专题突破练14 计数原理（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练14　计数原理 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2025河南名校联盟高三阶段性测试)已知某校包含甲、乙、丙在内的7名同学参加了某次数学竞赛,并包揽了前7名(排名无并列),若甲、乙、丙中的两人占据前两名,则这7名同学获奖的名次情况共有(　　) A.480种 B.560种 C.720种 D.840种 2.(2025河北承德一模)把3个相同的小球放入4个不同的盒子中,每个盒子最多放2个小球,则不同放法有(　　) A.16种 B.24种 C.64种 D.81种 3.(2025江苏泰州适应性调研测试)若(x-)6展开式中的常数项为60,则常数a的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 4.(2025湖南部分学校大联考)20名校国旗班成员站成一排参加训练,教官计划在20人中选9人进行第一项训练,若这9人在原来队列中互不相邻,则教官的选择方式一共有(　　) A.220种 B.55种 C.210种 D.110种 5.(2025山东日照模拟)如图,湖面上有4个相邻的小岛A,B,C,D,现要建3座桥梁,将这4个小岛连通起来,则建设方案有(　　) A.12种 B.16种 C.20种 D.24种 6.(2025河南周口期中)在(x3-i)(2x+)5(其中i是虚数单位)的展开式中,的系数为(　　) A.-39-i B.-39i C.-40+i D.-40 7.(2025山东省实验中学第五次诊断)已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列,则n=(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2025河南南阳模拟)有三串气球,每串气球的个数如图所示,某人每次用气枪射击一只气球,且每次都射击某一串气球中最下面的一只,直到所有的气球均被击破为止.假设此人每次射击均能击破一只气球,则其击破气球的不同顺序的种数为(　　) A.8 B.144 C.120 D.280 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.(2025湖北黄冈模拟)下列说法正确的是(　　) A.29+28+…+=39 B.若(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a8=0 C.5555被8整除的余数为1 D.1.0510精确到0.1的近似数为1.6 10.(2025贵州贵阳七校联考)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角,杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角,能得到很多规律,如图是一个7阶的杨辉三角,则下列说法正确的是(　　) A.第2 025行共有2 025个数 B.从第0行到第10行的所有数之和为2 047 C.第21行中,从左到右的第3个数是210 D.第3斜列为1,3,6,10,15,…,则该数列的前n项和为Tn=(n∈N*) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 11.(2025湖南邵阳联考)某校高三(5)班班主任准备从2名女生和4名男生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表,每学科安排1人,且至少有1名女生,则不同的选取方法有　　　　　种. 12.(2025广东广州测试)将1,2,3,…,9这9个数字填在3×3的方格表中,要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上,则填写方格表的方法共有　　　　　种. 13.(2025福建漳州质量检测)(x2+-3)5的展开式中,常数项为　　　　　. 核心素养创新练 14.(6分)(多选题)(2025鄂豫皖五十三校联考)将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为ai(i=1,2,…,7),则下列说法正确的是(　　) A.若a4=7,a1+a2+a3<a5+a6+a7,则这样的数列共有360个 B.若该数列恰好先减后增,则这样的数列共有64个 C.若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列共有144个 D.若a1>a2>a3,a3<a4<a5,a5>a6>a7,则这样的数列共有71个 答案： 1.C　解析 甲、乙、丙中选两人占前两名,有种情况,其余五名可任意排列,故所有的情况有=720种.故选C. 2.A　解析 可分成两类情况: ①在4个不同的盒子中任取3个盒子,每个盒子中放一个,有=4种放法; ②把3个球分为两组,一组1个,一组2个,分别放到两个不同的盒子中,有=12种放法.由分类加法计数原理,知不同放法有4+12=16种.故选A. 3.A　解析 (x-)6展开式的通项为Tr+1=x6-r(-)r=x6-3r,令6-3r=0,得r=2,可得它的常数项为a=60,所以a=4.故选A. 4.A　解析 本题等价于向11个人的队中插入9个人使他们不相邻,考虑插空法,即有=220种选择方式.故选A. 5.B　解析 由题意知要将4个相邻的小岛A,B,C,D连接起来,共有=6个位置可以建设桥梁;从这6个位置中选3个建设桥梁,共有=20种选法;但选出的3个位置可能是仅连通A,B,C或A,B,D或A,C,D或B,C,D三个小岛,不合题意,故要建3座桥梁,将这4个小岛连通起来,共有20-4=16种不同的方案.故选B. 6.C　解析 (2x+)5的通项为Tk+1=(2x)5-k·()k=25-k·ik,令5-k=-,得k=5,令5-k=,得k=3,所以T6=20·i5=i,T4=22·i3=-40i因为x3·i=i,-i·(-40i)=-40,所以的系数为-40+i.故选C. 7.C　解析 已知(1+2x)n(n∈N*)的展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数分别为,依题意2,所以2=n+,所以6(n-1)=6+(n-1)(n-2),即n2-9n+14=0,解得n=7或n=2(舍去).故选C. 8.D　解析 将被射击的8个气球排成一列,同一串气球按由下往上的顺序放入,相当于8个位置,取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入,有种放法,再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入,有种放法,最后放入右边的一个气球于最后一个位置,有种放法,由分步乘法计数原理得击破气球的不同顺序的种数为=280.故选D. 9.ABD　解析 对于A,由二项式定理可知29+28+…+=(2+1)9=39,故A正确; 对于B,令x=0,得a0=1, ① 令x=1,得1=a0+a1+a2+…+a8, ② ②-①可得a1+a2+…+a8=0,故B正确; 对于C,5555=(56-1)55=5655-5654+5653-…+561-560,由此可得5555被8整除的余数为8-1=7,故C错误; 对于D,1.0510=(1+0.05)10=0.050+0.051+0.052+…+0.0510=1+0.5+0.112 5+0.015+…=1.5+0.112 5+0.015+…,所以1.0510精确到0.1的近似数为1.6,故D正确.故选ABD. 10.BCD　解析 对于A,行数比每行的个数少1,所以第2 025行共有2 026个数,故A错误;对于B,可以得出每行的数字之和形成一个首项为1,公比为2的等比数列,所以20+21+22+23+…+210==2 047,故B正确;对于C,第21行从左到右第3个数是=210,故C正确;对于D,由公式+…++…++…+(n∈N*),故D正确.故选BCD. 11.96　解析 (方法一　间接法)先求出从2名女生和4名男生中选3人担任学科代表的所有情况,再减去所选3人都是男生的情况,即可得到至少有1名女生的情况.从6人中选3人进行全排列,安排到数学、物理、化学三个学科,有=6×5×4=120种选法.从4名男生中选3人进行全排列,安排到数学、物理、化学三个学科,有=4×3×2=24种选法.用总的选法数减去3人都是男生的选法数,可得至少有1名女生的选法有120-24=96种. (方法二　直接法)分两种情况讨论:选1名女生2名男生和选2名女生1名男生,然后分别计算这两种情况的选法数,最后将它们相加. 情况一:选1名女生2名男生,这种情况下的选法有=2×6×3×2×1=72种. 情况二:选2名女生1名男生,这种情况下的选法有=1×4×3×2×1=24种. 所以至少有1名女生的选法有72+24=96种. 12.12　解析 由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小,得9在左上角,1在右下角,如图, 9 a b c 4 d e f 1 ,2,3排在d,f位置,有种方法,从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在a,b位置,有种方法,最后两个数字按从上到下由大到小排在c,e位置,有1种方法,所以填写方格表的方法共有1=12种. 13.-873　解析 (方法一　利用二项式定理)(x2+-3)5=(x2+)5·(-3)0+(x2+)4·(-3)1+(x2+)3·(-3)2+(x2+)2·(-3)3+(x2+)·(-3)4+(-3)5.(x2+)5的展开式的通项为Tk+1=(x2)5-k()k=x10-4k,k=0,1,2,3,4,5, 令10-4k=0,得k=(舍去),所以(x2+)5·(-3)0的展开式中不存在常数项. (x2+)4·(-3)1的展开式的通项为Ak+1=(-3)1(x2)4-k()k=(-3)1x8-4k,k=0,1,2,3,4, 令8-4k=0,得k=2,所以(x2+)4·(-3)1的展开式中常数项为(-3). (x2+)3·(-3)2的展开式的通项为Bk+1=(-3)2(x2)3-k()k=(-3)2x6-4k,k=0,1,2,3, 令6-4k=0,得k=(舍去),所以(x2+)3·(-3)2的展开式中不存在常数项. (x2+)2·(-3)3的展开式的通项为Dk+1=(-3)3(x2)2-k()k=(-3)3x4-4k,k=0,1,2, 令4-4k=0,得k=1,所以(x2+)2·(-3)3的展开式中的常数项为(-3)3. (x2+)1·(-3)4的展开式中没有常数项.所以(x2+-3)5的展开式中的常数项为(-3)+(-3)3+(-3)5=-90-540-243=-873. (方法二　利用排列组合)要得到(x2+-3)5的展开式中的常数项,取x2,,-3的个数只能为0,0,5或1,1,3或2,2,1,所以所求常数项为(-3)5+(-3)3+(-3)1=-243-540-90=-873. 14.ACD　解析 对于A,由于1+2+3+4+5+6=21为奇数,根据对称性可知这样的数列有=360个,故A正确.对于B,从2,3,4,5,6,7中选出1个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从2,3,4,5,6,7中选出2个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从2,3,4,5,6,7中选出3个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从2,3,4,5,6,7中选出4个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个;从2,3,4,5,6,7中选出5个数排在1的右侧,其余排在1的左侧,得到先减后增的数列有个.故满足条件的数列共有=62个,故B错误.对于C,若所有的奇数不相邻,所有的偶数也不相邻,则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”,则有=144个,故C正确.对于D,若a3=1,则先从其余6个数中任选2个数作为a1,a2且a1>a2,有种方法,剩余4个数中最大的为a5,剩下的3个数任取2个作为a6,a7且a6>a7,有种方法,则这样的数列有=45个;若a3=2,则先从除去1之外的5个数中任选2个数作为a1,a2且a1>a2,有种方法,剩余4个数中最大的为a5,a7=1,剩下的2个数任取1个作为a6或a4即可,有种方法,则这样的数列有=20个;若a3=3,则先从除去1,2之外的4个数中任选2个数作为a1,a2且a1>a2,有种方法,剩余4个数位置固定的一种排法,其中a6=2,a7=1,则这样的数列有=6个,所以满足条件的这样的数列共有45+20+6=71个,故D正确.故选ACD. 7 学科网（北京）股份有限公司 $