专题突破练10 空间位置关系的判断与证明（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练10　空间位置关系的判断与证明

必备知识夯实练

1.(2025湖南岳阳二模)已知直线m,n,l,平面α,β,若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法正确的是(　　)

A.若m∥α,则m⊥β

B.若m⊂α,n⊂β,则m⊥n

C.若m⊂α,则m⊥β

D.若m⊂α,则直线m必垂直于平面β内的无数条直线

2.(多选题)(2025浙江温州二模)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是AP,BC上的点,,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)

A.AD∥BC 

B.AB∥CD

C.BC∥平面PAD 

D.CD∥平面PAB

关键能力提升练

3.(12分)(2023全国乙,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2, PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.

(1)求证:EF∥平面ADO;

(2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积.

 

 

 

 

 

4.(15分)(2025江苏淮安模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点Q为BC的中点,点P为CC1上一点.

(1)若平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,求证:A1B∥l;

(2)当平面APQ⊥平面APB1时,求CP的长度.

 

 

 

 

 

 

核心素养创新练

5.(17分)(2025江苏无锡期中)如图几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的.已知AD=2,AB=4,P是上的中点,Q是AC的中点,BP与CE交于点O.

(1)求该几何体的体积;

(2)求证:OQ∥平面ABEF;

(3)若M是上的一点,且满足平面OMQ∥平面ABEF,求sin∠FAM的值.

答案：

1.D　解析 若m∥α,则m与β也可能平行或者m⊂β,故A错误;若m⊂α,n⊂β,当m,n至少有一条直线与l垂直时才有m⊥n,否则还有可能存在平行或异面及相交但不垂直的情况,故B错误;若m⊂α,且m⊥l,才会有m⊥β,否则还有可能存在平行或相交但不垂直的情况,故C错误;对于D,当直线a⊂β,且a⊥l,此时a⊥m,故满足条件的直线a有无数条,故D正确.故选D.

2.BD　解析 如图,过点E作EG∥PD交AD于点G,连接GF,即有EG∥平面PCD,由于△AEG∽△APD,所以,若AB∥CD,则GF∥CD,又GF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以GF∥平面PCD,由EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EGF,得平面EGF∥平面PCD,又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面PCD,故B正确;

   

若CD∥平面PAB,又因为平面ABCD∩平面PAB=AB,所以CD∥AB,所以EF∥平面PCD,故D正确;

假设EF∥平面PCD,设平面EFP∩CD=H,则EF∥PH,若BC∥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,反之,若BC∥AD,当且仅当BC∥平面PAD,即选项A,C同时正确或错误.若BC∥AD,可能AB∥CD,也可能AB与CD相交.若AB与CD相交,由知延长FG必与AB,CD交于同一点O,由几何关系知EF与PH不平行,故A,C错误.故选BD.

3.(1)证明 设=(0<λ<1),则=λ(),

所以=(1-λ)+

因为O为BC的中点,则,所以

因为AB⊥BC,则=0,因为AB=2,BC=2,BF⊥AO,

则=[(1-λ)+]·()=-(1-λ)=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=,

故F为AC的中点.