专题突破练11 空间角、空间距离（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练11　空间角、空间距离

1.(15分)(2025河北唐山一模)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,A1B1=1, AB=AC=2,D为BC的中点,AC⊥C1D.

(1)证明:AC⊥AB;

(2)若AA1=,求平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.(15分)(2025山东菏泽一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,CD∥BE,∠BED=60°, BC=CD=1,AE=2ED=2,PB=2,PE=EB,F为PB的中点.

(1)求证:CF∥平面PAD;

(2)若平面PBE⊥平面ABCD,求DF与平面ABP所成角的正弦值.

 

 

 

 

3.(15分)(2025山东烟台模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,二面角A-PD-C的大小为120°,E,F分别为AB,PD的中点.

(1)求证:EF⊥CD.

(2)已知AD=2,二面角E-FC-D的大小为60°.

(ⅰ)求PB和AD所成角的余弦值;

(ⅱ)求直线AC与平面EFC所成角的正弦值.

 

 

 

 

 

4.(17分)(2025山西临汾二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD, BC=AD,M为棱PD的中点,四面体P-ABC的体积为,△PBC的面积为2.

(1)求证:CM∥平面PAB;

(2)求点D到平面PBC的距离;

(3)若AP=AB,平面PBC⊥平面ABP,点N为棱PC上一点,当平面ABN与平面BNC夹角为60°时,求NC的长.

答案：

1.(1)证明 在三棱台ABC-A1B1C1中,∵A1B1=1,AB=AC=2,∴A1C1=1,BC=2B1C1.

∵D为BC的中点,∴B1C1=BD,B1C1∥BD,∴四边形BDC1B1为平行四边形,故B1B∥C1D.

∵AC⊥C1D,∴AC⊥B1B.

∵AA1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴AA1⊥AC.

∵AA1,BB1⊂平面ABB1A1,AA1,BB1为相交直线,∴AC⊥平面ABB1A1,

∵AB⊂平面ABB1A1,∴AC⊥AB.

(2)解 以A为原点,以分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,),C1(0,1,),D(1,1,0).

=(-2,2,0),=(-1,0,),=(0,1,),=(1,1,0).

设m=(x1,y1,z1)是平面BCC1B1的法向量,则

令x1=,则y1=,z1=1,故m=(,1).

设n=(x2,y2,z2)是平面ADC1的法向量,则

令x2=,则y2=-,z2=1,故n=(,-,1).

∴cos<m,n>=平面BCC1B1与平面ADC1夹角的余弦值为

2.(1)证明 由CD∥BE,BC=CD=DE=1,∠DEB=60°,易求BE=2.

取PE的中点M,连接MF,F为PB的中点,所以MF∥BE,MF=BE,

所以MF=1,MF∥CD,所以四边形CDMF为平行四边形.

所以CF∥DM,