陕西西安市高新逸翠园初级中学2025-2026学年下学期九年级第一次综评数学试卷

2025-2026学年下学期九年级第一次综评数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1．a的相反数是2025，则a的值为（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，若△ABC的面积为7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列运算正确的是（　　） A．（﹣a2）3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．a3÷a2＝a D．（a+b）2＝a2+b2 5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，连接AC，AE，则∠EAC的度数为（　　） A．30° B．35° C．20° D．15° 6．关于函数y＝﹣x+2有下列结论，其中错误的是（　　） A．图象经过点（3，﹣1） B．若点A（0，y1），B（3，y2）在图象上，则y1＞y2 C．图象向下平移2个单位长度后，图象经过点（0，1） D．当x＞2时，y＜0 7．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且．给出下面四个结论： ①AE平分∠BAF； ②AE2+EF2＝AF2； ③AB+CF＝AF； ④AB+BE＞AF． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②③④ 8．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根 C．点P到直线AB的最大距离 D．x（ax+b）≤a+b 二．填空题（每小题3分，满分18分） 9．分解因式：4x2y﹣36y＝　 　 ． 10．如图，一个方桌截掉一个角后，得到一个五边形，∠1+∠2＝　 　 °． 11．有一种塑料杯子的高度是10cm，两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示，则8个这种杯子叠放在一起高度是 　 　 cm． 12．已知△ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，CA＝CD，求△ABC和△CDE的面积之比． 13．如图，反比例函数（k≠0）的图象与矩形OABC在第一象限相交于D，E两点，OC＝2OA＝8，连接OD，OE，DE，若△ODE的面积为12，则k的值为　 　 ． 14．在边长为4的菱形ABCD中，∠D＝120°，点E为AB中点，点F、G是对角线AC上两点，且．则四边形EFGB周长最小值为 　 　 ． 三．解答题（共12小题，满分78分） 15．（4分）计算：． 16．（4分）下面是小星同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解：去分母，得2（1﹣x）﹣（3x﹣2）＜6…第一步 去括号，得2﹣2x﹣3x+2＜6…第二步 移项，得﹣2x﹣3x＜6﹣2﹣2…第三步 合并同类项，得﹣5x＜2…第四步 两边都除以﹣5，得第五步 （1）上述求解过程中，第三步变形的依据是　 　 ； （2）上述求解过程中的第　 　 步发生错误，具体错误为　 　 ； （3）该不等式的解集应为　 　 ． 17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝3． 18．（6分）如图，已知△ABC∽△DEF，且DE＝2AB，AM为△ABC的边BC上的高，请用尺规作图法在EF上求作一点N，连接DN，使得DN＝2AM．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（6分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABF＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，且AB＝AD，AC＝AE，连接CD，EB．求证：∠CAD＝∠EAB． 20．（6分）疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．某校在校门口处安排了A，B，C三个测温通道，同学们可随机选取其中一个通道测温进校园．某天早晨，甲，乙两位同学准备测温进校，请用所学的概率知识解决下列问题： （1）甲同学在A入口处测量体温的概率是 　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲，乙两位同学从同一入口处测量体温进校的概率． 21．（6分）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A出发，途经点B后到达山顶P，其中AB＝400米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．（结果精确到1米，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268） 22．（6分）为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买2棵桂花树和3棵芒果树共需380元． （1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？ （2）若该村一次性购买这两种树共45棵，且桂花树不少于25棵，求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？ 23．（6分）为宣传6月6日世界海洋日，某校八年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动，为了解全年级800余名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出不完整的统计表（如表）和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答以下问题： 表格：知识竞赛成绩统计表 组别 分数/分 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 20 C 80≤x＜90 28 D 90≤x＜100 36 （1）本次调查一共随机抽取了 　 　 个参赛学生的成绩； （2）表1中a＝　 　 ； （3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 　 　 ； （4）请你估计，该校八年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有多少人． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，OD⊥BC交⊙O于点D，交BC于点E，连接AD交BC于点F，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点G，连接CD． （1）求证：∠CDA＝∠G； （2）若，求和的值． 25．（10分）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．实心球行进路线是一条抛物线，如图是一名男生投实心球时，实心球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系图象，掷出时起点处高度为，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据高中阶段学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.60m时，得分为满分．请计算说明该男生在此项考试中是否得满分． 26．（10分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是直线BC上一点，点E是射线CB上一点，∠DAE＝∠CAB． （1）如图1，当AB＝BE时，求CD的长； （2）当点D在射线CB上时，设CD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）过点B作BF⊥AB，交射线AE于点F，如果以D为圆心，CD为半径的圆与以点F为圆心，FB为半径的圆有且只有一个交点，求CE的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B． C B C A C D D 二．填空题 9．4y（x+3）（x﹣3）． 10．270． 11．38． 12．1：2． 13．16． 14．． 三．解答题 15．解：原式 ． 16．解：（1）上述求解过程中，第三步变形的依据是不等式的性质1， 故答案为：不等式的性质1； （2）上述求解过程中的第五步开始错误，具体错误是没有改变不等号的方向； 故答案为：五，没有改变不等号的方向； （3）该不等式的解集应为x． 故答案为：x． 17．解：原式＝[]• ＝（）• • ＝x+1， 当x＝3时，原式＝3+1＝4． 18．解：过点D作DN⊥EF于点N，如图，点N即为所求． 理由：根据在EF上求作一点N，连接DN，使得DN＝2AM，由作法得：DN⊥EF， ∵△ABC∽△DEF，且AM为△ABC的边BC上的高， ∴， ∵DE＝2AB， ∴DN＝2AM． 19．证明：在Rt△ABC和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠DAE﹣∠BAD＝∠EAB，∠BAC﹣∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠EAB． 20．解：（1）∵有A，B，C三个测温通道， ∴甲同学在A入口处测量体温的概率是． 故答案为：． （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学从同一入口处测量体温进校的结果有3种， ∴甲，乙两位同学从同一入口处测量体温进校的概率为． 21．解：过点B作BD⊥PC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 由题意得：CD＝BE， 在Rt△ABE中，∠A＝15°，AB＝400米， ∴BE＝AB•sin15°≈400×0.259＝103.6（米）， ∴CD＝BE＝103.6米， 在Rt△BDP中，∠PBD＝30°，BP＝200米， ∴DPBP＝100（米）， ∴PC＝PD+DC≈204（米）， ∴垂直高度PC约为204米． 22．解：（1）设桂花树的单价是x元，则芒果树的单价是（x﹣40）元， 2x+3（x﹣40）＝380， x＝100， x﹣40＝100﹣40＝60， （2）设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元， w＝100n+60（45﹣n）＝40n+2700， ∴w＝40n+2700， ∵40＞0， ∴w随n的增大而增大， ∵桂花树不少于25棵， ∴n≥25， ∴n＝25时，w取最小值，最小值为40×25+2700＝3700（元）， 此时45﹣n＝45﹣25＝20（棵）． 答：购买桂花树25棵，购买芒果树20棵时，费用最低，最低费用为3700元． 23．解：（1）36÷36%＝100（个）， 即本次调查一共随机抽取了100个参赛学生的成绩． 故答案为：100． （2）100×16%＝16，即a＝16． 故答案为：16． （3）将竞赛成绩从小到大排列后处在第50、51位的数都落在C组，因此中位数落在C组． 故答案为：C组． （4）样本中成绩达到90分以上（含90分）的学生占比为36%，由此估计全年级800名学生中成绩达到90分以上（含90分）的学生占比为36%，为800×36%＝288（人）． 答：该校八年级竞赛成绩达到90分以上（含90分）的学生约有288人． 24．（1）证明：∵BG是⊙O的切线， ∴∠GBO＝∠ABC+∠GBE＝90°， ∵OD⊥BC， ∴∠G+∠GBE＝90°， ∴∠G＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠CDA， ∴∠CDA＝∠G； （2）解：如图，连接AC、BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD⊥BC， ∴∠DEF＝90°， 又∵∠AFC＝∠DFE， ∴△ACF∽△DEF， ∴， 设DE＝x，EF＝a，则AC＝2x，CF＝2a， ∵OD⊥BC， ∴CE＝BE＝3a， ∵∠CAD＝∠DBE， ∴tan∠CAD＝tan∠DBE， ∴， ∴， ∴x2＝3a2， 在Rt△DEF中，DF2＝EF2+DE2， ∴DF2＝a2+x2＝4a2， 在Rt△CDE中，CD2＝CE2+DE2， ∴CD2＝（3a）2+x2＝12a2， ∴， ∴（负值已舍）， ∵∠GBD+∠DBO＝90°，∠DBO+∠DAB＝90°， ∴∠GBD＝∠DAB， ∵∠DCF＝∠DAB， ∴∠GBD＝∠DCF， 又∵∠G＝∠CDF， ∴△CDF∽△BGD， ∴， ∴，． 25．解：（1）实心球行进路线是一条抛物线，当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处， ∴抛物线顶点为（4，3）， ∵掷出时起点处高度为m， 设函数表达式为y＝a（x﹣4）2+3（a≠0）， 把（0，）代入得： a（0﹣4）2+3， 解得a， ∴y关于x的函数表达式为y（x﹣4）2+3； （2）令y＝0，即为（x﹣4）2+3＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∵10＞9.60， ∴该男生在此项考试中得满分． 26．解：（1）在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB5， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAE， ∵AB＝BE， ∵AB＝BE＝5， ∴CE＝BE+BC＝5+4＝9， ∴∠BAE＝∠E， ∴∠CAD＝∠E， 设CD＝m， ∴tan∠CAD＝tan∠E， ∴，即， 解得：m＝1， ∴CD的长为1； （2）如图1，过点E作AB的垂线交AB延长线于点H， 由∠ABC＝∠EBP， 设BE＝y＝5n， ∴EH＝3n，BH＝4n， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴tan∠CAD＝tan∠HAE， ∴，即， 解得：， ∴； （3）如图2，D在线段BC上时，过F作FM⊥BE于M，连接DF， ∵∠AFB＝∠C＝90°， ∴∠CAB+∠ACB＝90°，∠FMB+∠ACB＝90°， ∴∠MFM＝∠CAD， ∵∠ABC＝∠EBP， ∴△ACD∽△AFB， ∴， ∴， 解得：BF， ∴， ∴MD＝CB＝4， ∴， ∵， ∴， ∵∠ACD＝∠DMF， ∴△ACD～△DMF， ∴∠CAD＝∠MDF， ∴∠ADF＝90°， 此时⊙D和⊙F外切符合； ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段BC延长线上时， 此时有且仅有⊙D和⊙F外切，DF＝CD+BF， 同理：， ， 解得：， ∴， ∴， ∵MF∥AC， ∴△MFE∽△CAE， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/1 23:47:56；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $