2026届高考物理二轮复习专题： 万有引力与天体运动

万有引力与天体运动 一、开普勒定律 第二定律：面积S = rv∆tsinθ/2 θ为夹角 S1=S2 r1v1sinθ1= r2v2sinθ2 第三定律： 对于椭圆轨道和圆轨道成立 椭圆轨道，万有引力一般不等于向心力， 可由开普勒第三定律求解椭圆轨道周期. r v θ r a 二、椭圆轨道 卫星绕行星轨道为椭圆，一般地万有引力不等于向心力. 椭圆轨道某一小段，视为圆周一部分(即曲率圆，曲率半径为ρ)，向心力和速度垂直. 万有引力指向中心天体，将引力F分解为 向心力Fn和切向力Ft.向心力改变速度方向 ，切向力改变速度大小. S v F Ft Fn 在A、B两点，引力和速度均垂直，切向力为零，即万有引力等于向心力.A到S距离为r1,B到S距离为r2. 特别注意，在A点 若取等号，将做以r1为半径的匀速圆周运动. 椭圆轨道相对于圆轨道为离心运动， 应有： r1 vA r2 A B S C D 设A、B两点曲率半径为ρ(曲率半径仅由曲线弯曲形状决定，AB两处弯曲程度相同) 开普勒第二定律： r1vA= r2vB 对于椭圆， 长轴顶点曲率半径最小 ρ=b²/a a、b分别为半长轴和半短轴 短轴顶点(即C点和D点)曲率半径最大，ρC=a²/b. r1 vA r2 A B S C D vB C点曲率半径 ρC=a²/b >a (∵a>b) 做出C点曲率圆，蓝色实线 在C点，引力F指向CS，向心力Fn指向CD，万有引力不等于向心力.D点与C点情况类似。 A、B、C和D是椭圆的四个顶点，但在A和B点万有引力等于向心力，C和D点是万有引力的一个分力提供向心力 A S C D F Fn Ft B 三、机械能 引力势能 Ep=- GMm/r 无穷远处为势能零点 机械能 E=Ek+Ep. 做匀速圆周运动，动能不变，引力势能不变，机械能不变 做椭圆轨道运动，引力做功，引力势能和动能相互转化，机械能守恒； 变轨问题，变轨时外力做功，机械能不守恒。例如卫星从圆轨道变到椭圆轨道，半长轴大于圆轨道半径，由于卫星加速，加速后认为位置不变，引力势能不变，但动能增加，机械能增大.若是卫星回收问题，机械能减少. (2024 上海卷1) 图示虚线为某彗星绕日运行的椭圆形轨道，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点。彗星沿图中箭头方向运行。 (1)该彗星某时刻位于a点，经过四分之一周期该彗星位于轨道的（ ） A.ab之间 B.b点 C.bc之间 D.c点 (2)已知太阳质量为M，引力常量为G。当彗日间距为r1时，彗星速度大小为v1，求彗日间距为r2时的彗星速度大小v2.(计算) 解：由开普勒第二定律， r1 v1t/2= r2 v2t/2 得 v2=r1 v1/r2 C 如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M，N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( ) 从P到M所用的时间等于T0/4 从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功 CD 【分析】P点速度最大，Q点速度最小，C正确；PM为椭圆轨道的1/4，但P点附近速度较大，故时间小于T0/4，A错误；只有引力做功，机械能守恒，B错误；从M、Q到N的运动过程，速度先减小后增大，动能先减小后增大，根据动能定理，万有引力对它先做负功后做正功.D正确. (2025·浙江1月选考·6)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b，从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星( ) A.在近日点的速度小于地球的速度 B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 C 【分析】本题A选项困难，BCD简单.只分析A选项. 地球绕太阳做匀速圆周运动，得v =(GM/r)0.5，假设哈雷彗星在近日点绕太阳做匀速圆周运动，根据哈雷彗星在近日点绕太阳做匀速圆周运动的半径小于地球公转轨道半径，因此哈雷彗星在近日点绕太阳做匀速圆周运动的速度大于地球绕太阳的公转速度，如果哈雷彗星从此圆周轨道变为原本的椭圆轨道，要做离心运动，需要在近日点加速，则哈雷彗星在原本椭圆轨道近日点的速度大于其在近日点绕太阳做匀速圆周运动的速度，故哈雷彗星在近日点的速度大于地球的速度，A错误. (2024湖北卷) 太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A. 空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B. 空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C. 空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D. 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 A 【分析】P点引力相同，加速度相同.半长轴大于圆轨道半径，由开普勒定律三定律知椭圆轨道周期大. v0 v1 v 如图，v0是变轨前经过P点的线速度，v1是由于喷气获得的反冲速度，v是变轨后经过P点的速度，由毕达哥拉斯定理，知v>v0，即变轨后的速度变大。变轨后在近地点的速度大于变轨后P点速度v，故变轨前的速度一定小于变轨后近地点的速度 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU（太阳到地球的距离为 1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( ) A.4×104M B. 4×106M C. 4×108M D. 4×1010M B 【分析】由图知，S2椭圆周期T=16年. 地球绕太阳匀速圆周运动，引力提供向心力，得 S2绕黑洞为椭圆轨迹，万有引力不等于向心力.设一恒星绕黑洞做匀速圆周运动，r=1000AU=a. 由开普勒第三定律， 该恒星周期T’=T=16年. 对该恒星，引力等于向心力，故 r=a a 黑洞 (2025·北京卷·7)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是( ) A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 A (2024·山东卷·5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( 　　) D 【分析】同步卫星绕地球太阳匀速圆周运动，引力提供向心力， 鹊桥二号绕月球为椭圆，万有引力不等于向心力.设一卫星绕月球做匀速圆周运动，R=a.由开普勒第三定律，卫星周期与鹊桥二号周期相同，即T=24h. 对该卫星，引力等于向心力，故 得 R=a a 月球 (2024·黑吉辽·7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。 ρ1 / ρ2的值为 (　　) A.2n B.n/2 C.2/n D.1/(2n) C 【分析】设星球表面重力加速度为g.原长处到平衡位置的距离等于弹簧伸长量，也是振幅A0. 由胡克定律，mg=kA0，g ∝A0. 由图(b)，g地/g天=2A/A=2。 由GMm/R²=mg得，M=gR²/G 密度ρ ∝M/R³ ∝ g/R 故 $