专题02 空间向量与立体几何全章18个题型（期中复习讲义）高二数学下学期湘教版

专题02 空间向量与立体几何（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求空间中有关点的坐标 题型02 空间向量的概念辨析 题型03 空间向量的线性运算 题型04 空间向量的线性运算求参数 题型05 四点共面求参数 题型06 空间向量共线共面及其推论 题型07 求空间向量的数量积 题型08 空间向量数量积求模长与夹角 题型09 空间向量数量积的坐标运算平行与垂直 题型10 空间向量数量积坐标运算求模长与夹角 题型11 空间向量证明平行问题 题型12 空间向量证明垂直问题 题型13 空间向量求异面直线夹角 题型14 空间向量求线面角 题型15 空间向量求二面角，平面与平面的夹角 题型16 空间向量与立体几何中的存在性动点问题 题型17 求线面角二面角的最值与范围 题型18 求点到直线与点到平面的距离 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的基本概念与运算 1.能准确复述空间向量的定义，区分自由向量与位置向量，能规范写出向量的坐标表示 2.能熟练完成空间向量的线性运算，运算结果准确，运算律应用无误 3.能推导并运用数量积公式，计算模长、夹角、投影向量 4.能判定两个空间向量共线、共面，给出共线、共面的充要条件并证明 命题趋势：期中基础必考点，以选择/填空为主，占比15%-20%，多考查坐标运算、线性运算、数量积的基础计算，难度中等偏易 易错点： 1.混淆向量坐标与点的坐标（向量坐标为终点减起点，误算为起点减终点） 2.数量积公式应用错误，忽略夹角范围 3.共面向量判定时，漏考虑零向量情况，或误将“向量共面”等同于“向量所在直线共面” 4.线性运算时，数乘符号判断错误（如的模长与方向混淆） 空间向量的坐标表示与空间直角坐标系 1.能根据右手定则建立空间直角坐标系，准确标注空间点的坐标 2.能熟练将空间向量转化为坐标形式，完成坐标与几何表示的互化 3.能灵活运用模长、距离公式解决计算问题，夹角公式求解精准 4.能利用数量积判定向量垂直，推导垂直的充要条件并应用 命题趋势：核心工具类考点，贯穿全卷，与立体几何证明、计算结合考查，选择/填空/解答题均有涉及 易错点： 1.空间直角坐标系建立错误，违背右手定则，导致坐标全错 2.两点间距离公式漏平方、漏开方，或坐标相减顺序颠倒 3.向量垂直判定时，误将“”与“”混淆 4.夹角计算时，未根据题意判断夹角是向量夹角还是几何角（如二面角与向量夹角的关系） 空间向量在立体几何证明中的应用 1.能推导并运用线线、线面、面面平行的向量判定定理，规范写出证明过程 2.能推导并运用线线、线面、面面垂直的向量判定定理，完成立体几何证明题 3.能结合空间直角坐标系，通过向量运算（数量积、叉积）判定平行与垂直，逻辑严谨 命题趋势：期中解答题核心考点，占比25%-30%，多以“证明+计算”综合题出现，难度中等，是拉开分差的关键 易错点： 1.证明线面平行时，漏写“直线不在平面内”的条件，或误将平面法向量与直线向量平行当作线面平行 2.证明面面垂直时，仅证明一个平面内的直线垂直于另一个平面，未用判定定理（） 3.线面垂直证明时，漏证直线垂直于平面内两条相交直线，仅垂直于一条 4.向量运算错误（如叉积计算错），导致判定结论错误 空间向量在立体几何计算中的应用 1.能熟练求解平面法向量，掌握法向量的求解方法（设坐标+列方程+解方程） 2.能推导并运用线线角、线面角、二面角的向量计算公式，计算结果准确，角度范围判断正确 3.能计算点到直线、点到平面、异面直线的距离，结合空间几何场景应用公式 4.能区分空间角与向量夹角的关系，正确转化角度（如线面角与向量夹角互余） 命题趋势：期中压轴考点，以解答题压轴题形式出现，占比30%-35%，考查综合应用能力，难度中等偏难 易错点： 1.线面角计算时，误将向量夹角当作线面角（线面角，与向量夹角互余，） 2.二面角计算时，未判断二面角是锐角还是钝角，直接取向量夹角的余弦值 3.点到平面的距离公式记忆错误（，漏绝对值、漏模长） 4.异面直线距离求解时，误找公垂线，未用向量投影法计算 5.法向量求解时，方程列错（未取平面内两个不共线向量），导致法向量错误 知识点01 空间向量的基本概念 一、核心概念 1.空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量，记作、（起点为A，终点为B） 2.自由向量：与起点位置无关，仅由大小和方向决定（空间向量均为自由向量） 3.位置向量：以原点O为起点，终点为P的向量，可表示点P的位置 4.向量的模：向量的大小，记作、，值为非负数 5.零向量：模为0的向量，记作，方向任意，与任意向量共线、共面 6.单位向量：模为1的向量，若，则的单位向量为 7.相等向量：大小相等、方向相同的向量（与起点无关） 8.相反向量：大小相等、方向相反的向量，记作，满足 二、公式法则 无核心运算公式，核心法则：相等向量、相反向量的判定（仅看大小和方向，与起点无关） 三、解题技巧 1.判断向量关系时，优先看方向，再看大小，忽略起点位置（利用自由向量特性） 2.涉及共线、共面问题时，需单独考虑零向量，避免漏解 3.求解单位向量：先计算原向量的模长，再用原向量除以模长（保持方向不变） 四、易错点 1.混淆“零向量”与“单位向量”：零向量模为0，单位向量模为1，方向不同，不可混淆 2.误将“向量相等”等同于“向量所在直线重合”：向量相等与起点无关，直线可平行、可重合 3.忽略零向量的特殊性：零向量方向任意，不能说“零向量与某向量方向相同/相反” 4.单位向量判断错误：仅需模为1，方向可任意，并非唯一（如与同向、反向的单位向量各1个） 知识点02 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 一、核心概念 1.加法运算：求两个向量和的运算，几何意义为“平行四边形法则”“三角形法则”（空间中同样适用） 2.减法运算：求两个向量差的运算，本质是加法的逆运算，即 3.数乘运算：实数与向量的乘积，记作，结果仍为向量 二、公式法则 1.加法法则（运算律） 交换律： 结合律： 2.数乘法则（运算律） 分配律：； 结合律： 3.数乘向量的性质 当时，与方向相同， 当时，与方向相反， 当时， 三、解题技巧 1.线性运算化简：优先利用运算律合并同类项，将复杂向量转化为已知向量的组合 2.几何图形中向量表示：用“首尾相接”（三角形法则）、“共起点”（平行四边形法则）转化向量 3.数乘向量判断方向：根据的符号判断，快速排除错误选项（期中选择/填空常用） 四、易错点 1.数乘运算符号错误：忽略时，向量方向会反向，导致后续共线、共面判断错误 2.几何运算中向量起点混淆：三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“共起点”，不可混用 3.化简时漏用运算律：如误算为，漏乘到 4.误将“数乘向量的模”算成：忽略的绝对值，当时，模长应为 知识点03 空间向量的共线与共面 一、核心概念 1.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线 2.共面向量：平行于同一个平面的向量，或能平移到同一个平面内的向量 二、公式法则（充要条件） 1.共线向量充要条件 若，则与共线存在唯一实数，使得 坐标表示（设，）：（不同时为0） 2.共面向量充要条件 若、不共线，则向量与、共面存在唯一实数对，使得 坐标表示（设，，）：（混合积为0） 三、解题技巧 1.共线判断：优先用坐标比例法（选择/填空速解），无坐标时用“存在唯一”证明 2.共面判断：无坐标时，将向量转化为两个不共线向量的线性组合；有坐标时，计算混合积是否为0 3.含参共线/共面：列比例方程（共线）、线性组合方程（共面），求解参数（期中高频题型） 四、易错点 1.共线判断忽略零向量：未说明，直接用判定共线（零向量与任意向量共线，需单独讨论） 2.坐标比例法漏限制条件：中，不能同时为0，否则无意义 3.共面证明漏条件：未说明“、不共线”，直接用判定共面（条件缺一不可） 4.混合积计算错误：共面坐标判断时，混合积计算出错，导致共面判断错误 知识点04 空间向量的数量积（点积） 一、核心概念 1.数量积：两个空间向量、的数量积为一个实数，记作，几何意义为的模与在方向上的投影长度的乘积 2.投影向量：在方向上的投影向量为，投影长度为 3.向量夹角：，范围为，且， 二、公式法则 1.数量积公式 几何形式： 坐标形式（设，）： 2.模长公式： 3.夹角公式：（，） 4.垂直充要条件： 三、解题技巧 1.数量积计算：有坐标用坐标公式（精准快捷），无坐标用几何公式（结合夹角） 2.模长计算：先求数量积，再开方（避免直接计算平方和出错） 3.垂直判定：优先用数量积为0判定（坐标法最快捷），无坐标时结合几何意义证明 4.投影计算：投影长度为，投影向量需乘以（保持方向） 四、易错点 1.数量积结果混淆：误将数量积当作向量（数量积是实数，无方向） 2.夹角范围忽略：，计算出为负时，夹角为钝角，不可取锐角 3.模长计算错误：漏开方，将当作，而非 4.垂直判定错误：仅证明，未说明、为非零向量（零向量与任意向量垂直，需单独讨论） 5.投影计算混淆：混淆投影长度（实数）与投影向量（向量），漏乘 知识点05 空间直角坐标系 一、核心概念 1.空间直角坐标系：由三条两两垂直且交于原点O的数轴（x轴、y轴、z轴）组成，遵循右手定则 2.右手定则：伸开右手，让拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向 3.坐标平面：xOy平面（z=0）、xOz平面（y=0）、yOz平面（x=0），将空间分为8个卦限 4.空间点的坐标：点P在x、y、z轴上的投影对应的实数，记作，原点O坐标为 5.向量的坐标：若、，则（终点减起点） 二、公式法则 1.两点间距离公式：若、，则 2.中点坐标公式：若、，中点M坐标为 三、解题技巧 1.建系技巧：优先以几何图形的对称中心、垂足为原点，以垂直的棱、边为坐标轴（简化坐标计算） 2.点的坐标求解：根据图形边长、垂直关系，确定各点在坐标轴上的投影，写出坐标 3.向量坐标求解：牢记“终点减起点”，避免坐标颠倒（期中高频易错步骤） 4.距离、中点计算：先算坐标差的平方和，再开方（距离），或直接取坐标和的一半（中点） 四、易错点 1.建系错误：违背右手定则，导致坐标轴方向错误，后续所有坐标、向量计算全错 2.向量坐标颠倒：误将“起点减终点”当作向量坐标，即 3.距离公式错误：漏算某一坐标差的平方，或漏开方，导致距离计算错误 4.中点坐标公式错误：漏除2，或将“和的一半”算成“差的一半” 5.卦限判断错误：忽略各卦限坐标的正负（如第一卦限x、y、z均为正，第三卦限均为负） 知识点06 平面的法向量 一、核心概念 1.平面的法向量：垂直于平面的非零向量，记作，一个平面有无数个法向量，且所有法向量互相共线 2.法向量的性质：法向量垂直于平面内的所有向量 二、公式法则（求解方法） 1.基本步骤（设平面内两个不共线向量、，求） 1.列方程：由、，得，即 2.解方程：令其中一个变量为特殊值（如1、-1，避免分数），求解另外两个变量 3.得法向量：写出，可乘以非零实数得到其他法向量 2.叉积公式（快速求解）： 三、解题技巧 1.变量取值技巧：令变量为1或-1，避免出现分数，简化后续运算（期中计算常用） 2.法向量验证：求解后，代入平面内任意向量，验证数量积是否为0（避免计算错误） 3.平行、垂直平面的法向量关系：若，则；若，则（、分别为、的法向量） 四、易错点 1.法向量求解列错方程：未利用“法向量垂直于平面内两个不共线向量”，仅列一个方程 2.叉积公式计算错误：行列式展开时符号记错（如对应的系数为，不可颠倒） 3.忽略法向量非零：求解后得到零向量，未重新设变量（法向量必须为非零向量） 4.法向量应用错误：误将平面内的向量当作法向量，导致后续平行、垂直证明错误 知识点07 空间向量证明线线、线面、面面平行 一、核心概念 1.线线平行：两条直线的方向向量共线，且两条直线不重合 2.线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线不在平面内 3.面面平行：两个平面的法向量共线，且两个平面不重合 二、公式法则（判定定理） 1.线线平行（设直线方向向量，直线方向向量） 存在唯一实数，使得（） 2.线面平行（设直线方向向量，平面法向量） ，且 3.面面平行（设平面法向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（），且与不重合 三、解题技巧 1.通用步骤：建系→求相关向量（方向向量、法向量）→用判定定理判定→补充“不重合”条件 2.线面平行替代证明：证明直线的方向向量可表示为平面内两个不共线向量的线性组合（共面且直线不在平面内） 3.面面平行替代证明：证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 4.选择/填空速解：优先用坐标法，通过向量共线、垂直快速判定，省略复杂几何推理 四、易错点 1.线线平行漏条件：仅证明，未说明两条直线不重合，导致结论错误 2.线面平行漏条件：仅证明，未说明“直线不在平面内”，导致证明不严谨 3.面面平行漏条件：仅证明，未说明两个平面不重合，误将重合当作平行 4.方向向量/法向量找错：误将平面内的向量当作法向量，或误将直线的垂线向量当作方向向量 知识点08 空间向量证明线线、线面、面面垂直 一、核心概念 1.线线垂直：两条直线的方向向量垂直，无论是否相交（异面直线垂直也适用） 2.线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，且直线垂直于平面内所有直线 3.面面垂直：两个平面的法向量垂直，且两个平面有公共交线 二、公式法则（判定定理） 1.线线垂直（设直线方向向量，直线方向向量） 2.线面垂直（设直线方向向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（） 3.面面垂直（设平面法向量，平面法向量） ，且与有公共交线 三、解题技巧 1.通用步骤：建系→求相关向量（方向向量、法向量）→用数量积或共线判定→补充公共交线（面面垂直） 2.线面垂直替代证明：证明直线垂直于平面内两条相交直线（几何法，无坐标时适用） 3.面面垂直替代证明：证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面（线面垂直→面面垂直） 4.复杂图形：优先建系，用坐标法判定（避免几何推理遗漏条件） 四、易错点 1.线线垂直误解：仅证明两条直线相交且垂直，忽略异面直线垂直（异面直线只需方向向量垂直） 2.线面垂直漏条件：仅证明直线方向向量与法向量共线，未说明直线与平面有公共点（否则直线可能平行于平面） 3.面面垂直漏条件：仅证明，未说明两个平面有公共交线，证明不严谨 4.数量积计算错误：方向向量坐标找错，导致，误判垂直 知识点09 空间角的计算（线线角、线面角、二面角） 一、核心概念 1.线线角：两条异面直线所成的角，范围为，取两个方向向量夹角的锐角或直角 2.线面角：直线与平面所成的角，范围为，取直线方向向量与平面法向量夹角的余角 3.二面角：两个平面所成的角，范围为，由两个平面的法向量夹角或其补角决定（看图形方向） 二、公式法则 1.线线角（设直线方向向量，直线方向向量） （） 2.线面角（设直线方向向量，平面法向量） （） 3.二面角（设平面法向量，平面法向量） 锐角二面角： 钝角二面角： （判断锐角/钝角：观察图形，或用平面内向量方向验证） 三、解题技巧 1.通用步骤：建系→求相关向量（方向向量、法向量）→代入公式计算→根据范围确定角度 2.线线角速解：优先用坐标法，计算方向向量数量积，取绝对值再求余弦值，得到角度 3.线面角速解：牢记，避免混淆与 4.二面角速解：先求两个法向量夹角，再根据图形判断是锐角还是钝角，确定符号 5.特殊角记忆：30°、45°、60°的正弦、余弦值，简化计算（期中高频考查） 四、易错点 1.线线角与向量夹角混淆：未取绝对值，将钝角当作线线角（线线角只能是锐角或直角） 2.线面角公式混淆：误将当作线面角的余弦值，正确应为 3.二面角符号错误：未判断锐角/钝角，直接代入公式，导致角度偏差 4.向量模长计算错误：代入公式时，漏算方向向量、法向量的模长，导致结果错误 知识点10 空间距离的计算（点到直线、点到平面、异面直线） 一、核心概念 1.点到直线的距离：点到直线的垂线段长度，是点到直线上所有点的距离的最小值 2.点到平面的距离：点到平面的垂线段长度，是点到平面内所有点的距离的最小值 3.异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线段长度，是两条直线上各取一点的距离的最小值 二、公式法则 1.点到直线的距离（设点，直线过点，方向向量） （叉积的模长除以方向向量的模长） 2.点到平面的距离（设点，平面过点，法向量） （数量积的绝对值除以法向量的模长） 3.异面直线间的距离（设直线过点，方向向量；直线过点，方向向量） （混合积的绝对值除以叉积的模长） 三、解题技巧 1.点到平面距离：最常用，优先用坐标法求法向量，代入公式计算（期中高频题型） 2.点到直线距离：无坐标时用几何法找垂线段，有坐标时用叉积公式（精准快捷） 3.异面直线距离：仅期中难题考查，优先用混合积公式，若两条异面直线平行，可转化为点到直线的距离 4.距离验证：计算后结合图形估算，避免出现距离为负或大于图形边长的不合理结果 四、易错点 1.点到平面距离公式错误：漏写绝对值（距离非负），或漏除以法向量的模长 2.点到直线距离公式混淆：误将叉积当作数量积，用计算 3.异面直线距离计算错误：混合积漏绝对值，或叉积模长计算错误 4.平行直线间距离：误将“异面直线距离公式”当作“平行直线距离公式”，导致计算错误 题型一 求空间中有关点的坐标 解｜题｜技｜巧 1建系优先原则选几何图形中垂直交点、对称中心、垂足为原点以垂直棱/边为坐标轴遵循右手定则快速简化坐标计算 2坐标确定技巧依据图形边长与垂直关系确定点在坐标轴上的投影直接写出坐标向量坐标牢记终点减起点避免坐标颠倒 3特殊点速求中点坐标直接取对应坐标和的一半两点间距离先算坐标差平方和再开方漏算平方或漏开方是高频错误 4复杂图形转化遇不规则几何体时通过补形法补成正方体、长方体借助规则图形确定各点坐标降低计算难度 【典例1】【多选题】（25-26高二下·辽宁·开学考试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点关于平面对称点的坐标为. 【变式2】（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于轴对称的坐标性质进行判断即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）点关于平面的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称关系可得结果. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点，其坐标和坐标保持不变，坐标变为原来的相反数， 则点关于平面的对称点为， 故选：B. 题型二 空间向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧 1核心特征判断从大小、方向、起点位置三要素入手自由向量忽略起点仅看大小和方向零向量方向任意与任意向量共线共面 2易混概念区分对比零向量（模为0方向任意）与单位向量（模为1方向任意）相等向量（大小方向相同与起点无关）与向量所在直线重合（直线位置可不同）的差异 3特殊情况判定遇到含零向量的题目单独讨论零向量的特殊性避免因零向量方向任意导致判断失误 4概念题速解技巧选择题优先用反例排除如举反例说明“向量相等则直线重合”错误填空题直接提取核心概念判断无需复杂推导 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【变式1】【多选题】（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 【变式2】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 【变式3】【多选题】（25-26高二上·河南新乡·月考）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 【答案】ABC 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形是矩形，进而判断C；举例判断D. 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 题型三 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1运算律优先化简遇到复杂向量表达式优先用交换律、结合律、分配律合并同类项转化为已知向量的组合简化运算 2几何法则转化三角形法则用于首尾相接的向量转化平行四边形法则用于共起点的向量相加看清向量起点与终点关系避免法则混用 3数乘向量判断依据λ的符号确定方向λ>0方向相同λ<0方向相反λ=0时向量为零向量快速排除选择/填空错误选项 4步骤规范书写解答题按“向量表达式→运用运算律化简→得出结果”书写避免漏乘系数、符号错误等问题 【典例1】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 【变式1】（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得. 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 题型四 空间向量的线性运算求参数 解｜题｜技｜巧 1列方程核心方法将含参数的向量表达式转化为已知向量的线性组合利用相等向量对应坐标相等列方程组求解参数 2坐标法速解若向量有坐标直接展开线性运算得到含参数的坐标等式对应坐标相等列方程计算更直接 3含零向量处理遇到零向量参与运算时单独分析零向量的线性运算结果避免因零向量特性导致方程列错 4验根关键步骤求出参数后代入原向量表达式验证确保向量运算结果符合题意排除增解 【典例1】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将利用线性运算表示成，由此可解出，即可求解的值. 【详解】在平行六面体中，M为AB的中点，， 有， 又，则， 所以． 故选：C 【变式3】（25-26高二上·广东佛山·月考）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 题型五 四点共面求参数 解｜题｜技｜巧 1核心定理应用若四点A、B、C、D共面则存在唯一实数对x、y使转化为坐标等式列方程求解 2混合积判定法若四点对应向量、、、共面则混合积坐标计算混合积是否为0快速判断 3坐标转化技巧将四点坐标转化为向量坐标代入共面条件避免几何图形分析失误降低计算错误率 4参数范围验证求出参数后结合四点位置关系验证确保共面条件成立尤其是含空间几何体的题目避免漏解 【典例1】（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 【变式1】（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【分析】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【详解】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 【变式3】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 题型六 空间向量共线共面及其推论 解｜题｜技｜巧 1共线判定有坐标时用比例法若、则（分母不为0）无坐标时用（）证明 2共面判定无坐标时将向量转化为两个不共线向量的线性组合有坐标时计算混合积是否为0混合积则共面 3含参问题处理列比例方程（共线）、线性组合方程（共面）求解参数注意零向量需单独讨论避免漏解 4推论应用共线向量可传递方向关系共面向量可作为平面内的基底利用推论简化证明题缩短解题步骤 【典例1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四面体性质以及空间向量基本定理可得，再由锥体体积公式计算可得结果. 【详解】设中心为，如下图： 由正四面体性质可知， 利用勾股定理可得，即，解得； 因此可得； 所以； ，可得，即， 当且仅当时，等号成立. 此时满足， 易知， 因此. 【变式1】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本定理，结合四点共面的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设， ， ， 显然不是共线向量. 因为平面AEF与棱CD交于点G，所以四点共面， 因此有 ， 因为彼此两两不互相共线， 所以有， 所以. 【变式2】【多选题】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 题型七 求空间向量的数量积 解｜题｜技｜巧 1公式选择技巧有坐标用坐标公式精准快捷无坐标用几何公式结合夹角条件计算 2投影转化法数量积可转化为的模与在方向投影长度的乘积借助投影概念简化复杂向量的数量积计算 3运算律应用利用数量积的分配律、结合律拆分复杂向量表达式分别计算后再合并避免计算失误 4特殊情况处理零向量与任意向量数量积为0垂直向量数量积为0直接得出结果简化计算步骤 【典例1】（24-25高二下·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 【变式2】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 题型八 空间向量数量积求模长与夹角 解｜题｜技｜巧 1模长计算先求数量积再开方得漏开方是高频错误务必牢记 2夹角计算先算数量积和模长再代入注意夹角范围余弦值为负时夹角为钝角不取锐角 3坐标法速解向量有坐标时直接代入公式计算避免几何分析中夹角判断失误 4验证步骤求出模长或夹角后结合图形估算结果合理性如模长为正夹角符合几何图形角度范围排除错误解 【典例1】（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 【变式3】（25-26高二上·河南漯河·月考）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1)证明详见解析. (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及投影向量计算公式计算即可. （2）根据向量的模及数量积公式计算即可. 【详解】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 题型九 空间向量数量积的坐标运算平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1垂直判定核心公式坐标计算直接快速优先使用注意、为非零向量 2平行判定坐标法（分母不为0）无坐标时用（）零向量与任意向量平行需单独讨论 3综合题步骤建系求向量坐标→代入数量积公式→判定平行或垂直→书写结论步骤完整避免漏写“非零向量”等关键条件 4易错点规避平行判定时注意分母不为0垂直判定时排除零向量干扰确保条件完整 【典例1】（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）已知向量，若，则（   ） A．2 B．-1 C．0 D．-2 【答案】D 【详解】由题意得，解得． 【变式1】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【答案】D 【分析】AD选项，计算出，故，A错误，D正确；BC选项，利用夹角余弦公式计算出，BC错误. 【详解】AD选项，， 故，故，A错误，D正确； BC选项，， 故， 故与夹角的余弦值为，BC均错误. 故选：D 【变式2】（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 【变式3】【多选题】（25-26高二上·河南三门峡·期末）已知空间向量，则下列结论正确的是（   ） A．当实数时， B．当实数时，使得 C．若与垂直，则 D．若与平行，则 【答案】ABC 【分析】由空间向量模长、数量积的坐标运算判断A、B，由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断C、D. 【详解】由，则，A对， 由，则，B对， 若与垂直，则，可得，C对， 若与平行，则，显然，不存在使等式成立，D错. 故选：ABC 题型十 空间向量数量积坐标运算求模长与夹角 解｜题｜技｜巧 1模长计算坐标下直接代入坐标计算先算平方和再开方避免计算顺序错误 2夹角计算先算数量积再算模长乘积最后求余弦值确定夹角注意范围 3特殊角记忆牢记30°、45°、60°的正弦、余弦值快速计算特殊角度提升解题速度 4计算规范书写时明确写出“数量积→模长→夹角”的推导过程避免直接写结果导致步骤分丢失 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 【变式1】【多选题】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 【变式2】【多选题】（25-26高二上·江西吉安·期末）已知空间向量，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【分析】A 选项，根据平行得到比例关系，进而求出 ；B选项，根据垂直得到向量数量积为0，进而可求出； 选项，利用模长公式可求出 ；选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到正弦值． 【详解】，则，可得对； B：，则，可得对； C：，所以，可得或，C错； D：，则，故，则对. 故选：ABD 【变式3】【多选题】（25-26高二上·河南周口·月考）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 题型十一 空间向量证明平行问题 解｜题｜技｜巧 1线线平行证明方向向量共线且直线不重合坐标法无坐标法（） 2线面平行核心条件：直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内即且缺一不可 3面面平行证明两个平面的法向量共线且平面不重合即（）且 4证明题规范先建系求向量再代入判定条件最后书写结论关键条件（如“直线不在平面内”）必须明确写出 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【变式2】（2026高三·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，， 的中点分别为，点在上，．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的线性运算表示，根据垂直，利用数量积求得为的中点，再由中位线定理和平行传递性结合线面平行的判定求证. 【详解】 连接，设， 则 ，， 由可知，， 又因为，， 则 ， 解得，则为的中点， 因为分别为的中点， 所以且，所以， 又平面平面， 所以平面. 【变式3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 题型十二 空间向量证明垂直问题 解｜题｜技｜巧 1线线垂直证明方向向量数量积为0即无论直线相交或异面均适用 2线面垂直核心条件：直线方向向量与平面法向量共线且直线与平面有公共点即（）且 3面面垂直证明两个平面的法向量数量积为0且有公共交线即且 4几何法辅助无坐标时线面垂直可证明直线垂直于平面内两条相交直线面面垂直可证明一个平面内一条直线垂直于另一个平面 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【变式1】（25-26高二上·安徽·月考）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·全国·期末）为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______. 【答案】/ 【分析】建系利用坐标法求动点的轨迹进而可得. 【详解】如图，设单位正方体顶点坐标A为坐标原点，以所在直线为轴所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 设因为所以 所以即. 面可表示为所以无解 面可表示为所以无解; 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 面可表示为所以点的轨迹为以为端点的线段，长度为； 所以点的轨迹总长度： 故答案为：. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点．在直线上求一点N，当的长为________时，． 【答案】/0.125 【分析】建立空间直角坐标系，根据正三棱柱的性质，结合已知条件，得出相应点坐标及向量，利用垂直关系向量数量积为0构造方程求出变量，进而求出的长． 【详解】取的中点为，连接，，由正三棱柱性质可得，，， 以M为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由正三棱柱的性质，结合题意可知底面为边长是1的等边三角形，棱长为2， ， ，设的长为a，则，； ， 若，则，解得， 当时，． 故答案为：． 题型十三 空间向量求异面直线夹角 解｜题｜技｜巧 1核心公式设异面直线方向向量为、夹角则取绝对值保证夹角为锐角或直角 2建系技巧优先以异面直线的公垂线交点、垂直交点为原点建系简化方向向量计算 3步骤规范建系→求方向向量→代入公式→确定夹角书写时明确写出夹角范围避免结果超出范围 4易错点规避忘记取绝对值导致夹角计算为钝角直接取绝对值即可修正 【典例1】（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】结合题意进而建立空间直角坐标系，进而利用异面直线夹角的向量求法求解即可. 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则，，，， 可得，， 设异面直线与所成角为， 则. 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出、及，再根据空间异面直线夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意，可得，， ， 设直线所成的夹角为，则， 所以直线所成角的余弦值为. 【变式2】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得两直线的方向向量，即可根据向量的夹角求解. 【详解】由于，，故均为等边三角形， 不妨设， ，， 则，即，则， ，， 又，平面 平面， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得， 设异面直线与所成角为，而故, 由于，故， 故选：A 【变式3】（25-26高二上·上海·月考）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则，, 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 题型十四 空间向量求线面角 解｜题｜技｜巧 1核心公式设直线方向向量为平面法向量为线面角则注意与向量夹角的区别线面角是方向向量与法向量夹角的余角 2范围判定线面角范围为计算出正弦值后直接确定角度无需额外判断 3建系选择以平面内垂直于直线的直线为坐标轴简化法向量与方向向量的计算 4易错点规避混淆线面角与向量夹角误将当作线面角的余弦值牢记公式为正弦值 【典例1】（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）如图，在多面体中，面是矩形，，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，再根据线面垂直的性质定理，证明结论即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角的向量方法，求出正弦值即可. 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 因此，． 设是平面的法向量， 则，即， 令，得，平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）在长方体中，，，为线段的中点，． (1)求的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助线面垂直性质定理与线面垂直判定定理可得平面，则可得，从而可得，再设，可得，解出即可得； （2）建立适当空间直角坐标系后，可求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以， 又，又，平面，所以平面， 又平面，则， 则，故， 故，设， 则，则，故的长度为； （2）如图，以为原点，分别以的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，可得， 取，则，，即， ， 则所求线面角的正弦值等于. 【变式2】（25-26高二下·江苏扬州·月考）如图，在四棱锥中，底面为的中点，，且. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用勾股定理求得，利用基本事实4证明，进而利用平行四边形的判定与性质得，最后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，表示各点坐标，求得平面的法向量，代入空间向量线面角的公式计算即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以， 因为，所以， 因为分别为的中点，所以为的中位线， 所以 ，且 ， 所以 ，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，以的方向分别为轴､轴､轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则，所以， 不妨设，则，所以. 设与平面所成角为， ， 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式3】（25-26高三上·安徽淮北·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，由即可求证； （2）通过勾股定理得到，，即可求证； （3）建系，求得平面法向量，由线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. （2）在中，，， 由，可得， 又由，，可得， 且，可得，，，面， 则面，又面，则平面平面； （3） 取中点记为连接，中，，，则， 又，所以， 则平面，平面，， 又，以为轴建系，如图： 则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 可得，， 设直线与平面所成角为， 则. 题型十五 空间向量求二面角，平面与平面的夹角 解｜题｜技｜巧 1核心公式设两个平面法向量为、二面角则符号由二面角为锐角或钝角决定 2符号判断技巧观察图形中二面角的开口方向或用平面内向量方向验证锐角取正钝角取负 3法向量求解按“设平面内两个不共线向量→列数量积为0的方程→赋值求解”步骤求法向量确保法向量非零 4特殊情况处理二面角为直角时法向量数量积为0直接判定无需复杂计算 【典例1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，利用等体积法计算即可得出结果； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以. 所以. （2）以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 【点睛】 【变式1】（贵州省贵阳市2026届高三年级适应性考试数学试卷）如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，结合四边形是平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）是直径，， 平面，， 平面， 平面， ，， ∴四边形是平行四边形， 则，平面， 平面， ∴平面平面； （2） 依题意，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， 设平面的一个法向量为， ，即， 令，得，则， ， ∴面与面所成的二面角的正弦值. 【变式2】（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证: 平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）设，过点作平面，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系，进而根据题意并结合平面与平面的法向量求得. 【详解】（1）取的中点，连接， 在中，且， 又，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）设，过点作直线垂直于平面， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，为的中点， 所以，易得， 设，由， 则，即， 所以， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 解得，则. 【变式3】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据边长关系，结合勾股定理证明，，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）证明：正三角形中，，，为的中点， 所以，在图1中，， 所以，在中，，即， 同理， 因为，在图1中，， 所以，在图2中，， 因为， 所以，， 所以，， 因为，平面 所以平面. （2）解：如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则， 因为平面的一个法向量为， 设二面角为，， 所以， 所以 所以二面角的正弦值为. 题型十六 空间向量与立体几何中的存在性动点问题 解｜题｜技｜巧 1假设存在法先假设存在满足条件的点、直线或平面设出参数（如动点坐标、直线方向向量） 2列方程转化将存在性条件转化为向量等式如平行转化为共线垂直转化为数量积为0角为定值转化为夹角公式等式 3求解参数解方程判断是否有解有解则求出参数确定存在的对象无解则说明不存在 4几何验证求出参数后结合立体几何图形验证确保解的几何意义合理避免出现矛盾结果 【典例1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，平面平面，． (1)若E，F分别为棱PD，BC的中点，求证：平面； (2)若四棱锥的体积为16，点M在棱（不含端点）上运动，当为何值时，平面与平面所成二面角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）先应用线面平行判定定理证明平面平面PAB，，再应用面面平行性质定理得出线面平行； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面ABCD，再应用四棱锥体积公式计算得出，再建系得出平面及平面的法向量，最后应用面面角余弦计算求解参数即可. 【详解】（1）取AD的中点为G，连接EG，GF， 因为E，F分别为棱PD，BC的中点，则，． 因为平面，平面，平面，平面，所以平面，平面， 因为，平面，，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． （2）取AB的中点为O，连接PO，CO， 因为，所以，又因为平面，平面平面， 平面平面， 所以平面ABCD， 即为四棱锥的高，得四棱锥体积为 ，得． 又因为，O为AB中点，所以， 又因为，所以四边形为矩形，所以． 故以O为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 又因为M在棱PD上运动，所以存在，使，所以， 又因为，所以，所以，又因为， 设平面的法向量，则，则， 取，则，得，所以． 因为， 设平面的法向量，则，得， 所以，取，则，所以． 设平面CMB与平面PAD所成角为，则， 故，所以或， 又因为，所以或均符合题意，即或． 【变式1】【多选题】（25-26高二上·江苏无锡·期末）在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，，则平面 C．若，则点P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】BC 【分析】以为原点建系，根据判断A；求平面的一个法向量，判断即可判断B选项；根据公式计算判断C；应用线面角公式计算判断D. 【详解】如图，以点D为坐标原点，以、、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则有，，，，，，，，， 则，，，， 则，则， A选项，若，则，则， 则，则与不垂直，故A错误； B选项，若，，则，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，故． 则，即， 又平面，所以平面，故B正确； C选项，若，则， 则到平面的距离为，故C正确； D选项，，当，时，， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D错误． 故选：BC 【变式2】（24-25高二下·江苏常州·月考）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；（2）不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意可证出平面，即可证得； （2）①建立空间直角坐标系确定各点坐标，求出两个平面的法向量，由平面夹角公式即可求出； ②设得出点的坐标，再根据线面角的向量公式列出方程，求解即可判断满足条件的点是否存在. 【详解】（1）证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，； （2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即； ②设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得 ， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为． 【变式3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)求二面角的大小． (3)在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，的中点 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；通过法向量的夹角来求二面角的大小； （3）设出点的坐标（用参数表示），再求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列出方程，求解参数判断是否存在及位置. 【详解】（1）直三棱柱中，侧棱面，面，. 假设，， ，，， ，故. 又 ，，平面， 平面，平面，. （2）如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：, 则， 设平面的一个法向量为， 则：，令，得，故. 设平面的一个法向量为， 则：，取，得，故. 所以， 由图易知二面角为锐二面角，故， 所以二面角的大小为. （3）设在线段上，令，，得， 则. 设线面角为，由（1）知平面的法向量为. ， 所以， 解得，符合要求， 所以存在满足条件的点，为线段的中点. 题型十七 求线面角二面角的最值与范围 解｜题｜技｜巧 1线面角最值转化为方向向量与法向量夹角的最值利用三角函数单调性结合分析最值 2二面角最值转化为两个法向量夹角的最值注意二面角范围结合法向量方向确定最值 3参数化处理设动点参数转化为函数求最值如将线面角表示为关于参数的函数利用导数或二次函数性质求解 4范围确定结合立体几何图形的限制条件确定参数范围进而确定角的范围避免遗漏边界值 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据给定条件，证得平面，再利用性质推理得证. （2）由（1）中信息，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设，求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式，再结合正弦函数的性质求出最大值. 【详解】（1）设， 在半圆中，直径，为中点，则，折后，， 由扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为， 得，则，所以，所以， 又，平面，因此平面， 又平面，所以. （2）由（1）得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由，令，则，， 则，， 设平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以得平面的一个法向量， 而平面的一个法向量， 因此 ， 由，得，则， 所以当时，， 所以平面与平面夹角余弦的最大值为. 【变式1】（2026·山东枣庄·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面与平面垂直可得线面垂直，再由线面垂直，面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面的夹角的余弦，再由不等式的性质求取值范围即可. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，因为平面，所以, 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， 设平面的法向量，则， 令，可得， 设平面的法向量，则， 令，可得， 则， 所以，当时，，即 当时，，由可得， 所以， 综上，可知，即的取值范围为. 【变式2】（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【详解】（1）翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，且， 因为，所以， 翻折后，在图2中，，， 所以二面角的平面角为， 因为，、平面，所以平面， 当时，即，且，则， 所以三棱柱的体积为. （2）因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，由题意可知，则，故， ，， 因为，则，解得， 则点，， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 【变式3】（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； (2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证，，根据面面平行的判定定理证明； （2）以点为原点，为轴，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解. 【详解】（1）连接交于点，则四点共面，且为的中点， 所以四边形都是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，又在平面内相交于点， 所以平面平面. （2）根据正八面体结构，以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为点为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线与平面所成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线与平面所成角的正弦值的范围. 题型十八 求点到直线与点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 1点到平面距离核心公式先求平面法向量再算向量与法向量的数量积绝对值除以法向量模长注意取绝对值保证距离为正 2点到直线距离核心公式叉积的模长除以方向向量模长坐标计算叉积时注意符号避免行列式展开错误 3距离转化法异面直线距离可转化为点到直线距离或利用公垂线方向向量计算简化复杂距离计算 4易错点规避点到平面距离漏取绝对值点到直线距离误将叉积当作数量积牢记公式结构规避计算错误 【典例1】（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且． (1)求证：； (2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接底面菱形对角线交点，利用线面平行得，结合菱形对角线垂直及推出平面，进而平面，从而，由中点性质即得. （2）由及第一问知底面ABCD，建立空间直角坐标系，根据菱形边长与角度得各点坐标，利用与平面所成的角为60°，求出P点坐标，再求平面PCD的法向量以确定点A关于该平面的对称点M，最后通过平面PAB的法向量计算点M到该平面的距离. 【详解】（1）证明：连，相交于点，连．∵底面为菱形，∴且． 又平面，平面，平面平面，∴， ∴，又，而． ∴平面，又，∴平面，而平面， ∴，，为等腰三角形，即．    （2）若，则，由（1）知，∴平面， 以为原点以，，分别为轴，轴，轴建立直角坐标系， 又，∵，则，，，， ∵，，∴平面，与平面所成的角为60°， ∴，∴，∴．     ∴，，．     设平面的法向量为 则取，，，∴，     设，，则，到平面的距离相等， ， ∴． 又，∴，解得 ， 设平面的法向量为，∵，． 则取，，，∴，     则点到平面距离为． 【变式1】（2026·广东佛山·二模）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判断推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出；（ii）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. （2）（i）设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，，得， 解得，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，而，解得， 所以. （ii），，设平面的法向量为， 则，取，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式2】（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱中，，，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求距离即可. 【详解】（1）连接和， 在斜三棱柱中，由， 所以为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形， 又为的中点，所以， 又，，，所以， 所以，又为的中点， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）由，又为等腰直角三角形， 所以，且， 又，所以， 又，所以和为等边三角形， 所以，所以，所以，又， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 所以， 所以， 所以， ， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以点到平面的距离为. 【变式3】（25-26高三下·北京·月考）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. （3）设，求出及平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接. 因为四边形为正方形，、为对角线且交于点，所以为中点. 又为的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）取中点，中点，连接、. 因为为等边三角形，所以，，. 因为四边形为正方形，、为中点，所以，. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 因此以点为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 因为为中点，所以， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设 . 因为，，所以，则 . 又，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，，所以. 则点到平面的距离为， 整理得，即，解得或（舍去）. 所以棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高二·广东肇庆端州中学·期中)点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标系中点关于平面对称的特征写出对称点坐标即可. 【详解】由点关于平面对称的点为. 故选：B 2．(25-26高二上·安徽华师联盟·期中)如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 3．(25-26高二上·安徽华师联盟·期中)如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由图可得：， 故选:A． 4．(25-26高二上·湖南浏阳·期中)如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（    ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据向量加减的几何意义把表示出来，再利用已知条件计算即可. 【详解】在平行六面体中，，， 由向量加减的几何意义得， 即 ， . 故选：. 二、多选题 5．(25-26高二上·山东桓台第一中学·期中)已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【答案】ABD 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 6．(25-26高二上·福建长乐第五中学·期中)如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【答案】BD 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积． 【详解】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确；    连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误；    过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 三、填空题 7．(25-26高二上·北京中央民大附中（朝阳）·期中)在空间直角坐标系中，直线l的方向向量，点在直线l上，则点到直线l的距离是________. 【答案】/ 【分析】根据已知有，应用向量法求点线距离即可. 【详解】由题设，又点在直线l上，直线l的方向向量， 而，， 所以点到直线l的距离是. 故答案为： 8．(25-26高二上·安徽部分学校·期中)已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为__________. 【答案】 【分析】运用点到平面距离的向量求法即可. 【详解】由题可知，在平面内，，. 故答案为：. 9．(23-24高二上·福建厦门实验中学·期中)如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 【答案】 【分析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，此时的使得最小，据此即可求解. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点， 任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系，如图， 则， 因为E，F分别为的三等分点，所以， 又点F距平面的距离为1，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题 10．(25-26高二上·福建厦门熹海高级中学·期中)已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由空间向量的坐标表示中加减法的运算即可求得向量的坐标，再使用模长计算公式即可求得； （2）同（1）中的加减法运算，先分别计算和的坐标，由可得，再使用空间向量的坐标表示中数量积的运算即可求得的值. 【详解】（1）已知，． 设，则， 则有，解得，即， 则. 故，. （2）由（1）得，又，， 则，， 由得， 即，解得， 故的值为. 11．(25-26高二上·四川遂宁安居区·期中)如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 12．(24-25高三上·陕西师范大学附属中学·期中)如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，交于点，根据中位线定理可得，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）取的中点，连接，，由平面平面可得平面，从而知是直线与平面所成的角，再解三角形即可求出. （3）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用平面夹角公式计算即可. 【详解】（1） ，， 又， ，即且， 四边形为平行四边形. 连接，交于点，则是的中点，连接， 是的中点，是的中点，. 平面， 平面， 平面． （2） 由（1）知，四边形为平行四边形， 又， 所以四边形是边长为的菱形，即， ， 是边长为的正三角形，则是边长为的正三角形. 取的中点，连接，，则， 平面四边形中， ， ，， 又，则， ， 平面平面，平面平面， 又，平面， 平面，则是在平面的射影， 是直线与平面所成的角， 也是边长为的正三角形， 又，，， 即直线与平面所成的角为. （3） 由（2）知，，，， 如图所示，以为坐标原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，，， 平面的一个法向量为， 有，， 设平面的法向量为， 则，，解得， 取，则，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 则. 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高二上·云南怒江傈僳族兰坪白族普米族自治县·期中)在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间四点共面的充要条件列方程求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 又在四棱柱中，有， 且，所以，即， 所以，，，四点共面，所以，解得. 故选：C. 2．(25-26高二上·广东佛山南海区桂城中学·)在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系后可表示出、坐标，再借助可得两向量数量积为从而得到、坐标间关系，最后利用向量模长公式计算即可得解. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、， 设、， 则、，则、， 由，则，即， 则，则， 则当时，有， 即线段的长度的最小值为.    故选：C. 二、多选题 3．(25-26高二上·广东华南师范大学附属中学·期中)如图，在直三棱柱中，，（），（），，，分别为棱，上的动点，且，，，则下列选项正确的是（     ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若，为定值，当时，三棱锥体积最大 D．若，当直线与所成角的余弦值最小时， 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量及平面的法向量，即可判断AB选项位置关系，利用坐标法表示点到平面的距离，即可得三棱锥体积判断C选项，再用坐标法表示线线角余弦值，结合均值不等式可得最小值. 【详解】 由已知为直三棱柱，且， 则以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 由，，， 则，，，，，， 所以，，，， 又，，， ，，则， A选项：，所以不与垂直，故A选项错误； B选项：易知平面的一个法向量为， 则， 即当时，，又平面， 所以平面，B选项正确； C选项：易知，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，的， 点到平面的距离， 又，则， 易知， 则， 因为，为定值， 则当时，三棱锥的体积取得最大值，C选项正确； D选项：当时，， 则 ， 当且仅当，即时，直线与所成角的余弦值最小，D选项正确； 故选：BCD. 4．(25-26高二上·湖北孝感新高考协作体·期中)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，建立空间直角坐标系并求出相关点坐标，应用向量法求点线距离、面面、线线角判断B，C，D. 【详解】对于A，， 即，故A错误； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 对于B，，，设， 则点到直线的距离，故B正确； 对于C，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以， 即平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角正弦值为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD 5．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据空间共面的条件、线面平行的向量坐标表示、面面垂直的向量坐标表示以及基底坐标等知识逐项计算即可. 【详解】对于A选项：因为，所以四点共面，故A正确； 对于B选项，若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，故B错误； 对于C选项：因为，所以，所以，所以C正确； 对于D选项：由题意得，设， 则，解得，则在基底下的坐标为正确， 故选：ACD. 三、填空题 6．(25-26高二上·陕西汉中中学·期中)定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 【答案】 【分析】先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标. 【详解】因向量在基底下的坐标是， 则， 故向量在基底下的坐标是. 故答案为： 7．(25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)在平行六面体中，，且交平面于点，则___________. 【答案】/ 【分析】作出辅助线，根据平面的基本性质得到，并求出，平方后，由向量数量积公式得到，，从而得到答案. 【详解】根据题意，连接交于点，连接与交于点， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 8．如图，在正三棱锥中，，，为中点，为棱上一点． (1)证明：； (2)已知正三棱锥各顶点均在球的球面上． （i）求球的半径； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）或 【分析】（1）根据正三棱锥的性质，结合等腰三角形的性质、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）（i）根据正三棱锥的性质建立空间直角坐标系，结合球的性质、空间两点间距离公式进行求解即可； （ii）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）由正三棱锥性质可知，，连接，， 故，， 而平面，平面，， 故平面， 而平面， 可得． （2）（i）记中心为，显然平面，易知在直线上．以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 易得，，，，可设，由可得，解得 故球的半径 （ii）显然，而平面的一个法向量， 而，， 记，则， 记直线与平面所成角为，则， 平方得，得， 可得或， 于是或． 9．(25-26高二上·福建厦门翔安第一中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接BM．    (1)求M到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （2）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 又，所以到平面的距离. （2）令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 则， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 10．(25-26高二上·山东青岛青岛杜威实验学校·期中)如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，证明出，结合直线、不重合可证得结论成立； （2）将、用基底、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、多选题 1．(25-26高三上·江苏淮安涟水县第一中学·月考)已知二面角的大小为，，，且，，则（    ） A．是锐角三角形 B．异面直线与不可能垂直 C．线段长度的取值范围是 D．四面体体积的最大值为 【答案】BC 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，设，则.根据向量的数量积小于零，判断A；根据的取值情况判断B；用表示线段长度，可求得其取值范围，判断C；利用向量方法求得点到平面的距离，进而表示出四面体体积，并求得其最大值，判断D.特别注意，根据二次函数在给定区间上的值域进行求解判断. 【详解】过点作的平行线，且令，则. 因为，所以为二面角的平面角，所以. 因为平面，所以平面. 在平面中过点作，则两两垂直. 如图所示，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 对于A，中，因为，且， 所以，所以是钝角，所以A错误； 对于B，，所以. 因为，所以，所以，所以，即，所以异面直线与不可能垂直，所以B正确； 对于C，. 因为，所以，所以，所以，所以线段长度的取值范围是. 所以C正确； 对于D，平面的一个法向量为，. 所以点到平面的距离. 所以四面体体积为. 所以当时，取得最大值，最大值为.所以D错误. 故选：BC. 2．(25-26高二上·山西太原·期中)给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【分析】根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 3．(25-26高二上·福建南安国光中学·期中)已知中，，，，为边上（除端点外）一点，将沿边翻折起至，使得平面平面.下列说法正确的是（   ） A．为角平分线时，四面体的外接球半径为 B．为角平分线时，异面直线与所成角的余弦值为 C．为角平分线时，平面与所成角的正切值为 D．线段长度的最小值为，此时为角平分线 【答案】ABD 【分析】由正弦定理求得外接圆的半径，由平面平面，得到四面体外接球的半径等于外接圆的半径，可判定A正确；以为坐标原点，建立坐标系，求得，由向量的夹角公式，可判定B正确；求得平面和的法向量和，由向量的夹角公式，可判定C错误；设，求得，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，由，可得， 所以为直角三角形，折叠后得且， 所以是直角三角形，其外接圆的直径为，圆心为的中点， 因为为角平分线，可得， 在中，由，且， 设外接圆的半径为，由正弦定理，可得，可得， 因为平面平面， 所以四面体外接球的半径等于外接圆的半径为，所以A正确； 对于B，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 所以，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为，所以B正确； 对于C，由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则，所以C错误； 对于D，设，其中，则， 因为平面平面， 可得， 在中，由余弦定理得 ， 当，即，即时，取得最小值，此时， 此时为的平分线，所以D正确. 故选：ABD. 二、填空题 4．(25-26高二上·北京一零一中·期中)如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论：    ①直线与直线所成角的范围是； ②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③④ 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系；对于①，求得，即可判断；对于②，由题意可得，只需求出点到平面的距离最大，即可得四面体体积的最大值；对于③，利用点到线的距离公式求解即可；对于④，设，由题意可得，可得的轨迹为一个平面，求出点关于此平面的对称点，则有、、(为中点)三点共线时，取最小值，为，利用两点间的距离公式求出的值，即可判断. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，如图所示：    则，， 设，则 设， 对于①，因为 所以， 所以与不可能垂直，所以直线与不可能垂直， 即直线与直线所成角的不可能为，故①错误； 对于②，因为三点在平面内，且四边形为矩形， 其中,， 所以， 所以当点到平面的距离最大时，四面体体积的最大， 易知当点与点重合时，点到平面的距离最大，为， 此时，故②正确； 对于③，当且为中点时， 则， ，则， 设，则， 所以，又因为， 所以与共线的单位向量， 所以点到直线的距离， 所以当时，取最小值，为，故③正确； 对于④，当且分别为中点时， 则， ， 所以， 设，则， ， 所以， 又因为， 由题意可得， 所以，所以的轨迹为一个平面， 取中点连接，则， 所以， 所以， 在所表示的平面中，取三个点 ， 则， 设此平面的法向量为， 则，则有， 取，则， 又因为，所以点到平面的距离， 设点关于此平面的射影点为，则， 又因为，所以①， 又因为的中点在平面内， 所以②， 由①②可得，即， 所以当、、三点共线时，取最小值，为， 又因为， 所以此时， 即的最小值为5，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题 5．如图，为圆锥的顶点，已知，是圆锥底面圆上的两个动点（与、不重合），圆锥的高，底面圆的半径，是的直径，点，在线段上，且满足，设平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)设，，若二面角的平面角为，且，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值. （3）利用空间向量，根据已知二面角的余弦的取值范围列式，可求的取值范围. 【详解】（1）∵、分别是，的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴. （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，，所以. 设平面的法向量为， 则，代入可得，化简可得 令，解得，. 所以. 平面的法向量为， 所以， 由图可知，为锐角，所以二面角余弦值为. （3）设（），，，，， 设二面角的法向量为 ， 则，代入可得， 同理得. 平面的法向量为 ，整理得：， 即， 解得，所以. 即的取值范围为. 6．(25-26高二上·湖北汉川第一高级中学·)如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. (1)证明：平面； (2)点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）不存在，证明见解析 【分析】（1）根据勾股定理证明线线垂直，根据线面垂直证明线线垂直，再综合证明线面垂直即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用空间向量求二面角的最值即可；（ii）先求四棱锥的外接球球心，再证明点不在该球上即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，所以，故． 又平面，所以平面． 又平面，所以． 因为，所以， 所以，即． 又平面，所以平面． （2）解：如图，取的中点，连接，则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，由，得． 又在长方形外，和均为锐角， 所以．可化为， 两边平方后，整理得， 故，整理可得． （i）设平面的法向量为，由， 得取，得， 故平面的一个法向量为． 设平面的法向量为． 得取，得， 故平面的一个法向量为． 则． 令，则，所以． 由函数单调递增，得当时，取最大值，最大值为． （ii）设和交于点，则． 若五棱锥存在外接球，则球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心，必有． ，解得，， 则． 又，所以，解得或， 由题知，且，即，但都不在这个范围内， 故不存在点，使得五棱锥存在外接球． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量与立体几何（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求空间中有关点的坐标 题型02 空间向量的概念辨析 题型03 空间向量的线性运算 题型04 空间向量的线性运算求参数 题型05 四点共面求参数 题型06 空间向量共线共面及其推论 题型07 求空间向量的数量积 题型08 空间向量数量积求模长与夹角 题型09 空间向量数量积的坐标运算平行与垂直 题型10 空间向量数量积坐标运算求模长与夹角 题型11 空间向量证明平行问题 题型12 空间向量证明垂直问题 题型13 空间向量求异面直线夹角 题型14 空间向量求线面角 题型15 空间向量求二面角，平面与平面的夹角 题型16 空间向量与立体几何中的存在性动点问题 题型17 求线面角二面角的最值与范围 题型18 求点到直线与点到平面的距离 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的基本概念与运算 1.能准确复述空间向量的定义，区分自由向量与位置向量，能规范写出向量的坐标表示 2.能熟练完成空间向量的线性运算，运算结果准确，运算律应用无误 3.能推导并运用数量积公式，计算模长、夹角、投影向量 4.能判定两个空间向量共线、共面，给出共线、共面的充要条件并证明 命题趋势：期中基础必考点，以选择/填空为主，占比15%-20%，多考查坐标运算、线性运算、数量积的基础计算，难度中等偏易 易错点： 1.混淆向量坐标与点的坐标（向量坐标为终点减起点，误算为起点减终点） 2.数量积公式应用错误，忽略夹角范围 3.共面向量判定时，漏考虑零向量情况，或误将“向量共面”等同于“向量所在直线共面” 4.线性运算时，数乘符号判断错误（如的模长与方向混淆） 空间向量的坐标表示与空间直角坐标系 1.能根据右手定则建立空间直角坐标系，准确标注空间点的坐标 2.能熟练将空间向量转化为坐标形式，完成坐标与几何表示的互化 3.能灵活运用模长、距离公式解决计算问题，夹角公式求解精准 4.能利用数量积判定向量垂直，推导垂直的充要条件并应用 命题趋势：核心工具类考点，贯穿全卷，与立体几何证明、计算结合考查，选择/填空/解答题均有涉及 易错点： 1.空间直角坐标系建立错误，违背右手定则，导致坐标全错 2.两点间距离公式漏平方、漏开方，或坐标相减顺序颠倒 3.向量垂直判定时，误将“”与“”混淆 4.夹角计算时，未根据题意判断夹角是向量夹角还是几何角（如二面角与向量夹角的关系） 空间向量在立体几何证明中的应用 1.能推导并运用线线、线面、面面平行的向量判定定理，规范写出证明过程 2.能推导并运用线线、线面、面面垂直的向量判定定理，完成立体几何证明题 3.能结合空间直角坐标系，通过向量运算（数量积、叉积）判定平行与垂直，逻辑严谨 命题趋势：期中解答题核心考点，占比25%-30%，多以“证明+计算”综合题出现，难度中等，是拉开分差的关键 易错点： 1.证明线面平行时，漏写“直线不在平面内”的条件，或误将平面法向量与直线向量平行当作线面平行 2.证明面面垂直时，仅证明一个平面内的直线垂直于另一个平面，未用判定定理（） 3.线面垂直证明时，漏证直线垂直于平面内两条相交直线，仅垂直于一条 4.向量运算错误（如叉积计算错），导致判定结论错误 空间向量在立体几何计算中的应用 1.能熟练求解平面法向量，掌握法向量的求解方法（设坐标+列方程+解方程） 2.能推导并运用线线角、线面角、二面角的向量计算公式，计算结果准确，角度范围判断正确 3.能计算点到直线、点到平面、异面直线的距离，结合空间几何场景应用公式 4.能区分空间角与向量夹角的关系，正确转化角度（如线面角与向量夹角互余） 命题趋势：期中压轴考点，以解答题压轴题形式出现，占比30%-35%，考查综合应用能力，难度中等偏难 易错点： 1.线面角计算时，误将向量夹角当作线面角（线面角，与向量夹角互余，） 2.二面角计算时，未判断二面角是锐角还是钝角，直接取向量夹角的余弦值 3.点到平面的距离公式记忆错误（，漏绝对值、漏模长） 4.异面直线距离求解时，误找公垂线，未用向量投影法计算 5.法向量求解时，方程列错（未取平面内两个不共线向量），导致法向量错误 知识点01 空间向量的基本概念 一、核心概念 1.空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量，记作、（起点为A，终点为B） 2.自由向量：与起点位置无关，仅由大小和方向决定（空间向量均为自由向量） 3.位置向量：以原点O为起点，终点为P的向量，可表示点P的位置 4.向量的模：向量的大小，记作、，值为非负数 5.零向量：模为0的向量，记作，方向任意，与任意向量共线、共面 6.单位向量：模为1的向量，若，则的单位向量为 7.相等向量：大小相等、方向相同的向量（与起点无关） 8.相反向量：大小相等、方向相反的向量，记作，满足 二、公式法则 无核心运算公式，核心法则：相等向量、相反向量的判定（仅看大小和方向，与起点无关） 三、解题技巧 1.判断向量关系时，优先看方向，再看大小，忽略起点位置（利用自由向量特性） 2.涉及共线、共面问题时，需单独考虑零向量，避免漏解 3.求解单位向量：先计算原向量的模长，再用原向量除以模长（保持方向不变） 四、易错点 1.混淆“零向量”与“单位向量”：零向量模为0，单位向量模为1，方向不同，不可混淆 2.误将“向量相等”等同于“向量所在直线重合”：向量相等与起点无关，直线可平行、可重合 3.忽略零向量的特殊性：零向量方向任意，不能说“零向量与某向量方向相同/相反” 4.单位向量判断错误：仅需模为1，方向可任意，并非唯一（如与同向、反向的单位向量各1个） 知识点02 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 一、核心概念 1.加法运算：求两个向量和的运算，几何意义为“平行四边形法则”“三角形法则”（空间中同样适用） 2.减法运算：求两个向量差的运算，本质是加法的逆运算，即 3.数乘运算：实数与向量的乘积，记作，结果仍为向量 二、公式法则 1.加法法则（运算律） 交换律： 结合律： 2.数乘法则（运算律） 分配律：； 结合律： 3.数乘向量的性质 当时，与方向相同， 当时，与方向相反， 当时， 三、解题技巧 1.线性运算化简：优先利用运算律合并同类项，将复杂向量转化为已知向量的组合 2.几何图形中向量表示：用“首尾相接”（三角形法则）、“共起点”（平行四边形法则）转化向量 3.数乘向量判断方向：根据的符号判断，快速排除错误选项（期中选择/填空常用） 四、易错点 1.数乘运算符号错误：忽略时，向量方向会反向，导致后续共线、共面判断错误 2.几何运算中向量起点混淆：三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“共起点”，不可混用 3.化简时漏用运算律：如误算为，漏乘到 4.误将“数乘向量的模”算成：忽略的绝对值，当时，模长应为 知识点03 空间向量的共线与共面 一、核心概念 1.共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量共线 2.共面向量：平行于同一个平面的向量，或能平移到同一个平面内的向量 二、公式法则（充要条件） 1.共线向量充要条件 若，则与共线存在唯一实数，使得 坐标表示（设，）：（不同时为0） 2.共面向量充要条件 若、不共线，则向量与、共面存在唯一实数对，使得 坐标表示（设，，）：（混合积为0） 三、解题技巧 1.共线判断：优先用坐标比例法（选择/填空速解），无坐标时用“存在唯一”证明 2.共面判断：无坐标时，将向量转化为两个不共线向量的线性组合；有坐标时，计算混合积是否为0 3.含参共线/共面：列比例方程（共线）、线性组合方程（共面），求解参数（期中高频题型） 四、易错点 1.共线判断忽略零向量：未说明，直接用判定共线（零向量与任意向量共线，需单独讨论） 2.坐标比例法漏限制条件：中，不能同时为0，否则无意义 3.共面证明漏条件：未说明“、不共线”，直接用判定共面（条件缺一不可） 4.混合积计算错误：共面坐标判断时，混合积计算出错，导致共面判断错误 知识点04 空间向量的数量积（点积） 一、核心概念 1.数量积：两个空间向量、的数量积为一个实数，记作，几何意义为的模与在方向上的投影长度的乘积 2.投影向量：在方向上的投影向量为，投影长度为 3.向量夹角：，范围为，且， 二、公式法则 1.数量积公式 几何形式： 坐标形式（设，）： 2.模长公式： 3.夹角公式：（，） 4.垂直充要条件： 三、解题技巧 1.数量积计算：有坐标用坐标公式（精准快捷），无坐标用几何公式（结合夹角） 2.模长计算：先求数量积，再开方（避免直接计算平方和出错） 3.垂直判定：优先用数量积为0判定（坐标法最快捷），无坐标时结合几何意义证明 4.投影计算：投影长度为，投影向量需乘以（保持方向） 四、易错点 1.数量积结果混淆：误将数量积当作向量（数量积是实数，无方向） 2.夹角范围忽略：，计算出为负时，夹角为钝角，不可取锐角 3.模长计算错误：漏开方，将当作，而非 4.垂直判定错误：仅证明，未说明、为非零向量（零向量与任意向量垂直，需单独讨论） 5.投影计算混淆：混淆投影长度（实数）与投影向量（向量），漏乘 知识点05 空间直角坐标系 一、核心概念 1.空间直角坐标系：由三条两两垂直且交于原点O的数轴（x轴、y轴、z轴）组成，遵循右手定则 2.右手定则：伸开右手，让拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向 3.坐标平面：xOy平面（z=0）、xOz平面（y=0）、yOz平面（x=0），将空间分为8个卦限 4.空间点的坐标：点P在x、y、z轴上的投影对应的实数，记作，原点O坐标为 5.向量的坐标：若、，则（终点减起点） 二、公式法则 1.两点间距离公式：若、，则 2.中点坐标公式：若、，中点M坐标为 三、解题技巧 1.建系技巧：优先以几何图形的对称中心、垂足为原点，以垂直的棱、边为坐标轴（简化坐标计算） 2.点的坐标求解：根据图形边长、垂直关系，确定各点在坐标轴上的投影，写出坐标 3.向量坐标求解：牢记“终点减起点”，避免坐标颠倒（期中高频易错步骤） 4.距离、中点计算：先算坐标差的平方和，再开方（距离），或直接取坐标和的一半（中点） 四、易错点 1.建系错误：违背右手定则，导致坐标轴方向错误，后续所有坐标、向量计算全错 2.向量坐标颠倒：误将“起点减终点”当作向量坐标，即 3.距离公式错误：漏算某一坐标差的平方，或漏开方，导致距离计算错误 4.中点坐标公式错误：漏除2，或将“和的一半”算成“差的一半” 5.卦限判断错误：忽略各卦限坐标的正负（如第一卦限x、y、z均为正，第三卦限均为负） 知识点06 平面的法向量 一、核心概念 1.平面的法向量：垂直于平面的非零向量，记作，一个平面有无数个法向量，且所有法向量互相共线 2.法向量的性质：法向量垂直于平面内的所有向量 二、公式法则（求解方法） 1.基本步骤（设平面内两个不共线向量、，求） 1.列方程：由、，得，即 2.解方程：令其中一个变量为特殊值（如1、-1，避免分数），求解另外两个变量 3.得法向量：写出，可乘以非零实数得到其他法向量 2.叉积公式（快速求解）： 三、解题技巧 1.变量取值技巧：令变量为1或-1，避免出现分数，简化后续运算（期中计算常用） 2.法向量验证：求解后，代入平面内任意向量，验证数量积是否为0（避免计算错误） 3.平行、垂直平面的法向量关系：若，则；若，则（、分别为、的法向量） 四、易错点 1.法向量求解列错方程：未利用“法向量垂直于平面内两个不共线向量”，仅列一个方程 2.叉积公式计算错误：行列式展开时符号记错（如对应的系数为，不可颠倒） 3.忽略法向量非零：求解后得到零向量，未重新设变量（法向量必须为非零向量） 4.法向量应用错误：误将平面内的向量当作法向量，导致后续平行、垂直证明错误 知识点07 空间向量证明线线、线面、面面平行 一、核心概念 1.线线平行：两条直线的方向向量共线，且两条直线不重合 2.线面平行：直线的方向向量与平面的法向量垂直，且直线不在平面内 3.面面平行：两个平面的法向量共线，且两个平面不重合 二、公式法则（判定定理） 1.线线平行（设直线方向向量，直线方向向量） 存在唯一实数，使得（） 2.线面平行（设直线方向向量，平面法向量） ，且 3.面面平行（设平面法向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（），且与不重合 三、解题技巧 1.通用步骤：建系→求相关向量（方向向量、法向量）→用判定定理判定→补充“不重合”条件 2.线面平行替代证明：证明直线的方向向量可表示为平面内两个不共线向量的线性组合（共面且直线不在平面内） 3.面面平行替代证明：证明一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面 4.选择/填空速解：优先用坐标法，通过向量共线、垂直快速判定，省略复杂几何推理 四、易错点 1.线线平行漏条件：仅证明，未说明两条直线不重合，导致结论错误 2.线面平行漏条件：仅证明，未说明“直线不在平面内”，导致证明不严谨 3.面面平行漏条件：仅证明，未说明两个平面不重合，误将重合当作平行 4.方向向量/法向量找错：误将平面内的向量当作法向量，或误将直线的垂线向量当作方向向量 知识点08 空间向量证明线线、线面、面面垂直 一、核心概念 1.线线垂直：两条直线的方向向量垂直，无论是否相交（异面直线垂直也适用） 2.线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量共线，且直线垂直于平面内所有直线 3.面面垂直：两个平面的法向量垂直，且两个平面有公共交线 二、公式法则（判定定理） 1.线线垂直（设直线方向向量，直线方向向量） 2.线面垂直（设直线方向向量，平面法向量） 存在唯一实数，使得（） 3.面面垂直（设平面法向量，平面法向量） ，且与有公共交线 三、解题技巧 1.通用步骤：建系→求相关向量（方向向量、法向量）→用数量积或共线判定→补充公共交线（面面垂直） 2.线面垂直替代证明：证明直线垂直于平面内两条相交直线（几何法，无坐标时适用） 3.面面垂直替代证明：证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面（线面垂直→面面垂直） 4.复杂图形：优先建系，用坐标法判定（避免几何推理遗漏条件） 四、易错点 1.线线垂直误解：仅证明两条直线相交且垂直，忽略异面直线垂直（异面直线只需方向向量垂直） 2.线面垂直漏条件：仅证明直线方向向量与法向量共线，未说明直线与平面有公共点（否则直线可能平行于平面） 3.面面垂直漏条件：仅证明，未说明两个平面有公共交线，证明不严谨 4.数量积计算错误：方向向量坐标找错，导致，误判垂直 知识点09 空间角的计算（线线角、线面角、二面角） 一、核心概念 1.线线角：两条异面直线所成的角，范围为，取两个方向向量夹角的锐角或直角 2.线面角：直线与平面所成的角，范围为，取直线方向向量与平面法向量夹角的余角 3.二面角：两个平面所成的角，范围为，由两个平面的法向量夹角或其补角决定（看图形方向） 二、公式法则 1.线线角（设直线方向向量，直线方向向量） （） 2.线面角（设直线方向向量，平面法向量） （） 3.二面角（设平面法向量，平面法向量） 锐角二面角： 钝角二面角： （判断锐角/钝角：观察图形，或用平面内向量方向验证） 三、解题技巧 1.通用步骤：建系→求相关向量（方向向量、法向量）→代入公式计算→根据范围确定角度 2.线线角速解：优先用坐标法，计算方向向量数量积，取绝对值再求余弦值，得到角度 3.线面角速解：牢记，避免混淆与 4.二面角速解：先求两个法向量夹角，再根据图形判断是锐角还是钝角，确定符号 5.特殊角记忆：30°、45°、60°的正弦、余弦值，简化计算（期中高频考查） 四、易错点 1.线线角与向量夹角混淆：未取绝对值，将钝角当作线线角（线线角只能是锐角或直角） 2.线面角公式混淆：误将当作线面角的余弦值，正确应为 3.二面角符号错误：未判断锐角/钝角，直接代入公式，导致角度偏差 4.向量模长计算错误：代入公式时，漏算方向向量、法向量的模长，导致结果错误 知识点10 空间距离的计算（点到直线、点到平面、异面直线） 一、核心概念 1.点到直线的距离：点到直线的垂线段长度，是点到直线上所有点的距离的最小值 2.点到平面的距离：点到平面的垂线段长度，是点到平面内所有点的距离的最小值 3.异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线段长度，是两条直线上各取一点的距离的最小值 二、公式法则 1.点到直线的距离（设点，直线过点，方向向量） （叉积的模长除以方向向量的模长） 2.点到平面的距离（设点，平面过点，法向量） （数量积的绝对值除以法向量的模长） 3.异面直线间的距离（设直线过点，方向向量；直线过点，方向向量） （混合积的绝对值除以叉积的模长） 三、解题技巧 1.点到平面距离：最常用，优先用坐标法求法向量，代入公式计算（期中高频题型） 2.点到直线距离：无坐标时用几何法找垂线段，有坐标时用叉积公式（精准快捷） 3.异面直线距离：仅期中难题考查，优先用混合积公式，若两条异面直线平行，可转化为点到直线的距离 4.距离验证：计算后结合图形估算，避免出现距离为负或大于图形边长的不合理结果 四、易错点 1.点到平面距离公式错误：漏写绝对值（距离非负），或漏除以法向量的模长 2.点到直线距离公式混淆：误将叉积当作数量积，用计算 3.异面直线距离计算错误：混合积漏绝对值，或叉积模长计算错误 4.平行直线间距离：误将“异面直线距离公式”当作“平行直线距离公式”，导致计算错误 题型一 求空间中有关点的坐标 解｜题｜技｜巧 1建系优先原则选几何图形中垂直交点、对称中心、垂足为原点以垂直棱/边为坐标轴遵循右手定则快速简化坐标计算 2坐标确定技巧依据图形边长与垂直关系确定点在坐标轴上的投影直接写出坐标向量坐标牢记终点减起点避免坐标颠倒 3特殊点速求中点坐标直接取对应坐标和的一半两点间距离先算坐标差平方和再开方漏算平方或漏开方是高频错误 4复杂图形转化遇不规则几何体时通过补形法补成正方体、长方体借助规则图形确定各点坐标降低计算难度 【典例1】【多选题】（25-26高二下·辽宁·开学考试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·山东聊城·期末）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·浙江绍兴·期末）点关于平面的对称点为（   ） A． B． C． D． 题型二 空间向量的概念辨析 解｜题｜技｜巧 1核心特征判断从大小、方向、起点位置三要素入手自由向量忽略起点仅看大小和方向零向量方向任意与任意向量共线共面 2易混概念区分对比零向量（模为0方向任意）与单位向量（模为1方向任意）相等向量（大小方向相同与起点无关）与向量所在直线重合（直线位置可不同）的差异 3特殊情况判定遇到含零向量的题目单独讨论零向量的特殊性避免因零向量方向任意导致判断失误 4概念题速解技巧选择题优先用反例排除如举反例说明“向量相等则直线重合”错误填空题直接提取核心概念判断无需复杂推导 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【变式1】【多选题】（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【变式2】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式3】【多选题】（25-26高二上·河南新乡·月考）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 题型三 空间向量的线性运算 解｜题｜技｜巧 1运算律优先化简遇到复杂向量表达式优先用交换律、结合律、分配律合并同类项转化为已知向量的组合简化运算 2几何法则转化三角形法则用于首尾相接的向量转化平行四边形法则用于共起点的向量相加看清向量起点与终点关系避免法则混用 3数乘向量判断依据λ的符号确定方向λ>0方向相同λ<0方向相反λ=0时向量为零向量快速排除选择/填空错误选项 4步骤规范书写解答题按“向量表达式→运用运算律化简→得出结果”书写避免漏乘系数、符号错误等问题 【典例1】（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型四 空间向量的线性运算求参数 解｜题｜技｜巧 1列方程核心方法将含参数的向量表达式转化为已知向量的线性组合利用相等向量对应坐标相等列方程组求解参数 2坐标法速解若向量有坐标直接展开线性运算得到含参数的坐标等式对应坐标相等列方程计算更直接 3含零向量处理遇到零向量参与运算时单独分析零向量的线性运算结果避免因零向量特性导致方程列错 4验根关键步骤求出参数后代入原向量表达式验证确保向量运算结果符合题意排除增解 【典例1】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【变式1】（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·期末）在平行六面体中，M为AB的中点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·广东佛山·月考）正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 题型五 四点共面求参数 解｜题｜技｜巧 1核心定理应用若四点A、B、C、D共面则存在唯一实数对x、y使转化为坐标等式列方程求解 2混合积判定法若四点对应向量、、、共面则混合积坐标计算混合积是否为0快速判断 3坐标转化技巧将四点坐标转化为向量坐标代入共面条件避免几何图形分析失误降低计算错误率 4参数范围验证求出参数后结合四点位置关系验证确保共面条件成立尤其是含空间几何体的题目避免漏解 【典例1】（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【变式1】（25-26高二上·安徽·期末）已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【变式2】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【变式3】（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 题型六 空间向量共线共面及其推论 解｜题｜技｜巧 1共线判定有坐标时用比例法若、则（分母不为0）无坐标时用（）证明 2共面判定无坐标时将向量转化为两个不共线向量的线性组合有坐标时计算混合积是否为0混合积则共面 3含参问题处理列比例方程（共线）、线性组合方程（共面）求解参数注意零向量需单独讨论避免漏解 4推论应用共线向量可传递方向关系共面向量可作为平面内的基底利用推论简化证明题缩短解题步骤 【典例1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）正四面体棱长为2，点为其外接球球心，点满足，且点在平面上，则三棱锥体积最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河北邢台·开学考试）在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，平面AEF与棱CD交于点G，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】【多选题】（25-26高二下·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 题型七 求空间向量的数量积 解｜题｜技｜巧 1公式选择技巧有坐标用坐标公式精准快捷无坐标用几何公式结合夹角条件计算 2投影转化法数量积可转化为的模与在方向投影长度的乘积借助投影概念简化复杂向量的数量积计算 3运算律应用利用数量积的分配律、结合律拆分复杂向量表达式分别计算后再合并避免计算失误 4特殊情况处理零向量与任意向量数量积为0垂直向量数量积为0直接得出结果简化计算步骤 【典例1】（24-25高二下·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【变式2】（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【变式3】（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型八 空间向量数量积求模长与夹角 解｜题｜技｜巧 1模长计算先求数量积再开方得漏开方是高频错误务必牢记 2夹角计算先算数量积和模长再代入注意夹角范围余弦值为负时夹角为钝角不取锐角 3坐标法速解向量有坐标时直接代入公式计算避免几何分析中夹角判断失误 4验证步骤求出模长或夹角后结合图形估算结果合理性如模长为正夹角符合几何图形角度范围排除错误解 【典例1】（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河南漯河·月考）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 题型九 空间向量数量积的坐标运算平行与垂直 解｜题｜技｜巧 1垂直判定核心公式坐标计算直接快速优先使用注意、为非零向量 2平行判定坐标法（分母不为0）无坐标时用（）零向量与任意向量平行需单独讨论 3综合题步骤建系求向量坐标→代入数量积公式→判定平行或垂直→书写结论步骤完整避免漏写“非零向量”等关键条件 4易错点规避平行判定时注意分母不为0垂直判定时排除零向量干扰确保条件完整 【典例1】（25-26高二下·安徽马鞍山·月考）已知向量，若，则（   ） A．2 B．-1 C．0 D．-2 【变式1】（25-26高二上·江西南昌·期末）已知空间四点，则下列选项正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C．⊥ D． 【变式2】（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【变式3】【多选题】（25-26高二上·河南三门峡·期末）已知空间向量，则下列结论正确的是（   ） A．当实数时， B．当实数时，使得 C．若与垂直，则 D．若与平行，则 题型十 空间向量数量积坐标运算求模长与夹角 解｜题｜技｜巧 1模长计算坐标下直接代入坐标计算先算平方和再开方避免计算顺序错误 2夹角计算先算数量积再算模长乘积最后求余弦值确定夹角注意范围 3特殊角记忆牢记30°、45°、60°的正弦、余弦值快速计算特殊角度提升解题速度 4计算规范书写时明确写出“数量积→模长→夹角”的推导过程避免直接写结果导致步骤分丢失 【典例1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【变式1】【多选题】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【变式2】【多选题】（25-26高二上·江西吉安·期末）已知空间向量，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式3】【多选题】（25-26高二上·河南周口·月考）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 题型十一 空间向量证明平行问题 解｜题｜技｜巧 1线线平行证明方向向量共线且直线不重合坐标法无坐标法（） 2线面平行核心条件：直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内即且缺一不可 3面面平行证明两个平面的法向量共线且平面不重合即（）且 4证明题规范先建系求向量再代入判定条件最后书写结论关键条件（如“直线不在平面内”）必须明确写出 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【变式1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【变式2】（2026高三·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，， 的中点分别为，点在上，．求证：平面. 【变式3】（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 题型十二 空间向量证明垂直问题 解｜题｜技｜巧 1线线垂直证明方向向量数量积为0即无论直线相交或异面均适用 2线面垂直核心条件：直线方向向量与平面法向量共线且直线与平面有公共点即（）且 3面面垂直证明两个平面的法向量数量积为0且有公共交线即且 4几何法辅助无坐标时线面垂直可证明直线垂直于平面内两条相交直线面面垂直可证明一个平面内一条直线垂直于另一个平面 【典例1】（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【变式1】（25-26高二上·安徽·月考）已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·全国·期末）为单位正方体的中心为的中点，点在正方体的表面上运动，则总能使的点的轨迹的长度是______. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点．在直线上求一点N，当的长为________时，． 题型十三 空间向量求异面直线夹角 解｜题｜技｜巧 1核心公式设异面直线方向向量为、夹角则取绝对值保证夹角为锐角或直角 2建系技巧优先以异面直线的公垂线交点、垂直交点为原点建系简化方向向量计算 3步骤规范建系→求方向向量→代入公式→确定夹角书写时明确写出夹角范围避免结果超出范围 4易错点规避忘记取绝对值导致夹角计算为钝角直接取绝对值即可修正 【典例1】（2026·江苏南京·一模）在直三棱柱中，已知，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【变式1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，若异面直线的方向向量分别为，，则所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，三棱锥中，，，，为的中点，点满足，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A．30° B．45° C． D．75° 【变式3】（25-26高二上·上海·月考）在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 题型十四 空间向量求线面角 解｜题｜技｜巧 1核心公式设直线方向向量为平面法向量为线面角则注意与向量夹角的区别线面角是方向向量与法向量夹角的余角 2范围判定线面角范围为计算出正弦值后直接确定角度无需额外判断 3建系选择以平面内垂直于直线的直线为坐标轴简化法向量与方向向量的计算 4易错点规避混淆线面角与向量夹角误将当作线面角的余弦值牢记公式为正弦值 【典例1】（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）如图，在多面体中，面是矩形，，． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）在长方体中，，，为线段的中点，． (1)求的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2】（25-26高二下·江苏扬州·月考）如图，在四棱锥中，底面为的中点，，且. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【变式3】（25-26高三上·安徽淮北·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 题型十五 空间向量求二面角，平面与平面的夹角 解｜题｜技｜巧 1核心公式设两个平面法向量为、二面角则符号由二面角为锐角或钝角决定 2符号判断技巧观察图形中二面角的开口方向或用平面内向量方向验证锐角取正钝角取负 3法向量求解按“设平面内两个不共线向量→列数量积为0的方程→赋值求解”步骤求法向量确保法向量非零 4特殊情况处理二面角为直角时法向量数量积为0直接判定无需复杂计算 【典例1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 【变式1】（贵州省贵阳市2026届高三年级适应性考试数学试卷）如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值. 【变式2】（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点. (1)求证: 平面； (2)若，且平面与平面的夹角余弦值为，求侧棱的长度. 【变式3】（25-26高三下·江苏南通·开学考试）如图1，在正三角形中，，，分别是，上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，使得． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 题型十六 空间向量与立体几何中的存在性动点问题 解｜题｜技｜巧 1假设存在法先假设存在满足条件的点、直线或平面设出参数（如动点坐标、直线方向向量） 2列方程转化将存在性条件转化为向量等式如平行转化为共线垂直转化为数量积为0角为定值转化为夹角公式等式 3求解参数解方程判断是否有解有解则求出参数确定存在的对象无解则说明不存在 4几何验证求出参数后结合立体几何图形验证确保解的几何意义合理避免出现矛盾结果 【典例1】（25-26高三下·青海西宁·开学考试）如图，在四棱锥中，已知底面为直角梯形，，，平面平面，． (1)若E，F分别为棱PD，BC的中点，求证：平面； (2)若四棱锥的体积为16，点M在棱（不含端点）上运动，当为何值时，平面与平面所成二面角的余弦值为？ 【变式1】【多选题】（25-26高二上·江苏无锡·期末）在棱长为2的正方体中，点O为线段的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，，则平面 C．若，则点P到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【变式2】（24-25高二下·江苏常州·月考）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． (1)证明：； (2)求二面角的大小． (3)在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 题型十七 求线面角二面角的最值与范围 解｜题｜技｜巧 1线面角最值转化为方向向量与法向量夹角的最值利用三角函数单调性结合分析最值 2二面角最值转化为两个法向量夹角的最值注意二面角范围结合法向量方向确定最值 3参数化处理设动点参数转化为函数求最值如将线面角表示为关于参数的函数利用导数或二次函数性质求解 4范围确定结合立体几何图形的限制条件确定参数范围进而确定角的范围避免遗漏边界值 【典例1】（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知半圆的圆心为O，直径，C为的中点，将扇形绕着翻折使B 到达的位置，如图所示，扇形在翻折过程中形成的几何体的体积为.点D，E分别在上且不与端点重合，. (1)求证; (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【变式1】（2026·山东枣庄·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【变式2】（2026·湖北宜昌·二模）如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为． (1)若时，求三棱柱的体积； (2)若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【变式3】（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； (2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 题型十八 求点到直线与点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 1点到平面距离核心公式先求平面法向量再算向量与法向量的数量积绝对值除以法向量模长注意取绝对值保证距离为正 2点到直线距离核心公式叉积的模长除以方向向量模长坐标计算叉积时注意符号避免行列式展开错误 3距离转化法异面直线距离可转化为点到直线距离或利用公垂线方向向量计算简化复杂距离计算 4易错点规避点到平面距离漏取绝对值点到直线距离误将叉积当作数量积牢记公式结构规避计算错误 【典例1】（2026·湖北黄冈·一模）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，平面，点，分别在棱，上，且． (1)求证：； (2)若，与平面所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面的距离． 【变式1】（2026·广东佛山·二模）如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形．点是棱上的动点（不与端点重合），且． (1)证明：平面； (2)已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是1． （i）求的长度； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【变式2】（2026·河北张家口·一模）如图，已知斜三棱柱中，，，，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若，点为的中点，求点到平面的距离． 【变式3】（25-26高三下·北京·月考）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高二·广东肇庆端州中学·期中)点关于平面对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·安徽华师联盟·期中)如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 3．(25-26高二上·安徽华师联盟·期中)如图，在三棱柱中，点在棱上，为的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 4．(25-26高二上·湖南浏阳·期中)如图所示，在平行六面体中，，，则的长为（    ）    A． B． C． D．5 二、多选题 5．(25-26高二上·山东桓台第一中学·期中)已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 6．(25-26高二上·福建长乐第五中学·期中)如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 三、填空题 7．(25-26高二上·北京中央民大附中（朝阳）·期中)在空间直角坐标系中，直线l的方向向量，点在直线l上，则点到直线l的距离是________. 8．(25-26高二上·安徽部分学校·期中)已知平面过坐标原点，且一个法向量为，则点到的距离为__________. 9．(23-24高二上·福建厦门实验中学·期中)如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 四、解答题 10．(25-26高二上·福建厦门熹海高级中学·期中)已知，． (1)求向量的坐标及； (2)若，求的值． 11．(25-26高二上·四川遂宁安居区·期中)如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 12．(24-25高三上·陕西师范大学附属中学·期中)如图，平面四边形中，，，，将沿翻折至，使得平面平面，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成的角； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．(25-26高二上·云南怒江傈僳族兰坪白族普米族自治县·期中)在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．(25-26高二上·广东佛山南海区桂城中学·)在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 二、多选题 3．(25-26高二上·广东华南师范大学附属中学·期中)如图，在直三棱柱中，，（），（），，，分别为棱，上的动点，且，，，则下列选项正确的是（     ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若，为定值，当时，三棱锥体积最大 D．若，当直线与所成角的余弦值最小时， 4．(25-26高二上·湖北孝感新高考协作体·期中)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（    ） A． B．点到直线的距离是 C．平面与平面的夹角正弦值为 D．异面直线与所成角的正切值为 5．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 三、填空题 6．(25-26高二上·陕西汉中中学·期中)定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 7．(25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期中)在平行六面体中，，且交平面于点，则___________. 四、解答题 8．如图，在正三棱锥中，，，为中点，为棱上一点． (1)证明：； (2)已知正三棱锥各顶点均在球的球面上． （i）求球的半径； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 9．(25-26高二上·福建厦门翔安第一中学·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，，M为线段PA中点，连接BM．    (1)求M到平面PCD的距离； (2)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10．(25-26高二上·山东青岛青岛杜威实验学校·期中)如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、多选题 1．(25-26高三上·江苏淮安涟水县第一中学·月考)已知二面角的大小为，，，且，，则（    ） A．是锐角三角形 B．异面直线与不可能垂直 C．线段长度的取值范围是 D．四面体体积的最大值为 2．(25-26高二上·山西太原·期中)给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 3．(25-26高二上·福建南安国光中学·期中)已知中，，，，为边上（除端点外）一点，将沿边翻折起至，使得平面平面.下列说法正确的是（   ） A．为角平分线时，四面体的外接球半径为 B．为角平分线时，异面直线与所成角的余弦值为 C．为角平分线时，平面与所成角的正切值为 D．线段长度的最小值为，此时为角平分线 二、填空题 4．(25-26高二上·北京一零一中·期中)如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论：    ①直线与直线所成角的范围是； ②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 三、解答题 5．如图，为圆锥的顶点，已知，是圆锥底面圆上的两个动点（与、不重合），圆锥的高，底面圆的半径，是的直径，点，在线段上，且满足，设平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)设，，若二面角的平面角为，且，求的取值范围. 6．(25-26高二上·湖北汉川第一高级中学·)如图，在四棱锥中，底面为长方形，，为的中点，，，. (1)证明：平面； (2)点为底面所在平面内的任意一点（在长方形外，和均为锐角），且. （ⅰ）若平面和平面的夹角为，求的最大值； （ⅱ）请判断是否存在点，使得五棱锥存在外接球，若存在，求出外接球的半径；若不存在，请说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $