第10章 第11节 立体几何计算题集锦-【高考零起点】2026年新高考数学总复习学用Word（艺考）

该高中数学高考复习学案聚焦立体几何核心考点，涵盖空间垂直证明、空间角计算、体积求解等高考高频题型，通过近年新高考及各省市真题分类编排，构建“问题情境—方法提炼—规律总结”的知识网络，引导学生自主梳理线面关系判定、空间向量应用等解题逻辑。 亮点在于“真题诊断—方法迁移—反思提升”的自主学习闭环，开篇设置典型题自测，学生通过错题定位薄弱环节，结合解析中的空间向量法与几何法对比，培养数学思维与空间观念。每个题型后附反思表，记录解题关键步骤与易错点，帮助学生形成个性化解题策略，教师可据此精准指导，提升备考实效。

第十一节　立体几何计算题集锦 1. (2021新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点. (1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小为45°，求三棱锥A－BCD的体积. 2. (2021新高考Ⅱ卷)在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3. (1)证明：平面QAD⊥平面ABCD； (2)求二面角B－QD－A的平面角的余弦值. 3. (2021天津卷)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点. (1)求证：D1F∥平面A1EC1； (2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值； (3)求二面角A－A1C1－E的正弦值. 4. (2024新高考Ⅰ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝. (1)若AD⊥PB，证明：AD∥平面PBC； (2)若AD⊥DC，且二面角A－CP－D的正弦值为，求AD. 5. (2025全国Ⅱ卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD. 将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°. (1)证明：A'B∥平面CD'F； (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 6. (2022浙江卷)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角为60°. 设M，N分别为AE，BC的中点. (1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值. 7. (2024新高考Ⅱ卷)如图，平面四边形ABCD中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，E，F满足，将△AEF沿EF翻折至△PEF，使得PC＝4. (1)证明：EF⊥PD； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 8. (2025北京卷) 如图，在四棱锥P－ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，E为BC的中点. (1)若F，G分别为PD，PE的中点，求证：FG∥平面PAB； (2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AC，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 9.(2023全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明：A1C＝AC； (2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 10. (2022新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值. 11. (2022新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点. (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值. 第十一节　立体几何计算题集锦 1.(1)∵AB＝AD，O为BD的中点， ∴AO⊥BD. ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD. ∵CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD. (2)如图，作EF⊥BD于F， 作FM⊥BC于M，连接EM. ∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD， AO⊥CD. 又EF⊥BD， EF⊥CD， BD∩CD＝D， ∴EF⊥平面BCD，即EF⊥BC. ∵FM⊥BC，FM∩EF＝F，∴BC⊥平面EFM， 即BC⊥ME，则∠EMF为二面角E－BC－D的平面角， ∠EMF＝. ∵BO＝OD，△OCD为正三角形， ∴△BCD为直角三角形. ∵DE＝2EA，∴FM＝BF＝， ∴EF＝FM＝，∴AO＝1. ∵AO⊥平面BCD， ∴V＝AO·S△BCD＝×1××1×. 2.(1)如图，取AD的中点O，连接QO，CO. ∵QA＝QD，OA＝OD，∴QO⊥AD. ∵AD＝2，QA＝，∴QO＝＝2. ∵在正方形ABCD中，∴AD＝2，∴DO＝1，∴CO＝. ∵QC＝3，∴QC2＝QO2＋OC2，∴△QOC为直角三角形且QO⊥OC. ∵OC∩AD＝O，∴QO⊥平面ABCD， ∵QO⊂平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD. (2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建立如图所示的空间直角坐标系. 则D，Q，B， ∴. 设平面QBD的法向量n＝， 则即取x＝1，则y＝1，z＝，∴n＝. 而平面QAD的一个法向量为m＝， ∴cos＜m，n＞＝. 由图可知，二面角B－QD－A的平面角为锐角，∴其余弦值为. 3.(1)以A为原点，以AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2). ∵E为棱BC的中点，F为棱CD的中点， ∴E(2，1，0)，F(1，2，0)， ∴＝(1，0，－2)，＝(2，2，0)，＝(2，1，－2). 设平面A1EC1的法向量m＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝2，则m＝(2，－2，1). ∵·m＝2－2＝0，∴⊥m. ∵D1F⊄平面A1EC1，∴D1F∥平面A1EC1. (2)由(1)得 ＝(2，2，2)， 设直线AC1与平面A1EC1所成角为θ， 则sin θ＝. ∴直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为. (3)由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2，0)， 则cos＜，m＞＝， ∴二面角A－A1C1－E的正弦值为 . 4.(1)∵PA⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD. 又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB. ∵AB⊂平面PAB，∴AD⊥AB. ∵BC2＋AB2＝AC2，∴BC⊥AB. 根据平面知识可知AD∥BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴AD∥平面PBC. (2)如图所示，过D作DE⊥AC于E，再过E作EF⊥CP于F，连接DF. ∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，∵平面PAC∩平面ABCD＝AC，∴DE⊥平面PAC. 又EF⊥CP，∴CP⊥平面DEF. 根据二面角的定义可知，∠DFE即为二面角A－CP－D的平面角，sin∠DFE＝，tan∠DFE＝.∵AD⊥DC，设AD＝x，∴CD＝， 由等面积法可得DE＝. 又CE＝，而△EFC为等腰直角三角形，∴EF＝.∴tan∠DFE＝，解得x＝，即AD＝. 5.(1)证明见解析　(2) 【解析】(1)设AD＝1，∴AB＝3，CD＝2，∵F为CD的中点，∴DF＝1，∵AE∥DF，∴A'E∥D'F，∵D'F⊂平面CD'F，A'E⊄平面CD'F，∴A'E∥平面CD'F，∵FC∥EB，FC⊂平面CD'F，EB⊄平面CD'F，∴EB∥平面CD'F，又EB∩A'E＝E，EB，A'E⊂平面A'EB，∴平面A'EB∥平面CD'F，又A'B⊂平面A'EB，∴A'B∥平面CD'F； (2)∵∠DAB＝90°，∴AD⊥AB，又∵AB∥FC，EF∥AD，∴EF⊥FC，以F为原点，FE，FC所在直线以及垂直于平面BEFC的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. ∵D'F⊥EF，CF⊥EF，平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角为60° ，∴∠D'FC＝60°，则B，C，D'，E，F，∴.设平面BCD'的法向量为，则令y＝，则z＝1，x＝－，则.设平面EFD'A'的法向量为，则令y＝，则z＝－1，x＝0，∴.∴cos＜＞＝.∴面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值为. 6.(1)如图，过E，D分别作直线DC，AB的垂线EG，DH并分别交于G，H. ∵四边形ABCD和四边形EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°， ∴由平面几何知识易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°， ∴四边形EFCG和四边形DCBH是矩形， ∴在Rt△EGD和Rt△DHA中，EG＝DH＝2. ∵DC⊥CF，DC⊥CB，且CF∩CB＝C，∴DC⊥平面BCF，又∠BCF是二面角F－DC－B的平面角， ∴∠BCF＝60°， ∴△BCF是正三角形. 由DC⊂平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF. ∵N是BC的中点， ∴FN⊥BC. 又DC⊥平面BCF，FN⊂平面BCF，可得FN⊥CD， 而BC∩CD＝C，∴FN⊥平面ABCD，而AD⊂平面ABCD，∴FN⊥AD. (2)∵FN⊥平面ABCD，过N作AB的平行线NK， ∴以N为原点， NK，NB，NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系N－xyz.∴A(5，，0)，B(0，，0)，D(3，－，0)，E(1，0，3)， 则M，∴＝(－2，－2，0)，＝(－2，，3). 设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)， 由得 取n＝(，－1，)， 设直线BM与平面ADE所成角为θ， ∴sin θ＝ ＝. ∴直线BM与平面ADE所成角的正弦值为. 7.(1)由AB＝8，AD＝5，得AE＝2，AF＝4，又∠BAD＝30°， ∴在△AEF中，由余弦定理得EF ＝ ＝＝2，∴AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF，即EF⊥AD， ∴EF⊥PE，EF⊥DE. 又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE，∴EF⊥平面PDE.又PD⊂平面PDE，∴EF⊥PD. (2)连接CE，由∠ADC＝90°，ED＝3，CD＝3，得CE2＝ED2＋CD2＝36， 由在△PEC中，PC＝4，PE＝2，EC＝6，得EC2＋PE2＝PC2，∴PE⊥EC. 由(1)知PE⊥EF，又EC∩EF＝E， EC，EF⊂平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD. 又ED⊂平面ABCD，∴PE⊥ED，则PE，EF，ED两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系E－xyz， 则E(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，3，0)，C(3，3，0)，F(2，0，0)，A(0，－2，0). 由F是AB的中点，得B(4，2，0)，∴＝(3，3，－2)，＝(0，3，－2)，＝(4，2，－2)，＝(2，0，－2)， 设平面PCD和平面PBF的法向量分别为n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)， 则 令y1＝2，x2＝，得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1， ∴n＝(0，2，3)，m＝(，－1，1)， ∴. 设平面PCD与平面PBF所成角为θ， ∴sin θ＝，∴平面PCD与平面PBF所成角的正弦值为. 8.(1)证明见解析　 (2) 【解析】(1)取PA的中点N，PB的中点M，连接FN，MN，MG，∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形且∠ADC＝90°，∠BAC＝90°，不妨设AD＝CD＝2，∴AC＝AB＝2，∴BC＝4.∵E，F分别为BC，PD的中点，∴FN＝AD＝1，GM＝BE＝1，且FN∥AD，GM∥BC.∵∠DAC＝45°，∠ACB＝45°，∴AD∥BC，∴FN∥GM，∴四边形FGMN为平行四边形，∴FG∥MN，∵FG⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB； (2)∵PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AC，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD＝CD＝2，则A，B，C，D，P，∴，设平面PCD的法向量为＝(x，y，z)，∴取x＝1，∴y＝－1，z＝1，∴.设AB与平面PCD所成角为θ，则sin θ＝，即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为. 9.(1)∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴A1C⊥BC. 又∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC， A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C， ∴BC⊥平面ACC1A1. 又∵BC⊂平面BCC1B1， ∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. 如图，过A1作A1H⊥CC1，则A1H⊥平面BCC1B1，即A1H的长为点A1到平面BCC1B1的距离，∴A1H＝1. 设AC＝x，在Rt△A1CA中，A1C＝， 在Rt△CA1C1中，A1C1·A1C＝CC1·A1H， 即x＝2×1，解得x＝，∴A1C＝AC＝，∴A1C＝AC. (2)方法一： 连接B1C，过C作CQ⊥AA1，垂足为Q， 连接BQ，由(1)知BC⊥平面ACC1A1， 又AA1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AA1. 又CQ∩BC＝C，∴AA1⊥平面BCQ. ∵BQ⊂平面BCQ，∴AA1⊥BQ， 又∵AA1∥BB1，∴BB1⊥BQ，∴BQ的长为直线AA1与BB1之间的距离，即BQ＝2. 又∵在Rt△BCQ中，BQ＝2，CQ＝1，∴BC＝. 由(1)知CA，CB，CA1两两垂直，∴以直线CA，CB，CA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0，0，0)，A(，0，0)，A1(0，0，)，B(0，，0)， ∴＝(0，，0)，＝(－，0，). 又知＝(－，0，)，∴B1(－)，∴＝(－)，＝(－2). 设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则　即 令x＝1，则z＝1，则n＝(1，0，1)， 设直线AB1与平面BCC1B1所成角为θ，则 sin θ＝|cos＜，n＞|＝ ＝， ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 方法二： ∵AC＝A1C1，BC⊥A1C，BC⊥AC， ∴Rt△ACB≌Rt△A1CB， ∴BA＝BA1. 过B作BD⊥AA1交AA1于D，则D为AA1的中点， ∵直线AA1与BB1的距离为2，∴BD＝2. ∵A1D＝1，BD＝2，∴A1B＝AB＝. 在Rt△ABC中，∴BC＝， 延长AC，使AC＝CM，连接C1M， 由CM∥A1C1，CM＝A1C1知，四边形A1CMC1为平行四边形， ∴C1M∥A1C，∴C1M⊥平面ABC. 又AM⊂平面ABC， ∴C1M⊥AM， 则在Rt△AC1M中，AM＝2AC，C1M＝A1C， ∴AC1＝， 在Rt△AB1C1中，AC1＝，B1C1＝BC＝， ∴AB1＝. 又A到平面BCC1B1的距离也为1， ∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为 . 10.(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h，则·h＝h＝S△ABC·A1A＝，解得h＝， ∴点A到平面A1BC的距离为. (2)取A1B的中点E，连接AE，如图，∵AA1＝AB，∴AE⊥A1B. 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，∴AE⊥平面A1BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC， 由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC， 又AE，BB1⊂平面ABB1A1且相交，∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC，BA，BB1两两垂直. 以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由(1)得AE＝，∴AA1＝AB＝2，A1B＝2，∴BC＝2，∴A，A1，B，C，∴A1C的中点D，∴. 设平面ABD的法向量m＝，则可取m＝， 设平面BDC的法向量n＝，则可取n＝， 则cos＜m，n＞＝， ∴二面角A－BD－C的正弦值为. 11.(1)如图，连接BO并延长交AC于D，连接OA，PD. ∵PO是三棱锥P－ABC的高，∴PO⊥平面ABC. ∵AO，BO⊂平面ABC，∴PO⊥AO，PO⊥BO. 又PA＝PB，∴△POA≌△POB，即OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. 又AB⊥AC，即∠BAC＝90°，∴∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°，∴∠ODA＝∠OAD，∴AO＝DO，即AO＝DO＝OB，∴O为BD的中点. 又E为PB的中点，∴OE∥PD. 又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，∴OE∥平面PAC. (2)过A作z∥OP，建立如图所示的空间直角坐标系，∵PO＝3，AP＝5，∴OA＝＝4. ∴BD＝2OA＝8，又∠OBA＝∠OBC＝30°， ∴AD＝4，AB＝4，∴AC＝12，∴O，B，P，C，∴E， ∴. 设平面AEB的法向量为n＝，则令z＝2，则y＝－3，x＝0，∴n＝. 设平面AEC的法向量为m＝， 则 令a＝，则c＝－6，b＝0，∴m＝. ∴cos＜n，m＞＝＝－. 设二面角C－AE－B的大小为θ， 则， ∴sin θ＝，即二面角C－AE－B的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $