专题突破练12 空间角度和距离（Word练习）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

专题突破练12　空间角度和距离 1.(15分)(2025天津,17)如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为棱A1D1和B1C1的中点,点G在棱CC1上,且有CG=3C1G. (1)求证:直线GF⊥平面EBF; (2)求平面EBF与平面EBG夹角的余弦值; (3)求三棱锥D-BEF的体积. 2.(12分)(2023全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB =90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 3.(17分)(2025山东烟台高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,二面角A-PD-C的大小为120°,E,F分别为AB,PD的中点. (1)求证:EF⊥CD. (2)已知AD=2,二面角E-FC-D的大小为60°. (i)求PB和AD所成角的余弦值; (ii)求直线AC与平面EFC所成角的正弦值. 核心素养创新练 4.(17分)(2025山西临汾高三二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC∥AD, BC=AD,M为棱PD的中点,四面体P-ABC的体积为,△PBC的面积为2. (1)求证:CM∥平面PAB; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若AP=AB,平面PBC⊥平面ABP,点N为棱PC上一点,当平面ABN与平面BNC夹角为60°时,求NC的长. 答案： 1.(方法一:坐标法) (1)证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.∵棱长为4,则D(0,0,0),G(0,4,3),E(2,0,4),F(2,4,4),B(4,4,0), =(2,0,1),=(0,4,0),=(-2,0,4),则=0,=-4+0+4=0, ∴GF⊥EF,GF⊥BF.又EF∩BF=F,且EF,BF⊂平面EBF,∴GF⊥平面EBF. (2)解 由(1)知=(2,0,1)是平面EBF的一个法向量,||=设平面EBG的法向量为m=(x,y,z).又=(-4,0,3),=(-2,-4,4),则 不妨令z=8,则x=6,y=5.∴m=(6,5,8),|m|=5 又m=12+0+8=20,∴cos<m,>=, ∴平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为 (3)解 由(1)知=(2,0,1)是平面EBF的一个法向量. 又=(2,0,4),=4+4=8. ∴点D到平面EBF的距离d= 易得BF==2,则S△EBF=EF×BF=4×2=4, ∴VD-EBF=S△EBFd=4,即三棱锥D-BEF的体积为 (方法二:几何法) (1)证明 连接GF.由题意,知EF∥A1B1,EF=A1B1,而A1B1⊥平面BB1C1C,GF⊂平面BB1C1C,∴GF⊥A1B1, ∴GF⊥EF.由题意知,,∠BB1F=∠FC1G=90°. ∴Rt△BB1F∽Rt△FC1G, ∴∠GFC1=∠B1BF,∠C1GF=∠B1FB, ∴∠GFC1+∠B1FB=90°,故∠BFG=90°,即GF⊥BF. 又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面EBF,∴GF⊥平面EBF. (2)解 由(1)知GF⊥平面EBF.过点F作FM⊥EB于点M. 连接GM,则GM⊥EB,则∠FMG就是平面EBF与平面EBG所成的角. 在Rt△EFB中,EF=4,FB=2, ∴EB==6, ∴FM= 又FG=,则在Rt△GFM中,GM=, ∴cos∠FMG=,∴平面EBF与平面EBG夹角的余弦值为 (3)解 连接CF.∵DC∥D1C1,D1C1∥EF,∴DC∥EF,DC⊄平面EFB,EF⊂平面EFB, ∴DC∥平面EFB,∴点D到平面EFB的距离等于点C到平面EFB的距离, ∴VD-BEF=VC-BEF=VE-BCF=S△BCFEF=4×4×4=, ∴三棱锥D-BEF的体积是 2.(1)证明 ∵A1C⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC. ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC⊂平面ACC1A1, ∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1, ∴A1O⊥平面BCC1B1.∵A1到平面BCC1B1的距离为1,∴A1O=1. ∵A1C⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,∴A1C⊥AC.又A1C1∥AC,∴A1C⊥A1C1. 又CC1=AA1=2,设CO=x,则C1O=2-x, 则A1=A1O2+C1O2=1+(2-x)2,A1C2=A1O2+CO2=1+x2, ∴A1+A1C2=C,即1+x2+1+(2-x)2=4,解得x=1, ∴A1C=,AC=, 故A1C=AC. (2)解 (方法一)连接BA1.∵BC⊥A1C,BC⊥AC, ∴在Rt△A1CB中有A1C2+BC2=B,在Rt△ACB中有AC2+BC2=AB2, 又AC=A1C,∴AB=BA1.过点B作BD⊥AA1交AA1于点D,则D为AA1的中点,且BB1⊥BD,则BD即为直线AA1与BB1的距离,∴BD=2.∴A1D=1,A1B=, ∴BC=, ∴AB1=,易知A到平面BCC1B1的距离d=1,则AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 (方法二　空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°, ∴A1C,AC,BC两两垂直. 如图,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系.由(1)知AC=A1C=A1C1=,取A1A中点E,连接BE,则BE⊥A1A. ∴BE=2,∴AB=,则BC=则A(,0,0),A1(0,0,),C1(-,0,),O(-,0,),B1(-).∵A1O⊥平面C1CBB1,∴平面C1CBB1的法向量=(-,0,-). 又=(-2),∴cos<>= 直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为sin θ=cos<>= 3.(1)证明 如图,连接BD,PE.由PD⊥平面ABCD,AD,CD⊂平面ABCD,得PD⊥AD,PD⊥CD, ∴∠ADC是二面角A-PD-C的平面角,即∠ADC=120°. ∵四边形ABCD为菱形, ∴∠DAB=60°,AB∥CD, 故△ABD为等边三角形.∵E为AB的中点,∴AB⊥DE,故DE⊥CD.∵DE⊥CD,PD⊥CD,DE∩PD=D,DE,PD⊂平面PDE,∴CD⊥平面PDE.∵EF⊂平面PDE,∴EF⊥CD. (2)解 (ⅰ)易知,DE,DC,DP两两垂直.以D为原点,DE,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,∵△ADB为正三角形,且AD=2,∴DE=3. 设PD=2a(a>0),则F(0,0,a),E(3,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2a),B(3,,0),A(3,-,0),D(0,0,0),=(-3,0,a),=(-3,2,0).由题意得,平面FCD的一个法向量为n1=(1,0,0).设平面EFC的法向量为n2=(x,y,z),则取x=2a,则y=a,z=6,可得n2=(2a,a,6).∴|cos<n1,n2>|=,解得a=2(负值舍去), =(3,,-4),=(-3,,0),∴|cos<>|=,即直线PB和AD所成角的余弦值为 (ⅱ)设直线AC与平面EFC所成的角为θ. 由(ⅰ)知,平面EFC的法向量为n2=(4,2,6)=(-3,3,0), ∴sin θ=|cos<,n2>|=,即直线AC与平面EFC所成角的正弦值为 4.(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,取PA的中点E,连接EM,EB,在△PAD中,由E,M分别为PA,PD的中点,得EM∥AD,EM=AD. 又BC∥AD,BC=AD,则EM∥BC,EM=BC,即四边形BCME为平行四边形,则BE∥MC. 又BE⊂平面PAB,MC⊄平面PAB,所以CM∥平面PAB. (2)解 设点A到平面PBC的距离为h,由四面体P-ABC的体积为,△PBC的面积为2,得S△PBC·h=2h=,解得h=又AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,则AD∥平面PBC,故点D到平面PBC的距离与点A到平面PBC的距离相同,所以点D到平面PBC的距离为 (3)解 取PB的中点F,连接AF.由AP=AB,得AF⊥PB. 由平面PBC⊥平面ABP,平面PBC∩平面ABP=PB,AF⊂平面ABP,得AF⊥平面PBC,即AF=h=,则AP=AB=2,BP=2由AF⊥平面PBC,BC⊂平面PBC,得AF⊥BC.又PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,则PA⊥BC.因为PA∩AF=A,PA,AF⊂平面ABP,因此BC⊥平面ABP. 又AB,PB⊂平面ABP,则AB⊥BC,PB⊥BC.因为△PBC的面积为2,BP=2, 则BC=2,AD=4,PC=2由AD∥BC,得AD⊥AB. 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),设==(-2λ,-2λ,2λ)(0≤λ≤1), 则N(2-2λ,2-2λ,2λ),=(0,2,0),=(2,0,-2),=(2,0,0),=(2-2λ,2-2λ,2λ). 设平面BNC的法向量为n=(x1,y1,z1), 则取z1=1,则x1=1,y1=0,得n=(1,0,1).设平面ABN的法向量为m=(x2,y2,z2),则取y2=2λ,则z2=2λ-2,x2=0,得m=(0,2λ,2λ-2), 故cos<m,n>=由平面ABN与平面BNC的夹角为60°,得,解得λ=,即N为PC的中点,所以NC= 8 学科网（北京）股份有限公司 $