第21章 四边形能力素养提优单元检测试卷（B卷）2025-2026学年八年级数学下册人教版AB卷（单元章节测试卷+专项训练卷+期中期末模拟卷）

第21章 四边形能力素养提优单元检测试卷（B卷） （时间：100分钟 满分：120分） 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．（2025秋•新华区校级月考）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•沈丘县期末）如图，下列条件中①AC⊥BD②∠BAD＝90°③AB＝BC④AC＝BD，能使平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 3．（2025春•澄海区期末）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若对角线BD＝4，则四边形EHGF的周长为（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 4．（2025春•北京校级期中）如图，平行四边形ABCD的周长是22cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 5．（2025春•武威期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝OD＝AD＝2，则AB的长是（　　） 6．（2025春•雁塔区校级期中）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，阴影部分的小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），现给出以下关系式：①x+y＝7；②x﹣y＝2；③4xy+4＝49；④x2+y2＝25.5．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②③ 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 7．（2025春•静宁县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个菱形，只需添加的一个条件是 　 　 ． 8．（2025秋•李沧区校级期中）如图，矩形ABCD中，∠BCD的角平分线交AD于点E，F是AB延长线上一点，满足BF＝AE，连接EF，CF．当∠EFC＝60°时，则 　 　 ． 9．（2025秋•金山区校级期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别为AC和BD的中点，连接MN，则MN的长度是　 　 ． 10．（2025春•东川区期末）如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是　 　 ． 11．（2025秋•龙泉驿区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝ 　 　 ． 12．（2024•娄星区二模）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝ 　 　 cm． 13．（2023•郧阳区模拟）如图，动点P在矩形ABCD内运动，AB＝7，BC＝5，且满足S△ABP＝10.5，PA+PB的最小值是 　 　 ． 14．（2016•广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED③∠DFG＝112.5°④BC+FG＝1.5 其中正确的结论是　 　 ． 三．解答题（共8小题，共78分） 15．（8分）（2025•市中区一模）在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、BF．求证：DE＝BF． 16．（10分）（2025•洛龙区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 17．（10分）（2025•大庆）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长． 18．（10分）（2024秋•铜梁区期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：△ABC； 求作：菱形AEDF（点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上）； 作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D：②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F：③连接DE、DF．所以四边形AEDF为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵AD平分∠BAC，∴①　 　 ∵EF是线段AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴∠BAD＝∠ADE，∠CAD＝∠ADF， ∴∠CAD＝∠ADE，∠BAD＝∠ADF， ∴ED∥AC，DF∥AB．（②　 　 ）（填推理的依据） ∴四边形AEDF为平行四边形． ∵EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形．（ ③　 　 ）（填推理的依据） （3）小张采用小明设计的方法，作出了△MON的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么△MON一定是一个④　 　 三角形（填形状）． 19．（10分）（2024春•如东县期中）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F． （1）求证：四边形BECD为平行四边形； （2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 20．（10分）（2024•青岛一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 21．（8分）（2024春•宝山区期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形． 22．（12分）（2025春•宁津县期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片ABCD，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AC上的点E处，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，连接EF，EG． 【猜想发现】 （1）如图1，∠BAF＝　 　 °； 【深入探究】 （2）如图1．求证：四边形BFEG是菱形； 【拓展延伸】 （3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片ABCD折叠，使点A与点F重合，折痕为PQ，连接PF，交BD于点M，试判断线段AB，BP，PQ之间的数量关系，并说明道理． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 四边形能力素养提优单元检测试卷（B卷） （时间：100分钟 满分：120分） 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．（2025秋•新华区月考）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（　　） A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，AD∥BC，由平行线的性质可折叠的性质可得∠DAC＝∠ACE，可得AF＝CF，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，AD∥BC ∴∠DAC＝∠ACB， ∵折叠 ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠DAC＝∠ACE ∴AF＝CF 在Rt△CDF中，CF2＝CD2+DF2， ∴AF2＝16+（6﹣AF）2， ∴AF ∴CF＝AD﹣AF＝6 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求AF的长是本题的关键． 2．（2025春•沈丘县期末）如图，下列条件中①AC⊥BD②∠BAD＝90°③AB＝BC④AC＝BD，能使平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ 【分析】四边形ABCD是平行四边形，要是其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ①若AC⊥BD，则可得其为菱形，①成立， ②中∠BAD＝90°，得到一矩形，不是菱形，所以②错误， ③中一组邻边相等，也可得到一菱形，所以③成立， ④中得到其为矩形，并不能得到其为菱形，所以④不成立， 故A选项中①③都正确，B中②不成立，C中④错误，而D中多一个选项②也不对， 故选：A． 【点睛】熟练掌握菱形的性质及判定定理． 3．（2025春•澄海区期末）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若对角线BD＝4，则四边形EHGF的周长为（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 【分析】连接AC，BD，三角形的中位线定理推出四边形EHGF为菱形，且边长为2，再进行求解即可． 【解答】解：连接AC，BD， 由条件可知AC＝BD，， ∴EH∥FG， ∴四边形EHGF为菱形，且边长为， ∴四边形EHGF的周长为2×4＝8； 故选：C． 【点睛】本题考查中点四边形，菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2025春•北京期中）如图，平行四边形ABCD的周长是22cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【分析】由▱ABCD的周长为22cm，对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，可得AB+AD＝11cm，AD﹣AB＝3cm，求出AB和AD的长，得出BC的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即可求得答案． 【解答】解：∵▱ABCD的周长为22cm， ∴AB+AD＝11cm，OB＝OD， ∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）＝AD﹣AB＝3cm， ∴AB＝4cm，AD＝7cm． ∴BC＝AD＝7cm． ∵AC⊥AB，E是BC中点， ∴AEBCcm； 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．熟练掌握平行四边形的性质，由直角三角形斜边上的中线性质求出AE是解决问题的关键． 5．（2025春•武威期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA＝OD＝AD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】先判断△AOD是等边三角形，得∠ADB＝60°，求出∠ABD＝30°，根据30度角所对直角边等于斜边的一半求出BD＝4，再根据勾股定理可求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵OA＝OD＝AD＝2， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠OAD＝∠ADO＝∠AOD＝60°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣60°＝30°， ∴BD＝2AD＝2×2＝4， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，关键是相关性质的熟练掌握． 6．（2025春•雁塔区期中）如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知该图案的面积为49，阴影部分的小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），现给出以下关系式：①x+y＝7；②x﹣y＝2；③4xy+4＝49；④x2+y2＝25.5．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①②③④ D．①②③ 【分析】根据图形中各个部分面积之间的关系以及算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：∵该图案的面积为49，阴影部分的小正方形的面积为4， ∴（x+y）2＝49，（x﹣y）2＝4， 又∵x＞y＞0， ∴x+y＝7，x﹣y＝2， 因此①②正确； 又∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， ∴49＝4+4xy， 因此③正确； ∵（x+y）2＝49，即x2+2xy+y2＝49，而2xy22.5， ∴x2+y2＝49﹣22.5＝25.5， 因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握算术平方根的定义以及完全平方公式的结果特征是正确解答的关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 7．（2025春•静宁县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个菱形，只需添加的一个条件是 AB＝BC（答案不唯一）　 ． 【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：需添加的一个条件是AB＝BC，理由如下： ∵AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：AB＝BC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 8．（2025秋•李沧区期中）如图，矩形ABCD中，∠BCD的角平分线交AD于点E，F是AB延长线上一点，满足BF＝AE，连接EF，CF．当∠EFC＝60°时，则 　　 ． 【分析】设BF＝AE＝a，CD＝b，其中a＞0，b＞0依题意得△DCE是等腰直角三角形，则DE＝CD＝b，进而得BC＝AD＝AF＝a+b，由此可证明△BCF和△AFE全等，则CF＝FE，进而得△CEF是等边三角形，则CE＝EF，然后利用勾股定理求出，进而即可得出答案． 【解答】解：设BF＝AE＝a，CD＝b，其中a＞0，b＞0， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝b，BC＝AD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°， ∴AF＝BF+AB＝a+b，∠CBF＝∠A＝90°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝45°， ∴△DCE是等腰直角三角形， ∴DE＝CD＝b， ∴BC＝AD＝AE+DE＝a+b， ∴BC＝AF＝a+b， 在△BCF和△AFE中， ， ∴△BCF≌△AFE（SAS） ∴CF＝FE， ∵∠EFC＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴CE＝EF， 在Rt△DEF中，DE＝CD＝b， 由勾股定理得：CE， 在Rt△AEF中，AE＝a，AF＝a+b，EF＝CE， 由勾股定理得：AE2+AF2＝EF2， ∴， 整理得：b2﹣2ab＝2a2， ∴（b﹣a）2＝3a2， ∴b﹣a， ∴，或（不合题意，舍去）， ∴AD＝a+b， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 9．（2025秋•金山区期末）如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AC＝26，BD＝24，M、N分别为AC和BD的中点，连接MN，则MN的长度是　5　 ． 【分析】连接MB、MD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BMAC＝13，DMAC＝13，根据等腰三角形的性质得到MN⊥BD，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接MB、MD， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝26，M为AC的中点， 则BMAC＝13， 同理可得：DMAC＝13， ∴BM＝DM， ∵N为BD的中点， ∴BN＝DNBD＝12，MN⊥BD， 由勾股定理得：MN5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 10．（2025春•东川区期末）如图，菱形ABCD的周长是16，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是　4　 ． 【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵菱形ABCD的周长是16， ∴AB＝BC＝AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形． 11．（2025秋•龙泉驿区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝12，OH＝5，则S菱形ABCD＝ 　120　 ． 【分析】根据菱形的对角线互相平分，则可推出AC＝2OA＝24，BD＝2OH＝10，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算求解即可． 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ∴点O为BD的中点，AC＝2OA＝24， ∵DH⊥AB， ∴BD＝2OH＝10， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 12．（2024•娄星区二模）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE＝ 　2　 cm． 【分析】由▱ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC＝∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE＝CD，由AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm即可求出BE． 【解答】解：∵▱ABCD， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DEC＝∠CDE， ∴CD＝CE， ∵CD＝AB＝6cm， ∴CE＝6cm， ∵BC＝AD＝8cm， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2（cm）． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题． 13．（2023•郧阳区模拟）如图，动点P在矩形ABCD内运动，AB＝7，BC＝5，且满足S△ABP＝10.5，PA+PB的最小值是 　　 ． 【分析】首先由S△PAB＝10.5，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值． 【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h. ∵S△PAB＝10.5， ∴AB•h＝10.5， ∴7h＝10.5， ∴h＝3， ∴动点P在与AB平行且与AB的距离是3的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离． 在Rt△ABE中， ∵AB＝7，AE＝3+3＝6， ∴BE， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 14．（2016•广州）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论： ①四边形AEGF是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG＝112.5° ④BC+FG＝1.5 其中正确的结论是　①②③　 ． 【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE＝EG＝FG＝AF，由此可以一一判断． 【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°， ∵△DHG是由△DBC旋转得到， ∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°， 在Rt△ADE和Rt△GDE中， ， ∴AED≌△GED，故②正确， ∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG， ∴∠AED＝∠AFE＝67.5°， ∴AE＝AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG＝GF， ∴AE＝EG＝GF＝FA， ∴四边形AEGF是菱形，故①正确， ∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确． ∵AE＝FG＝EG＝BG，BEAE， ∴BE＞AE， ∴AE， ∴CB+FG＜1.5，故④错误． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型． 三．解答题（共8小题，共78分） 15．（8分）（2025•市中区一模）在平行四边形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接DE、BF．求证：DE＝BF． 【分析】证得△ADE≌△CBF后，利用全等三角形的对应边相等即可证得结论． 【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， 又∵AE＝CF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴DE＝BF． 【点睛】考查了平行四边形的性质就全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△ADE≌△CBF，难度不大． 16．（10分）（2025•洛龙区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E． （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形； （2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD， ∴四边形AECD为平行四边形，∠2＝∠3， 又∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AD＝DC， ∴四边形AECD是菱形； （2）直角三角形． 理由：∵AE＝EC ∴∠2＝∠4， ∵AE＝EB， ∴EB＝EC， ∴∠5＝∠B， 又因为三角形内角和为180°， ∴∠2+∠4+∠5+∠B＝180°， ∴∠ACB＝∠4+∠5＝90°， ∴△ACB为直角三角形． 【点睛】考查菱形的判定与性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等． 17．（10分）（2025•大庆）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O．点B，点D关于AC所在直线对称． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作BC的垂线交BC延长线于点E．若CE＝3，AD＝5，求线段OC长． 【分析】（1）证明△ABO≌△CDO（ASA），得AB＝CD，再证明四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OC＝OAAC，AD＝BC＝CD＝5，则BE＝BC+CE＝8，再由勾股定理求出DE＝4，BD＝4，然后由菱形面积求出OC的长即可． 【解答】（1）证明：∵点B、点D关于AC所在直线对称， ∴BD⊥AC，BO＝DO， ∵AB∥CD， ∴∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴AB＝CD， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OAAC，AD＝BC＝CD＝5， ∴BE＝BC+CE＝5+3＝8， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， 在Rt△CED中，由勾股定理得：DE4， 在Rt△BED中，由勾股定理得：BD4， ∵S菱形ABCD＝DE•BC，S菱形ABCDAC•BD＝OC•BD， ∴DE•BC＝OC•BD， ∴OC． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 18．（10分）（2024秋•铜梁区期末）下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：△ABC； 求作：菱形AEDF（点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上）； 作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D：②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F：③连接DE、DF． 所以四边形AEDF为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵AD平分∠BAC，∴①　∠BAD＝∠CAD ∵EF是线段AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴∠BAD＝∠ADE，∠CAD＝∠ADF， ∴∠CAD＝∠ADE，∠BAD＝∠ADF， ∴ED∥AC，DF∥AB．（②　内错角相等，两直线平行　 ）（填推理的依据） ∴四边形AEDF为平行四边形． ∵EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形．（ ③　一组邻边相等的平行四边形是菱形　 ）（填推理的依据） （3）小张采用小明设计的方法，作出了△MON的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么△MON一定是一个④　直角　 三角形（填形状）． 【分析】（1）依题意按照尺规作图，补全图形即可； （2）根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD，再证明∠CAD＝∠ADE，∠BAD＝∠ADF，根据内错角相等，两直线平行得ED∥AC，DF∥AB则四边形AEDF为平行四边形，然后根据EA＝ED即可判定四边形AEDF为菱形； （3）根据四边形OPHQ是正方形得∠MON＝90°，由此可判定△MON的形状． 【解答】解：（1）根据作图方法，利用尺规作图，补全图形如图1所示： （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴①∠BAD＝∠CAD， ∵EF是线段AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，FA＝FD， ∴∠BAD＝∠ADE，∠CAD＝∠ADF， ∴∠CAD＝∠ADE，∠BAD＝∠ADF， ∴ED∥AC，DF∥AB．（②内错角相等，两直线平行）， ∴四边形AEDF为平行四边形． ∵EA＝ED， ∴四边形AEDF为菱形．（ ③一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：①∠BAD＝∠CAD；②内错角相等，两直线平行；③一组邻边相等的平行四边形是菱形； （3）△MON是直角三角形，理由如下： 如图所示： ∵四边形OPHQ是正方形， ∵∠MON＝90°， ∴△MON一定是一个直角三角形． 故答案为：④直角． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，尺规作图，理解角平分线的定义，正方形的性质，熟练掌握尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 19．（10分）（2024春•如东县期中）如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，DE交边BC于点F． （1）求证：四边形BECD为平行四边形； （2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，再由BE＝AB得出BE＝CD，即可得出结论； （2）证DF＝CF，由平行四边形的性质得出EF＝DF，BF＝CF，得出BC＝DE，即可得到四边形BECD是矩形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∴四边形BECD为平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠DCB， ∵∠BFD＝2∠A， ∴∠BFD＝2∠DCB， ∴∠DCF＝∠FDC， ∴DF＝CF， 由（1）得：四边形BECD为平行四边形， ∴EF＝DF，BF＝CF， ∴DE＝BC， ∴四边形BECD是矩形． 【点睛】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分． 20．（10分）（2024•青岛一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可； （2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG＝AE，OA＝OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．（8分）（2024春•宝山区期中）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．求证：四边形ABCD是正方形． 【分析】证明△ADE≌△CDE（SSS），推出∠ADE＝∠CDE，由∠ADC＝90°，推出∠ADB＝∠CDB＝45°，由AD∥CD，推出∠ADB＝∠DBC＝45°，推出∠CDB＝∠CBD＝45°，推出CD＝CB，再证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论． 【解答】证明：在△ADE和△CDE中， ， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝∠CDB＝45°， ∵AD∥CD， ∴∠ADB＝∠DBC＝45°， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， ∴CD＝CB， ∵AD∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD＝DC， ∴四边形ABCD是正方形． 【点睛】本题考查直角梯形，全等三角形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（12分）（2025春•宁津县期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片ABCD，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AC上的点E处，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，连接EF，EG． 【猜想发现】 （1）如图1，∠BAF＝　22.5　 °； 【深入探究】 （2）如图1．求证：四边形BFEG是菱形； 【拓展延伸】 （3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片ABCD折叠，使点A与点F重合，折痕为PQ，连接PF，交BD于点M，试判断线段AB，BP，PQ之间的数量关系，并说明道理． 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAC＝45°，根据折叠的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAD＝∠ABC＝90°，根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DBC＝45°，∠AOB＝90°，由折叠的性质得到BF＝EF，求得∠BAF＝∠EAF∠BAC＝22.5°，∠AEF＝∠ABF＝90°，得到∠AFB＝90°﹣∠BAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，根据菱形的判定定理得到四边形BFEG是菱形； （3）过点Q作AB的垂线，垂足为K，设PQ交于AF点R，如图3，得到∠KQP＝∠KAD＝∠ADQ＝90°，根据矩形的性质得到KQ＝AD，根据折叠的性质得到PQ⊥AF，AP＝PF，求得∠PRA＝∠QKP＝90°，根据全等三角形的性质得到PQ＝FA，∠PAR＝PFR＝22.5°，求得∠BFP＝∠AFB﹣∠PFR＝67.5°﹣22.5°＝45°，根据等腰直角三角形的性质得到BF＝BP，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝45°， ∵将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AC上的点E处， ∴∠BAF∠BAC＝22.5°， 故答案为：22.5； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵AC，BD分别平分∠BAD和∠ABC，AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠DBC＝45°，∠AOB＝90°， 由折叠可得△ABF≌△AEF， ∴BF＝EF， ∴∠BAF＝∠EAF∠BAC＝22.5°，∠AEF＝∠ABF＝90°， 在Rt△ABF中，∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝90°﹣∠BAF＝90°﹣22.5°＝67.5°， 在△BGF中，∠BGF＝180°﹣∠DBF﹣∠AFB＝67.5°， ∴∠BGF＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴BG＝EF，OB∥EF， 即BG∥EF， ∴四边形BFEG是菱形； （3）解：BP2+AB2＝PQ2．理由如下： 过点Q作AB的垂线，垂足为K，设PQ交于AF点R，如图3， ∴∠KQP＝∠KAD＝∠ADQ＝90°， ∴四边形AKQD为矩形， ∴KQ＝AD， ∵正方形纸片ABCD折叠，使点A与点F重合，折痕PQ为对称轴， ∴PQ⊥AF，AP＝PF， ∴∠PRA＝∠QKP＝90°， ∴∠PAR+∠KPQ＝∠KQP+∠KPQ＝90°， ∴∠PAR＝∠KQP， ∵KQ＝AD，AB＝AD， ∴KQ＝AB， 在△PKQ和△FBA中， ， ∴△PKQ≌△FBA（SAS）， ∴PQ＝FA， ∵∠PRA＝∠PRF＝90°， ∴△APR和△FPR是直角三角形， 在Rt△APR和Rt△FPR中， ， ∴Rt△APR≌Rt△FPR（HL）， ∴∠PAR＝PFR＝22.5°， ∵∠AFB＝67.5°， ∴∠BFP＝∠AFB﹣∠PFR＝67.5°﹣22.5°＝45°， ∴∠ACB＝45°＝∠BFP， ∴MF∥OC， ∴∠FMB＝∠COB＝90°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BF＝BP， 又∵BF2+AB2＝AF2，PQ＝AF， ∴BP2+AB2＝PQ2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，30°所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $