精品解析：广东 揭阳真理中学2025-2026学年度第二学期综合训练九年级数学试题（问卷）

2025-2026学年度第二学期综合训练九年级数学试题 问卷 一、单选题（共10题，共30分) 1. 下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得出答案. 【详解】解：A是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误； B是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项错误； C既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项正确； D是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误； 故答案选择C. 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后能与原图形完全重合. 2. 某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故选B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：与不是同类项，无法合并，则A不符合题意， ，则B符合题意， ，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂相乘等内容，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 4. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，列出关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 即k的取值范围是． 故选：B． 5. 在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先画出图形，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：如图所示：cosB=． 故选D． 点睛：本题考查了锐角三角函数的定义，注意锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦． 6. 我市4月份要举行“粤超”足球联赛，根据赛制规定，每队都要与其他队进行一场比赛．若东区有n支队伍，共安排了55场比赛．下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】赛制为单循环赛制，每两队之间只比赛一场，需要去掉重复计算的场次，再结合总场数列方程即可． 【详解】解：∵共有支队伍，每队不与自身比赛， ∴每支队伍需要和支队伍各赛一场， ∵两队之间只进行一场比赛，直接计算会重复统计同一场比赛， ∴总比赛场数为， ∵已知总比赛场数为55， ∴可得方程． 7. 如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 8. 如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，先求出的坐标，进而求出点坐标，利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∴， 当时，， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴的面积； 故选C． 9. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（　　） A. 26π B. 13π C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=，则可求周长． 解：连接OA， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴AM=AB=6， ∵OM：MD=5：8， ∴设OM=5x，DM=8x， ∴OA=OD=13x， ∴AM==12x=6， ∴x=，∴OA=， ∴⊙O的周长=2π•OA=13π. 故选B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数的图象确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴得出对称点，然后特殊值代入进行求解即可； ③根据特殊值得出，利用平方差公式进行整理即可； ④根据对称轴得出，然后根据特殊值求解即可； ⑤根据二次函数的顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的右侧， ∴符号相异， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴，故①错误； ②根据对称轴为直线， ∴与关于对称轴对称， ∵当时，， ∴当时，，即； 故②正确，符合题意； ③由函数图象可知，当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ④根据对称轴为直线得，， ∴， 当时，， ∴ ∴， 故④正确，符合题意； ⑤当时，值最大，即最大， ∴，（）， ∴， 故⑤正确，符合题意； 综上，正确选项为②④⑤， 故选：A． 二、填空题（共5题，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式，然后通过平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 若为实数，且，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质算术平方根、偶次方，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再根据有理数加法和乘方法则计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 13. 若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例线段，一元二次方程的求解，熟练掌握相关知识是关键． 根据题意，设，则，代入解方程即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 化简，得， 解得，，（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据在同圆中直径所对的圆周角是可得，根据圆周角定理可得，根据圆心角，弦，弧之间的关系可得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，如图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在同圆中直径所对的圆周角是，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图是某校数学课外兴趣小组制作的风筝模型，将其抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，，垂足为E，则的值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先设，然后根据等腰三角形的性质、勾股定理可以得到和的值，再根据锐角三角函数即可计算出的值． 【详解】解：设， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ． 三 解答题(一）（共3小题，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，含特殊角的三角函数的混合运算，化简绝对值．先化简零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心O． （2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． （3）在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点E即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入，求出m的值，即可得出反比例函数解析式；将代入反比例函数解析式，求出点B的坐标，用待定系数法，即可求出一次函数解析式； （2）先求出一次函数与x轴交点C的坐标，在根据即可解答． 【小问1详解】 解：将代入反比例解析式得：，则， ∴反比例解析式为； 将代入反比例解析式得：，解得：， 即， 将A与B坐标代入中，得：， 解得：， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：连接，设一次函数与x轴交于点C， 对于一次函数，令，得到， 即， 则． 四 解答题（二）（共3小题，共27分） 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 20. 某单位食堂为全体960名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为_______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）60；108 （2）336人 （3） 【解析】 【分析】（1）抽取人数与所占百分比的积为最喜欢A套餐的人数；与“C”所占的百分比的积即为“C”对应扇形的圆心角； （2）根据样本估计总体的思想计算即可； （3）利用列表法即可求解． 【小问1详解】 解：（人），， 故在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为60人，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数有336人； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 甲乙 乙丙 乙丁 丙 甲丙 乙丙 丙丁 丁 甲丁 乙丁 丙丁 所有等可能结果有12种，其中恰好选中甲和乙的等可能结果有2种， 则恰好选中甲和乙的概率为， 答：恰好选中甲和乙的概率为． 21. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证； （）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ，， ， ， ． 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，三角函数及弧长公式，求出是解题的关键． 五 解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先利用直线得到点B和点C的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证； （3）设点D的坐标为，将线段DE的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的性质得到当时，线段DE的长度最大，得到点D的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴和轴交于点B和点C， ∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2）， 把，分别代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线与x轴交于点A， ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）设点D的坐标为 则点E的坐标为 ∴ = ∵， ∴当时，线段DE的长度最大． 此时，点D的坐标为， ∵， ∴点C和点M关于对称轴对称， 连接CD交对称轴于点P，此时最小． 连接CM交直线DE于点F，则，点F的坐标为， ∴， ∵ ∴的最小值． ． 【点睛】此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 【答案】（1）90；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解； （2）取的中点，连接、，利用直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，再利用即可求出的最大值； （3）连接交于点，取的中点，连接、、，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出，进而得到的长，利用直角三角形的性质和三角形中位线定理求出的长，最后利用即可求出的最大值． 【详解】解：（1）点是的中点，点是边的中点， ， ． 故答案为：90． （2）如图2，取的中点，连接、， ，点是的中点，， ，， ， ， ， ， 的最大值为． （3）如图3，连接交于点，取的中点，连接、、， 菱形， ，， ， ， ， ，， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， 美食一条街长度的最大值为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理与最短路径问题、菱形的性质，熟练掌握相关知识点，利用两点之间线段最短求出线段最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期综合训练九年级数学试题 问卷 一、单选题（共10题，共30分) 1. 下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. D. 5. 在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（　　） A. B. C. D. 6. 我市4月份要举行“粤超”足球联赛，根据赛制规定，每队都要与其他队进行一场比赛．若东区有n支队伍，共安排了55场比赛．下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 8. 如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，则的面积为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（　　） A. 26π B. 13π C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ） A. ②④⑤ B. ①③④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（共5题，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 若为实数，且，则的值为___________． 13. 若点是线段上的一点，满足，已知，那么的长为___________． 14. 如图，是的直径，是的内接三角形．若，，则的直径______． 15. 如图是某校数学课外兴趣小组制作的风筝模型，将其抽象为如图所示的平面图形，发现四边形是菱形，，，垂足为E，则的值是__________． 三 解答题(一）（共3小题，共21分） 16. 计算： 17. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心O． （2）在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． （3）在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求三角形的面积． 四 解答题（二）（共3小题，共27分） 19. 如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 某单位食堂为全体960名职工提供了A、B、C、D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： （1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为_______，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为_______°； （2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数； （3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求恰好选中甲和乙的概率． 21. 如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 五 解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求的最小值． 23. 【问题提出】 （1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值； 【问题解决】 （3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $