2026届高考物理二轮复习专题：天体质量与密度的计算

天体质量与密度的计算 一．知识讲解 1．“自力更生”法（g－R）（地表） 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 （1）由＝mg得天体质量M＝。 （2）天体密度ρ＝。 （3）GM＝gR2称为黄金代换公式。 2．“借助外援”法（T－r）（环绕） 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 （1）由＝得天体的质量M＝。 （2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 （3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 3．有关天体质量和密度计算的两点提醒 （1）利用“自力更生”法和“借助外援”法估算天体的质量和密度时，都是针对中心天体，而不是环绕天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。 （2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝中的R只能是中心天体的半径。 类型 方法 已知量 利用公式 表达式 备注 质量的计算 利用运行天体 r、T 只能得到中心天体的质量 r、v v、T ， 利用天体表面重力加速度 g、R — 密度的计算 利用运行天体 r、T、R 当r＝R时， 利用近地卫星只需测出其运行周期 利用天体表面重力加速度 g、R — 二．典例精讲 1．利用“自力更生”法计算天体质量和密度 例题1 （2025·江苏·联考题）我国自行研制的“天问1号”火星探测器于2021年5月19日成功着陆火星。设着陆前探测器对火星完成了‘绕、着、巡’三项探测任务。探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置将一个小球从离地面h的高度由静止释放，做自由落体运动，测得小球经过时间t落地。已知引力常量为G，火星的半径为R（h远小于R），求： （1）火星表面重力加速度； （2）火星的质量； （3）火星的平均密度。 【答案】（1）小球从离地面h的高度由静止释放，做自由落体运动，则有h＝ 解得火星表面重力加速度为g＝ （2）物体在火星表面处，有＝mg，解得火星的质量为M＝ （3）根据M＝ 联立解得火星的平均密度为ρ＝ 2．利用“借助外援”法计算天体质量和密度 例题2 （2024·海南·历年真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号， 根据万有引力提供向心力＝ 月球的体积V＝，月球的平均密度ρ＝ 联立可得ρ＝，故选D。 三．跟踪训练 1．（多选）（2023·黑龙江·联考题）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（　　） A．月球平均密度为 B．月球平均密度为 C．月球表面重力加速度大小为 D．月球表面重力加速度大小为 【答案】BD 【解析】由万有引力提供向心力，可得＝，解得M＝，月球体积V＝，所以月球平均密度为ρ＝＝，故A错误，B正确；在月球表面，有＝mg，解得月球表面重力加速度大小为g＝＝，故C错误，D正确。 2．（2025·天津·模拟题）利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ） A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转） B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D 【解析】由于不考虑地球自转，设地球的质量为M、半径为R，则对于地球表面附近质量为m0的物体有＝m0g，故可得M＝，A项不符合题意；设人造卫星的质量为m1，人造卫星在地面附近绕地球运动的速度为v、周期为T，由万有引力提供人造卫星绕地球做圆周运动的向心力，有＝，v＝，联立得M＝，B项不符合题意；设月球质量为m2，绕地球运动的周期为T′、半径为r，由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有＝，故可得M＝，C项不符合题意；根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出中心天体太阳的质量，不能求出地球的质量，D项符合题意。 3．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求： （1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的平均密度。 【答案】解：（1）小球平抛运动的水平位移x＝L， 则平抛运动的时间t＝， 根据h＝得，星球表面的重力加速度g＝； （2）根据＝mg得， 星球的质量M＝ 则星球的密度ρ＝＝。 4．经过天文望远镜长期观测，人们已经在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体组成，其中每个星体的大小都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理（即其他星体对双星的作用可忽略不计）。现根据对某一双星系统的光学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相距L，它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动。 （1）试计算该双星系统的运动周期T1。 （2）若实际中观测到的运动周期为T2，T2与T1并不是相同的，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种观测不到的暗物质，它均匀地充满整个宇宙，对双星运动的周期有一定的影响。为了简化模型，我们假定在如图所示的球体内（直径看作L）均匀分布的这种暗物质对双星有引力的作用，不考虑其他暗物质对双星的影响，已知这种暗物质的密度为ρ，求T1∶T2。 【答案】解：（1）两星的角速度相同，故F＝，F＝， 而F＝，可得r1＝r2 ① 则两星绕连线的中点转动，有＝，解得ω1＝ ② 所以T1＝ ③ （2）设暗物质的质量为M，由于暗物质的存在，双星的向心力由两个力的合力提供， 则 ④ 又M＝ρV＝ ⑤ 解④和⑤式得：ω＝ ⑥ 可求得：T2＝ ⑦ 联立③⑦式解得。 学科网（北京）股份有限公司 $