专题1 第2讲 不等式（课件PPT）-【满分思维】2026年高考二轮专题复习·数学（基础版）

第2讲　不等式 基础自测　思维引航 考点进阶　素养淬炼 目 录 索 引 基础自测　思维引航 基础自测 1.(人B必一P84复习题改编)与1的大小关系是　　　　　.  1 解析 因为-1=0,所以1. 2.(人A必一复习参考题2改编)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围是　　　　　.  (-3,0) 解析 依题意有解得-3<k<0. 3.(2025北京,6)已知a>0,b>0,则(　　) A.a2+b2>2ab B. C.a+b> D. C 解析 当a=b时,a2+b2=2ab,故A错误; 取a=b=,则=6,=9,所以,故B错误; 因为a>0,b>0,所以a+b≥2,故C正确; 因为a>0,b>0,所以>0,>0,所以2,故D错误.故选C. 4.(人A必一习题2.2改编)已知x>1,则x+的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B 解析 因为x>1,所以x-1>0,因此x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,因此最小值为3.故选B. 5.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 BC 解析 由x2+y2-xy=1,得=1.令(θ为参数),得(θ为参数),故x+y=sin θ+cos θ=2sin[-2,2], 故选项A错误,B正确;x2+y2=sin 2θ-cos 2θ+sin(2θ-φ)+,故选项D不正确,C正确.故选BC. 思维引航 1.作差→变形→判断差的符号→结论. 2.不等式ax2+bx+c<0恒成立的条件是 3.(其中a>0,b>0),等号成立的条件是a=b. 4.配凑:x+=x-1++1. 5.利用基本不等式将“和”与“积”进行转化,构建“积”或“和”的二次不等式. 考点进阶　素养淬炼 考点一　不等式的性质及应用 例1　(1)(多选题)(2025河南许昌模拟)已知正数a,b,c满足=2,则下列说法正确的有(　　) A.a<2c B.a>b+c C.a2>6bc D.a2<12bc BC 解析 因为正数a,b,c满足=2,可得a+b=2(b+c),即a=b+2c. 对于A,a=b+2c>2c,故A错误;对于B,a=b+2c>b+c,故B正确; 对于C,a2=(b+2c)2=b2+4c2+4bc≥4bc+4bc=8bc,当且仅当b=2c时,等号成立,即a2≥8bc>6bc,故C正确; 对于D,当a=12,b=10,c=1时,有a2>12bc,故D错误.故选BC. (2)(2025浙江嘉兴模拟)已知圆柱和圆台的高和体积都相等,若圆柱的底面圆半径为r,圆台的上、下底面圆半径分别为r1,r2,则下列选项正确的有 (　　) A.2r=r1+r2 B.2r>r1+r2 C.r2=r1r2 D.r2<r1r2 B 解析 设圆台和圆柱的高为h,依题意有(++πr1r2)h=πr2h, 所以r2=+r1r2).因为4r2-(r1+r2)2=+r1r2)-(+2r1r2) =[(4+4+4r1r2)-(3+3+6r1r2)]=(r1-r2)2>0, 因此4r2>(r1+r2)2,即2r>r1+r2,所以B正确,A错误; 由基本不等式可得2r>r1+r2>2,所以r2>r1r2,所以C和D都错误.故选B. 【对点训练1】(1)(2025河北邯郸模拟)已知a,b是正实数,则“a>b”是“”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析 因为,a>0,b>0,所以b(b+1)>0. 若a>b,则>0,即; 若,则>0,即a>b,因此“a>b”是的充要条件.故选C. (2)(2025北京海淀模拟)设a>-b>0,则下列结论中不正确的是(　　) A.()a<2b B.若a+b=1,则的最小值为4 C.a2b+ab2<0 D.a2k-1+b2k-1>0(k∈N*) B 解析 对于A,因为a>-b>0,所以-a<b<0,则2-a<2b,即()a<2b,故A正确;对于B,由于=()(a+b)=2-(-)≤2-2=0,当且仅当-=-,即a=-b时,等号成立,但由于a+b=1,所以等号不成立,因此<0,其最小值不可能为4,故B错误;对于C,由已知ab<0,a+b>0,所以ab(a+b)<0,即a2b+ab2<0,故C正确;对于D,因为a>-b>0,所以a2k-1>(-b)2k-1=-b2k-1(k∈N*),即a2k-1+b2k-1>0(k∈N*),故D正确.故选B. 考点二　含参一元二次不等式的解法 例2　(1)(2025河北石家庄模拟)若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 A 解析 依题意知1为方程ax2-6x+a2=0的一个根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,2),符合要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去,故m=2.故选A. (2)(2025陕西渭南模拟)若关于x的不等式2ax2-4x<ax-2有且只有一个整数解,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,2] B.[1,2) C.(0,2) D.(0,2] B 解析 当a=0时,解得x>,不满足条件;当a≠0时,不等式可化为2ax2-(4+a)x+2 <0,所以(2x-1)(ax-2)<0,即a(2x-1)(x-)<0.若a<0,则不等式可化为(2x-1)(x-) >0,解集为(-∞,)∪(,+∞),不满足条件;若a>0,不等式可化为(2x-1)(x-)<0,当,即a>4时,不等式的解集为(),要使不等式有且只有一个整数解,则-1<0,因为a>0,故不满足条件;当,即a=4时,不等式的解集为空集;当,即0<a<4时,不等式的解集为(),要使不等式有且只有一个整数解,则1<2,解得1≤a<2,故实数a的取值范围是[1,2).故选B. 【对点训练2】(1)(2025广西桂林模拟)“∃x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是(　　) A.a≤0 B.a<- C.a≥1 D.a<-或a≥0 C 解析 当a=0时,-4x-3>0有解;当a>0时,二次函数y=ax2-4x-3的图象开口向上,所以ax2-4x-3>0有解;当a<0时,ax2-4x-3>0有解,则 解得-<a<0.综上可得a>- 因为[1,+∞)真包含于(-,+∞), 所以“∃x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是a≥1.故选C. (2)(2025湖南益阳模拟)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1<x<2},则关于的值,下列选项正确的是(　　) A.有最小值 B.有最小值 C.有最小值3 D.无最小值 B 解析 因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|-1<x<2}, 所以所以b=-a,c=-2a,则2,当且仅当,即a=时,等号成立.故选B. 考点三　基本不等式 例3　(1)(2025上海,8)已知a,b为正数,+b=1,则+a的最小值是　　　　.  4 解析 +b=1,+a=(+a)(+b)=+1+1+ab≥2+2=4. ∴当且仅当=ab,即a=2,b=时,等号成立,故+a的最小值为4. (2)(2025广东深圳模拟)用max{a,b}表示a与b的最大值,记M=max{4x++y},其中x,y都是正数,则M的最小值为(　　)【一题多解】 A.2 B.3 C.8 D.9 B 解析 (方法一)因为M=max{4x++y},所以M≥4x+,M+y,两式相加得2M≥4x++y=4x++y,当且仅当4x++y时,等号成立.由于x,y都是正数,所以4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立, y+2=2,当且仅当y=,即y=1时,等号成立,且此时4x++y=3,所以2M≥6,M≥3,因此当且仅当x=,y=1时,M取得最小值3.故选B. (方法二)因为M=max{4x++y},所以M≥4x+,M+y,两式相乘得M2≥(4x+)(+y),当且仅当4x++y时,等号成立. (4x+)(+y)=5+4xy+5+2=9,当且仅当4xy=,即xy=时,等号成立.由解得x=,y=1,所以M2≥9,M≥3,即M的最小值为3.故选B. (3)(2021天津,13)若a>0,b>0,则+b的最小值为　　　　　.  2 解析 因为a>0,b>0,所以+b≥2+b=b+2=2,当且仅当且b=,即a=,b=时,等号成立,因此+b的最小值为2 一题多变 在本例(2)中,若将条件改为“若max{x1,x2,x3}表示三个数中的最大值”,则对任意的正实数x,y,max{x,2y,}的最小值是(　　) A.1 B.2 C.4 D.5 B 解析 设N=max{x,2y,},则x≤N,2y≤N,N,因为x>0,y>0,则2xy()≤N3,当且仅当x=2y=时,等号成立.又2xy·()≥2xy=8,当且仅当时,等号成立.由得x=2,y=1,所以N3≥8,当且仅当x=2,y=1时,等号成立,故max{x,2y,}的最小值为2.故选B. 【对点训练3】(1)(2025广东深圳模拟)已知正实数x,y满足lg 2x+lg 4y=lg 2,则的最小值为(　　) A.9 B. C. D.2 B 解析 因为lg 2x+lg 4y=lg 2,所以lg(2x·4y)=lg 2,化简得x+2y=1,则+xy.又x+2y=1≥2,所以0<xy,当且仅当x=2y=时,等号成立.令z=xy,f(z)=z+,z∈(0,],显然f(z)在区间(0,]上单调递减,所以f(z)在区间(0,]上的最小值为f()=,所以的最小值为故选B. (2)(2025福建宁德模拟)已知f(x)=,若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥f(3),则实数c的值是　　　　　.  16 解析 依题意,当x>0时,f(x)在x=3处取得最小值且f(x)==x+,则必有c>0.f(x)==x+=x+1+-1≥2-1=2-1,当且仅当x+1=,即x=-1时,等号成立,所以-1=3,解得c=16. $