专题突破练12 翻折、探究性问题（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练12　翻折、探究性问题

1.(15分)(2025湖北九师联盟二模)如图,在平面四边形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD=4, CD=,∠BCD=45°,点E为BC的中点,将△BAE沿AE翻折至△PAE的位置,使得四棱锥P-AECD的体积为1.

(1)证明:平面PEC⊥平面AECD;

(2)求二面角A-PD-C的正弦值.

 

 

 

 

 

 

2.(15分)(2025河北沧州模拟)如图,六面体ABCDEF的侧面ABFE为矩形,BC∥AD,AB⊥BC,FB=AD=3,AB=BC=2,FD=.

(1)求证:平面ABFE⊥平面ABCD.

(2)线段AE上是否存在点P,使得CP∥平面DEF?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.

(3)求平面EFD与平面FDC夹角的余弦值.

 

 

 

 

3.(15分)(2025湖北黄冈二模)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=, AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°.

(1)求∠FCB的余弦值.

(2)在三棱锥的棱AP上是否存在点Q,使得平面ABP和平面BCQ所成角的余弦值为?若存在,求出点Q的位置;若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

 

4.(17分)(2025湖北武汉一模)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为平行四边形,SA=AB=SB,SB⊥AC,∠ABC=60°,BC=2,AB=1.

(1)求三棱锥S-ABC外接球的表面积.

(2)设T为线段SD上的点.

(ⅰ)若ST=SD,求直线AC与平面BTC所成角的正弦值.

(ⅱ)平面α过点B,T,且AC∥平面α,探究:是否存在点T,使得平面SAD与平面α之间所成角的正切值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

答案：

1.(1)证明 连接DE,在△CDE中,CD=,CE=2,∠BCD=45°,由余弦定理,得DE2=22+()2-2×2cos 45°=2,所以DE=,所以CD2+DE2=EC2,所以DE⊥CD.

因为AD∥BC,∠BCD=45°,所以∠ADC=135°,则∠ADE=45°.

在△ADE中,AD=1,DE=,由余弦定理,得AE2=12+()2-2×1cos 45°=1,所以AE=1,故AD2+AE2=DE2,所以AD⊥AE,又AD∥BC,所以AE⊥BC,则AE⊥EC,AE⊥PE,又PE∩EC=E,PE,EC⊂平面PEC,所以AE⊥平面PEC,因为AE⊂平面AECD,故平面PEC⊥平面AECD.

(2)解 设四棱锥P-AECD的高为h,由V四棱锥P-AECD=(1+2)×1·h=1,得h=2.

由(1)可知,平面PEC⊥平面AECD,PE=2,所以PE即为四棱锥P-AECD的高,所以PE⊥平面AECD,所以AE,EC,EP两两互相垂直,以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(2,0,0),D(1,1,0),P(0,0,2),所以=(1,0,0),=(-1,-1,2),=(-1,1,0).

设平面APD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则

取z1=1,得x1=0,y1=2,所以m=(0,2,1).设平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则

即取x2=1,得y2=1,z2=1,所以n=(1,1,1),

所以cos<m,n>===

设二面角A-PD-C的大小为θ,则sin θ=,

故二面角A-PD-C的正弦值为

2.(1)证明 如图,连接AF,则AF=,因为FD=,AD=3,所以AD2+AF2=FD2,所以AD⊥AF.