专题突破练10 空间位置关系的判断与证明（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

专题突破练10　空间位置关系的判断与证明 必备知识夯实练 1.(2025湖南岳阳二模)已知直线m,n,l,平面α,β,若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α,则m⊥β B.若m⊂α,n⊂β,则m⊥n C.若m⊂α,则m⊥β D.若m⊂α,则直线m必垂直于平面β内的无数条直线 2.(多选题)(2025浙江温州二模)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是AP,BC上的点,,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　) A.AD∥BC B.AB∥CD C.BC∥平面PAD D.CD∥平面PAB 关键能力提升练 3.(12分)(2023全国乙,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2, PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO. (1)求证:EF∥平面ADO; (2)若∠POF=120°,求三棱锥P-ABC的体积. 4.(15分)(2025江苏淮安模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=3,点Q为BC的中点,点P为CC1上一点. (1)若平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,求证:A1B∥l; (2)当平面APQ⊥平面APB1时,求CP的长度. 核心素养创新练 5.(17分)(2025江苏无锡期中)如图几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的.已知AD=2,AB=4,P是上的中点,Q是AC的中点,BP与CE交于点O. (1)求该几何体的体积; (2)求证:OQ∥平面ABEF; (3)若M是上的一点,且满足平面OMQ∥平面ABEF,求sin∠FAM的值. 答案： 1.D　解析 若m∥α,则m与β也可能平行或者m⊂β,故A错误;若m⊂α,n⊂β,当m,n至少有一条直线与l垂直时才有m⊥n,否则还有可能存在平行或异面及相交但不垂直的情况,故B错误;若m⊂α,且m⊥l,才会有m⊥β,否则还有可能存在平行或相交但不垂直的情况,故C错误;对于D,当直线a⊂β,且a⊥l,此时a⊥m,故满足条件的直线a有无数条,故D正确.故选D. 2.BD　解析 如图,过点E作EG∥PD交AD于点G,连接GF,即有EG∥平面PCD,由于△AEG∽△APD,所以,若AB∥CD,则GF∥CD,又GF⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以GF∥平面PCD,由EG∩GF=G,EG,GF⊂平面EGF,得平面EGF∥平面PCD,又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面PCD,故B正确; 若CD∥平面PAB,又因为平面ABCD∩平面PAB=AB,所以CD∥AB,所以EF∥平面PCD,故D正确; 假设EF∥平面PCD,设平面EFP∩CD=H,则EF∥PH,若BC∥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,反之,若BC∥AD,当且仅当BC∥平面PAD,即选项A,C同时正确或错误.若BC∥AD,可能AB∥CD,也可能AB与CD相交.若AB与CD相交,由知延长FG必与AB,CD交于同一点O,由几何关系知EF与PH不平行,故A,C错误.故选BD. 3.(1)证明 设=(0<λ<1),则=λ(), 所以=(1-λ)+ 因为O为BC的中点,则,所以 因为AB⊥BC,则=0,因为AB=2,BC=2,BF⊥AO, 则=[(1-λ)+]·()=-(1-λ)=4λ-4(1-λ)=8λ-4=0,解得λ=, 故F为AC的中点. 又因为E为PA的中点,则EF∥PC,又D,O分别为PB,BC的中点,所以DO∥PC,则EF∥DO,因为EF⊄平面ADO,DO⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO. (2)解 连接OF,PF. ∵O,F分别为BC,AC中点,且AB⊥BC,∴OF⊥BC. 又PB=PC,O为BC中点,∴BC⊥OP. ∵OF∩OP=O,OF,OP⊂平面POF, ∴BC⊥平面POF. 又BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面POF,且交线为OF. 过点P作PM⊥FO交FO延长线于点M,则PM⊥平面ABC, 即PM为三棱锥P-ABC的高. ∵∠POF=120°,∴∠POM=60°. 在Rt△PBO中,PO==2, ∴PM=POsin∠POM=2, ∴V三棱锥P-ABC=S△ABC×PM=2×2 4.(1)证明 连接A1C,交AC1于点O,连接OQ. 因为O,Q分别为A1C,BC中点,则A1B∥OQ,且A1B⊄平面QAC1,OQ⊂平面QAC1,可得A1B∥平面QAC1,又因为A1B⊂平面BA1C1,平面BA1C1∩平面QAC1=直线l,所以A1B∥l. (2)解 取B1C1的中点Q1,以Q为原点,QC,QA,QQ1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则Q(0,0,0),A(0,,0),B1(-1,0,3),设CP=h,0≤h≤3,则P(1,0,h),可得=(0,,0),=(1,0,h),=(2,0,h-3),=(1,,-3).设平面APQ的法向量为m=(x1,y1,z1),则 令z1=-1,则x1=h,y1=0,可得m=(h,0,-1). 设平面APB1的法向量为n=(x2,y2,z2),则 令x2=3-h,则y2=,z2=2,可得n=(3-h,,2),因为平面APQ⊥平面APB1,则m⊥n,可得m·n=h(3-h)-2=0,解得h=1或h=2,所以CP的长度为1或2. 5.(1)解 因为几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,AD=2,AB=4. 所以该几何体的体积为底面半径为2,高为4的圆柱体积的,所以该几何体的体积为π×22×4= (2)证明 连接AE,因为P是上的中点,则BP⊥CE,O是EC的中点,又Q是AC的中点,所以OQ∥AE,OQ⊄平面ABEF,AE⊂平面ABEF,所以OQ∥平面ABEF. (3)解 连接OM,QM,因为平面OMQ∥平面ABEF,设平面OMQ∩平面ABCD=HG,又平面ABEF∩平面ABCD=AB,则HG∥AB,因为Q是AC的中点,所以H为BC的中点,G为AD的中点,因为平面OMQ∩平面ADF=MG,又平面ABEF∩平面ADF=AF,平面OMQ∥平面ABEF,所以GM∥AF,又∠FAD=120°,所以∠AGM=60°.因为AG=1,AM=2,在△AGM中,由正弦定理可得,所以,所以sin∠AMG=,因为GM∥AF,所以∠FAM=∠AMG,所以sin∠FAM= 5 学科网（北京）股份有限公司 $