内容正文:
编写说明:本套冲刺卷严格依据2026年山东省春季高考数学考试大纲编写,聚焦高三考生冲刺需求,助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点,既系统梳理构建知识框架,又强化应用能力训练;同时结合近三年高考真题,精准把握高频考点、命题趋势与题型特点,确保贴合高考方向。
本卷为高频考点冲刺卷第1卷,适合于系统检测备考初期的薄弱知识点与高频易错点,夯实基础知识点记忆,规范基础题型解题步骤,为后续进阶复习筑牢根基。
2026年山东省春季高考
数学 高频考点冲刺卷(九)
考试时间:120分钟,满分:120分
卷一(选择题,共60分)
一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出,并填涂在答题卡上)
1.已知集合A={0,1},则下列式子表示错误的是( )
A.0∈A B.{1}∈A C.⊆A D.{0,1}⊆A
【答案】:B
【分析】:根据元素与集合关系的表示法,可以判断A的真假;根据集合与集合关系的表示法,可以判断B的真假;根据的性质可以判断C的真假;根据集合子集的定义,可以判断D的真假,进而得到答案.
【详解】:解:根据元素与集合关系的表示法,0∈A,故A正确;
根据集合与集合关系的表示法,{1}⊂A,判断B假;
是任意集合的子集,故C正确;
根据集合子集的定义,{0,1}⊆A,故D正确;
故选:B.
2.复数3+4i的共轭复数是( )
A.3-4i B.3+4i C.-3+4i D.-3-4i
【答案】:A
【分析】:共轭复数的定义为:若复数为a+bi,则其共轭复数为a-bi.所以根据可得答案.
【详解】:解:根据题意可得:复数为3+4i,
所以结合共轭复数的定义可得:复数3+4i的共轭复数是3-4i.
故选:A.
3.已知a>b,c>d,下列不等式中必成立的一个是( )
A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac> D.
【答案】:A
【分析】:利用不等式的基本性质即可判断出.
【详解】:解:根据不等式的同向可加性,若a>b,c>d,则a+c>b+d,
故选:A.
4.已知l1:,l2:,且则m的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.不存在
【答案】:C
【分析】:由两直线与垂直⇔解之即可.
【详解】:解:因为,所以,
解得m=0.
故选:C.
5.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
【答案】:A
【分析】:法1:由题意可以判定圆心坐标(0,2),可得圆的方程.
法2:数形结合法,画图即可判断圆心坐标,求出圆的方程.
法3:回代验证法,逐一检验排除,即将点(1,2)代入四个选择支,验证是否适合方程,圆心在y轴上,排除C,即可.
【详解】:解法1(直接法):设圆心坐标为(0,b),
则由题意知 ,
解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
故选A.
解法2(数形结合法):由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),
故圆的方程为x2+(y-2)2=1
故选A.
解法3(验证法):将点(1,2)代入四个选择支,
排除B,D,又由于圆心在y轴上,排除C.
故选:A.
6.“x>1”是“x2>x”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】:A
【分析】:由题意解不等式x2>x,提出公因式x,根据因式分解法,解出不等式的解,再判断是不是必要条件,判断此解和x>1的关系.
【详解】:解:由x2>x,
可得x>1或x<0,
∴x>1,
可得到x2>x,
但x2>x得不到x>1.
故选:A.
7.若(x+ )n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
【答案】:B
【分析】:根据二项式的展开式的二项式系数是64,写出二项式系数的表示式,得到次数n的值,写出通项式,当x的指数是0时,得到结果.
【详解】:解:∵,
∴.
,
常数项:,
故选:B.
8.已知函数,,则f(3)的值为( )
A.-13 B.-10 C.7 D.13
【答案】:A
【分析】:令,则 g(-3)=10,又 g(x)为奇函数,故有g(3)=-10,故 f(3)=g(3)-3.
【详解】:解:∵函数f(x)=ax5-bx3+cx-3,f(-3)=7,
令,则g(-3)=10,
又g(x)为奇函数,∴,故 ,
故选:A.
9.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且,则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】:B
【分析】:根据f(x)的定义域以及单调性可得x-1,1-3x满足的条件,由此即可解得x的范围.
【详解】:解:由已知可得 ,解得0≤x .
故选:B.
10.若随机变量ξ的分布列为:
ξ
4
X
9
10
P
0.3
0.1
Y
0.2
则Y的值为( )
A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.6
【答案】:C
【分析】:由分布列的性质知道,在一个分布列中,所有的变量的概率之和是1,列出关于Y的方程,解方程即可.
【详解】:解:由分布列的性质知道,
在一个分布列中,所有的变量的概率之和是1,
∴
∴Y=0.4,
故选:C.
11.半径为1cm,中心角为150°的角所对的弧长为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】:D
【分析】:由题意知半径r=1cm,中心角α=150°,由弧长公式即可求出.
【详解】:解:已知半径r=1cm,中心角α=150°,
由弧长公式,
故选:D.
12.化简 等于( )
A. B. C.3 D.1
【答案】:A
【分析】:先把tan45°=1代入原式,根据正切的两角和公式化简整理即可求得答案.
【详解】:解: = =tan(45°+15°)=tan60°=
故选:A.
13.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( )
A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0
C.0<a<1,且b<0 D.a>1,且b<0
【答案】:C
【分析】:观察到函数是一个指数型的函数,不妨作出其图象,从图象上看出其是一个减函数,并且是由某个指数函数向下平移而得到的,故可得出结论.
【详解】:解:如图所示,图象与y轴的交点在y轴的负半轴上(纵截距小于零),即a0+b-1<0,且0<a<1,
∴0<a<1,且b<0.故选C.
故选:C.
14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若 , , ,则 等于( )
A. B.
C. D.
【答案】:D
【分析】:根据图形,结合平面向量的加法与减法运算法则,即可得出正确的答案.
【详解】:解:∵直三棱柱ABC-A1B1C1中, , , ,
∴ = +
= +( - )
= +( - )
=
= .
故选:D.
15.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】:B
【分析】:根据题意,分析可得,这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件,而两个零件是否加工为一等品相互独立,进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案.
【详解】:解:记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,
即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况,
则P(A)=P(A1)+P(A2)= ,
故选:B.
16.定义运算a⊕b= ,则函数f(x)=1⊕2x的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】:B
【分析】:从定义运算a⊕b= 上看,对于任意的a、b,a⊕b实质上是求a与b中最大的,再分x≥0与x<0两种情况得函数的解析式.
【详解】:解:从定义运算a⊕b= 上看,对于任意的a、b,a⊕b实质上是求a与b中最大的,
∴1⊕2x就是取1与2x中较大的一个,
∴对于指数函数y=2x,当x≥0时,2x≥1,∴当x≥0时,f(x)=2x,
当x<0时,2x<1,∴当x<0时,f(x)=1,
故选:B.
17.水平放置的矩形ABCD,长AB=4,宽BC=2,以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′,则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A.4 B.2 C.4 D.2
【答案】:B
【分析】:根据斜二测画法所得的直观图是一个四边形,它的面积与水平放置的正方形的面积之比的关系,求解即可.
【详解】:解:水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图是一个四边形,两者面积之比为2 ,
所以这个四边形的面积为:4×2× =2 .
故选:B.
18.已知抛物线x2+my=0上的点到定点(0,4)和到定直线y=-4的距离相等,则m=( )
A. B. C.16 D.-16
【答案】:D
【分析】:根据抛物线定义可知,定点(0,4)为抛物线的焦点,进而根据定点坐标求得m.
【详解】:解:根据抛物线定义可知,定点(0,4)为抛物线的焦点,
∴ =4
m=-16
故选:D.
19.在一次射击比赛中,8个泥制的靶子挂成三列(如图),其中有两列各挂3个,一列挂2个,一位射手按照下列规则去击碎靶子:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低一个,若每次射击都严格执行这一规则,击碎全部8个靶子的不同方法有( )
A.560 B.320 C.650 D.360
【答案】:A
【分析】:本题难度较大,分类分步并有次序,可以看做8个位置,击碎这列中尚未击碎的靶子中最低一个,下边先破.
【详解】:解:8个泥制的靶子,看做8个位置,从中选出3个放左侧一列,再选一列放右侧一列,余下放中间列,
并且下边先破最上边最后破,故有C83•C53•C22=560
故选:A.
20.在下列四个正方体中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
【答案】:A
【分析】:利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意,从而可得答案.
【详解】:解:对于选项B,由于AB || MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意;
对于选项C,由于AB || MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;
对于选项D,由于AB || NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;
所以选项A满足题意,
故选:A.
卷二(非选择题,共60分)
2、 填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上)
21.已知 均为单位向量,它们的夹角为60°, =___ .
【答案】:
【分析】:先由 = +9 -6 = -6| || |cos60°,将数代入即可得到答案.
【详解】:解:∵ = +9 -6 = -6| || |cos60°=10-3=7
∴ =
故答案为:
22.在等差数列{an}中,前15项的和S15=90,则a8=___ .
【答案】:6
【分析】:由等差数列的前n和可得 ,由等差数列的性质可得a1+a15=2a8,代入可求a8
【详解】:解:由等差数列的前n和可得
∴a8=6
故答案为:6
23.已知数据x1,x2,…,x10的均值为2,标准差为s,又知数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差为27,则s=___ .
【答案】:
【分析】:由平均数、方差的性质,结合题意得9s2=27,由此能求出s.
【详解】:解:∵数据x1,x2,…,x10的均值为2,标准差为s,
数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差为27,
∴9s2=27,
解得s= .
故答案为: .
24.若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是___ .
【答案】:4
【分析】:根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,已知|PF1|=6,进而可求|PF2|
【详解】:解:由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,|PF1|=6,故|PF2|=4.
故答案为4
25.将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则 =___ .
【答案】:
【分析】:首先把三角函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用三角函数关系式的变换求出g(x)的关系式,最后求出三角函数的值.
【详解】:解:函数 ,
=2sin(2x- ),
函数的图象向左平移 个单位长度,
得到函数y=g(x)= =2sin2x的图象,
故:
故答案为:-
三、解答题(本大题5个小题,共40分)
26.已知函数f(x)=lg(x2-ax+1).
(1)当a=0时,求f(3)
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
【答案】:(1)f(3)=1;(2)-2<a<2
【分析】:(1)当a=0时,可求得该函数解析式,将x=3代入即可;
(2) 函数f(x)的定义域是使对数的真数有意义x的取值范围,故函数定义域为R等价于真数对应的二次函数取值恒大于零,由此不难列出根的判别式小于0,从而得到实数a的取值范围.
【详解】:解:(1)当a=0时,f(x)=lg(x2+1),则f(3)=lg10=1
(2)要使x2-ax+1>0恒成立,只要△=a2-4<0,
得-2<a<2;
27.已知等差数列{an}的前四项和为10,且a2,a3,a7成等比数列.
(1)求通项公式an;
(2)设,求数列bn的前n项和Sn.
【答案】:(1);(2) 或Sn=n•
【分析】:(1)利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a2,a3,a7等比数列关系组成方程组求得a1和d,最后根据等差数列的通项公式求得an.
(2)把(1)中求得的an代入 中,可知数列{bn}为等比数列,进而根据等比数列的求和公式求得答案.
【详解】:解:(1)由题意知
所以
(2)当an=3n-5时,数列{bn}是首项为 、公比为8的等比数列
所以
当 时, 所以Sn=n•
综上,所以 或Sn=n•
28.如图,在△ABC中,B= ,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,
(1)若△BCD的面积为 ,求CD的长;
(2)若ED= ,求角A的大小.
【答案】:(1) ;(2)
【分析】:(1)利用三角形的面积公式,求出BD,再用余弦定理求CD;
(2)先求CD,在△BCD中,由正弦定理可得 ,结合∠BDC=2∠A,即可得结论.
【详解】:解:(1)∵△BCD的面积为 , ,
∴
∴
在△BCD中,由余弦定理可得 = = ;
(2)∵ ,∴CD=AD= =
在△BCD中,由正弦定理可得
∵∠BDC=2∠A
∴
∴= ,∴A= .
29.如图,在三棱锥中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且 ,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:OC⊥平面VAB;
(2)求直线VC和平面VAB所成角的正切值;
(3)求三棱锥的体积.
【答案】:(1)见详解;(2)
【分析】:(1)利用三线合一可得AB⊥OC,利用面面垂直的性质可得OC⊥平面VAB;
(2)连接OV,∠OVC为所求线面角,转化到直角三角形OVC中即可得解;
【详解】:解:(1)证明:∵AC=BC,O为AB的中点,
∴AB⊥OC,
∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AB在平面VAB内,
∴OC⊥平面VAB;
(2)连接OV,由(1)可知,∠OVC为所求线面角,
∵AC⊥BC且 ,
∴AB=2,即等边三角形VAB的边长为2,
∵O为AB的中点,
∴ ,
∴ ,即直线VC和平面VAB所成角的正切值为 ;
30.已知点P在抛物线C:y2=4x上,过点P作圆M:(x-3)2+y2=r2(0<r≤ )的两条切线,与抛物线C分别交于A、B两点,切线PA、PB与圆M分别相切于点E、F.
(1)若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等,求点P的坐标;
(2)若点P的坐标为(1,2),且r= 时,求 • 的值;
【答案】:P坐标为(2,2 )或(2,-2 );(2)0
【分析】:(1)由已知得圆心M(3,0),抛物线准线方程为x=-1,设P(x0,y0),又PM=PC,推出(x0-3)2+y02=(x0+1)2 ① ,y02=4x0 ② ,由 ① ② 推出x0,y0,进而可得点P坐标.
(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),写出 , 坐标,由 ⊥ 推出x12-4x1+3+y12-2y1=0,由韦达定理可得x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,再计算 • ,即可得出答案.
(3)设切线PA的方程为y=k1(x-1)+2,切线PB的方程为y=k2(x-1)+2,计算圆心M到切线PA的距离d=r,得k1,k2是方程(r2-4)k2-8k+r2-4=0的两个根,由韦达定理得k1+k2,k1k2,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为D,联立直线PA与抛物线方程,得关于y的一元二次方程,再结合韦达定理可得y1,同理可得y2,再得到点D的纵坐标为t=2(k1+k2)-2,再求范围即可.
【详解】:解:(1)由圆的方程知圆心M(3,0),
由抛物线方程知,准线方程为x=-1,
设P(x0,y0),又PM=PC,
所以PM2=PC2,即(x0-3)2+y02=(x0+1)2, ①
又点P在抛物线C上,
所以y02=4x0, ②
将 ② 代入 ① ,得(x0-3)2+4x0=(x0+1)2,
解得x0=2,所以y0=± =±2 ,
所以点P坐标为(2,2 )或(2,-2 ).
(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),
则 =(x1,y1)-(1,2)=(x1-1,y1-2),
=(x1,y1)-(3,0)=(x1-3,y1),
又 ⊥ ,所以 • =(x1-1)(x1-3)+(y1-2)y1=0,
所以x12-4x1+3+y12-2y1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=3,y1+y2=2,y1y2=0,
所以 • =(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)
=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4,
=3-4+1+0-4+4=0.
• 的值为0;
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本卷为高频考点冲刺卷第1卷,适合于系统检测备考初期的薄弱知识点与高频易错点,夯实基础知识点记忆,规范基础题型解题步骤,为后续进阶复习筑牢根基。
2026年山东省春季高考
数学 高频考点冲刺卷(九)
考试时间:120分钟,满分:120分
卷一(选择题,共60分)
一、选择题(本大题20个小题,每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出,并填涂在答题卡上)
1.已知集合A={0,1},则下列式子表示错误的是( )
A.0∈A B.{1}∈A C.⊆A D.{0,1}⊆A
2.复数3+4i的共轭复数是( )
A.3-4i B.3+4i C.-3+4i D.-3-4i
3.已知a>b,c>d,下列不等式中必成立的一个是( )
A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac> D.
4.已知l1:,l2:,且则m的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.不存在
5.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
6.“x>1”是“x2>x”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若(x+ )n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A.10 B.20 C.30 D.120
8.已知函数,,则f(3)的值为( )
A.-13 B.-10 C.7 D.13
9.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且,则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.若随机变量ξ的分布列为:
ξ
4
X
9
10
P
0.3
0.1
Y
0.2
则Y的值为( )
A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.6
11.半径为1cm,中心角为150°的角所对的弧长为( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
12.化简 等于( )
A. B. C.3 D.1
13.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( )
A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0
C.0<a<1,且b<0 D.a>1,且b<0
14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若 , , ,则 等于( )
A. B.
C. D.
15.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
16.定义运算a⊕b= ,则函数f(x)=1⊕2x的图象是( )
A. B.
C. D.
17.水平放置的矩形ABCD,长AB=4,宽BC=2,以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′,则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A.4 B.2 C.4 D.2
18.已知抛物线x2+my=0上的点到定点(0,4)和到定直线y=-4的距离相等,则m=( )
A. B. C.16 D.-16
19.在一次射击比赛中,8个泥制的靶子挂成三列(如图),其中有两列各挂3个,一列挂2个,一位射手按照下列规则去击碎靶子:先挑选一列,然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低一个,若每次射击都严格执行这一规则,击碎全部8个靶子的不同方法有( )
A.560 B.320 C.650 D.360
20.在下列四个正方体中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
A. B.
C. D.
卷二(非选择题,共60分)
2、 填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上)
21.已知 均为单位向量,它们的夹角为60°, =___ .
22.在等差数列{an}中,前15项的和S15=90,则a8=___ .
23.已知数据x1,x2,…,x10的均值为2,标准差为s,又知数据3x1+2,3x2+2,…,3x10+2的方差为27,则s=___ .
24.若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是___ .
25.将函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则 =___ .
三、解答题(本大题5个小题,共40分)
26.已知函数f(x)=lg(x2-ax+1).
(1)当a=0时,求f(3)
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;
27. 已知等差数列{an}的前四项和为10,且a2,a3,a7成等比数列.
(1)求通项公式an;
(2)设,求数列bn的前n项和Sn.
28.如图,在△ABC中,B= ,BC=2,点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,
(1)若△BCD的面积为 ,求CD的长;
(2)若ED= ,求角A的大小.
29.如图,在三棱锥中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且 ,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:OC⊥平面VAB;
(2)求直线VC和平面VAB所成角的正切值;
(3)求三棱锥的体积.
30.已知点P在抛物线C:y2=4x上,过点P作圆M:(x-3)2+y2=r2(0<r≤ )的两条切线,与抛物线C分别交于A、B两点,切线PA、PB与圆M分别相切于点E、F.
(1)若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等,求点P的坐标;
(2)若点P的坐标为(1,2),且r= 时,求 • 的值;
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