配已知条件； 3.忽略条件式中的非负性，未求出参数具体值 6.科学记数法 1.用科学记数法表示较小的数（）； 2.科学记数法的乘除运算 1.确定的值错误，如误记为； 2.科学记数法运算时，与的指数分别运算后未合并 【易错题型】 【题型1】幂的运算与公式应用的易混辨析 1.易错点总结 -法则混淆：同底数幂相乘与幂的乘方指数运算记反，积的乘方漏乘因式； -公式误用：完全平方公式漏项，平方差公式在非“同项反项”形式下强行使用； -符号失误：负底数的幂、负整数指数幂、公式中负号的处理错误，如误算为； -条件忽略：0指数幂未验证，整式除法未注意除式不为0的条件。 2.纠错技巧 -法则口诀记忆：同底数幂乘除“底不变，指加减”；幂的乘方“底不变，指相乘”；积的乘方“各因式，分别乘”； -公式特征牢记：平方差公式一同一反，完全平方公式首平方、尾平方、积的2倍放中央； -符号分步判断：先判断整体符号，再计算幂/公式的结果，负底数的偶次幂为正、奇次幂为负； -条件前置验证：遇到0指数、负整数指数、整式除法时，先验证底数/除式不为0的条件。 【例题1】.（25-26九年级下·广东江门·月考）计算：______． 【答案】 【分析】零指数幂，负整数指数幂，化简后计算即可． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·江苏苏州·月考）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·安徽滁州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方运算法则，逐一验证选项即可得到结果. 【详解】解：对于选项A：， ∴A错误， 对于选项B：， ∴B错误， 对于选项C：， ∴C正确， 对于选项D：， ∴D错误. 【变式题1-3】.（2026·湖北十堰·一模）下列运算的结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 【基础题型】 【题型2】整式的乘除基础运算 1.考点总结 -核心：单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式，单项式÷单项式、多项式÷单项式的运算法则； -常考：单一整式乘除运算、整式乘除与幂的运算结合的简单混合运算； -关键：单项式乘除抓系数、同底数幂、单独字母，多项式运算抓分配律。 2.解题技巧 -单项式×单项式：系数相乘，同底数幂按法则运算，单独字母连同指数保留； -单项式×/÷多项式：利用乘法分配律，将单项式与多项式的每一项分别运算，再合并结果； -多项式×多项式：按“首项乘遍，次项乘遍”原则，避免漏项，最后合并同类项。 【例题2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 【变式题2-1】.（2026·陕西榆林·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题2-3】.（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)21 (2) 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3】乘法公式的直接应用 1.考点总结 -核心：平方差公式、完全平方公式的正用； -常考：直接匹配公式特征的二项式运算，含简单数字/单项式的公式计算； -关键：找准公式中的a和b，判断是否符合公式特征。 2.解题技巧 -平方差公式：先找相同项（a）和相反项（b），结果为“相同项平方减相反项平方”； -完全平方公式：确定首项（a）和尾项（b），按“首平方+尾平方±2×首×尾”计算，切记勿漏2ab项； -数字运算：将数字拆成二项式形式，用公式简化计算，如。 【例题3】.（重庆市部分学校2022-2023学年下学期八年级定时作业数学试卷）若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的2倍，据此可解答． 【详解】解：． ∵是一个完全平方式， ∴． ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列中为“幸福数”的是（　　） A．410 B．401 C．140 D．104 【答案】D 【分析】根据“幸福数”定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导得出“幸福数”的倍数特征，再判断选项即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（其中n为正整数）， 由题意得“幸福数”为： ∴“幸福数”一定能被整除． A选项：，不能被整除，不符合． B选项：，不能被整除，不符合． C选项：，不能被整除，不符合． D选项：，能被整除，符合． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 【变式题3-3】.（2026·新疆乌鲁木齐·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按运算法则化简乘方、负整数指数幂、零次幂与绝对值，再把所得结果相加即可； （2）先展开完全平方与多项式乘法，再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4】科学记数法表示与简单运算 1.考点总结 -核心：用科学记数法表示较小的数（，为正整数），科学记数法的乘除简便运算； -常考：将小数转化为的形式，科学记数法的乘除运算并还原； -关键：确定的取值和的数值（为原数第一个非0数字前0的个数）。 2.解题技巧 -表示较小数：第一步定（取原数第一个非0数字及其后一位，满足）；第二步定（数原数小数点到的小数点的移动位数）； -科学记数法运算：与运算，与按幂的运算法则运算，最后将结果化为标准科学记数法形式。 【例题4】.（25-26七年级上·广西河池·期末）2025年10月1日国家航天局发布的官方信息：天问二号探测器对小行星的探测距离约为4500万千米．数据4500用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 【变式题4-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）某细菌的直径约为0.00000056米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表达形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是非负整数；当原数的绝对值时，n是负数 【详解】解：0.00000056的小数点向右移动7位得到5.6， 所以数字0.00000056用科学记数法表示为 ， 【变式题4-2】.（2025·广东汕头·一模）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 【题型5】幂的运算逆用与简便计算 1.考点总结 -核心：幂的运算法则的逆用（如、），利用逆用进行简便计算； -常考：逆用法则将高次幂拆分为低次幂、凑整十/整百数简便计算，求幂的运算中的参数； -关键：观察式子特征，凑相同底数/相同指数。 2.解题技巧 -逆用同底数幂乘法：将指数和拆分为指数相加，凑相同底数进行计算； -逆用积的乘方：将不同底数、相同指数的幂，凑成积的乘方形式，尤其适用于凑或的情况； -求参数：将等式两边化为相同底数的幂，利用“底数相同，幂相等则指数相等”列方程求解。 【例题5】.（2026·江苏无锡·一模）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂乘法计算即可； （2）利用同底数幂乘法和幂的乘方、负整数指数幂计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴ （2）解： 【变式题5-2】.（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 【提升题型】 【题型6】乘法公式的变形与整体应用 1.考点总结 -核心：完全平方公式的常见变形（如、），整体代入法求值； -常考：已知、、中的两个，求第三个，或求相关代数式的值； -关键：将所求代数式变形为含已知整体的形式。 2.解题技巧 -公式变形：熟记完全平方公式的6种核心变形，根据已知条件选择合适的变形公式； -整体代入：将、、等视为一个整体，直接代入变形后的代数式，无需单独求、； -凑整体：若已知条件非标准形式，先通过恒等变形凑出、等整体，再代入计算。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，求，的值． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式可得，据此可得的值，同理可得，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式题6-1】.（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)16 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解； （2）令，则，，代入原式求出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：令，则，， ， ， ， 解得， ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·福建漳州·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ，因为， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 ； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性证明； （3）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性分别求出、，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时，有最小值是， （2）解：， ， ， 多项式的值总是正数； （3）解：∵， 则， ， ，， ，， ， 又， ∴边长为的三条线段能构成三角形， 的周长为：． 【题型7】整式乘法中“不含某项”的参数求解 1.考点总结 -核心：整式乘法的运算法则，合并同类项，利用“不含某项则该项系数为0”求参数； -常考：多项式乘多项式、单项式乘多项式后，不含一次项/二次项/常数项，求字母参数的值； -关键：先化简整式，再找准目标项的系数，令其为0。 2.解题技巧 -步骤：第一步按整式乘法法则展开式子；第二步合并同类项，整理成标准多项式形式；第三步令不含项的系数为0，列方程求解参数； -注意：若含多个不含项，分别令对应项系数为0，列方程组求解； -验证：求出参数后，代入原式验证，确保目标项确实消失。 【例题7】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若中不含m的一次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______． 【答案】3 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的展开式中不含x的二次项， ， 解得：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·陕西安康·月考）若的积中不含x项与项，求p，q的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘法中的无关项问题． 先计算，进而根据不含x项与项得到，，求解即可． 【详解】解： ∵积中不含x项与项， ∴，， ∴，． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【题型8】整式乘除的混合运算与化简 1.考点总结 -核心：幂的运算、整式乘除、乘法公式的混合运算，含多重括号的整式化简； -常考：含括号的整式乘除混合运算，利用乘法公式简化整式乘除运算； -关键：遵循运算顺序，灵活运用公式简化计算。 2.解题技巧 -运算顺序：先去括号（先小括号，再中括号），再算乘方，最后算乘除，同级运算从左到右； -去括号技巧：括号前是负号，去括号后各项变号；括号内可凑公式的，先利用公式化简再去括号； -约分简化：整式乘除混合运算中，将多项式因式分解（公式法）后，约分简化计算（仅限本章公式分解）。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算： (1) (2)（运用乘法公式） (3) (4) 【答案】(1)9 (2)9 (3) (4) 【分析】（1）根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，乘方的意义等计算即可； （2）把变形为，然后根据平方差公式计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则、合并同类项法则等计算即可； （4）根据平方差公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则等计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式分别计算有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，然后再合并同类项即可； （3）将301变形为，299变形为，再运用平方差公式进行计算即可； （4）先逆用积的乘方，再运用平方差公式计算底数，最后根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题8-2】.（2026·陕西延安·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·广东江门·期中）化简求值：，其中， 【答案】，6 【分析】先根据积的乘方运算，多项式乘以多项式及单项式除以单项式计算，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【培优题型】 【题型9】巧用乘法公式的添项/拆项运算 1.考点总结 -核心：平方差、完全平方公式的灵活应用，通过添项、拆项将非标准形式转化为公式形式； -常考：含三项及以上的多项式运算，无法直接用公式的二项式运算，通过添拆项凑公式； -关键：观察式子特征，凑出“同项反项”或“二项式平方”的形式。 2.解题技巧 -添项法：在式子中添加一个项再减去相同项，凑成公式形式，如； -拆项法：将其中一项拆分为两个项，分组后分别凑公式，如拆项后凑平方差； -分组凑公式：含三项的式子，将其中两项结合为一个整体，视为公式中的或，如。 【例题9】.（24-25八年级上·河南南阳·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键． （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）① ； ② ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当x为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． （）利用完全平方公式配方解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·吉林长春·月考）阅读理解： 例：若，求和的值． 解： 即 ， ， 我们把以上方法称为“拆项法” 请用拆项法解决问题： (1)，求的值； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，c是中的最短边长，且c为整数，那么c的值可能是______（有几个写几个） 【答案】(1) (2)可取2，3，4 【分析】此题考查了因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解决问题的关键． （1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）由，得，的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）， ，，， 为最短边的长，为整数， 可取2，3，4． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 【答案】(1)1 (2)45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）原式利用完全平方公式变形，然后根据非负数的性质求出x，y的值即可； （2）根据完全平方公式确定出常数项，然后得出a、m、n、k的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）由题意得：， ∴，，，， ∴ ． 【题型10】乘法公式的几何背景与数形结合应用 1.考点总结 -核心：平方差、完全平方公式的几何推导，利用图形面积的两种表示方法验证公式，数形结合求面积； -常考：根据图形写出代数等式，利用公式求阴影部分面积，结合图形进行公式变形； -关键：将图形面积与代数式子对应，利用“面积相等”建立等式。 2.解题技巧 -公式验证：用大图形面积减空白面积、分割图形求面积和，两种方法表示同一图形面积，建立公式等式； -面积计算：结合公式将不规则图形面积转化为规则图形面积的和/差，如阴影部分面积用完全平方公式表示； -数形结合：根据图形特征，设出边长，用代数式表示边长和面积，结合公式求解未知量。 【例题10】.（25-26七年级上·山东聊城·月考）[教材呈现]新青岛版七年级上册习题3.2第7题：如图是边长为的正方形． [探索结论] (1)请用两种不同的方法列代数式表示该正方形的面积： 方法一：______； 方法二：______． (2)用两种不同的代数式表示这个正方形的面积后，你发现______． (3)[结论应用]请用你发现的结论进行简便计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别从整体和部分两个角度表示该正方形的面积即可； （2）由（1）中两种表示方法建立等式即可； （3）根据（2）中结论变形计算即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解：由（1）知； （3）解： ． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______． 【答案】9 【分析】根据图形的面积，面积差的意义，完全平方公式的应用解答即可； 【详解】解：根据题意，得，， 故， 故， 即， 故． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，按如图3摆放，边长分别为x，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2)4 (3)20 【分析】（1）用两种方法用代数式表示图2的面积即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）根据，，求出的值，再根据求出的值，由代入计算即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，图2中四个长方形的面积为， 所以有； （2）解：∵，， ∴由（1）得：； （3）解：∵四边形，四边形为正方形，边长分别为x，．， ，， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【分析】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 同步练习 一、单选题 1．根据地区生产总值统一核算结果，2025年，白银市地区生产总值为789.23亿元，按不变价格计算，比上年增长，其中数据789.23亿用科学记数法表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的一般形式（，n为整数）求解即可． 【详解】解：1亿， ∴789.23亿． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 3．若，则m的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则化简等式左边，将右边化为同底数幂，再根据同底数幂相等则指数相等求解m即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， 解得． 4．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（    ） A．4050 B． C．4052 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可． 【详解】解：由题意发现： 中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1， 故的第二项为， 故含项的系数是． 二、填空题 5．若，则常数的值是_________． 【答案】 【分析】将等式左侧利用完全平方公式展开，根据多项式相等对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：利用完全平方公式展开左边得：， 由题意得 ， 根据多项式相等对应项系数相等，可得，解得：． 故的值为． 6．已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．若规定新运算：，则当时，________． 【答案】6 【分析】根据新运算定义得到，结合进行计算即可． 【详解】解： 由得：， 则． 8．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法运算，先运用平方差公式计算第一项乘积，再运用单项式乘多项式法则计算第二项，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 三、解答题 9．计算 (1)； (2)； (3)； (4)（用乘法公式计算）； (5)（用乘法公式计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂，乘方的运算性质化简后计算． （2）先根据积的乘方法则化简，再根据单项式乘法法则计算． （3）先根据多项式乘法法则展开各项，再合并同类项得到结果． （4）将原式变形为平方差公式的形式，利用平方差公式计算． （5）先对原式分组变形，再用平方差公式和完全平方公式计算得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 10．下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：． 解：原式 第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小明第一步用到的乘法公式用字母表示为____，第二步用到的乘法公式用字母表示为____； (2)小明第_____步开始出现错误，错因是_____． (3)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)； (2)三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号 (3)过程见解析 【分析】（1）第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； （2）第三步去括号时出现错误； （3）正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】（1）解：小明第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为； （2）解：第三步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； （3）解： ． 11．计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法得到，然后比较求解即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ∴ 解得； （2）解： ∴． 12．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； （2）设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （3）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， 可得， 故，即． （3）解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 整式的乘除 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 1.幂的运算法则正用与逆用； 2.含0指数、负整数指数的幂的计算； 3.幂的混合运算及简便计算； 4.利用幂的运算比较大小、求参数 1.混淆同底数幂乘法（指数加）与幂的乘方（指数乘）； 2.积的乘方漏乘每一个因式，如误算为； 3.忽略0指数幂的条件，误算； 4.负整数指数幂转化错误，如误算为 2.整式的乘法（单×单、单×多、多×多） 1.整式乘法的运算法则应用； 2.整式乘法与幂的运算结合的混合运算； 3.整式乘法中不含某项的参数求解 1.单项式乘多项式漏乘常数项； 2.多项式乘多项式未按“每一项相乘”计算，漏项； 3.计算时忽略符号，尤其是含负号的单项式乘法 3.乘法公式（平方差、完全平方） 1.平方差、完全平方公式的正用、逆用； 2.公式的变形应用（如）； 3.含多重括号的公式应用，如添项、拆项用公式 1.完全平方公式漏乘2ab项，如误算为； 2.平方差公式判断错误，非“相同项±相反项”形式强行用公式； 3.公式变形时符号处理错误，如记混 4.整式的除法（单÷单、多÷单） 1.整式除法的运算法则应用； 2.整式乘除混合运算； 3.利用整式除法求余式、参数 1.单项式除法中，只在被除式含有的字母漏写； 2.多项式除以单项式漏除某一项； 3.整式除法与乘法混淆，运算顺序错误 5.整式的化简求值 1.整式的混合运算化简； 2.整体代入法求值； 3.含条件式（如）的求值 1.化简时未按运算顺序计算，去括号、合并同类项出错； 2.整体代入时未对代数式正确变形，无法匹配已知条件； 3.忽略条件式中的非负性，未求出参数具体值 6.科学记数法 1.用科学记数法表示较小的数（）； 2.科学记数法的乘除运算 1.确定的值错误，如误记为； 2.科学记数法运算时，与的指数分别运算后未合并 【易错题型】 【题型1】幂的运算与公式应用的易混辨析 1.易错点总结 -法则混淆：同底数幂相乘与幂的乘方指数运算记反，积的乘方漏乘因式； -公式误用：完全平方公式漏项，平方差公式在非“同项反项”形式下强行使用； -符号失误：负底数的幂、负整数指数幂、公式中负号的处理错误，如误算为； -条件忽略：0指数幂未验证，整式除法未注意除式不为0的条件。 2.纠错技巧 -法则口诀记忆：同底数幂乘除“底不变，指加减”；幂的乘方“底不变，指相乘”；积的乘方“各因式，分别乘”； -公式特征牢记：平方差公式一同一反，完全平方公式首平方、尾平方、积的2倍放中央； -符号分步判断：先判断整体符号，再计算幂/公式的结果，负底数的偶次幂为正、奇次幂为负； -条件前置验证：遇到0指数、负整数指数、整式除法时，先验证底数/除式不为0的条件。 【例题1】.（25-26九年级下·广东江门·月考）计算：______． 【答案】 【分析】零指数幂，负整数指数幂，化简后计算即可． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·江苏苏州·月考）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·安徽滁州·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方运算法则，逐一验证选项即可得到结果. 【详解】解：对于选项A：， ∴A错误， 对于选项B：， ∴B错误， 对于选项C：， ∴C正确， 对于选项D：， ∴D错误. 【变式题1-3】.（2026·湖北十堰·一模）下列运算的结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意． 【基础题型】 【题型2】整式的乘除基础运算 1.考点总结 -核心：单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式，单项式÷单项式、多项式÷单项式的运算法则； -常考：单一整式乘除运算、整式乘除与幂的运算结合的简单混合运算； -关键：单项式乘除抓系数、同底数幂、单独字母，多项式运算抓分配律。 2.解题技巧 -单项式×单项式：系数相乘，同底数幂按法则运算，单独字母连同指数保留； -单项式×/÷多项式：利用乘法分配律，将单项式与多项式的每一项分别运算，再合并结果； -多项式×多项式：按“首项乘遍，次项乘遍”原则，避免漏项，最后合并同类项。 【例题2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 【变式题2-1】.（2026·陕西榆林·一模）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据积的乘方、单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂和绝对值法则进行计算即可； （2）利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题2-3】.（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)21 (2) 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型3】乘法公式的直接应用 1.考点总结 -核心：平方差公式、完全平方公式的正用； -常考：直接匹配公式特征的二项式运算，含简单数字/单项式的公式计算； -关键：找准公式中的a和b，判断是否符合公式特征。 2.解题技巧 -平方差公式：先找相同项（a）和相反项（b），结果为“相同项平方减相反项平方”； -完全平方公式：确定首项（a）和尾项（b），按“首平方+尾平方±2×首×尾”计算，切记勿漏2ab项； -数字运算：将数字拆成二项式形式，用公式简化计算，如。 【例题3】.（重庆市部分学校2022-2023学年下学期八年级定时作业数学试卷）若是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的2倍，据此可解答． 【详解】解：． ∵是一个完全平方式， ∴． ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列中为“幸福数”的是（　　） A．410 B．401 C．140 D．104 【答案】D 【分析】根据“幸福数”定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导得出“幸福数”的倍数特征，再判断选项即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（其中n为正整数）， 由题意得“幸福数”为： ∴“幸福数”一定能被整除． A选项：，不能被整除，不符合． B选项：，不能被整除，不符合． C选项：，不能被整除，不符合． D选项：，能被整除，符合． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·重庆·开学考试）下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 【变式题3-3】.（2026·新疆乌鲁木齐·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按运算法则化简乘方、负整数指数幂、零次幂与绝对值，再把所得结果相加即可； （2）先展开完全平方与多项式乘法，再去括号、合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4】科学记数法表示与简单运算 1.考点总结 -核心：用科学记数法表示较小的数（，为正整数），科学记数法的乘除简便运算； -常考：将小数转化为的形式，科学记数法的乘除运算并还原； -关键：确定的取值和的数值（为原数第一个非0数字前0的个数）。 2.解题技巧 -表示较小数：第一步定（取原数第一个非0数字及其后一位，满足）；第二步定（数原数小数点到的小数点的移动位数）； -科学记数法运算：与运算，与按幂的运算法则运算，最后将结果化为标准科学记数法形式。 【例题4】.（25-26七年级上·广西河池·期末）2025年10月1日国家航天局发布的官方信息：天问二号探测器对小行星的探测距离约为4500万千米．数据4500用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 【变式题4-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）某细菌的直径约为0.00000056米，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的表达形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是非负整数；当原数的绝对值时，n是负数 【详解】解：0.00000056的小数点向右移动7位得到5.6， 所以数字0.00000056用科学记数法表示为 ， 【变式题4-2】.（2025·广东汕头·一模）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）地球到太阳的平均距离约是，月球到地球的平均距离约为，则地球到太阳的平均距离约是月球到地球的平均距离的______倍（结果保留整数）． 【答案】391 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算即可． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 【题型5】幂的运算逆用与简便计算 1.考点总结 -核心：幂的运算法则的逆用（如、），利用逆用进行简便计算； -常考：逆用法则将高次幂拆分为低次幂、凑整十/整百数简便计算，求幂的运算中的参数； -关键：观察式子特征，凑相同底数/相同指数。 2.解题技巧 -逆用同底数幂乘法：将指数和拆分为指数相加，凑相同底数进行计算； -逆用积的乘方：将不同底数、相同指数的幂，凑成积的乘方形式，尤其适用于凑或的情况； -求参数：将等式两边化为相同底数的幂，利用“底数相同，幂相等则指数相等”列方程求解。 【例题5】.（2026·江苏无锡·一模）已知，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（23-24七年级下·陕西咸阳·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂乘法计算即可； （2）利用同底数幂乘法和幂的乘方、负整数指数幂计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴ （2）解： 【变式题5-2】.（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 【提升题型】 【题型6】乘法公式的变形与整体应用 1.考点总结 -核心：完全平方公式的常见变形（如、），整体代入法求值； -常考：已知、、中的两个，求第三个，或求相关代数式的值； -关键：将所求代数式变形为含已知整体的形式。 2.解题技巧 -公式变形：熟记完全平方公式的6种核心变形，根据已知条件选择合适的变形公式； -整体代入：将、、等视为一个整体，直接代入变形后的代数式，无需单独求、； -凑整体：若已知条件非标准形式，先通过恒等变形凑出、等整体，再代入计算。 【例题6】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知，求，的值． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式可得，据此可得的值，同理可得，据此可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式题6-1】.（2026·江苏苏州·模拟预测）已知，，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）按要求完成下列计算： (1)已知：，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)7 (2)16 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解； （2）令，则，，代入原式求出，即可求解． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：令，则，， ， ， ， 解得， ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·福建漳州·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ，因为， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 ； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性证明； （3）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性分别求出、，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时，有最小值是， （2）解：， ， ， 多项式的值总是正数； （3）解：∵， 则， ， ，， ，， ， 又， ∴边长为的三条线段能构成三角形， 的周长为：． 【题型7】整式乘法中“不含某项”的参数求解 1.考点总结 -核心：整式乘法的运算法则，合并同类项，利用“不含某项则该项系数为0”求参数； -常考：多项式乘多项式、单项式乘多项式后，不含一次项/二次项/常数项，求字母参数的值； -关键：先化简整式，再找准目标项的系数，令其为0。 2.解题技巧 -步骤：第一步按整式乘法法则展开式子；第二步合并同类项，整理成标准多项式形式；第三步令不含项的系数为0，列方程求解参数； -注意：若含多个不含项，分别令对应项系数为0，列方程组求解； -验证：求出参数后，代入原式验证，确保目标项确实消失。 【例题7】.（25-26八年级上·湖南长沙·期末）若中不含m的一次项，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，要求表达式展开后不含的一次项，需使的一次项的系数为零． 【详解】解： ， 不含的一次项， ， ． 故答案为 ：． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知代数式的展开式中不含x的二次项，则______． 【答案】3 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开化简，再使含x的二次项系数为0求解即可． 【详解】解： ， ∵代数式的展开式中不含x的二次项， ， 解得：． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·陕西安康·月考）若的积中不含x项与项，求p，q的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘法中的无关项问题． 先计算，进而根据不含x项与项得到，，求解即可． 【详解】解： ∵积中不含x项与项， ∴，， ∴，． 【变式题7-3】.（24-25八年级上·四川内江·期末）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【题型8】整式乘除的混合运算与化简 1.考点总结 -核心：幂的运算、整式乘除、乘法公式的混合运算，含多重括号的整式化简； -常考：含括号的整式乘除混合运算，利用乘法公式简化整式乘除运算； -关键：遵循运算顺序，灵活运用公式简化计算。 2.解题技巧 -运算顺序：先去括号（先小括号，再中括号），再算乘方，最后算乘除，同级运算从左到右； -去括号技巧：括号前是负号，去括号后各项变号；括号内可凑公式的，先利用公式化简再去括号； -约分简化：整式乘除混合运算中，将多项式因式分解（公式法）后，约分简化计算（仅限本章公式分解）。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西西安·月考）计算： (1) (2)（运用乘法公式） (3) (4) 【答案】(1)9 (2)9 (3) (4) 【分析】（1）根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义，乘方的意义等计算即可； （2）把变形为，然后根据平方差公式计算即可； （3）根据多项式乘以多项式法则、多项式除以单项式法则、合并同类项法则等计算即可； （4）根据平方差公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则等计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法）； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原式分别计算有理数的乘方，零指数幂以及负整数指数幂，然后再进行加减运算即可； （2）原式分别计算同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，然后再合并同类项即可； （3）将301变形为，299变形为，再运用平方差公式进行计算即可； （4）先逆用积的乘方，再运用平方差公式计算底数，最后根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题8-2】.（2026·陕西延安·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·广东江门·期中）化简求值：，其中， 【答案】，6 【分析】先根据积的乘方运算，多项式乘以多项式及单项式除以单项式计算，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【培优题型】 【题型9】巧用乘法公式的添项/拆项运算 1.考点总结 -核心：平方差、完全平方公式的灵活应用，通过添项、拆项将非标准形式转化为公式形式； -常考：含三项及以上的多项式运算，无法直接用公式的二项式运算，通过添拆项凑公式； -关键：观察式子特征，凑出“同项反项”或“二项式平方”的形式。 2.解题技巧 -添项法：在式子中添加一个项再减去相同项，凑成公式形式，如； -拆项法：将其中一项拆分为两个项，分组后分别凑公式，如拆项后凑平方差； -分组凑公式：含三项的式子，将其中两项结合为一个整体，视为公式中的或，如。 【例题9】.（24-25八年级上·河南南阳·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了分解因式，灵活运用公式法进行因式分解是解题的关键． （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可；②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）① ； ② ． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏苏州·月考）把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在我们今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：，因为，所以，所以当时，即当时，有最小值，最小值为3． 【解决问题】 (1)当x为何值时，代数式有最小值？最小值为多少？ (2)如图1所示的是一组邻边长分别为7，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． （）利用完全平方公式配方解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·吉林长春·月考）阅读理解： 例：若，求和的值． 解： 即 ， ， 我们把以上方法称为“拆项法” 请用拆项法解决问题： (1)，求的值； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，c是中的最短边长，且c为整数，那么c的值可能是______（有几个写几个） 【答案】(1) (2)可取2，3，4 【分析】此题考查了因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解决问题的关键． （1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）由，得，的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ； （2）， ，，， 为最短边的长，为整数， 可取2，3，4． 【变式题9-3】.（24-25八年级上·云南临沧·期末）在对某些代数式进行化简或计算时，通常可以根据各项特征，将某个常数项拆分成多个常数项，与其它项组合成完全平方式，从而方便化简或计算． (1)已知，求的值； (2)已知（k为常数）可以化简成（a、m、n均为常数）的形式，求的值． 【答案】(1)1 (2)45 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）原式利用完全平方公式变形，然后根据非负数的性质求出x，y的值即可； （2）根据完全平方公式确定出常数项，然后得出a、m、n、k的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）由题意得：， ∴，，，， ∴ ． 【题型10】乘法公式的几何背景与数形结合应用 1.考点总结 -核心：平方差、完全平方公式的几何推导，利用图形面积的两种表示方法验证公式，数形结合求面积； -常考：根据图形写出代数等式，利用公式求阴影部分面积，结合图形进行公式变形； -关键：将图形面积与代数式子对应，利用“面积相等”建立等式。 2.解题技巧 -公式验证：用大图形面积减空白面积、分割图形求面积和，两种方法表示同一图形面积，建立公式等式； -面积计算：结合公式将不规则图形面积转化为规则图形面积的和/差，如阴影部分面积用完全平方公式表示； -数形结合：根据图形特征，设出边长，用代数式表示边长和面积，结合公式求解未知量。 【例题10】.（25-26七年级上·山东聊城·月考）[教材呈现]新青岛版七年级上册习题3.2第7题：如图是边长为的正方形． [探索结论] (1)请用两种不同的方法列代数式表示该正方形的面积： 方法一：______； 方法二：______． (2)用两种不同的代数式表示这个正方形的面积后，你发现______． (3)[结论应用]请用你发现的结论进行简便计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）分别从整体和部分两个角度表示该正方形的面积即可； （2）由（1）中两种表示方法建立等式即可； （3）根据（2）中结论变形计算即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解：由（1）知； （3）解： ． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）图1中有三种卡片，种卡片是边长为的正方形，种卡片是边长为的正方形，种卡片是长为、宽为的长方形．将图1中不同卡片“叠”在一起，可得面积之差，图2是种卡片与种纸片叠放在一起的，阴影部分的面积，图3是种卡片与种卡片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，则的值为______． 【答案】9 【分析】根据图形的面积，面积差的意义，完全平方公式的应用解答即可； 【详解】解：根据题意，得，， 故， 故， 即， 故． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·甘肃陇南·月考）如图1是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题：，，求的值； (3)两个正方形，按如图3摆放，边长分别为x，．若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2)4 (3)20 【分析】（1）用两种方法用代数式表示图2的面积即可； （2）利用（1）的结论进行计算即可； （3）根据，，求出的值，再根据求出的值，由代入计算即可． 【详解】（1）解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为， 图2中间小正方形的边长为，因此面积为，图2中四个长方形的面积为， 所以有； （2）解：∵，， ∴由（1）得：； （3）解：∵四边形，四边形为正方形，边长分别为x，．， ，， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）【知识技能】 初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来） 图1表示：____________________； 图2表示：____________________； 【解决问题】 （2）如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______． 【拓展提升】 （3）①若x满足；求______． ②若x满足；则______． 【答案】（1）；；（2）32；（3）①4；②． 【分析】本题考查了完全平方公式以及其变形公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）对于图1，根据大正方形的面积等于两个长方形面积与两个正方形面积之和，得到；对于图2，根据大正方形面积等于小正方形面积与四个长方形面积之和，得到； （2）设，，则，，根据完全平方公式的变形公式，计算出图中阴影部分面积； （3）①由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案； ②由，，以及完全平方公式的变形公式，计算得出答案． 【详解】（1）解：由图1可知，， 由图2可知，． （2）解：设，， ∵， ∴， ∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）①解：∵，， ∴． ②解：∵，， ∴， ∴， ∴． 同步练习 一、单选题 1．根据地区生产总值统一核算结果，2025年，白银市地区生产总值为789.23亿元，按不变价格计算，比上年增长，其中数据789.23亿用科学记数法表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的一般形式（，n为整数）求解即可． 【详解】解：1亿， ∴789.23亿． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 3．若，则m的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则化简等式左边，将右边化为同底数幂，再根据同底数幂相等则指数相等求解m即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， 解得． 4．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的次数降幂排列）： 依据以上规律，写出展开式中含的系数是（    ） A．4050 B． C．4052 D． 【答案】D 【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1，依此规律解答即可． 【详解】解：由题意发现： 中，每个展开式的第二项系数是n，第一个字母的指数为，第二个字母的指数为1， 故的第二项为， 故含项的系数是． 二、填空题 5．若，则常数的值是_________． 【答案】 【分析】将等式左侧利用完全平方公式展开，根据多项式相等对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：利用完全平方公式展开左边得：， 由题意得 ， 根据多项式相等对应项系数相等，可得，解得：． 故的值为． 6．已知，那么__________． 【答案】10 【分析】首先将两边除以x得到，然后两边同时平方得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．若规定新运算：，则当时，________． 【答案】6 【分析】根据新运算定义得到，结合进行计算即可． 【详解】解： 由得：， 则． 8．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法运算，先运用平方差公式计算第一项乘积，再运用单项式乘多项式法则计算第二项，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 三、解答题 9．计算 (1)； (2)； (3)； (4)（用乘法公式计算）； (5)（用乘法公式计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用负整数指数幂，零指数幂，乘方的运算性质化简后计算． （2）先根据积的乘方法则化简，再根据单项式乘法法则计算． （3）先根据多项式乘法法则展开各项，再合并同类项得到结果． （4）将原式变形为平方差公式的形式，利用平方差公式计算． （5）先对原式分组变形，再用平方差公式和完全平方公式计算得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． 10．下面是小明同学进行一道整式计算的过程： 计算：． 解：原式 第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小明第一步用到的乘法公式用字母表示为____，第二步用到的乘法公式用字母表示为____； (2)小明第_____步开始出现错误，错因是_____． (3)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)； (2)三；括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号 (3)过程见解析 【分析】（1）第一步用的是平方差公式，第二步用的是完全平方公式； （2）第三步去括号时出现错误； （3）正确去括号，合并同类项即可得出答案． 【详解】（1）解：小明第一步用到的乘法公式用字母表示为， 第二步用到的乘法公式用字母表示为； （2）解：第三步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是负号，去掉括号后，括号内的第二项没有变号； （3）解： ． 11．计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法得到，然后比较求解即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ∴ 解得； （2）解： ∴． 12．规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，， ∴， ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ， ； (2)计算： ，并说明理由． (3)记，，．求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； （2）设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （3）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， 可得， 故，即． （3）解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $