专题04 特殊平行四边形（期中复习课件，7重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

这是初中数学八年级下学期期中复习课件，围绕特殊平行四边形构建“考情-知识-题型-验收”学习支架，涵盖矩形、菱形、正方形的性质判定、易错点梳理、中点四边形等内容，配套例题及变式题。 资料特色在于分层设计与核心素养融合，通过“三步法”解中点四边形培养推理能力，折叠问题结合勾股定理强化几何直观，动态题型分类讨论发展模型意识，帮助学生巩固基础提升解题能力，为教师提供系统复习框架。八年级学生处于几何推理发展关键期，需强化性质判定应用，本资料通过易错点总结和综合题型训练，助力学生适应期中复习需求。

专题04 特殊平行四边形 八年级数学下学期 期中复习大串讲 人教版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 矩形 1. 熟记矩形的性质与判定定理，能灵活运用 2. 会利用矩形对角线相等、四个角为直角求边长、角度、对角线长度 3. 能证明一个四边形是矩形 1. 期中高频考点，选择、填空、解答题均有涉及。 2. 常与平行四边形、勾股定理综合考查，侧重性质应用 菱形 1. 熟练掌握菱形的性质、判定及面积公式 2. 能运用性质求边长、对角线长度、面积 3. 能根据条件判定四边形为菱形 1. 常与矩形、平行四边形结合考查，解答题中高频出现 2. 菱形面积计算是重点，偶尔结合折叠、对称问题考查 正方形 1. 掌握正方形的性质与判定，能区分矩形、菱形与正方形的异同 2. 能运用正方形性质解决计算、证明问题 3. 能综合运用平行四边形、矩形、菱形知识判定正方形 1. 期中中档题、压轴题常见 2. 侧重综合应用，常与全等三角形、勾股定理、折叠问题结合 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 矩形 知识点01 1.定义：有一个角是______的平行四边形叫作矩形. 2.性质：①四个角都是______；②对角线______；③是______图形，有______条对称轴. 3.直角三角形斜边上中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于______的一半. 4.判定：从平行四边形出发：①有一个角是______的平行四边形.②对角线______的平行四边形. 从四边形出发：①有______个角是直角的四边形. 直角 直角 相等 轴对称 2 斜边 直角 相等 3 菱形 知识点02 1.定义：有一组______相等的平行四边形叫作菱形. 2.性质：①四条边都______.②对角线互相______，并且每一条对角线平分一组______.③是______图形，有______条对称轴. 3.面积：①菱形的面积=______×______； ②菱形的面积=对角线长的______的一半. 4.判定：从平行四边形出发：①有一组______相等的平行四边形.②对角线互相______的平行四边形. 从四边形出发：① 四条边______的四边形. 邻边 相等 垂直 对角 轴对称 2 底 高 乘积 邻边 垂直 相等 正方形 知识点03 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是______的平行四边形叫作正方形. 2.性质：①具有 、______、______的所有性质.②是______图形，有______条对称轴. 3.判定：从平行四边形出发：一组邻边相等 + 一个角是______. 从矩形出发：① 矩形 + 一组______相等；② 矩形 + 对角线互相______. 从菱形出发：① 菱形 + 有一个角是______；② 菱形 + 对角线______. 直角 平行四边形 矩形 菱形 轴对称 4 直角 邻边 垂直 直角 相等 特殊平行四边形核心要点 知识点04 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 矩形 1. 四个角都是______；2. 对角线______且互相平分；3. 轴对称图形（______条对称轴）；4. 可看作“有一个直角的平行四边形”。 1. 有一个角是______的平行四边形；2. 对角线______的平行四边形；3. 三个角是______的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线相等≠矩形，必须强调______ 前提；矩形不一定有对角线______的性质。 菱形 1. 四条边都______；2. 对角线互相______且平分，每条对角线平分一组______；3. 轴对称图形（______条对称轴）；4. 面积=对角线______÷2 1. 有一组______相等的平行四边形；2. 对角线互相______的平行四边形；3. 四条边都______的四边形（无需平行四边形前提）。 对角线垂直≠菱形，必须强调______ 前提；菱形不一定有对角线______的性质。 直角 相等 2 直角 相等 直角 平行四 边形 垂直 相等 垂直 对角 2 乘积 邻边 垂直 相等 平行四 边形 相等 特殊平行四边形核心要点 知识点04 图形类型 核心性质 关键判定方法 易错提醒 正方形 1. 兼具______、______所有性质（四条边相等、四个角为直角）；2. 对角线______且互相______平分，每条对角线平分一组对角；3. 轴对称图形（______条对称轴）；4. 面积=边长²=对角线______÷2。 1. 有一个角是______、一组______相等的平行四边形；2. 对角线______且______的平行四边形；3. 有一组______相等的矩形（或有一个角是______的菱形）。 区分“矩形+菱形”与正方形的判定，避免______条件；正方形是特殊的______和______。 续表 矩形 菱形 相等 垂直 4 乘积 直角 邻边 相等 垂直 邻边 直角 遗漏 矩形 菱形 中点四边形 知识点05 1.任意四边形（对角线无特殊特征）：中点四边形是 ； 2.对角线相等的四边形（如矩形、等腰梯形）：中点四边形是______（核心推导：中位线平行且等于对角线一半，对角线相等→中位线相等→平行四边形+对边相等→______）； 3.对角线垂直的四边形（如菱形）：中点四边形是______（核心推导：中位线平行于对角线，对角线垂直→中位线垂直→平行四边形+邻边垂直→______）； 4.对角线既相等又垂直的四边形（如正方形）：中点四边形是______（核心推导：结合上述2、3点，平行四边形+对边相等+邻边垂直→______）。 平行四边形 矩形 矩形 菱形 正方形 菱形 正方形 核心易错点梳理 知识点06 1.判定矩形、菱形时，忽略“ ”的前提条件（如“对角线相等的四边形是矩形”为错误命题）； 2.混淆三种图形的性质：菱形对角线______但不一定______，矩形对角线______但不一定______，正方形两者兼具； 3.计算菱形面积时，忘记“对角线______÷2”，误用平行四边形“底×高”公式（虽可用，但对角线法更简便，期中高频考查）； 4.忽略特殊平行四边形的______，解决折叠、对称问题时，遗漏对应边、对应角相等的条件； 5.证明正方形时，仅证明是______或仅证明是______，遗漏另一类图形的判定条件。 平行四边形 垂直 相等 相等 垂直 乘积 对称性 矩形 菱形 核心易错点梳理 知识点06 6.中点四边形易错(1)：误认为中点四边形的形状由原四边形的______决定（实际由原四边形的 的“相等”“垂直”特征决定，与原四边形是否为平行四边形无关），这是期中考查的高频易错点； 7.中点四边形易错(2)：运用三角形中位线定理时，遗漏“中位线平行于______且等于______的一半”的核心结论，无法实现“对角线特征→中位线关系→中点四边形形状”的推导。 8.坐标系动态与最值易错：忽略动点的 （如线段、射线、坐标轴），导致漏解；误用最值模型（如将军饮马、垂线段最短），或坐标运算失误（如距离公式记错、中点坐标算错） 形状 对角线 第三边 运动范围 第三边 核心记忆口诀 知识点07 矩形： 加直角，对角线______是特征； 菱形： 加等边，对角线______分对角； 正方形： 二合一，对角线______又______。 中点四边形：中点连线成______，对角线定形状，等则______垂则______，等垂必是______ 坐标系动态与最值：动点先定______，坐标特征紧相连，将军饮马______用，垂线段短最关键。 平行四边形 相等 垂直 平行四边形 矩形菱形 垂直 相等 中位 矩形 菱 正方形 范围线 对称 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 特殊平行四边形判定辨析与条件补充 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 判定辨析：牢记“从属关系”——平行四边形→矩形（加一个直角/对角线相等）、平行四边形→菱形（加一组邻边相等/对角线垂直）、矩形+菱形→正方形，明确三者的异同点； 2. 命题判断：举反例排除错误命题（如“对角线相等的四边形是矩形”，反例：等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； 3. 条件补充：结合判定方法，补充最简便的条件（如“平行四边形ABCD，补充______，使它成为菱形”，可补充“AB=AD”或“AC⊥BD”）。 【例1-1】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在在中，，交于点，添加下列一个条件，仍不能判定是矩形，该条件是（   ） A． B． C． D． 解：、添加不能判定是矩形，符合题意； 、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不符合题意； ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，不符合题意； 、∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∴， ∴四边形是矩形，不符合题意； 【例1-2】（24-25八年级下·广东广州·期中）下列选项的命题中，是真命题的是（    ） A．有三边相等的四边形是菱形 B．四个角相等的菱形是正方形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意；B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意；D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意； B 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 解：A. 当时，邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B. 当时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； C. 当时，有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确； D. 当时，对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形，结论错误． D 【变式1-2】（24-25八年级下·北京·期中）在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； A 【变式1-3】（24-25八年级下·全国·期中）在中，与相交于点O，要使是矩形，需添加的条件是__________（填序号） ①；②；③；④ 解：①根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，当时，不能判定是矩形，该选项错误，不符合题意； ②根据对角线相等的平行四边形为矩形，当时，根据平行四边形的性质得，,∴是矩形，该选项正确，符合题意； ③同②，该选项正确，符合题意； ④根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，当时，为直角， ∴是矩形，该选项正确，符合题意； 综上，符合题意的选项有②③④， ②③④ 中点四边形 题型二 解｜题｜技｜巧 中点四边形解题统一遵循“三步法”，适配期中证明题、计算题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏： 第一步：连接原四边形的两条对角线（辅助线核心，必做！），标注对角线的特征（相等/垂直/既相等又垂直）； 第二步：根据三角形中位线定理，推导中点四边形的两组对边分别平行且等于对应对角线的一半，证明中点四边形是平行四边形； 第三步：结合原四边形对角线的特殊特征（相等/垂直），推导中点四边形的边或角的特殊关系，进而判定中点四边形的具体形状（矩形/菱形/正方形）。 解：如图，∵点分别为菱形各边的中点， ∴， 同理∴平行且等于，∴四边形为平行四边形， ∵四边形是菱形，∴，∵，， ∴，∴ 四边形为矩形，∴四边形面积为， 【例2-1】（24-25八年级下·重庆綦江·期中）如图，菱形的两条对角线相交于O，若，顺次连接菱形各边中点所围成的四边形的面积是（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 B 【例2-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①：再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2025个图形中直角三角形的个数有（   ） A．4052 B．2025个 C．1013个 D．8100个 解：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形，…，依此类推，第个图形，当为奇数时，直角三角形的个数是，当为偶数时，直角三角形的个数是，第2025个图形中直角三角形的个数是． A 【变式2-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）我们把任意一个四边形各边中点顺次连接所得的四边形叫做中点四边形．当原四边形的对角线____________时，它的中点四边形一定是菱形． 解：四边形的中点四边形为平行四边形．若其是菱形，则四边相等，由于中点四边形的边长度为原四边形对角线长度的一半，因此原四边形的对角线和必须相等，才能使中点四边形的邻边相等，即邻边相等的平行四边形是菱形 相等 【变式2-2】（24-25八年级下·山东菏泽·期中）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是___________． 解：如图，点、点、点、点是菱形各边中点， ，， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，∵四边形是菱形，∴，， 又∵点是的中点，点是的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，∴，同理可得， （1）证明：连接相交于点O，点分别是四边形各边的中点，，四边形是矩形，，，平行四边形是菱形； （2）点分别是四边形各边的中点，，矩形的周长为12，面积为7，，四边形是菱形，，，，，． 【变式2-3】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 特殊平行四边形的性质综合计算 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 通用思路：先明确图形类型，优先调用其独特性质（如矩形找直角、对角线相等；菱形找四条边相等、对角线垂直），再结合平行四边形性质转化条件； 2. 关键技巧：遇对角线，优先连接对角线，利用“平分”“相等”“垂直”的性质，结合勾股定理计算 3. 面积计算：菱形优先用“对角线乘积÷2”，正方形可灵活选用“边长²”或“对角线乘积÷2”，避免计算繁琐； 4. 角度计算：利用“直角”“对角相等”“邻角互补”，结合三角形内角和，快速转化角度。 解：如图：∵四边形是菱形， ∴，是的角平分线，， ，， ∴，，∴， ∴是等边三角形，∴，，∵，∴在直角通过勾股定理得，，∴，∴，∴； 解：∵四边形是矩形，∴， ∴,∴, ∵,∴，∴． 【例3-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【例3-2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形 ，则___________． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求________． 解：连接，如图∵四边形是矩形， ，，∴，，∴，，∴，∵，∴，即，，∴． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是_____________． 解：∵四边形是菱形，， ，， ，， 【变式3-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形中，以为边在平面内作等边三角形，连接，则的度数为_____． 解：点在正方形内：正方形中，，，等边中，所以．．在等腰中，．点在正方形外：同理，．在等腰中，． 综上，为或． 或 特殊平行四边形的判定综合证明 题型四 解｜题｜技｜巧 1. 判定思路（优先简便方法）： 矩形：先证明是平行四边形，再证明有一个直角或对角线相等；若已知三个直角，可直接判定为矩形； 菱形：先证明是平行四边形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直；若已知四条边相等，可直接判定为菱形； 正方形：先证明是矩形（或菱形），再证明有一组邻边相等（或有一个直角），或直接证明是“对角线相等且垂直的平行四边形” 特殊平行四边形的判定综合证明 题型四 解｜题｜技｜巧 2. 关键技巧：连接对角线，构造全等三角形（△AOB≌△COD、△AOD≌△COB），转化线段、角度关系，辅助判定条件的证明； 3. 易错提醒：证明时，务必标注前提条件（如“∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形”），避免步骤遗漏。 【例4-1】（24-25八年级下·广东湛江·期中）如图所示，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)如果，试证明：四边形为矩形． （1）证明：∵点E是的中点，∴，又∵， ∴，又∵，∴，∴，又∵是边上的中线，∴，∴． （2）解：∵，，∴，∴，由（1）得，又∵， ∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形． 【例4-2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E， 交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． （1）证明：∵，，∴，， 又∵，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且，∴四边形的面积等于正方形的面积，，∵，，∴，∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 【变式4-1】（24-25八年级下·广西北海·期中）在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． （1）证明：四边形是平行四边形，， 于点，点在上，，， 四边形是平行四边形，，四边形是矩形． （2）解：，，，， ，，平分， ，，，， 的长为5． 【变式4-2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在中，，交 于点E，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则菱形的面积是 ． （1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴∵∴四边形是平行四边形∵∴∵∴ ∴平行四边形是菱形； （2）在中，∵四边形是菱形， ∴菱形的面积. 【变式4-3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． （1）解：∵四边形是菱形，∴，，， ∵，∴，∴，又∵， ∴四边形是平行四边形，又∵，，∴四边形是正方形； （2）解：∵，，，∴， ∵四边形是正方形，∴， ∴． 特殊平行四边形折叠 题型五 解｜题｜技｜巧 折叠问题：牢记“折叠前后对应边相等、对应角相等”，找准折叠的对称点，连接对称点，利用对称轴垂直平分对称点连线的性质，结合特殊平行四边形的性质，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解。 解：如图1，△是以为腰的等腰三角形，且， 四边形是矩形，，， ，，将△沿直线 翻折，点落在点处，，， 过点作于点，交于点，则 ，， 四边形是矩形，，， ，， ，，且，，，解得； 【例5-1】（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是__________． 如图2，△是以为腰的等腰三角形，且， 连接，过点作于点，交于点， 则，， 四边形是矩形，，， ，垂直平分， ，，△是等边三角形， ，，， ，， 综上所述，的长是5或， 【例5-1】（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，矩形中，，，点E在边上，将沿直线翻折，点D落在点F处，连接．如果是以为腰的等腰三角形，那么的长是__________． 5或 【例5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图：菱形中，点E在边上，将沿折叠，点B对应点为点F，恰好使．点P为边上一点，直线交于点G．若，，，则的长为______． 解：过E作于M，连接交于J，∵四边形是菱形，∴，，，∵，∴，则，由折叠性质得，∵，∴是等腰直角三角形，又，∴，则，∴，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，，∴，又，∴四边形是正方形，∴，∴，，∴，又，∴∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴． 3 【变式5-1】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． 解：连接，∵四边形是边长为2的正方形，F是的中点，点E在上， ∴，，∴， ∵将沿翻折，点A的对称点落在上， ∴，，， ∴，，在和中，∴， 【变式5-1】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在边长为2的正方形中，F是的中点，点E在上，连接，将沿翻折，点A的对称点落在上，连接、，则_______ °，_________ ． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，平分，∴垂直平分， ∵，且，∴，∴，∴， 45 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，将边长为8cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点A落在CD边中点E处，点B落在点处，折痕为 ，则CF的长为_______ 解：如图，过G点作于点H ，连接AE交GH于点 I, 由题意可知, ∴，由折叠的性质可知 ，∴又∵，，在和中， ∴ ∴ 动态探究与几何模型综合题 题型六 解｜题｜技｜巧 动态探究问题：设动点坐标或线段长度为x，结合特殊平行四边形的判定条件（如矩形对角线相等、菱形邻边相等），列方程求解，注意分类讨论（如动点在不同边上的情况），避免漏解。 【例6】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (1)如图1，当点落在上时，求证：； (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． （1）证明：四边形是矩形， ，， 将四边形沿翻折， ，，，， ； 【例6】（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，分别是边上的点，将四边形沿翻折，两点的对应点分别为． (2)如图2，若，点与点重合，求的长； (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形，， ，为的中点，，将四边形沿翻折， ，，，， 为等腰三角形，，， ，，，， ，，， 设，则，在中，根据勾股定理，，即，解得，即，，在中，根据勾股定理， ． (3)如图3，当点恰好落在的中点，交于点，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【变式6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (1)当时，如图①所示，则______； (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． （1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ，， ； 【变式6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (2)若，则______； (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． （2）解： ， ，， ，， ，即， 解得（负值已舍去）； 2 【变式6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． （3）①解：四边形是正方形，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ； 【变式6】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形中，，点从点出发，以的速度向点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，连接、和，设运动时间为． (3)连接，与和分别交于点，，如图②所示： ①若，求的长和此时的值； ②求证：点是的中点． ②证明：过作交于， 则，，∵， 是等腰直角三角形， ，， ，， ，点是的中点． 坐标系中的动点与最值综合题 题型七 解｜题｜技｜巧 动态与最值问题解题统一遵循“四步法”，适配期中证明题、计算题、探究题，规范解题逻辑，避免步骤疏漏和漏解： 1. 第一步：定范围，标定点：明确动点的运动范围（线段、射线、坐标轴等），设出动点坐标（用参数表示，如P(t,0)），标注题目中所有定点的坐标（若未给出，结合图形特征求出）； 2. 第二步：找模型，连关系：根据题目所求最值类型（距离和、距离差、面积），确定对应的最值模型，结合特殊平行四边形的性质，建立动点坐标与所求量之间的关系（如边长、距离、面积的表达式）； 坐标系中的动点与最值综合题 题型七 解｜题｜技｜巧 3. 第三步：算结果，验范围：根据建立的关系，结合坐标运算、函数最值等知识，求出最值，同时验证动点坐标是否在运动范围内，避免出现不符合题意的解； 4. 第四步：写结论，规范答：整理解题过程，明确写出最值的大小及对应的动点位置（坐标），确保步骤完整、结论清晰（期中评分标准中，步骤完整性占比高，切勿省略关键步骤）。 【例7】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (1)直接写出点D、E的坐标：D（______，______），E（______，______）； (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． （1）解：∵实数a，b使式子， ∴∴， ∴，∴； 6 6 3 0 （2）①证明：取的中点K，连接，∵， ∴，∴， ∵，K为的中点，，∴， ∴，∴，∵是正方形外角的平分线， 【例7】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作 交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【例7】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ①如图①，求证：是等腰直角三角形； ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作 交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． （2）① ∴，∴， ∴，在和中， ∴（），∴，∴是等腰直角三角形； ②证明：延长，并在延长线上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴（），∴ ，由①知，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴，∴（），∴，∴平分； 【例7】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ②如图②，连接，求证：平分； ③如图③作交于点M，作 交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． 【例7】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (2)，且交正方形外角的平分线于点F，连接交于点G． ③如图③作交于点M，作 交于点N，连接，求四边形的面积； (3)如图④，连接正方形的对角线，若点 P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． ③∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， 同理可得，∴，又，设，则， ∴，∴， 在中，，解得， ∴， ∴； 【例7】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）将正方形放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． (3)如图④，连接正方形的对角线，若点 P在边上，点Q在边上，R在边上，请直接写出的最小值______． （3）在上截取，连接， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴当点，点P，点Q三点共线，且时，的最小值为的长， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为6， 6 【变式7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (1)求点E的坐标； (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． （1）解：∵，， ∴； 设，则，在中，， ∴，解得：，∴，∴； 【变式7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (2)若动点P、Q同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向点O运动，点Q以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点P运动到点O停止，Q点也同时停止运动．设的面积为S，点P、Q的运动时间为t，请直接写出用含t的代数式表示S的关系式；（不用写出自变量的取值范围） （2）解：当点P在点E的右边时，如图， 由题意知，， 由（1）知，此时； 则，∴； 当点P在点E的左边时，，则， ∴； 综上， 【变式7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． （3）解：当点P在上，点Q在边上时， 由题意得，当， ；∵四边形是矩形， ∴，∴，∴，又， ∴，∴，；∵，，∴，∴；∴；∵， ∴，∴； 【变式7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别落在x轴、y轴上，点E在边上，点D在边上，且，已知点，点． (3)在（2）的条件下，点M是射线上的一点，当满足，且时，请求出此时的t值以及点M的坐标． 当点P在上，点Q在边延长线上时，如图； 同理得：， ∴；∵， ∴，解得， ∴，∴， ∴；综上，或． 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误．∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误．∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． D 2．（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填B．（2）处可填 C．（3）处可填 C．（3）处可填 解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 邻边相等的矩形是正方形，故选项B错误，符合题意； 邻边相等的平行四边形是菱形形，故选项C正确，不符合题意； 有一个角是直角的菱形是正方形，故选项D正确，不符合题意； B 3．（24-25八年级下·山东济南·期中）顺次连接四边形各边的中点E、F、G、H，若得到的四边形是菱形，则四边形一定满足（   ） A． B． C． D． 解：连接，， ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，分别是，，的中位线， ∴，，，， ，∴四边形是平行四边形， 当时，，∴四边形是菱形， A 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交，于点E、F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为_________． 解：作于M，交于N，如图，   则四边形，四边形，四边形， 四边形都是矩形，∴， ∴，，，，，∴， ∴图中阴影部分的面积． 21 5．（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 解：∵分别是的中点， ∴是的中位线，∴， 同理可得， ∴，∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 4 6．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，作,CF与DF相交于点F． 求证：四边形DECF为菱形． 证明：∵， ∴四边形DECF为平行四边形， 四边形DECF为矩形，对角线AC与BD相交于点E， ∴CE=DE 四边形DECF为菱形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图所示，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E为 AD的中点．若 AB=6，BC=8 ，则的周长为（　　） A．10 B．C．D．14 解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6 ，BC=8 ， ∴ ， ∵点O是AC的中点，E为AD的中点， ∴ 在中，AE=4 ，AB=6 ， 根据勾股定理得， ， 在 中，根据勾股定理得， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠ABD=90°，∵点O是 的中点， ∴的周长为 ． C 2．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，正方形的面积是8，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于______． 解：∵在正方形中，为对角线， ∴正方形关于对称，，， 如图，设F的对称点为Q，过Q作于E，交于P， 则四边形为矩形，， ∴的最小值为的长度， ． 3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． （1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形．∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴，∴， ∵点F是的中点，∴． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，正方形，是上一点，交的延长线于． (1)在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； (2)如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： (3)如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． （1）解：；证明如下： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴； ∴；∴PM=PN, ∠PME=∠PNC=90°，∠CPN+∠PCN=90° ∴； ∵，∴，∴，∴； 在与中，∴，∴； 4．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，正方形，是上一点，交的延长线于． (2)如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： （2）解：过点P作于点N， 则； ∴，∴； ∵，∴； ∵，， ∴，∴， ∴；在中， 由勾股定理得； 由（1）知，；∵四边形是正方形， ∴，∴； 在中，由勾股定理得， ∴；在中，由勾股定理得； （3）解：；理由如下： 如图，过点C作交于Q，连接； ∵四边形为正方形， ∴，， ； ∵，∴四边形是平行四边形； ∴；∵平分，，∴；∵，∴；∵， ∴，∴， ∵，∴； 在与中，∴，∴，∴；∵，∴；∴． 4．（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，正方形，是上一点，交的延长线于． (3)如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $