20.2 勾股定理的逆定理 知识点讲解&同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

20.2 勾股定理的逆定理 思考： “两直线平行，同位角相等”题设和结论分别是什么？ “同位角相等，两直线平行”的命题有什么关系？ 总结：这两个命题的题设与结论刚好相反． 得出定义： 如果两个命题的题设和结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题． 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题． 所以，勾股定理的逆命题是： 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足，那么这个三角形是直角三角形． 继续思考：说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？ （1）两直线平行，内错角相等． （2）如果两个实数相等，那么它们的平方相等． （3）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． （4）全等三角形的对应边相等． 解答：（1）逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行．成立 （2）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立 （3）逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．不成立 （4）逆命题：对应边相等的两个三角形是全等三角形．成立 总结：原命题成立时，它的逆命题却不一定成立． 那如何证明勾股定理的逆命题是否正确呢？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且，求证：∠C＝90°． 证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°． ∵∠C'＝90°，∴ ∵∴ 因为边长取正值，所以A'B'＝c． 在△ABC和△A'B'C'中， ∴△ABC≌△A'B'C'．∴∠C＝∠C'＝90°． 例题 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形． （1） a＝15，b＝8，c＝17； （2）a＝13，b＝14，c＝15． 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 解：（1）因为， ， 所以，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形． （2）因为， ， 所以，根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形． 我们把像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 练习 1、已知△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ （1）a＝12，b＝18，c＝22； （2）a＝15，b＝36，c＝39； （3）a＝，b＝2，c＝； （4）a＝8.5，b＝4，c＝7.5； （5）a﹕b﹕c＝7﹕24﹕25； （6）． 2、如下图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 3、据说，很久以前的古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形（如图），你知道这个三角形是什么三角形吗？并说明理由． 检测 1．说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）如果两个角是直角，那么它们相等； （2）全等三角形的对应角相等； （3）在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． （4）垂直于同一直线的两直线平行； 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对应边的长分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）． A．∠C是钝角 B．∠C是直角 C．∠A是直角 D．∠B是直角 3．如图，有一块四边形ABCD菜地，测得AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，又已知∠B＝90°．你能求出这块菜地的面积吗？ 作业 1．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）． A．7，24，25 B．3，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8 2．下列各命题的逆命题不成立的是（ ）． A．两直线平行，同旁内角互补 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．对顶角相等 D．如果，那么a＝b 3．在△ABC中，若三边关系为，则△ABC中__________是直角． 4．在△ABC中，若a＝2，b＝，c＝2，则△ABC是__________三角形． 5．如图所示的一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积． 答案 练习： 1、（1）不是；（2）是，∠C；（3）是，∠A；（4）是，∠C；（5）是，∠C；（6）是，∠B． 2、解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30． 因为，即，所以∠QPR＝90°． 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°，因此∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行． 3、解析：这个三角形是直角三角形. 理由：设两个结的距离为a，则三边分别为3a，4a，5a． ∵，∴这个三角形是直角三角形． 检测： 1．（1）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角，此逆命题不成立； （2）逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立； （3）逆命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此逆命题成立． （4）逆命题：如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线与两条平行线中的另一条也垂直；此逆命题成立． 2．C． 3．解：连接AC，在Rt△ABC中，． ∴AC＝5． 在△ACD中，∵AC2＋CD2＝25＋122＝169，而DA2＝132＝169， ∴AC2＋CD2＝DA2．∴∠ACD＝90°． 故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×3×4＋×5×12＝6＋30＝36．即这块菜地的面积是36m2 作业： 1．B．2．C．3．∠A．4．等腰直角． 5．解：连接AC，在Rt△ABC中， ． ∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，AD2＝132＝169， ∴AC2＋CD2＝AD2．∴△ACD是直角三角形． 故S四边形ABCD＝S△ACD－S△ABC＝×5×12－×3×4＝24m2． 即这块地的面积是24 m2． 学科网（北京）股份有限公司 $