第1章 三角形的证明及其应用 单元复习（7大知识点总结+9大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年北师大版数学八年级下册易错题重难点培优讲义

第1章 三角形的证明及其应用 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.等腰三角形的性质与判定 1.利用等腰三角形等边对等角、等角对等边求解角度、边长； 2.等腰三角形三线合一的性质应用； 3.等腰三角形的分类讨论计算 1.忽略等腰三角形腰和底的分类讨论，漏解； 2.误用“三线合一”，未确认中线/高/角平分线对应同一顶点； 3.计算角度时，忽略三角形内角和为180°的限制 2.等边三角形的性质与判定 1.等边三角形三边相等、三角均为60°的性质应用； 2.等边三角形的三种判定方法的选择； 3.等边三角形与等腰三角形的综合证明 1.判定等边三角形时，仅证两边相等或一个角为60°，条件不足； 2.忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，未结合等腰三角形性质解题； 3.旋转等边三角形时，未找准对应边和对应角 3.直角三角形的性质与判定 1.直角三角形两锐角互余、勾股定理的应用； 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 3.勾股定理的逆定理判定直角三角形 1.应用勾股定理时，混淆直角边和斜边； 2.误用斜边中线性质，未确认三角形为直角三角形； 3.勾股定理逆定理判定时，未验证三边数量关系 4.线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质（线上点到两端点距离相等）； 2.线段垂直平分线的判定（到两端点距离相等的点在线上）； 3.尺规作线段垂直平分线及应用 1.应用性质时，未确认点在垂直平分线上； 2.判定垂直平分线时，仅证一个点到两端点距离相等； 3.尺规作图时，未保留作图痕迹或步骤错误 5.角的平分线 1.角平分线的性质（线上点到角两边距离相等）； 2.角平分线的判定（到角两边距离相等的点在平分线上）； 3.角平分线与垂直平分线的综合应用 1.应用性质时，未确认距离为垂线段长度； 2.判定角平分线时，忽略“在角的内部”的前提； 3.综合题中，未结合全等三角形证明角平分线/垂直平分线 6.三角形的全等证明 1.全等三角形的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）； 2.利用全等三角形证明边相等、角相等； 3.构造全等三角形解决证明问题 1.判定全等时，错用SSA，忽略边的夹角条件； 2.证明时，未找准对应边、对应角，条件罗列混乱； 3.未结合图形特征添加辅助线构造全等 7.反证法 1.反证法的解题步骤； 2.用反证法证明简单的几何命题 1.反证法中，假设错误，未否定命题的结论； 2.推理过程中，未推出与已知/定理/定义矛盾的结果； 3.步骤不完整，缺少“综上，原命题成立”的总结 【易错题型】 【题型1】三角形证明中的条件疏漏与分类讨论缺失 1.易错点总结 -判定类：证明等腰/等边/直角三角形时，条件缺失，如仅证一个角为就判定等边三角形； -计算类：等腰三角形求边长/角度时，忽略分类讨论（腰底不明、顶角底角不明），导致漏解； -性质类：误用“三线合一”“斜边中线”等性质，未验证前提条件（如非直角三角形用斜边中线性质）； -全等类：错用SSA判定全等，或未找准对应边、对应角，证明逻辑混乱。 2.纠错技巧 -判定三步法：①明确判定定理的全部条件；②逐一验证条件是否满足；③写出完整的判定依据； -分类讨论原则：等腰三角形遇边/角未明确时，先分类（腰/底、顶角/底角），再结合三角形三边关系/内角和验证解的合理性； -性质前提验证：使用特殊性质前，先确认图形类型（如直角三角形、等腰三角形），标注关键条件； -全等对应原则：证明全等时，用字母对应法标注顶点，确保边、角对应一致，杜绝SSA错误。 【例题1】.（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差关系即可证明结论； （2）利用即可证明． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴； （2）证明：由（1）得， 又∵，， ∴． 【变式题1-1】.（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图，已知，点E是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质可知，再根据边角边即可证明求解． 【详解】证明：∵． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可证，再根据等边对等角可证结论成立； （2）根据等腰三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据可得，根据线段之间的关系可以求出，根据三角形的面积公式和周长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：证明：，， 垂直平分， ， ； （2）解：由（1）可知，， ，， ， 在中，， ，， ，， 在中，， 的周长， 的面积． 【变式题1-3】.（2026年北京市八一教育集团九年级零模联考试卷数学学科）在中，，平分，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接． (1)如图1，求证：， (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析． 【分析】证明，可得出，通过导角得到，得到，进一步得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 取中点，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【基础题型】 【题型2】等腰三角形的性质直接应用 1.考点总结 -核心：等腰三角形等边对等角、等角对等边、三线合一的基本性质； -常考：求三角形内角度数、线段长度，简单的边/角相等证明； -关键：找准等腰三角形的腰、底、顶角、底角。 2.解题技巧 -角度计算：由等边对等角转化边的关系为角的关系，结合三角形内角和列方程求解； -线段计算：利用三线合一将中线、高、角平分线转化，结合线段和差求解； -简单证明：直接套用性质，标注“，（等边对等角）”等规范步骤。 【例题2】.（2026·江苏无锡·一模）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可； 【详解】解： ，，， ，，， ， ， ， ． 【变式题2-1】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（一）数学试题）在中，，，，若点P在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为______． 【答案】3或6/6或3 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的三边关系、等腰三角形的判定和性质，用分类讨论思想考虑所有可能的情况．根据题意求得和，分点P在线段上和点P在线段的延长线上，利用含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得，， ①点P在线段上， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ②点P在线段的延长线上，如图，位于， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6或3． 【变式题2-2】.（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图，在中，，，交于点D，，则的长是_____． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形和含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，见解析 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，得到，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：证明：和均为等边三角形， ． ． 在和中，， ， ； （2）①证明：由（1）可知，， 又． ， ； ②猜想：，理由： ，， 是等边三角形， ， ， ． 【题型3】直角三角形的基本性质与计算 1.考点总结 -核心：直角三角形两锐角互余、勾股定理、斜边中线等于斜边的一半； -常考：求锐角角度、边长，验证直角三角形，斜边中线相关计算； -关键：确认直角顶点，区分直角边和斜边。 2.解题技巧 -角度计算：由两锐角互余得，直接代入已知角求解； -边长计算：勾股定理（为斜边），直接代入求值，注意开方验证； -斜边中线：若，为中点，则，直接转化线段长度。 【例题3】.（2026·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，由角平分线和垂直的定义可得和的度数，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， ∴． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出； (2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）感知：如图1，平分，，，易知：． (1)探究：如图2，平分，，，求证：． (2)应用：如图3，在四边形中，，，，写出线段，和的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）过点D作于，交的延长线于，证明，即可得到； （2）先证明，再证明，然后得到，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于，交的延长线于， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接、作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【题型4】线段垂直平分线/角平分线的性质直接应用 1.考点总结 -核心：线段垂直平分线线上点到两端点距离相等，角平分线线上点到角两边距离相等； -常考：利用性质求线段长度、证明边相等/角相等，简单的距离计算； -关键：确认点在垂直平分线/角平分线上，距离为垂线段长度。 2.解题技巧 -线段垂直平分线：若点在的垂直平分线上，则，直接转化线段关系，结合和差计算； -角平分线：若点在的平分线上，且、，则，利用垂线段相等求解长度。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 【变式题4-1】.（2026·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过点D作于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于F， ∵是中的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式题4-2】.（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）由，求得，由角平分线的性质得，由，求得 （2）由于E，，得，由，根据“”证明，得，则，而，所以，则 【详解】（1）解：， ， 平分于E，， ， ， ， 解得， 的长为 （2）解：， 理由：于E，， ， 平分于E，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求∠的度数． (2)若，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴． 【题型5】全等三角形的直接判定与证明 1.考点总结 -核心：全等三角形的SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定定理，利用全等证明边/角相等； -常考：结合图形直接找判定条件，证明简单的边相等、角相等； -关键：找准对应边、对应角、对应顶点。 2.解题技巧 -条件寻找：从图形中找公共边、公共角、对顶角等隐含条件； -定理选择：①三边对应相等→SSS；②两边及夹角→SAS；③两角及夹边→ASA；④两角及对边→AAS；⑤直角三角形斜边+直角边→HL； -证明规范：先写已知条件，再列判定条件，最后得“”，再推边/角相等。 【例题5】.（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，直线上有两点，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先求出，再根据三角形外角的性质求出，证明，即可得到． 【详解】证明：， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，，，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】连接，证明，再证明，得到，即可得到结论； 【详解】证明：连接， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分． 【变式题5-3】.（2026·陕西延安·二模）如图，在梯形中，，，过点作于点，点在上，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，，根据两平行线间的垂直线段相等得，可得，即得． 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【提升题型】 【题型6】反证法的基础应用 1.考点总结 -核心：反证法的解题步骤（假设→推理→矛盾→结论）； -常考：用反证法证明简单的几何命题（如“三角形中最多有一个直角”）； -关键：正确否定命题的结论，推出合理的矛盾。 2.解题技巧 -三步法：①假设：否定原命题的结论（如原命题“有一个”，假设“有两个或更多”）；②推理：结合已知条件、定理推理，推出与已知/定理/定义矛盾的结果；③结论：由矛盾说明假设不成立，原命题成立； -常见矛盾：与三角形内角和矛盾、与全等性质矛盾、与已知条件矛盾。 【例题6】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．证明时可以先假设________． 【答案】两条平行直线被第三条直线所截，同位角不相等 【分析】反证法证明命题时，需先假设命题的结论不成立，因此只需写出原命题结论的否定即可． 【详解】原命题要证明的结论为“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”， 根据反证法的步骤，首先假设结论不成立， 即假设两条平行直线被第三条直线所截，同位角不相等． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【分析】利用反证法进行证明，先假设，再证明与原已知条件不符即可． 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 【题型7】等边三角形的判定与性质综合应用 1.考点总结 -核心：等边三角形三边相等、三角均为的性质，三种判定方法（三边相等/三角相等/等腰+）； -常考：等边三角形的证明，与等腰三角形、全等三角形的综合计算； -关键：抓住等边三角形特殊的等腰三角形特征，结合等腰三角形性质解题。 2.解题技巧 -判定选择：①已知边相等→证三边相等或等腰+；②已知角相等→证三角均为； -性质应用：由三角均为，直接转化角度关系，结合全等证明边相等； -综合解题：等边三角形中遇中点，结合三线合一，构造直角三角形用勾股定理计算。 【例题7】.（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，四边形中，，，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)如图，为四边形内一点，且求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明≌，进而解题； （2）证明≌，可得，由两点之间，线段最短即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ； （2）证明：延长至，使，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． (1)当时， ； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，得到，对称，得到，即可得出结果； （2）证明为等边三角形，即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴； （2）证明：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可知：，， ∴， ∵对称， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【变式题7-2】.（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【培优题型】 【题型8】勾股定理与逆定理的综合应用 1.考点总结 -核心：勾股定理（直角三角形→三边关系）、勾股定理的逆定理（三边关系→直角三角形）的综合； -常考：先判定直角三角形，再用勾股定理求边长；或用勾股定理验证直角三角形，证明线垂直； -关键：区分勾股定理与逆定理的应用场景。 2.解题技巧 -逆定理判定：已知三边、、（最大），若，则为直角三角形，； -勾股定理计算：判定为直角三角形后，用求未知边，注意区分直角边和斜边； -线垂直证明：证明两条线段的夹角为，可通过勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形。 【例题8】.（25-26八年级下·天津·月考）如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知,再根据勾股定理的逆定理可知，即可求解面积． 【详解】解：连接, ∵，，， 根据勾股定理可知，, ∵，， ∴, , 则． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 【详解】解：∵，，，平分交于点， ∴且点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【答案】 【分析】作于交延长线于G，由平分，得到，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，得到的面积，由的面积的面积的面积，得到，因此，即可求出． 【详解】解：作于交延长线于G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在中，，点M在边上（不与点A、B重合），连结，将绕点C顺时针旋转得到平分交射线于点N，连结． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为或 【分析】（1）利用旋转的性质推出，再结合全等三角形的判定求解，即可解题； （2）根据三角形内角和定理，全等三角形性质，推出，进而即可证明； （3）根据题意分两种情况，当点N在线段上时，当点N在的延长线上时，设，结合全等三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理分析求解，即可解题． 熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，以及勾股定理是解决问题的关键． 【详解】（1）证明：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：分两种情况： 如图，当点N在线段上时， ∵， ∴， 设，则， 由（1）知，， ∴， ∵，，平分交射线于点N， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 解得x， ∴BM的长为， 如图，当点N在的延长线上时， ∵， ∴， 设，则， 由（1）知，， ∴， ∵，平分交射线于点N， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 解得x， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 【题型9】三角形证明的动态探究问题 1.考点总结 -核心：结合动点、动线段、动图形，探究三角形在运动过程中的边/角关系、特殊图形的存在性； -常考：动点在边上运动，探究等腰/直角/全等三角形的存在性，求动点的位置/运动时间； -关键：抓住运动过程中的不变条件，结合方程求解。 2.解题技巧 -设元建模：设动点运动时间为，用表示相关线段的长度，标注在图形上； -存在性探究：根据等腰/直角/全等三角形的判定条件，建立关于的方程，求解后结合三角形三边关系/图形范围验证解的合理性； -不变量分析：动态过程中，寻找不变的边、角、全等关系，作为解题的突破口。 【例题9】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)存在， 【分析】本题考查几何问题(一元一次方程的应用)，等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分类讨论：①当点E在点左侧时，②当点在点右侧时，逐个分析求解即可； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：作，， ∵平分，则， ， ， ①当点E在点左侧时，有 ，， ， 解得： ； ②当点在点右侧时，有 ，， ， 解得． ∴t的值为或． （3）解：存在，．理由如下： ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：存在，． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动． (1)问动点运动多少秒时，并说明理由； (2)设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积； (3)动点运动多少秒时，与的面积比为． 【答案】(1)动点运动2秒时，，见解析 (2) (3)动点运动秒时，与的面积比为 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形面积的计算及一元一次方程的应用，关键是结合动点运动速度表示线段长度，利用几何性质建立等量关系求解． （1）已知，结合等腰直角三角形性质可得，根据全等判定定理，只需，据此列方程求解运动时间； （2）先求出等腰直角三角形斜边上的高，再用含的式子表示的底边，利用三角形面积公式得出面积表达式； （3）先通过几何关系求出的面积表达式，再根据面积比为列方程求解运动时间． 【详解】（1）解：设动点运动秒时，． ， 是等腰直角三角形，． ， ， ， ． 动点的速度为，动点的速度为， ，，． 要使，需，即，解得． 验证：当时，，，且， ． 故动点运动2秒时，； （2）解：过点作于， 是等腰直角三角形，， ． ，， 的面积； （3）解：由（2）知， ， 的边上的高， 的面积． ， ，解得：． 答：动点运动秒时，与的面积比为． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）根据线段的和差列式即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，列方程即可得到结论； （3）根据平行线的性质得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ，根据全等三角形的性质即可得到结论； （4）连接，过点C作，垂足为F，根据三角的面积即可得到结论. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点D，E关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：连接，过点C作，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题几何变换综合题，考查了轴对称的性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 同步练习 一、单选题 1．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据外角的性质计算出，再根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 2．如图，已知直角，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交，于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． 设与相交于点，连接，根据题意尺规作图可知是的角平分线，是的垂直平分线，证明，进而得到，根据勾股定理求出的长，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，设与相交于点，连接， 由题意尺规作图可知：是的角平分线，是的垂直平分线， 、、， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即． 3．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 4．已知中，，，则__________． 【答案】/29度 【分析】根据三角形内角和等于直接解答即可． 【详解】解：在中，，， ． 5．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 6．如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，当，转动到，时，点E在的延长线上，若，则__________． 【答案】 【分析】过点E作，垂足为F，根据垂直定义可得：，从而可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，最后根据计算即可解答． 【详解】解：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．如图，相交于点．求的大小． 【答案】 【分析】利用题目已知角度和三角形内角和，计算和的度数，再用即可求解． 【详解】解：， ， ． 8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且，满足． (1)求点、点的坐标； (2)如图，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿轴正半轴运动，运动时间为秒，连接，过点作，且，点在第一象限，请用含有的式子表示点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图，连接并延长交轴于点，连接和，过点作线段交轴于点，使得，已知此时点的坐标为，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由非负数的性质得到、的值，即可得到点、点的坐标； （2）过作轴于，证明，即可得到，，根据可表示出的长，即可得解； （3）过作轴于，易证，可得到和是等腰直角三角形，进而可得到点的坐标，从而可得的长，证明，可得，进而可求得点的坐标，根据列式计算即可得解． 【详解】（1）解：，满足， ，， 解得，， ，； （2）解：如图，过作轴于，则， ， ， ， 在和​中， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，过作轴于，由（2）知：， ，即， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 点的坐标为， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．证明： (1)如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，求证：． (2)如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据三线合一证明平分，再利用角平分线的性质进行判断即可； （2）根据等边三角形的性质得到，证明，得到垂直平分，即可得到结论． 【详解】（1）证明： ，点D为中点， 平分， 于点E，于点F， ； （2）证明：， ， 和分别为等边三角形， ， ， 即， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， 点D为的中点． 10．对于平面内的两点，给出如下定义：以为顶点作三角形，若边上的高与相等，则称该三角形为点的“完美三角形”．已知线段， (1)若以线段为边作等边，则___________（填“是”或“不是”）点，的“完美三角形”． (2)若以为底的等腰是的“完美三角形”，则___________， (3)若是点的“完美三角形”，则___________． 【答案】(1)不是 (2) (3)2或 【分析】（1）根据等边三角形和勾股定理的性质计算，即可得到答案； （2）根据等腰三角形和勾股定理的性质计算，即可得到答案； （3）根据直角三角形的性质分析，分、、三种情况讨论，即可得到答案； 【详解】（1）解：如图，等边为三角形的高， ∴，，， ∴， ∴， ∴不是点A，B的“完美三角形”； （2）解：如图，以为底的等腰为三角形的高， ∴， ∵以为底的等腰是的“完美三角形”， ∴， ∴； （3）解：根据题意，分、、三种情况分析： 当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴， ∴； 当时，如图，为三角形的高， ∴， ∵且， ∴， ∴不成立， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形的证明及其应用 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.等腰三角形的性质与判定 1.利用等腰三角形等边对等角、等角对等边求解角度、边长； 2.等腰三角形三线合一的性质应用； 3.等腰三角形的分类讨论计算 1.忽略等腰三角形腰和底的分类讨论，漏解； 2.误用“三线合一”，未确认中线/高/角平分线对应同一顶点； 3.计算角度时，忽略三角形内角和为180°的限制 2.等边三角形的性质与判定 1.等边三角形三边相等、三角均为60°的性质应用； 2.等边三角形的三种判定方法的选择； 3.等边三角形与等腰三角形的综合证明 1.判定等边三角形时，仅证两边相等或一个角为60°，条件不足； 2.忽略等边三角形是特殊的等腰三角形，未结合等腰三角形性质解题； 3.旋转等边三角形时，未找准对应边和对应角 3.直角三角形的性质与判定 1.直角三角形两锐角互余、勾股定理的应用； 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半； 3.勾股定理的逆定理判定直角三角形 1.应用勾股定理时，混淆直角边和斜边； 2.误用斜边中线性质，未确认三角形为直角三角形； 3.勾股定理逆定理判定时，未验证三边数量关系 4.线段的垂直平分线 1.线段垂直平分线的性质（线上点到两端点距离相等）； 2.线段垂直平分线的判定（到两端点距离相等的点在线上）； 3.尺规作线段垂直平分线及应用 1.应用性质时，未确认点在垂直平分线上； 2.判定垂直平分线时，仅证一个点到两端点距离相等； 3.尺规作图时，未保留作图痕迹或步骤错误 5.角的平分线 1.角平分线的性质（线上点到角两边距离相等）； 2.角平分线的判定（到角两边距离相等的点在平分线上）； 3.角平分线与垂直平分线的综合应用 1.应用性质时，未确认距离为垂线段长度； 2.判定角平分线时，忽略“在角的内部”的前提； 3.综合题中，未结合全等三角形证明角平分线/垂直平分线 6.三角形的全等证明 1.全等三角形的判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）； 2.利用全等三角形证明边相等、角相等； 3.构造全等三角形解决证明问题 1.判定全等时，错用SSA，忽略边的夹角条件； 2.证明时，未找准对应边、对应角，条件罗列混乱； 3.未结合图形特征添加辅助线构造全等 7.反证法 1.反证法的解题步骤； 2.用反证法证明简单的几何命题 1.反证法中，假设错误，未否定命题的结论； 2.推理过程中，未推出与已知/定理/定义矛盾的结果； 3.步骤不完整，缺少“综上，原命题成立”的总结 【易错题型】 【题型1】三角形证明中的条件疏漏与分类讨论缺失 1.易错点总结 -判定类：证明等腰/等边/直角三角形时，条件缺失，如仅证一个角为就判定等边三角形； -计算类：等腰三角形求边长/角度时，忽略分类讨论（腰底不明、顶角底角不明），导致漏解； -性质类：误用“三线合一”“斜边中线”等性质，未验证前提条件（如非直角三角形用斜边中线性质）； -全等类：错用SSA判定全等，或未找准对应边、对应角，证明逻辑混乱。 2.纠错技巧 -判定三步法：①明确判定定理的全部条件；②逐一验证条件是否满足；③写出完整的判定依据； -分类讨论原则：等腰三角形遇边/角未明确时，先分类（腰/底、顶角/底角），再结合三角形三边关系/内角和验证解的合理性； -性质前提验证：使用特殊性质前，先确认图形类型（如直角三角形、等腰三角形），标注关键条件； -全等对应原则：证明全等时，用字母对应法标注顶点，确保边、角对应一致，杜绝SSA错误。 【例题1】.（24-25八年级上·广东江门·月考）如图，在中，，点D在边上（点D不与点B、点C重合），作，交边于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式题1-1】.（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图，已知，点E是的中点，．求证：． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长和面积． 【变式题1-3】.（2026年北京市八一教育集团九年级零模联考试卷数学学科）在中，，平分，交的延长线于点，在的延长线上取点，使，连接． (1)如图1，求证：， (2)如图2，过点作交的延长线于点，判断与的数量关系，并证明． 【基础题型】 【题型2】等腰三角形的性质直接应用 1.考点总结 -核心：等腰三角形等边对等角、等角对等边、三线合一的基本性质； -常考：求三角形内角度数、线段长度，简单的边/角相等证明； -关键：找准等腰三角形的腰、底、顶角、底角。 2.解题技巧 -角度计算：由等边对等角转化边的关系为角的关系，结合三角形内角和列方程求解； -线段计算：利用三线合一将中线、高、角平分线转化，结合线段和差求解； -简单证明：直接套用性质，标注“，（等边对等角）”等规范步骤。 【例题2】.（2026·江苏无锡·一模）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2023年浙江省台州市部分校中考模拟考试（一）数学试题）在中，，，，若点P在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为______． 【变式题2-2】.（2026九年级下·福建泉州·专题练习）如图，在中，，，交于点D，，则的长是_____． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·安徽宿州·月考）如图1，三点共线，和均为等边三角形． (1)求证：； (2)如图2，与交于点，与交于点，连接． ①求证：； ②猜想与的位置关系，并说明理由． 【题型3】直角三角形的基本性质与计算 1.考点总结 -核心：直角三角形两锐角互余、勾股定理、斜边中线等于斜边的一半； -常考：求锐角角度、边长，验证直角三角形，斜边中线相关计算； -关键：确认直角顶点，区分直角边和斜边。 2.解题技巧 -角度计算：由两锐角互余得，直接代入已知角求解； -边长计算：勾股定理（为斜边），直接代入求值，注意开方验证； -斜边中线：若，为中点，则，直接转化线段长度。 【例题3】.（2026·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）感知：如图1，平分，，，易知：． (1)探究：如图2，平分，，，求证：． (2)应用：如图3，在四边形中，，，，写出线段，和的数量关系．并说明理由． 【题型4】线段垂直平分线/角平分线的性质直接应用 1.考点总结 -核心：线段垂直平分线线上点到两端点距离相等，角平分线线上点到角两边距离相等； -常考：利用性质求线段长度、证明边相等/角相等，简单的距离计算； -关键：确认点在垂直平分线/角平分线上，距离为垂线段长度。 2.解题技巧 -线段垂直平分线：若点在的垂直平分线上，则，直接转化线段关系，结合和差计算； -角平分线：若点在的平分线上，且、，则，利用垂线段相等求解长度。 【例题4】.（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·陕西西安·一模）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题4-2】.（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，平分，于E，点F在边上，连接． (1)若，，求的长； (2)若，直接写出线段，，的数量关系． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． (1)若，求∠的度数． (2)若，的周长为，求的长． 【题型5】全等三角形的直接判定与证明 1.考点总结 -核心：全等三角形的SSS/SAS/ASA/AAS/HL判定定理，利用全等证明边/角相等； -常考：结合图形直接找判定条件，证明简单的边相等、角相等； -关键：找准对应边、对应角、对应顶点。 2.解题技巧 -条件寻找：从图形中找公共边、公共角、对顶角等隐含条件； -定理选择：①三边对应相等→SSS；②两边及夹角→SAS；③两角及夹边→ASA；④两角及对边→AAS；⑤直角三角形斜边+直角边→HL； -证明规范：先写已知条件，再列判定条件，最后得“”，再推边/角相等。 【例题5】.（24-25七年级下·四川成都·期中）已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，直线上有两点，，，，．求证：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江西南昌·月考）如图，，，求证：平分． 【变式题5-3】.（2026·陕西延安·二模）如图，在梯形中，，，过点作于点，点在上，连接，，求证：． 【提升题型】 【题型6】反证法的基础应用 1.考点总结 -核心：反证法的解题步骤（假设→推理→矛盾→结论）； -常考：用反证法证明简单的几何命题（如“三角形中最多有一个直角”）； -关键：正确否定命题的结论，推出合理的矛盾。 2.解题技巧 -三步法：①假设：否定原命题的结论（如原命题“有一个”，假设“有两个或更多”）；②推理：结合已知条件、定理推理，推出与已知/定理/定义矛盾的结果；③结论：由矛盾说明假设不成立，原命题成立； -常见矛盾：与三角形内角和矛盾、与全等性质矛盾、与已知条件矛盾。 【例题6】.（25-26八年级上·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【变式题6-1】.（25-26九年级上·辽宁鞍山·月考）用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．证明时可以先假设________． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【题型7】等边三角形的判定与性质综合应用 1.考点总结 -核心：等边三角形三边相等、三角均为的性质，三种判定方法（三边相等/三角相等/等腰+）； -常考：等边三角形的证明，与等腰三角形、全等三角形的综合计算； -关键：抓住等边三角形特殊的等腰三角形特征，结合等腰三角形性质解题。 2.解题技巧 -判定选择：①已知边相等→证三边相等或等腰+；②已知角相等→证三角均为； -性质应用：由三角均为，直接转化角度关系，结合全等证明边相等； -综合解题：等边三角形中遇中点，结合三线合一，构造直角三角形用勾股定理计算。 【例题7】.（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，四边形中，，，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)如图，为四边形内一点，且求证：． 【变式题7-1】.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边中，点P，Q在边上，并且满足，作关于直线的对称图形，连接，线段交于点N． (1)当时， ； (2)求证：． 【变式题7-2】.（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【培优题型】 【题型8】勾股定理与逆定理的综合应用 1.考点总结 -核心：勾股定理（直角三角形→三边关系）、勾股定理的逆定理（三边关系→直角三角形）的综合； -常考：先判定直角三角形，再用勾股定理求边长；或用勾股定理验证直角三角形，证明线垂直； -关键：区分勾股定理与逆定理的应用场景。 2.解题技巧 -逆定理判定：已知三边、、（最大），若，则为直角三角形，； -勾股定理计算：判定为直角三角形后，用求未知边，注意区分直角边和斜边； -线垂直证明：证明两条线段的夹角为，可通过勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形。 【例题8】.（25-26八年级下·天津·月考）如图，四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，中，为的角平分线，过点D作的垂线，垂足为点E，则的长为______． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，在中，，点M在边上（不与点A、B重合），连结，将绕点C顺时针旋转得到平分交射线于点N，连结． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，直接写出的长． 【题型9】三角形证明的动态探究问题 1.考点总结 -核心：结合动点、动线段、动图形，探究三角形在运动过程中的边/角关系、特殊图形的存在性； -常考：动点在边上运动，探究等腰/直角/全等三角形的存在性，求动点的位置/运动时间； -关键：抓住运动过程中的不变条件，结合方程求解。 2.解题技巧 -设元建模：设动点运动时间为，用表示相关线段的长度，标注在图形上； -存在性探究：根据等腰/直角/全等三角形的判定条件，建立关于的方程，求解后结合三角形三边关系/图形范围验证解的合理性； -不变量分析：动态过程中，寻找不变的边、角、全等关系，作为解题的突破口。 【例题9】.（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动． (1)问动点运动多少秒时，并说明理由； (2)设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积； (3)动点运动多少秒时，与的面积比为． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·山东·期末）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)设点P到的距离为，求y与t之间的关系式． 同步练习 一、单选题 1．如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直角，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交，于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知中，，，则__________． 5．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 6．如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，当，转动到，时，点E在的延长线上，若，则__________． 三、解答题 7．如图，相交于点．求的大小． 8．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且，满足． (1)求点、点的坐标； (2)如图，动点从点出发，以个单位/秒的速度沿轴正半轴运动，运动时间为秒，连接，过点作，且，点在第一象限，请用含有的式子表示点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图，连接并延长交轴于点，连接和，过点作线段交轴于点，使得，已知此时点的坐标为，求的面积． 9．证明： (1)如图1，在中，，点D为中点，于点E，于点F，求证：． (2)如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点G，连接并延长，交于点D，求证：点D为的中点． 10．对于平面内的两点，给出如下定义：以为顶点作三角形，若边上的高与相等，则称该三角形为点的“完美三角形”．已知线段， (1)若以线段为边作等边，则___________（填“是”或“不是”）点，的“完美三角形”． (2)若以为底的等腰是的“完美三角形”，则___________， (3)若是点的“完美三角形”，则___________． 学科网（北京）股份有限公司 $