专题突破练18 圆锥曲线中的求值与最值、范围问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线求值与范围问题，通过4道典型题构建“方程求解-参数范围-最值探究”逻辑链条，强化代数运算与几何直观融合，培养推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |双曲线|1题|等轴双曲线方程及参数λ范围|双曲线标准方程→渐近线→直线与双曲线交点→向量共线| |椭圆|1题|椭圆方程及斜率k范围|椭圆基本量关系→直线与椭圆位置关系→向量数量积判断角的范围| |抛物线|1题|抛物线方程及tan∠MPN范围|抛物线定义→切线方程→圆的方程约束→正切函数最值| |自定义曲线|1题|(λ,μ)曲线条件及斜率关系|轨迹方程推导→中心对称与轴对称→直线与双曲线交点范围|

专题突破练18　圆锥曲线中的求值与最值、范围问题 1.(15分)(2025山东济南模拟)已知等轴双曲线E过点(2,),直线l:y=kx+2(k>0)与E交于A,B两点,与其渐近线交于C,D两点. (1)求E的方程; (2)设=λ,求λ的取值范围. 2.(15分)(2025天津二模)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点),求k的取值范围. 3.(17分)(2025湖北十堰三模)已知点A,B在抛物线C:x2=2py(p>0)上,O为原点,且△OAB是以AB为斜边的等腰直角三角形,斜边长为4. (1)求抛物线C的方程; (2)若点P在圆Q:x2+(y+4)2=4上,过点P分别作直线l1,l2与抛物线C相切于M,N两点,求tan∠MPN的取值范围. 4.(17分)(2025辽宁沈阳二模)已知O为坐标原点,动点P到x轴的距离为d,且|OP|2=λ+μd2,其中λ,μ均为常数,动点P的轨迹称为(λ,μ)曲线. (1)若(λ,μ)曲线为双曲线,试问λ,μ应满足什么条件? (2)设曲线C为(1,)曲线,点A(x0,y0)是C上位于第一象限的一点,点A,B关于原点O中心对称,点A,D关于y轴对称.延长AD至E,使得|DE|=|AD|,且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内. ①求x0的取值范围; ②设直线OA斜率为k1,直线AG斜率为k2,判断k1与k2的关系,并求k1+k2的取值范围. 答案： 1.解 (1)∵等轴双曲线E过点(2,), ①若E的焦点在x轴上,不妨设E:=1(a>0),代入(2,),可得a2=2,∴E:=1. ②若E的焦点在y轴上,不妨设E:=1(a>0),代入(2,),可得a2=-2,不符合题意. 综上,E:=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 联立消去y可得(1-k2)x2-4kx-6=0, ∴1-k2≠0,Δ=16k2+24(1-k2)>0, 解得k∈(0,1)∪(1,), ∴x1+x2=,x1x2=-, 显然双曲线E的渐近线方程为y=±x,不妨设C为直线:y=x与直线l的交点, 联立可得x3=-, 同理x4=-,∴λ= ∵k∈(0,1)∪(1,), (0,1)∪(1,), ∴λ的取值范围为(0,1)∪(1,). 2.解 (1)由题得2c=2,即c=, 又离心率为, 解得a=2,b==1, 故椭圆的方程为+y2=1. (2)设直线的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立得(1+4k2)x2+16kx+12=0, 由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0, 得k2>, 则x1+x2=-,x1x2= 因为点O在以线段AB为直径的圆外,所以∠AOB为锐角. 因为A,B,O不共线, 所以cos∠AOB>0, 故>0,即x1x2+y1y2>0. 因为y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4, 所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+4=>0,解得k2<4, 因为k2>,得<|k|<2, 解得-2<k<-<k<2, 故实数k的取值范围为(-2,-)∪(,2). 3.解 (1)由题意知,A,B两点关于y轴对称,不妨设点B在y轴右侧,则xB=yB=2,即点(2,2), 将点B的坐标代入抛物线方程可得4p=4,解得p=1, 故抛物线C的方程为x2=2y. (2)不妨设点N,M分别在第一、二象限,直线MN的方程为y=mx+n, 设点M(x1,)(x1<0),N(x2,)(x2>0), 联立得x2-2mx-2n=0,Δ=4m2+8n>0,x1+x2=2m,x1x2=-2n, 由y=,得y'=x, 则直线PM的斜率为k1=x1, 所以直线PM的方程为y-=x1(x-x1),即y=x1x- 同理可知,直线PN的斜率为k2=x2,直线PN的方程为y=x2x-, 联立直线PM,PN的方程得x1x-=x2x-, 解得xP==m, 则yP=x2=-n,故点P(m,-n). 因为点P在圆Q上,所以m2+(-n+4)2=4,且2≤n≤6,Δ=4m2+8n>0显然成立. 过点P作x轴的垂线,垂足为点H, tan∠MPH=-=-,tan∠NPH=, tan∠MPN=tan(∠MPH+∠NPH)==-=-, 令t=2n-1,因为2≤n≤6,则3≤t≤11,, 所以tan∠MPN==, 令s=[],则函数y=-29s2+18s-1在区间[]上单调递增,在[]上单调递减, 故当时,tan∠MPN取最小值,且最小值为, 当时,tan∠MPN取最大值,且最大值为 因此tan∠MPN的取值范围是[]. 4.解 (1)设点P(x,y). 由题得x2+y2=λ+μy2,得x2+(1-μ)y2=λ, 若(λ,μ)曲线为双曲线,则λ≠0, 所以上式可化为=1, 则<0,则μ>1, 所以当λ≠0,且μ>1时,(λ,μ)曲线为双曲线. (2)(方法一)当λ=1,μ=时,x2+y2=1+y2,即x2-=1. ①由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x,y),由, 即(x+x0,y-y0)=(-2x0,0), 即则E(-x0,y0), 直线BE的斜率为kBE==-, 所以直线BG的方程为y+y0=-(x+x0),即y=-x-4y0, 联立 得(-3)x2+x+(16+3)=0,由直线BG与双曲线有2个交点,则-3≠0, 又因为x=-x0满足(-3)x2+x+(16+3)=0,xG·(-x0)=, 解得xG= 因为yG=-xG-4y0>0,且y0>0, 得xG<-x0<0, 所以xG=<-x0, 又因为=1,可得=3-3, 所以xG=<-x0. 因为x0>1, 所以>0, 所以8-9>0,可得x0>,即x0的取值范围为(,+∞). ②由①得k2= = =- =- =- =-=- 又k1=,所以k2k1=-1. 因为x0>,则0<, 则k1=(),则k1+k2=k1-(-). (方法二)当λ=1,μ=时,x2+y2=1+y2,即x2-=1. ①由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x,y),由, 即(x+x0,y-y0)=(-2x0,0), 即则E(-x0,y0),直线BE的斜率为kBE==-, 所以直线BG的方程为y+y0=-(x+x0). 设点G(x,y)(x<0,y>0), 因为x2-=1, 所以x2>,所以, 同理,由 两式作差得(x+x0)(x-x0)-(y+y0)(y-y0)=0, 将直线BG方程代入并化简得(x-x0)+(y-y0)=0,(*) 所以, 所以, 可得x0>, 即x0的取值范围为(,+∞). ②由(*)式可得k1·k2==-1, 由①得k1=(), 所以k1+k2=k1-(-). 7 学科网（北京）股份有限公司 $