第3章 图形的平移与旋转 单元复习（4大知识点总结+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第3章 图形的平移与旋转 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平移的概念与性质 1.平移的定义判断及生活实例识别； 2.平移的性质（形状、大小、方向不变，对应点连线平行且相等）应用； 3.平面直角坐标系中点的平移规律； 4.平移的作图及平移后图形周长、面积计算 1.混淆平移与旋转的运动特征，误将曲线运动判定为平移； 2.平面直角坐标系中点的平移，混淆左右（x轴）与上下（y轴）平移的坐标变化规律； 3.平移作图时，未找准对应点，导致图形平移方向或距离错误； 4.计算平移后图形周长时，遗漏平移产生的新线段 2.旋转的概念与性质 1.旋转的定义、旋转中心、旋转角的识别； 2.旋转的性质（形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应角等于旋转角）应用； 3.简单图形的旋转作图； 4.旋转后角度、线段长度的计算 1.确定旋转角时，找错对应边/对应点，导致旋转角判断错误； 2.旋转作图时，未按指定旋转方向（顺时针/逆时针）作图； 3.忽略旋转的整体性，仅旋转图形的部分顶点； 4.误认为旋转后图形的方向不变 3.中心对称与中心对称图形 1.中心对称、中心对称图形的定义判断； 2.中心对称的性质（对应点连线经过对称中心且被平分）应用； 3.区分中心对称图形与轴对称图形； 4.简单中心对称图形的作图 1.混淆中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）的概念； 2.判断中心对称图形时，未找到对称中心，误判图形类型； 3.作中心对称图形时，对应点到对称中心的距离不相等； 4.遗漏既是轴对称又是中心对称的图形判定 4.图形变换的综合应用 1.平移、旋转、轴对称的综合作图； 2.利用图形变换解决面积、周长计算问题； 3.图形变换在图案设计、生活实际中的应用； 4.探索图形变换的规律问题 1.综合作图时，混淆不同变换的作图步骤，变换顺序错误； 2.利用图形变换求面积时，未通过变换转化为规则图形； 3.解决规律问题时，未找准旋转/平移的周期，导致规律推导错误； 4.忽略实际问题中图形变换的隐含条件（如距离、角度限制） 【易错题型】 【题型1】图形变换概念与特征的易混辨析 1.易错点总结 -概念混淆：将平移（沿直线运动，方向不变）与旋转（绕定点转动）、中心对称（绕中心旋转180°）概念混淆，误判图形变换类型； -特征误记：忘记平移对应点连线平行且相等、旋转对应点到旋转中心距离相等、中心对称对应点连线被对称中心平分的核心特征； -图形判断：区分中心对称图形与轴对称图形时，漏看对称中心或对称轴，误判双重对称图形； -坐标平移：平面直角坐标系中，点的左右平移（x轴）与上下平移（y轴）坐标变化记反，如将向右平移记为y轴加。 2.纠错技巧 -特征口诀记忆：平移“直移不变向，对应线平行”；旋转“绕点转角度，距心等距离”；中心对称“绕心转180，重合中心称”； -概念对比区分：用表格明确“平移/旋转/中心对称”的运动形式/研究对象/核心特征，避免混淆； -图形判断方法：判断中心对称图形找对称中心（绕其转180°与自身重合），判断轴对称图形找对称轴（折叠后重合），双重图形需同时满足； -坐标平移规律：“左减右加变x轴，上加下减变y轴”，平移后及时代入特殊点验证。 【例题1】.（2026九年级下·福建泉州·专题练习）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A．中国探火CMEP B．中国探月CLEP C．中国行星探测MARS D．中国火箭CHINAROCKET 【答案】D 【分析】中心对称图形绕某点旋转180度后与原来的图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 【变式题1-1】.（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移个单位长度后得到，请画出； (2)把绕原点旋转后得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可． （2）分别作出的对应点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画； （2）解：如图，即为所画． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【分析】根据题意注意到A，B关于y轴对称，要使得轴两侧的灯笼对称，只需要C，D关于y轴对称，再结合平移的性质分析讨论即可解题． 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【答案】(1)， (2)图见解析， 【分析】（1）利用关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数的性质，列方程求解、； （2）先根据坐标平移与轴对称规则确定各点坐标，再将四边形分割为两个三角形，用面积公式计算总面积． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ，， ，． （2）解：，， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∵将点向右移动个单位长度得到点， ∴点的坐标是， ∵点关于轴的对称点为点， ∴点的坐标是， ∴四边形的形状如下图所示， ，，， ∴四边形的面积． 【基础题型】 【题型2】平移的识别与生活情境应用 1.考点总结 -核心：平移的定义（在平面内，沿直线移动一定距离，图形形状、大小、方向不变）； -常考：生活中平移现象的识别、平移的判定、平移方向和距离的确定； -关键：紧扣“直线运动”“形状大小方向不变”两个核心特征。 2.解题技巧 -现象识别：判断运动是否为沿直线的平行移动，排除摆动、转动、曲线运动（如钟摆、摩天轮不是平移，电梯、水平行驶的汽车是平移）； -方向/距离确定：找图形的一组对应点，对应点连线的方向为平移方向，连线的长度为平移距离； -判定依据：满足“形状不变、大小不变、方向不变、直线移动”四个条件，即为平移。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，如果将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减进行计算即可． 【详解】解：将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为，即． 【变式题2-1】.（甘肃省陇南市2025-2026学年第二学期七年级数学试卷质量监测（一））如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．无法确定 【答案】A 【分析】平移是指在平面或空间内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向移动相同的距离． 【详解】解：符合平移，四马的图形大小不变，位置改变． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·福建莆田·月考）如图是城厢区顶墩实验学校的校标主体图案，图案是由“顶墩”两个字的首字母“DD”组成，提取拼音缩写，突出学校的名称，同时又巧妙融合了翅膀、双手、书本及朝阳等元素．若将该图案进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移只会改变图形的位置，不会改变大小，也不会发生旋转． 【详解】解： 对于A：图案发生旋转，故A错误； 对于B：图案发生旋转，同时大小改变，故B错误； 对于C：图案发生旋转，同时大小改变，故C错误； 对于D：符合平移图形的特征，故D正确． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，已知中，，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移，可知，根据全等三角形的性质对应边相等，可得出答案； （2）根据平移，可得，那么，结合角平分线，可得，最后结合三角形内角和定理，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵将沿射线方向平移后，得到， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将沿射线方向平移后，得到， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3】平面直角坐标系中点的平移规律应用 1.考点总结 -核心：平面直角坐标系中，点的平移坐标变化规律； -常考：根据平移方向求平移后点的坐标、根据平移前后坐标求平移距离/方向； -关键：熟记x轴、y轴平移的坐标变化规则，区分“左右”与“上下”。 2.解题技巧 -坐标规律：左减右加（x轴），即向右平移个单位：，向左平移个单位：；上加下减（y轴），即向上平移个单位：，向下平移个单位：； -逆向求解：已知平移后坐标，求原坐标或平移距离，用“逆运算”（如右移变左减，上加变下减）； -多点平移：图形平移时，所有顶点按相同规律平移，只需平移一组顶点即可得到整个图形的平移坐标。 【例题3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，关键是熟练应用坐标特征解题； 由于线段平行于轴，点和点的纵坐标相同，根据点在点的右侧求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴， ∴点的纵坐标与点相同为； 设点的横坐标为， ∴， ∵点在点右侧，， ∴， 解得， 故点的坐标为， 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系； （2）观察表示旋转木马的点的位置，可得其坐标； （2）根据线段垂直平分线的性质，作出的垂直平分线，其交点E就是游客中心的位置． 【详解】（1）解：∵表示碰碰车的点的坐标为， ∴表示碰碰车的点向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到原点， 画出平面直角坐标系，如图： （2）解：由图看出，表示旋转木马的点的坐标是 （3）解：如图，点E即为游客中心位置， 理由：如下图， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴点E到点A、B、C的距离相等． 【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握坐标平移，全等三角形的判定和性质，三角形的外心性质，是解题的关键 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；作图见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称， 故答案为：； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． (1)求点A的坐标； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式求解及图形的对称和平移． （1）通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A的坐标； （2）先根据已知条件求出点B、C的坐标，进而求出直线的解析式，得到点E的坐标，从而求出的长； （3）根据全等三角形的性质，通过图形的对称和平移来找出符合条件的点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为F， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 即， ∴， ∴． （3）解：存在， 如图，作关于x轴对称的， ∴点C与点关于x轴对称，即， 设线段的函数表达式为， 将点和点代入， 得：，解得， ∴线段的函数表达式为，与x轴交点为， 即， 将线段平移得到线段，设线段的函数表达式为， 将点代入得：，解得， ∴线段的函数表达式为， 当时，则有，解得， ∴， ∴关于x轴的对称点， 综上所述，点P的坐标为或或． 【题型4】旋转的基本要素识别与角度计算 1.考点总结 -核心：旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），旋转的性质（对应角等于旋转角，对应边相等）； -常考：确定旋转中心、旋转方向和旋转角，利用旋转性质求角度、线段长度； -关键：找准对应点/对应边，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角。 2.解题技巧 -三要素确定：旋转中心为固定不动的点；旋转方向分顺时针和逆时针；旋转角找一组对应点与旋转中心的连线所成的角； -角度计算：利用“对应角=旋转角”“三角形内角和”“对顶角相等”等，结合旋转性质推导角度； -线段计算：旋转后对应边长度相等，直接利用原图形线段长度求解。 【例题4】.（2026年河北省石家庄高新区中考数学一模试卷）如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】由旋转的性质进行判断，注意旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：观察图象可知，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （2）先确定点的位置，然后连线画出图形即可； （3）连接，结合成中心对称的图形特点，以及中点坐标公式求解，即可解题； （4）利用割补法求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：连接， 由图知，， 对称中心的坐标为，即； （4）解：的面积为：． 【题型5】中心对称与中心对称图形的判定 1.考点总结 -核心：中心对称（两个图形绕中心旋转180°重合）、中心对称图形（一个图形绕中心旋转180°与自身重合）的定义； -常考：区分中心对称与中心对称图形，判断常见图形（正方形、平行四边形、圆等）是否为中心对称图形，区分中心对称图形与轴对称图形； -关键：抓住“旋转180°重合”的核心特征，找准对称中心。 2.解题技巧 -概念区分：中心对称研究两个图形的位置关系，中心对称图形研究一个图形的自身特征； -判定方法：找图形的对称中心，将图形绕该点旋转180°，若能与自身重合，则为中心对称图形； -图形归类：熟记常见图形类型（如平行四边形、正方形、圆是中心对称图形，等腰三角形、正三角形不是；正方形、圆既是中心对称又是轴对称图形）。 【例题5】.（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·全国·期末）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 【变式题5-2】.（2026·江苏无锡·一模）下列图形中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项符合题意． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标互为相反数，先求出和的值，再代入代数式计算结果即可． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， 将，，代入， 可得：． 【提升题型】 【题型6】平移与旋转的作图 1.考点总结 -核心：平移、旋转的作图步骤，根据要求作出平移/旋转后的图形； -常考：按指定方向/距离作平移图形，按指定旋转中心/方向/角度作旋转图形，保留作图痕迹； -关键：找准对应点，按变换规律作出所有顶点的对应点，再顺次连接。 2.解题技巧 -平移作图步骤：①找原图形的关键点（顶点/交点）；②按平移规律作出每个关键点的对应点；③顺次连接对应点，得到平移图形； -旋转作图步骤：①找原图形的关键点；②连接关键点与旋转中心，按指定方向和角度作旋转角，截取与原线段等长的线段，得到对应点；③顺次连接对应点，得到旋转图形； -作图要求：保留作图痕迹（虚线、弧线），标注对应点、旋转中心、旋转角等。 【例题6】.（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向左平移5个单位得到，请画出，并写出，B1，C1的坐标； (2)请求出的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】（1）根据平移规则画出，进而写出点的坐标即可； （2）分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图可知：； （2）解：的面积． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点D都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点A作的平行线，点M在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的三角形； (3)线段与关系是___，在平移过程中三角形扫过的面积是___． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，24 【分析】（1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，，在平移过程中线段扫过的面积等于四边形的面积加上三角形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，， 在平移过程中三角形扫过的面积是． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·宁夏固原·月考）如图，在边长为个单位长度的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出； (2)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平移的性质，将三个顶点向左平移格，再向下平移格，再顺次连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积为 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·广东东莞·月考）如图，在正方形方格中，有一个三角形． (1)若每一个小正方形的边长为1，则三角形的面积是 ． (2)画出三角形向右平移4格后的三角形（不要求写作图步骤和过程）； 【答案】(1)2.5 (2)见解析 【分析】（1）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）利用平移的性质分别作出，，的对应点，，，顺次连接即可得平移后的． 【详解】（1）解： ； （2）解：如图所示， 【题型7】平移后图形的周长与面积计算 1.考点总结 -核心：平移的性质（形状、大小不变，对应线段平行且相等），利用平移转化求不规则图形的周长、面积； -常考：平移后规则图形的周长计算，利用平移将不规则图形转化为规则图形求面积； -关键：通过平移补全规则图形，利用“平移不改变图形面积”的性质求解。 2.解题技巧 -周长计算：平移后图形的周长=原图形周长+2倍平移距离（针对多边形平移后形成的组合图形），或通过平移将折线转化为直线计算； -面积计算：平移不改变图形面积，将不规则图形通过平移转化为长方形、正方形、三角形等规则图形，利用规则图形面积公式计算； -实际应用：如楼梯地毯长度、小路面积等，通过平移将横向/纵向线段平移，转化为规则图形的边长计算。 【例题7】.（24-25七年级下·北京·期中）如图，将周长为15的沿边向右平移得到，平移距离为3，则与的周长之和为_____；四边形的周长为_____． 【答案】 15 21 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，，，根据的周长为15，得出，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为3， ∴，，， ∵的周长为15， ∴， ∴ ； ∴四边形的周长为： ， 故答案为：15；21． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为______（请填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了三角形的面积和平移的性质，利用线段转化和面积转化，可以求解． 【详解】解：由平移性质可得，，，故①正确，②不正确； 阴影部分的周长为，③正确； 时，四边形的周长为，的周长比四边形的周长少，④不正确； ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴边上的高h为， ∴， ∴， ∴，故⑤正确， 故答案为：①③⑤． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)请在平面直角坐标系上画出，并写出点的坐标； (2)求出的面积； (3)若点P在y轴的正半轴上，且的面积是的面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析，点，点 (2)6 (3)或 【分析】本题主要考查了作图—平移变换、三角形面积公式、坐标与图形等知识点，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）先根据平移的性质作图即可，再结合图形写出所求点的坐标即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，再根据的面积是的面积的3倍可知上的高是的3倍，即边上的高为9；然后确定m的值，进而确定点P的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点，点． （2）解：的面积为． 故答案为：6． （3）解：设点P的坐标为， ∵的面积是的面积的3倍， ∴上的高是的3倍， ∴边上的高为9， ∴，即或7． ∴点P的坐标为或． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，其中a，b满足．平移线段得到线段，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上． (1)①点A的坐标是 ；点B的坐标是 ； ②求三角形的面积． (2)将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接，，是x轴负半轴上一点．若三角形的面积不小于三角形的面积，求m的取值范围． 【答案】(1)①，；②3 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系内图形的平移规则，割补法求图形面积，掌握平面直角坐标系内图形的平移规则是解题的关键． （1）①根据非负数的性质得到a、b的值即可得到A、B的坐标； ②利用平移规则得到C、D的坐标即可求解； （2）根据E向下移动1个单位长度得到点F的坐标，求出三角形和三角形的面积，最后根据三角形的面积不小于三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； ②∵平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上，且，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵将点E向下移动1个单位长度得到点F， ∴， ∴三角形的面积， 三角形的面积， ∵三角形的面积不小于三角形的面积， ∴， ∵是x轴负半轴上一点， ∴， ∴， ∴m的取值范围为． 【培优题型】 【题型8】旋转性质的综合计算 1.考点总结 -核心：旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等，对应点到旋转中心距离相等）； -常考：结合三角形（等腰、等边、直角）性质，利用旋转求角度、线段长度，判断三角形的形状； -关键：找准旋转前后的对应边/对应角，结合三角形相关性质推导。 2.解题技巧 -角度推导：利用“旋转角=对应角”，结合等腰三角形“等边对等角”、直角三角形“两锐角互余”、三角形内角和180°等推导； -线段计算：利用“对应边相等”“对应点到旋转中心距离相等”，结合勾股定理、等边三角形边长相等计算； -形状判断：根据旋转后得到的边/角关系，判断三角形为等腰、等边、直角三角形（如旋转60°得到等边三角形，旋转90°得到直角三角形）。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)2，轴， (2) 【分析】（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）可得顶角为的等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是； 故答案为：2；y轴；； （2）解：由旋转，得，． 为等边三角形， ， ， ． 又， ， ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，点为射线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为线段上一点，且，连接． (1)求证：； (2)写出和三者间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由旋转可得，由即可证明； （2），由可得，由三角形外角定理即可得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， 在与中， ∵， ∴． （2）解：． 理由是：由（1）可得 ∴， ∵， ∴． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质．先利用旋转的性质得到对应边和旋转角；结合已知推导出，得到；再以为依据证明和全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，； ∵， ∴， ∴； 在和中，， ∴， ∴． 【题型9】图形变换的规律探索问题 1.考点总结 -核心：平移、旋转的周期性，探索图形连续变换后的规律，确定某一次变换后的图形形状/位置； -常考：连续旋转（如每次旋转90°）、连续平移后的图形规律，确定第n次变换后的图形； -关键：找准变换周期，利用周期规律求解。 2.解题技巧 -周期确定：通过前几次变换，找出图形重复出现的周期数（如旋转90°，4次为一个周期；平移固定距离，3次为一个周期）； -规律计算：用总次数÷周期数，根据余数确定图形位置（余数为0，与最后一个周期图形相同；余数为k，与第k次变换图形相同）； -验证规律：确定周期后，代入前几次变换验证，确保周期正确，再推导第n次变换的图形。 【例题9】.（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标． 【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点A旋转，得到， ∴， ， ， ， ， ， ， 则， 同理可得，， ……，， 即． 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键． 【变式题9-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∴点； 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解． 【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5， 滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4， 滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2， 滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3， 滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5， …… ∴每滚动4次为一个循环， ∵， ∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4． 故答案为：4 【变式题9-3】.（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 同步练习 一、单选题 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作轴于，轴于，证明，有，，进而可得点坐标． 【详解】解：如图，作轴于，轴于， ， ， ∵， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴，， ∴． 二、填空题 4．如图，将沿方向平移得到，若，则长为______． 【答案】 【分析】根据平移的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知：， 则 ． 5．已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 6．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 【答案】 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是和，根据题意列方程组得到，，设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为，根据题意列方程得到，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设大正方形边长，小正方形边长， 依题意得， 解得， 设重叠的小正方形边长， 依题意得， 解得， 两块阴影部分的周长和， 阴影面积 三、解答题 7．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2)14 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ∴； （2）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ，， 三角形的周长为10， ，即， 四边形的周长 ． 8．如图所示，在正方形网格内有一四边形，按要求画出下列图形． (1)将四边形向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到四边形． (2)将四边形绕点逆时针旋转得到四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的思想求解即可． （2）根据旋转的性质画图求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： （2）解：根据旋转的性质，画图如下： 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点，点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点A与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，，则线段与的位置关系是 ； (3)四边形的面积是 （平方单位）． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3)5 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B、C的对应点即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：根据平移的性质，可得线段与平行． （3）解：四边形的面积． 10．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 图形的平移与旋转 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平移的概念与性质 1.平移的定义判断及生活实例识别； 2.平移的性质（形状、大小、方向不变，对应点连线平行且相等）应用； 3.平面直角坐标系中点的平移规律； 4.平移的作图及平移后图形周长、面积计算 1.混淆平移与旋转的运动特征，误将曲线运动判定为平移； 2.平面直角坐标系中点的平移，混淆左右（x轴）与上下（y轴）平移的坐标变化规律； 3.平移作图时，未找准对应点，导致图形平移方向或距离错误； 4.计算平移后图形周长时，遗漏平移产生的新线段 2.旋转的概念与性质 1.旋转的定义、旋转中心、旋转角的识别； 2.旋转的性质（形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应角等于旋转角）应用； 3.简单图形的旋转作图； 4.旋转后角度、线段长度的计算 1.确定旋转角时，找错对应边/对应点，导致旋转角判断错误； 2.旋转作图时，未按指定旋转方向（顺时针/逆时针）作图； 3.忽略旋转的整体性，仅旋转图形的部分顶点； 4.误认为旋转后图形的方向不变 3.中心对称与中心对称图形 1.中心对称、中心对称图形的定义判断； 2.中心对称的性质（对应点连线经过对称中心且被平分）应用； 3.区分中心对称图形与轴对称图形； 4.简单中心对称图形的作图 1.混淆中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）的概念； 2.判断中心对称图形时，未找到对称中心，误判图形类型； 3.作中心对称图形时，对应点到对称中心的距离不相等； 4.遗漏既是轴对称又是中心对称的图形判定 4.图形变换的综合应用 1.平移、旋转、轴对称的综合作图； 2.利用图形变换解决面积、周长计算问题； 3.图形变换在图案设计、生活实际中的应用； 4.探索图形变换的规律问题 1.综合作图时，混淆不同变换的作图步骤，变换顺序错误； 2.利用图形变换求面积时，未通过变换转化为规则图形； 3.解决规律问题时，未找准旋转/平移的周期，导致规律推导错误； 4.忽略实际问题中图形变换的隐含条件（如距离、角度限制） 【易错题型】 【题型1】图形变换概念与特征的易混辨析 1.易错点总结 -概念混淆：将平移（沿直线运动，方向不变）与旋转（绕定点转动）、中心对称（绕中心旋转180°）概念混淆，误判图形变换类型； -特征误记：忘记平移对应点连线平行且相等、旋转对应点到旋转中心距离相等、中心对称对应点连线被对称中心平分的核心特征； -图形判断：区分中心对称图形与轴对称图形时，漏看对称中心或对称轴，误判双重对称图形； -坐标平移：平面直角坐标系中，点的左右平移（x轴）与上下平移（y轴）坐标变化记反，如将向右平移记为y轴加。 2.纠错技巧 -特征口诀记忆：平移“直移不变向，对应线平行”；旋转“绕点转角度，距心等距离”；中心对称“绕心转180，重合中心称”； -概念对比区分：用表格明确“平移/旋转/中心对称”的运动形式/研究对象/核心特征，避免混淆； -图形判断方法：判断中心对称图形找对称中心（绕其转180°与自身重合），判断轴对称图形找对称轴（折叠后重合），双重图形需同时满足； -坐标平移规律：“左减右加变x轴，上加下减变y轴”，平移后及时代入特殊点验证。 【例题1】.（2026九年级下·福建泉州·专题练习）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A．中国探火CMEP B．中国探月CLEP C．中国行星探测MARS D．中国火箭CHINAROCKET 【变式题1-1】.（24-25九年级上·贵州贵阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移个单位长度后得到，请画出； (2)把绕原点旋转后得到，请画出． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）已知点与点关于原点对称，将点向右移动个单位长度得到点，点关于轴的对称点为点． (1)求，的值； (2)在图中标出，，，的位置，顺次连接，，，，求所得图形的面积． 【基础题型】 【题型2】平移的识别与生活情境应用 1.考点总结 -核心：平移的定义（在平面内，沿直线移动一定距离，图形形状、大小、方向不变）； -常考：生活中平移现象的识别、平移的判定、平移方向和距离的确定； -关键：紧扣“直线运动”“形状大小方向不变”两个核心特征。 2.解题技巧 -现象识别：判断运动是否为沿直线的平行移动，排除摆动、转动、曲线运动（如钟摆、摩天轮不是平移，电梯、水平行驶的汽车是平移）； -方向/距离确定：找图形的一组对应点，对应点连线的方向为平移方向，连线的长度为平移距离； -判定依据：满足“形状不变、大小不变、方向不变、直线移动”四个条件，即为平移。 【例题2】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）在平面直角坐标系中，如果将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，那么点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（甘肃省陇南市2025-2026学年第二学期七年级数学试卷质量监测（一））如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．无法确定 【变式题2-2】.（25-26七年级下·福建莆田·月考）如图是城厢区顶墩实验学校的校标主体图案，图案是由“顶墩”两个字的首字母“DD”组成，提取拼音缩写，突出学校的名称，同时又巧妙融合了翅膀、双手、书本及朝阳等元素．若将该图案进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（   ）． A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，已知中，，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【题型3】平面直角坐标系中点的平移规律应用 1.考点总结 -核心：平面直角坐标系中，点的平移坐标变化规律； -常考：根据平移方向求平移后点的坐标、根据平移前后坐标求平移距离/方向； -关键：熟记x轴、y轴平移的坐标变化规则，区分“左右”与“上下”。 2.解题技巧 -坐标规律：左减右加（x轴），即向右平移个单位：，向左平移个单位：；上加下减（y轴），即向上平移个单位：，向下平移个单位：； -逆向求解：已知平移后坐标，求原坐标或平移距离，用“逆运算”（如右移变左减，上加变下减）； -多点平移：图形平移时，所有顶点按相同规律平移，只需平移一组顶点即可得到整个图形的平移坐标。 【例题3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）线段平行于轴，点的坐标为，点在点的右侧，且，则点的坐标是__________． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）开心休博园坐落于长江世业洲生态岛，周末小明和小丽相约到休博园游玩，游玩结束后，他们绘制了开心休博园部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标为． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中旋转木马的坐标________； (3)若在休博园内新建一个游客中心，该中心到旋转木马、碰碰车和大摆锤三个游乐场所的距离相等，请你在图中画出游客中心的位置，标记为点E． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出点的坐标，并在图中画出点及； (2)将各顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于________轴对称； (3)若，且，直接写出点的坐标． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． (1)求点A的坐标； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】旋转的基本要素识别与角度计算 1.考点总结 -核心：旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），旋转的性质（对应角等于旋转角，对应边相等）； -常考：确定旋转中心、旋转方向和旋转角，利用旋转性质求角度、线段长度； -关键：找准对应点/对应边，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角。 2.解题技巧 -三要素确定：旋转中心为固定不动的点；旋转方向分顺时针和逆时针；旋转角找一组对应点与旋转中心的连线所成的角； -角度计算：利用“对应角=旋转角”“三角形内角和”“对顶角相等”等，结合旋转性质推导角度； -线段计算：旋转后对应边长度相等，直接利用原图形线段长度求解。 【例题4】.（2026年河北省石家庄高新区中考数学一模试卷）如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题4-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，每个小正方形边长都是1，其顶点叫做格点，的顶点均在格点上．按下列要求作图并解答． (1)将向左平移5个单位得到，点、的对应点分别为、，画出； (2)作关于点成中心对称的，点，的对应点分别为、． (3)与也成中心对称，写出对称中心的坐标：　　　　　　． (4)求的面积． 【题型5】中心对称与中心对称图形的判定 1.考点总结 -核心：中心对称（两个图形绕中心旋转180°重合）、中心对称图形（一个图形绕中心旋转180°与自身重合）的定义； -常考：区分中心对称与中心对称图形，判断常见图形（正方形、平行四边形、圆等）是否为中心对称图形，区分中心对称图形与轴对称图形； -关键：抓住“旋转180°重合”的核心特征，找准对称中心。 2.解题技巧 -概念区分：中心对称研究两个图形的位置关系，中心对称图形研究一个图形的自身特征； -判定方法：找图形的对称中心，将图形绕该点旋转180°，若能与自身重合，则为中心对称图形； -图形归类：熟记常见图形类型（如平行四边形、正方形、圆是中心对称图形，等腰三角形、正三角形不是；正方形、圆既是中心对称又是轴对称图形）。 【例题5】.（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【变式题5-1】.（25-26九年级上·全国·期末）如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【变式题5-2】.（2026·江苏无锡·一模）下列图形中，既不是轴对称图形，又不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【提升题型】 【题型6】平移与旋转的作图 1.考点总结 -核心：平移、旋转的作图步骤，根据要求作出平移/旋转后的图形； -常考：按指定方向/距离作平移图形，按指定旋转中心/方向/角度作旋转图形，保留作图痕迹； -关键：找准对应点，按变换规律作出所有顶点的对应点，再顺次连接。 2.解题技巧 -平移作图步骤：①找原图形的关键点（顶点/交点）；②按平移规律作出每个关键点的对应点；③顺次连接对应点，得到平移图形； -旋转作图步骤：①找原图形的关键点；②连接关键点与旋转中心，按指定方向和角度作旋转角，截取与原线段等长的线段，得到对应点；③顺次连接对应点，得到旋转图形； -作图要求：保留作图痕迹（虚线、弧线），标注对应点、旋转中心、旋转角等。 【例题6】.（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向左平移5个单位得到，请画出，并写出，B1，C1的坐标； (2)请求出的面积． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·江苏扬州·月考）如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点D都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点A作的平行线，点M在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的三角形； (3)线段与关系是___，在平移过程中三角形扫过的面积是___． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·宁夏固原·月考）如图，在边长为个单位长度的正方形网格中有，点，，均在格点上． (1)将向左平移格，再向下平移格后得到，画出； (2)计算的面积． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·广东东莞·月考）如图，在正方形方格中，有一个三角形． (1)若每一个小正方形的边长为1，则三角形的面积是 ． (2)画出三角形向右平移4格后的三角形（不要求写作图步骤和过程）； 【题型7】平移后图形的周长与面积计算 1.考点总结 -核心：平移的性质（形状、大小不变，对应线段平行且相等），利用平移转化求不规则图形的周长、面积； -常考：平移后规则图形的周长计算，利用平移将不规则图形转化为规则图形求面积； -关键：通过平移补全规则图形，利用“平移不改变图形面积”的性质求解。 2.解题技巧 -周长计算：平移后图形的周长=原图形周长+2倍平移距离（针对多边形平移后形成的组合图形），或通过平移将折线转化为直线计算； -面积计算：平移不改变图形面积，将不规则图形通过平移转化为长方形、正方形、三角形等规则图形，利用规则图形面积公式计算； -实际应用：如楼梯地毯长度、小路面积等，通过平移将横向/纵向线段平移，转化为规则图形的边长计算。 【例题7】.（24-25七年级下·北京·期中）如图，将周长为15的沿边向右平移得到，平移距离为3，则与的周长之和为_____；四边形的周长为_____． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为______（请填序号） 【变式题7-2】.（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)请在平面直角坐标系上画出，并写出点的坐标； (2)求出的面积； (3)若点P在y轴的正半轴上，且的面积是的面积的3倍，求点P的坐标． 【变式题7-3】.（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，其中a，b满足．平移线段得到线段，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上． (1)①点A的坐标是 ；点B的坐标是 ； ②求三角形的面积． (2)将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接，，是x轴负半轴上一点．若三角形的面积不小于三角形的面积，求m的取值范围． 【培优题型】 【题型8】旋转性质的综合计算 1.考点总结 -核心：旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等，对应点到旋转中心距离相等）； -常考：结合三角形（等腰、等边、直角）性质，利用旋转求角度、线段长度，判断三角形的形状； -关键：找准旋转前后的对应边/对应角，结合三角形相关性质推导。 2.解题技巧 -角度推导：利用“旋转角=对应角”，结合等腰三角形“等边对等角”、直角三角形“两锐角互余”、三角形内角和180°等推导； -线段计算：利用“对应边相等”“对应点到旋转中心距离相等”，结合勾股定理、等边三角形边长相等计算； -形状判断：根据旋转后得到的边/角关系，判断三角形为等腰、等边、直角三角形（如旋转60°得到等边三角形，旋转90°得到直角三角形）。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； (2)连接，交于点，求的度数． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，点为射线上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为线段上一点，且，连接． (1)求证：； (2)写出和三者间的数量关系，并说明理由． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，点在线段上，连接，且，求证：． 【题型9】图形变换的规律探索问题 1.考点总结 -核心：平移、旋转的周期性，探索图形连续变换后的规律，确定某一次变换后的图形形状/位置； -常考：连续旋转（如每次旋转90°）、连续平移后的图形规律，确定第n次变换后的图形； -关键：找准变换周期，利用周期规律求解。 2.解题技巧 -周期确定：通过前几次变换，找出图形重复出现的周期数（如旋转90°，4次为一个周期；平移固定距离，3次为一个周期）； -规律计算：用总次数÷周期数，根据余数确定图形位置（余数为0，与最后一个周期图形相同；余数为k，与第k次变换图形相同）； -验证规律：确定周期后，代入前几次变换验证，确保周期正确，再推导第n次变换的图形。 【例题9】.（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，…，按此规律进行下去，若点且等边的高为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题9-1】.（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且，将绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，将，绕原点O顺时针旋转后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形，．．．．．．依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______． 【变式题9-2】.（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是______． 同步练习 一、单选题 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，将沿方向平移得到，若，则长为______． 5．已知点与点关于原点对称，则_________． 6．在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． 三、解答题 7．将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 8．如图所示，在正方形网格内有一四边形，按要求画出下列图形． (1)将四边形向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到四边形． (2)将四边形绕点逆时针旋转得到四边形． 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点，点都在正方形网格的格点上． (1)平移三角形，使点A与重合，画出平移后得到的三角形； (2)连接，，则线段与的位置关系是 ； (3)四边形的面积是 （平方单位）． 10．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $