专题25 离散型随机变量的分布列及其数字特征 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题25 离散型随机变量的分布列及其数字特征 一、知识梳理 （1）离散型随机变量的分布列及性质 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． 离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. （2） 离散型随机变量的均值（或期望值）与方差 一般地，若离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，xn，且各个取值所对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则称 E(ξ)= x1p1+x2p2+…+ xnpn 为离散型随机变量的均值（或期望值） 称 D(ξ)=[ x1-E(ξ)]² p1+[ x2-E(ξ)]² p2+… +[ xn-E(ξ)]² pn 为离散型随机变量的方差.  若随机变量概率分布的某种整体特征（平均取值、取值的集中程度等）可以用一个数值来表示，则称该数值为随机变量的数字特征． 在离散型随机变量的数字特征中，最重要的是均值和方差．离散型随机变量的均值刻画了这个随机变量的平均取值水平；离散型随机变量的方差刻画了这个随机变量的取值相对于均值的平均波动大小． 二、题型精练 题型1 离散型随机变量的分布列及性质 【典例1】．下列表示一个离散型随机变量的概率分布，则（    ）． 0 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质列式求解即可. 【详解】. 故选：A. 【典例2】．随机变量的分布列如下表，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散随机变量的分布列的性质易得答案. 【详解】由分布列可知， 故， 故选：C． 【典例3】．若离散型随机变量的分布列如下图所示． 0 1 则实数的值为（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概率的性质求解即可. 【详解】根据概率和为1，所以 解得， 再根据，所以实数的值为. 故选：C. 【典例4】．设随机变量等可能取值为，如果，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】由随机变量等可能取值为， 可得，， 所以， 解得. 故选：B. 题型2 离散型随机变量的均值（或期望值）与方差 【典例1】．散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据均值的计算公式可求解. 【详解】由题可得 . 故选：A 【典例2】．若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（    ） A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 【答案】A 【分析】根据期望的计算公式及期望的性质可求解. 【详解】据题意，得， 所以 . 故选：A 【典例3】．根据历次射击训练的记录，甲、乙两人命中环数的分布列分别见下表： 甲命中环数 8 9 10 P 乙命中环数 8 9 10 P 下列选项正确的有（   ） A． B． C．甲的射击水平比乙稳定 D．乙的射击水平比甲稳定 【答案】C 【分析】利用数学期望公式，方差公式求期望，方差即可求解. 【详解】对AB，， 所以，故AB错误； 对CD，， ，； 所以甲的设计水平比乙稳定，故C正确，D错误. 故选：C. 【典例4】．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 【答案】(1)分布列见解析 (2)， 【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用组合数求出概率，即可得到分布列. （2）结合（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即可. 【详解】（1）依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： （2）由（1）中的分布列，可得， . 三、知识检测 1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（    ） X 0 1 2 3 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离散型随机变量分布列计算事件概率. 【详解】根据， 故选：C． 2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数) X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率的性质求出参数，再根据概率的定义、期望以及方差的公式求解即可. 【详解】因为，解得，故A错误； 由分布列知，故B错误； ，故C正确； ， 故D错误. 故选：C. 3．现有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（读“niè”）数据，通过计算可知样本均值，方差分别为，，则下列说法正确的是（   ）． A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 【答案】B 【分析】方差是衡量数据离散程度的统计量，方差越小，数据越集中、越整齐. 【详解】已知两种水稻的样本均值相等，即，说明它们的平均分蘖数相同. 而方差甲，乙，显然. 均值相同的情况下，方差越小样本数据越稳定，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 故选：B． 4．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 【答案】D 【详解】E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21. 5．已知X的分布列如下，且，，则a为（    ） X ﹣1 0 1 P A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由离散型随机变量期望的定义，计算得到答案. 【详解】离散型随机变量的期望为． ， ∴， 故选：B． 6．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目写出分布列，根据分布列求出期望即可解得. 【详解】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为， ；；， 则实验次数的分布列如下： 所以此人实验次数的期望是. 故选：B. 7．已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据随机变量的线性变换性质求解. 【详解】因为随机变量X的期望，方差， 所以，. 故选：C. 8．学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先求解随机变量的所有可能取值，再求解概率，由期望公式求解即可. 【详解】由题知的所有可能取值为0,1,2， 所以， ， ， 所以. 故选：C. 9．设X是一个离散随机变量，其分布列为： X 0 1 P 则实数q的值为______. 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质即可求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质，知，故， 因为，解得. 故答案为：. 10．设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为___________． 【答案】 【分析】根据离散随机变量的分布列的性质易得答案. 【详解】依题意，，解得，所以a的值为. 故答案为：． 11．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果，那么______． 【答案】10 【分析】ξ取任意一个值的概率都是，由列方程求解即可. 【详解】已知该随机变量ξ是等可能取值，即取任意一个值的概率都是． 由可知，， 所以，解得． 故答案为：10． 12．设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 【答案】 / / 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质求得，再由分布列求概率即可得解. 【详解】由随机变量的分布列可知，解得， 所以， 故答案为：；. 13．已知离散型随机变量满足分布列如下表所示，则______. 1 2 【答案】 【分析】利用随机变量的数学期望与方差公式即可得解. 【详解】由题可得， ∴. 故答案为：. 14．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率； (3)求至多遇到5个红灯的概率. 【答案】(1)0.2 (2)0.33 (3)0.97 【分析】（1）根据概率分布列的概率之和为1，由题中数据列出等式，即可求出的值. （2）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得， 解得. （2）记事件A为遇到红灯的个数为4， 事件为遇到红灯的个数为5， 事件为遇到红灯的个数为6个及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为， 因为事件互斥， 所以， 即至少遇到4个红灯的概率为. （3）记事件为遇到6个及6个以上红灯， 则至多遇到5个红灯为事件， 则. 15．甲、乙两名射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下． 射手 环数 环 环 环 甲 乙 (1)试比较甲、乙两名射手射击水平的高低. (2)谁的射击水平比较稳定? 【答案】(1)甲射手的射击水平比乙射手高 (2)乙射手的射击水平比甲射手稳定 【分析】（）由均值的计算公式即可得解. （）由方差的计算公式即可得解. 【详解】（1）设甲﹑乙两名射手射击一次所得的环数分别是,. 则,. . 甲射手的射击水平比乙射手高. （2）设甲﹑乙两名射手射击一次所得的环数分别是,. .. . 乙射手的射击水平比甲射手稳定. 16．现有，两个盒子，盒子装有3个红球，2个黄球；盒子装有1个红球，2个黄球.从盒中任取2个球，盒中任取1个球，用表示取出的红球数. (1)求随机变量的概率分布列； (2)求； (3)求随机变量的数学期望. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型及离散型随机变量分布即可得解； （2）由结合（1）中的概率分布即可得解； （3）根据离散型随机变量分布的性质即可得解. 【详解】（1）根据题意，的取值为0，1，2，3. ， ， ， . 的概率分布列如下表： 0 1 2 3 （2）； （3）. 17．设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 求： (1)的分布列； (2)求的值. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据已知的分布列中的概率求出的概率，在列出分布列即可. （2）根据表格中的找出时的概率，求出它们的和即可. 【详解】（1）由分布列的性质知： ，解得， 由题意可知，， ， ， ， ， 所以的分布列为： 1 3 5 7 9 （2） . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 离散型随机变量的分布列及其数字特征 一、知识梳理 （1）离散型随机变量的分布列及性质 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． 离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. （2） 离散型随机变量的均值（或期望值）与方差 一般地，若离散型随机变量ξ所有可能的取值为x1，x2，…，xi，…，xn，且各个取值所对应的概率分别为p1，p2，…，pn，则称 E(ξ)= x1p1+x2p2+…+ xnpn 为离散型随机变量的均值（或期望值） 称 D(ξ)=[ x1-E(ξ)]² p1+[ x2-E(ξ)]² p2+… +[ xn-E(ξ)]² pn 为离散型随机变量的方差.  若随机变量概率分布的某种整体特征（平均取值、取值的集中程度等）可以用一个数值来表示，则称该数值为随机变量的数字特征． 在离散型随机变量的数字特征中，最重要的是均值和方差．离散型随机变量的均值刻画了这个随机变量的平均取值水平；离散型随机变量的方差刻画了这个随机变量的取值相对于均值的平均波动大小． 二、题型精练 题型1 离散型随机变量的分布列及性质 【典例1】．下列表示一个离散型随机变量的概率分布，则（    ）． 0 1 2 3 4 P m A． B． C． D． 【典例2】．随机变量的分布列如下表，则等于（    ） 0 1 A． B． C． D． 【典例3】．若离散型随机变量的分布列如下图所示． 0 1 则实数的值为（ ） A．或 B． C． D．或 【典例4】．设随机变量等可能取值为，如果，那么（ ） A． B． C． D． 题型2 离散型随机变量的均值（或期望值）与方差 【典例1】．散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值等于（    ） A． B．2 C． D．3 【典例2】．若随机变量的概率分布列如下表： 0 2 4 0.3 0.2 0.5 则等于（    ） A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2 【典例3】．根据历次射击训练的记录，甲、乙两人命中环数的分布列分别见下表： 甲命中环数 8 9 10 P 乙命中环数 8 9 10 P 下列选项正确的有（   ） A． B． C．甲的射击水平比乙稳定 D．乙的射击水平比甲稳定 【典例4】．一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为. (1)求的分布列； (2)求的均值和方差. 三、知识检测 1．已知下表为离散型随机变量X的分布列，则（    ） X 0 1 2 3 P A． B． C． D． 2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数) X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是（ ） A． B． C． D． 3．现有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖（读“niè”）数据，通过计算可知样本均值，方差分别为，，则下列说法正确的是（   ）． A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 4．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 5．已知X的分布列如下，且，，则a为（    ） X ﹣1 0 1 P A．1 B．2 C．3 D．4 6．某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ） A． B． C． D． 7．已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（    ） A． B． C． D．1 9．设X是一个离散随机变量，其分布列为： X 0 1 P 则实数q的值为______. 10． 设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为___________． 11．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果，那么______． 12．设随机变量的分布列是 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.2 0.1 则________，_________. 13．已知离散型随机变量满足分布列如下表所示，则______. 1 2 14．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率； (3)求至多遇到5个红灯的概率. 15．甲、乙两名射手在同样条件下进行射击,根据以往的记录,他们的成绩分布列如下． 射手 环数 环 环 环 甲 乙 (1)试比较甲、乙两名射手射击水平的高低. (2)谁的射击水平比较稳定? 16．现有，两个盒子，盒子装有3个红球，2个黄球；盒子装有1个红球，2个黄球.从盒中任取2个球，盒中任取1个球，用表示取出的红球数. (1)求随机变量的概率分布列； (2)求； (3)求随机变量的数学期望. 17．设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 求： (1)的分布列； (2)求的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $