专题5 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（提升版）

第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 考点二　椭圆、双曲线的几何性质(多考向探究预测) 目 录 索 引 考点三　抛物线的几何性质 考点一　圆锥曲线的定义与标准方程 理知识 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|). (3)抛物线:|PF|=|PM|,l为抛物线的准线,点F不在定直线l上,PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定位,后计算” “定位”:确定曲线焦点所在的坐标轴; “计算”:利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值. 链高考 1.(2024新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.=1(y>0) B.=1(y>0) C.=1(y>0) D.=1(y>0) A 解析 设P(x0,y0)(y0>0),则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=, 又=16,所以x2+4y2=16,即=1(y>0),故选A. 2.(2023全国甲,理12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=(　　)【一题多解】 A. B. C. D. B 解析 (方法一)如图,由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点. 在椭圆C:=1中,a==3,b=,c=, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6(椭圆的定义),即|PF2|=6-|PF1|. 在△PF1F2中,|F1F2|=2c=2,cos∠F1PF2=, 由余弦定理, 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2, 解得|PF1|=3+, ∴|PF2|=6-|PF1|=3- ),∴||=|= = = = |OP|=故选B. (方法二)|PF1|+|PF2|=2a=6,① 在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=, 即|PF1||PF2|=12,② 联立①②,解得=21, 由中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42, 易知|F1F2|=2,解得|OP|=故选B. 3.(2022全国甲,文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.+y2=1 B 解析 由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b), 则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,① 由e=,得e2==1-, 即b2=a2.② 联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B. 例1　(1)(2025四川成都三模)已知动圆C与圆(x+1)2+y2=1外切,同时与圆 (x-1)2+y2=25内切,则动圆C的圆心轨迹方程为(　　) A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.+y2=1 A 解析 设圆(x+1)2+y2=1的圆心为C2,且圆C2与圆C切于点P,圆(x-1)2+y2=25的圆心C1与圆C切于点Q,由题意得|C1C|=5-|CQ|,|C2C|=1+|CP|, 其中|CQ|=|CP|,所以|C1C|+|C2C|=5-|CQ|+1+|CP|=6>2=|C1C2|, 由椭圆定义可知,动圆圆心C的轨迹为以C1,C2为焦点的椭圆, 设其方程为=1(a>b>0),则2a=6,c=1,解得a=3,b2=a2-c2=9-1=8, 故动圆圆心C的轨迹方程为=1.故选A. (2)(2024天津,8)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 C 解析 如图,由题意可知,点P必在第四象限,∠F1PF2=90°. ∵∠F1PF2=90°,=-1,又=2,=-, ∴tan∠PF1F2=,即 设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m. 由|PF1|·|PF2|=2m·m=8,得m=2, ∴|PF2|=2,|PF1|=4,|F1F2|=2=2c,则c= 由双曲线的定义可知,|PF1|-|PF2|=2a=2, ∴a=,∴b2=c2-a2=8,∴双曲线的方程为=1.故选C. 考点二　椭圆、双曲线的几何性质(多考向探究预测) 理知识 1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中,a2=b2+c2,离心率e=. (2)在双曲线中,c2=a2+b2,离心率e=. 2.双曲线的渐近线方程与焦点坐标 (1)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标F1(-c,0), F2(c,0). (2)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标F1(0,-c), F2(0,c). 3.通径为过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦:椭圆、双曲线中通径长均为;双曲线中焦点到渐近线的距离为b. 链高考 1.(2024全国甲,理5,文6)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　) A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D. C 解析 设点P(-6,4),F1(0,-4),F2(0,4),则e==2.故选C. 2.(2023新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. A 解析 由题意,在椭圆C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=, ∴e1=在椭圆C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=, ∴e2= e2=e1,,解得a=故选A. 3.(2024新高考Ⅰ,12)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离 心率为　　　 　.  　 解析 如图,根据双曲线的对称性,不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4. 易知AF2⊥F1F2, ∴在Rt△AF2F1中,有|F1F2|==12.设双曲线C的焦距为2c(c>0),则2c=|F1F2|=12,∴c=6.∴双曲线C的离心率e= 考向1　椭圆、双曲线的几何性质 例2　(1)(2025新高考Ⅰ,3)已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 D 解析 由题知,2b=2a, ∴b=a,∴c==2a,∴e==2故选D. (2)(多选题)(2025山东泰安二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,则下列选项正确的是(　 　) A.若a=2,b=,则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B.若点P在双曲线C上,则直线PF1与PF2的斜率之积为 C.以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P,且|PO|=|PF2|,则双曲线C的离心率e=+1 D.若过点F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A,B两点,∠AF1O=,则双曲线C的渐近线方程为y=±2x ACD 解析 由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离为b,故A正确; 当P为双曲线C的顶点时,直线PF1与PF2的斜率之积为0,故B错误; 由题意知,点P在圆x2+y2=c2上,又|PO|=|PF2|,易知△POF2为等边三角形,且在Rt△PF1F2中,|PF2|=c,|PF1|=c, 由双曲线的定义得c-c=2a,所以e=+1,故C正确; 不妨设点A在第一象限,直线l的方程为x=c,与渐近线y=±x相交于点A(c,),B(c,-),所以=(2c,),=(c,0),即cos,化简可得=12,解得=2,所以双曲线的渐近线方程为y=±2x,故D正确.故选ACD. 【对点训练1】(多选题)(2025新高考Ⅱ,11)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且∠NA1M=,则(　 　)【一题多解】 A.∠A1MA2= B.|MA1|=2|MA2| C.C的离心率为 D.当a=时,四边形NA1MA2的面积为8 ACD 解析 不妨取渐近线y=x,M在第一象限,N在第三象限. 对于A,由双曲线的对称性可得四边形A1MA2N为平行四边形, 故∠A1MA2=π-,故A正确; 对于B,(方法一)因为点M在以F1F2为直径的圆上, 故F1M⊥F2M且|MO|=c, 设M(x0,y0),则故故MA2⊥A1A2, 由上得∠A1MA2=,故|MA2|=|MA1|,即|MA1|=|MA2|,故B错误; (方法二)因为tan∠MOA2=,又c2=a2+b2,则cos∠MOA2=, 又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N,则OM=c, 若过点M作x轴的垂线,垂足为H(图略), 则|OH|=c=a=|OA2|,则点H与A2重合,则MA2⊥x轴, 则|MA2|==b,|MA1|=b,所以|MA1|=|MA2|,故B错误; 对于C,(方法一)因为),故4+2,由上得,|MA2|=b,|MA1|=b,故4c2=b2+b2+2×bbb2=(c2-a2),即c2=13a2,故离心率e=,故C正确; (方法二)因为,则=2, 则e=,故C正确; 对于D,当a=时,由e=,故c=,故b=2,故四边形NA1MA2的面积=2=222=8,故D正确.故选ACD. 考向2　离心率问题 例3　(1)(2025山东济南模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点与右焦点分别为A,F,点P在C上,且|PF|=2|AF|,+7=0,则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. B 解析 依题意,+7 =()2+7+5=0. 设|AF|=x,则x2+(2x)2+5x·2xcos∠AFP=0,解得cos∠AFP=-,∠AFP=120°,设F1为C的左焦点,由|PF|=2|AF|=2(a-c),得|PF1|=2a-|PF|=2a-2(a-c)=2c, 又|F1F|=2c,∠PFF1=60°,因此△PFF1为等边三角形,a=2c,所以C的离心率为故选B. (2)(2023新高考Ⅰ,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,=-,则C的离心率为 　 .【一题多解】 　 解析 (方法一)如图,设A(x0,y0),B(0,t),F1(-c,0),F2(c,0). 由对称性不妨设t<0.因为=-,所以x0=,y0=- 又,所以c2=t2,即t=-2c. 因为|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF1|-|AF2|=c,即 (方法二)设A(x,y),B(0,m),不妨令点A在第一象限,则m<0. 设F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0, 则=(x+c,y),=(c,m),=(x-c,y),=(-c,m). 由=-,有=(x+c)c+ym=0,(*)式 由(*)式得代入(x+c)c+ym=0中,得m=-2c. 则点A坐标为(c,c),代入=1中,有=1,即25e2-=9,解得e2=或e2=(舍去),故e= 变式探究 (变条件)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,P为线段AB上一点,直线F2P与直线F1B交于点Q,若=2,且∠QF1F2=∠QPB,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. A 解析 由=2,得B为线段QF1的中点,又坐标原点O为F1F2的中点, 则OB∥QF2, 于是QF2⊥x轴,∠OBA=∠QPB=∠QF1F2, 则∠F1BA=∠OBF1+∠OBA=∠OBF1+∠OF1B=90°. 因此|F1B|2+|BA|2=|F1A|2,即b2+c2+a2+b2=(a+c)2, 又a2=b2+c2, 整理得a2-ac-c2=0,则e2+e-1=0, 而0<e<1,所以e= 故选A. 【对点训练2】(1)(2025天津二模)若直线y=2x与双曲线=1(a>0,b>0)无公共点,则双曲线的离心率的取值范围为(　　) A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞) B 解析 由题意可知,双曲线的渐近线斜率为k=± 因为直线y=2x与双曲线=1(a>0,b>0)无公共点, 所以2,e=,所以双曲线的离心率范围为(1,].故选B. (2)(2025山东潍坊二模)在△ABC中,AC=AB,D为边BC上一点,满足BD=2DC,以A,D为焦点作一个椭圆G,若G经过B,C两点,则G的离心率为 (　　) A. B. C. D. C 解析 设|DC|=m,|AC|=n,则|BD|=2m,|AB|=n, 设该椭圆长半轴长为a,由椭圆的定义可知解得所以|BD|=a,|DC|=a,|AC|=a,|AB|=a. 在△ABC中,显然有∠ADC=π-∠ADB,所以cos∠ADC=-cos∠ADB, 设|AD|=x,由余弦定理得,=-, 即=-,解得x=a.因此椭圆的焦距为2c=|AD|=a, 所以椭圆的离心率为e=故选C. 考点三　抛物线的几何性质 理知识 抛物线的焦点弦的几个常见结论: 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α是直线AB的倾斜角,则 (1)x1·x2=,y1·y2=-p2; (2)|AB|=x1+x2+p=; (3); (4)以线段AB为直径的圆与准线x=-相切. 链高考 1.(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 D 解析 抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2, 因为点M在C上,由定义知点M到准线x=-2的距离为|MF|, 又点M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D. 2.(多选题)(2022新高考Ⅰ,11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则(　 　) A.C的准线为y=-1 B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|2 BCD 解析 ∵点A(1,1)在抛物线C上, ∴1=2p,∴p=,∴抛物线C的方程为x2=y.∴抛物线C的准线为y=-,故A错误; ∵点A(1,1),B(0,-1),∴直线AB的方程为y=2x-1,联立抛物线C与直线AB的方程,得消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确; 由题意可得,直线PQ的斜率存在,则可设直线PQ的方程为y=kx-1,联立直线PQ与抛物线C的方程,得消去y整理得x2-kx+1=0, 设点P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 ∴|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1, 又|OP|=,|OQ|=, ∴|OP|·|OQ|==|k|>2=|OA|2,故C正确; ∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|, ∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.故选BCD. 例4　(多选题)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 解析 对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1, 所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确; 对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x, 则由 不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B错误; 对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确; 对于D,因为|OM|=,|ON|=, |MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D错误.故选AC. 【对点训练3】(1)(2025湖南长沙模拟)已知点A在抛物线C:y2=8x上,记点A到y轴,到直线y=2x+3的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值为(　　) A. B. C. D.-2 A 解析 易知抛物线C的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,设点F到直线y=2x+3的距离为d,则d1+d2=(d1+2)+d2-2=|AF|+d2-2≥d-2=-2= 故选A. (2)(多选题)(2025新高考Ⅰ,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　 　)【一题多解】 A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 ACD 解析 (方法一)由题意知,F(,0),抛物线的准线方程为x=- 由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确; 设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去x可得y2-6my-9=0, 则y1+y2=6m,y1y2=-9,x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3, 则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确; 当m=0时,E(-,0),|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误; 当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18; 当m≠0时,直线EF的方程为x=-y+,E(-,3m),|EF|=, S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9, 则|AE|·|BE|>>18, 综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确. 故选ACD. (方法二)对于A,由抛物线C:y2=6x,则p=3,其准线方程为x=-,焦点F,则|AD|为抛物线上点到准线的距离,|AF|为抛物线上点到焦点的距离,由抛物线的定义可知,|AD|=|AF|,故A正确; 对于B,过点B作准线l的垂线,交l于点P, 由题意可知AD⊥l,EF⊥AB,则∠ADE=∠AFE=90°, 又|AD|=|AF|,|AE|=|AE|, 所以△ADE≌△AFE,所以∠AED=∠AEF, 同理∠BEP=∠BEF, 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°, 所以∠AEF+∠BEF=90°,即∠AEB=90°, 显然AB为Rt△ABE的斜边,则|AE|<|AB|,故B错误; 对于C,当直线AB的斜率不存在时,|AB|=2p=6;当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k,联立 消去y得k2x2-(3k2+6)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 易知Δ>0,则x1+x2=3+,x1x2=, 所以|AB|=|x1-x2|==6>6, 综上,|AB|≥6,故C正确; 对于D,在Rt△ABE与Rt△AEF中,∠BAE=∠EAF,所以Rt△ABE∽Rt△AEF,则,即|AE|2=|AF|·|AB|,同理|BE|2=|BF|·|AB|,当直线AB的斜率不存在时,|AB|=6,|AF|=|BF|=|AB|=3,所以|AE|2·|BE|2=|BF|·|AF|·|AB|2= 3×3×62,即|AE|·|BE|=18;当直线AB的斜率存在时,|AB|=6, |AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+= 9,所以|AE|2·|BE|2=|BF|·|AF|·|AB|2=936,则|AE|·|BE|=36=18>18. 综上,|AE|·|BE|≥18,故D正确.故选ACD. $