专题3 不等式的性质（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的性质 【复习目标】 1.理解不等式的基本性质； 2.掌握均值定理。 【考点1 不等式的基本性质】 1.不等式的概念 用符号“”表示数量之间不等关系的式子叫做不等式，例如实数大于，表示为 2.实数大小的比较 对任意实数都有如下性质： （1） （2） （3） 3.不等式的性质 性质1（传递性）：若，，则 性质2（加法法则）：若，则对任意实数，有 推论1 ，，则 性质3（乘法法则）：若，，则 若，，则 推论2 ，，则 4.证明不等式常用方法 作差比较法：比较两个式子A与B的大小，将A、B两个式子相减，然后根据来得出结论 【即时训练】 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可. 【详解】已知， 若，则， ，故AB错误， 因为，则， 得，故C正确， 若，则，故D错误， 故选：C. 2．如果，则正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可. 【详解】若，则，故A正确， 若，时，，故B错误， 若，时，则，故C错误， 若，时，则，故D错误， 故选：A. 3．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析即可. 【详解】若，则，故A错误， 已知，，若， 则，故B错误， 若，则，故C错误， 因为，且，所以，故D正确， 故选：D. 4．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质结合举反例分析即可 【详解】已知， 若，则，故A错误， 由不等式的基本性质可得，故B正确， 若，则，故C错误， 若，则，故D错误， 故选：B. 5．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差法和赋值法，即可判断求解. 【详解】因为，所以， 所以，故，故选项A错误； 所以不一定成立，如时，，故选项B错误； 所以，故，故选项C正确； 当为负数时，，故选项D错误； 故选：C. 6．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及指数函数、对数函数的单调性，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A：函数在上是增函数，因为，所以，该选项正确； 选项B：当，时，满足，此时，，则，所以该选项错误； 选项C：当，时，满足，此时，，则，所以该选项错误； 选项D：已知，但当，为负数时，，无意义，所以该选项错误. 故选：A. 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数以及对数函数的性质求解即可. 【详解】因为，函数在上单调递增，且，所以. 函数在上单调递增，且，，所以. 函数在上单调递减，且，，所以. 因此. 故选：B. 8．已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，我们可以通过举反例或利用函数单调性来判断每个选项的正确性. 【详解】A选项：当，时，满足，但，不等式不成立，A错误. B选项：函数是定义在上的单调递增函数. 因为，所以，不等式成立，B正确； C选项：当，时，满足，但，，此时，不等式不成立，C错误； D选项：当，时，满足，但，，此时，不等式不成立，D错误. 故选：B 9．下列各项中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A.若，当，则.当，则，错误. 选项B.若，，则，错误. 选项C.若，因为，所以，正确. 选项D.若且，如，则，错误. 故选：C. 10．已知a，b，c为为实数，且，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A：已知，且，可得，所以选项A错误； 选项B：令，，， 则，， 此时，所以选项B错误； 选项C：令，，则，，此时，所以选项C错误； 选项D：因为，则，又， 可得，即，所以选项D正确. 故选：D. 11．已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质和指数函数的单调性逐项分析即可. 【详解】已知，若，则，故A错误， 若，则，故B错误， 因为在上为增函数，所以，故C正确， 若，则，故D错误， 故选：C. 二、填空题 12．若，则中最大的是_______ 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，，即， 所以中最大的是. 故答案为：. 13．比较大小：________． 【答案】 【分析】利用作差法比较这两数平方的大小，据此可得结果. 【详解】因为， 所以. 又因为，， 所以. 故答案为： 三、解答题 14．比较下列代数式的大小： (1)与 (2)与 【答案】(1). (2). 【分析】根据题意结合作差法比较大小即可得解. 【详解】（1）， 所以. （2）， 所以. 【考点2 均值定理】 1.均值定理 如果，则有，当且公当时，等号成立 2.利用均值定理求最值 （1）最小值 利用均值定理求最小值条件：①; ②是定值; ③当且仅当时，有最小值 （2）最大值 利用均值定理求最在值条件：①; ②是定值; ③当且仅当时，有最大值 【即时训练】 一、单选题 1．若正数，满足，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当时取等号. 即的最大值为. 故选：D 2．已知，且，则的最大值为 （   ）. A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据均值定理求解即可； 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时取得等号， 所以的最大值为16. 故选：D． 3．已知，且，则的最小值为（    ）. A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】∵知，且， ∴， 当且仅当时等号成立， ∴则的最小值为. 故选：D. 4．已知，则取得最大值时，x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据均值不等式即可求解. 【详解】由题意得， . 当且仅当时，即时等号成立. 故选：B. 5．当x是正数时，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】使用均值不等式求解. 【详解】因为x是正数时，所以，当且仅当时，等号成立， 因此，当时，取得最小值2， 故选：B. 6．若，则函数的最小值是（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】若，则函数， 当且仅当等号成立，故的最小值为6. 故选：B. 7．已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】使用均值不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以和都是正实数， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，取得最小值. 故选：C. 8．已知实数，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据题意结合基本不等式公式即可得解. 【详解】实数， 则， 当且仅当即（舍）或时，等号成立， 所以的最小值是， 故选：. 9．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将函数化简为，再分为和两种情况，利用基本不等式分别求出值域，最后综合两种情况得到函数的值域. 【详解】，定义域为， 当时，， 当且仅当时等号成立； 当时，， 当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为. 故选：D. 二、填空题 10．若, ，且，则的最大值为 ______. 【答案】4 【分析】根据基本不等式可求解. 【详解】由题意，根据基本不等式可得： ， 当且仅当 时取等号，此时的最大值为4. 故答案为：4 11．已知 ，且 .则的最大值是_______. 【答案】10 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】由题可知，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 12．已知，则取最大值时的值为________． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由，可知， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值. 故答案为： 13．已知，均为正数，且满足，则的最大值为________． 【答案】3 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，均为正数，且满足， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最大值，则的最大值为3. 故答案为：3. 14．已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】配凑后，利用基本不等式可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当且仅当，即时，的最小值为. 故答案为： 15．已知，，且，则的最小值为__________________. 【答案】4 【分析】由题意可知，且，化简后利用基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故答案为：4. 1.（2023·广东·真题T09） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断的取值范围，再比较大小. 【详解】， ； 又， ， ，， 故选:B. 2.（2023·广东·真题T10）不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答. 【详解】 得， 解得或， 故选:D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的性质 【复习目标】 1.理解不等式的基本性质； 2.掌握均值定理。 【考点1 不等式的基本性质】 1.不等式的概念 用符号“”表示数量之间不等关系的式子叫做不等式，例如实数大于，表示为 2.实数大小的比较 对任意实数都有如下性质： （1） （2） （3） 3.不等式的性质 性质1（传递性）：若，，则 性质2（加法法则）：若，则对任意实数，有 推论1 ，，则 性质3（乘法法则）：若，，则 若，，则 推论2 ，，则 4.证明不等式常用方法 作差比较法：比较两个式子A与B的大小，将A、B两个式子相减，然后根据 来得出结论 【即时训练】 一、单选题 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．如果，则正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．设，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各项中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 10．已知a，b，c为为实数，且，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．若，则中最大的是_______ 13．比较大小：________． 三、解答题 14．比较下列代数式的大小： (1)与 (2)与 【考点2 均值定理】 1.均值定理 如果，则有，当且公当时，等号成立 2.利用均值定理求最值 （1）最小值 利用均值定理求最小值条件：①; ②是定值; ③当且仅当时，有最小值 （2）最大值 利用均值定理求最在值条件：①; ②是定值; ③当且仅当时，有最大值 【即时训练】 一、单选题 1．若正数，满足，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 2．已知，且，则的最大值为 （   ）. A．2 B．4 C．8 D．16 3．已知，且，则的最小值为（    ）. A．2 B．4 C． D． 4．已知，则取得最大值时，x的值为（    ） A． B． C． D． 5．当x是正数时，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 6．若，则函数的最小值是（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．已知，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 8．已知实数，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 9．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．若, ，且，则的最大值为 ______. 11．已知 ，且 .则的最大值是_______. 12．已知，则取最大值时的值为________． 13．已知，均为正数，且满足，则的最大值为________． 14．已知，则的最小值为________． 15．已知，，且，则的最小值为__________________. 1.（2023·广东·真题T09） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2.（2023·广东·真题T10）不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $