江西省八所重点中学2026届高三下学期4月联考数学试卷

江西省八所重点中学2026届高三联考 数学试卷 2026.4 命题人：吉安一中 广信中学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若全集U={0,1,2,3,4,5,6},CuA={x|0≤x≤4，x∈N},则集合A为() A.{5,6} B.{0,5,6} C.{0,4,5,6 D.{4,5,6 2.已知复数z满足|1+√3i川+i=z(1-),则z的虚部为(） 82子 3.已知sin(a-)+3cosa=0,则sin2ax=() 3 05 A10 C.- 3 4设单位向量名，6的夹角为号，a=名+2名，方=2G-6,则弓在d上的投影数量为（) 3 B.V 2 D、V3 2 2 5.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a2a5=4a6,a3-a2=48,记[x]表示不超过x的最大整数，设 6,=[”+马]，则数列他，}的前30项和为() log an A.464 B.465 C.466 D.467 6若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有x个白球(x∈W),3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取 出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概 率不小于行则x的最小值为() A.5 B.6 c.7 D.8 7.已知两定点F(-3,0)和F(3,0),双曲线T以F,F2为焦点且经过动点M,若M在直线1：y=2x+4上运动， 则双曲线厂的离心率的最小值为() 435 B.5 C.6v5 D.25 8已知函数f()=e+x-m的零点为写，函数g()=血x+x-m的零点为x,其中m>1,则名+点的取值范 X2 X 围是() A.(2,+∞) B.(e+,+o) c.[e+,+o) D.[2,+∞) 2 e 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷 第1页共4页 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若a,b,c,d均为实数，则下列说法正确的是（) A若a<b,c≠0，则g<b B.若a<b,c<d,则ac<bd C若a>0,b>0,且+1=l则2a+36的最小值为5+2W6 a b D.若a>0,b>0,且a+b=2,则a2+b2的最大值为2 10已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,过F的直线1交抛物线C于A,B两点(A位于第一象限)，过A,B作 抛物线准线的垂线，垂足分别为A,B,则下列结论正确的是() AAB的最小值为2 B若直线I交y轴于点M,2FA=AM,则FM=5 C抛物线C在点A,B处的两条切线相互垂直 D.若AB,=4,则梯形ABB,A面积分别为16 11.在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥AC,且SA=AB=AC=1.动点P在侧面SBC内（包括边 界)运动，且满足点P到平面ABC的距离等于点P到点S的距离设动点P的轨迹为曲线厂，则以下选项 中正确的是() A.三棱锥S-ABC的外接球的表面积为6π B.二面角S-BC-A的正切值为√2 C三棱锥P-ABC的体积的最小值是3-V6 6 D.过点P平行于平面ABC的平面截三棱锥S-ABC所得截面面积的最大值为5-2√6 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.(x+1)°的二项展开式中，系数最大的项为 13.已知函数y=f(x)满足f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x)·f(x+1)·f(x+2)对任意实数x都成立，若 f(1)=2,f(2)=3,则f(13)-f14)=- 14.在三角形ABC中，∠BAC=60°，BC边上的中线AD=2,外心为O,重心为G,则OG的取值范是， 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷 第2页共4页 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） l5.(本题满分l3分)有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识 有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人现从这200名学生中随机选 1名学生，设事件伪选到的学生愿意报名参加答题活动，事件B为选到的学生为男生，且P心④=子P代@4)-号 (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表.从不愿意报名参加答题活动的学生中随机选择1人，设选到女生的概率 为p,求p的值： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 (2)依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析该校学生报名参加答题活动是否与性别有关 参考公式与数据：x2- n(ad-bc) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15.(本题满分15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-3·2+(n∈N) (1)求数列{a}: 2)设6，=(m+2)2. na+4,求数列色，}的前n项和工. 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷 第3页共4页 17.(本题满分15分)如图，四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB,平面PAC⊥平面ABCD, ∠BAD=90°，PA=AB=BC=1,AD=2 (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)点E为线段PD上一点(E与P,D不重合). PE 1 ①)若D了求二面角P-4C-B的余弦值： (i)是否存在点E,使得B,C,P,E四点共球且该球心位于平面ABCD内，若存在，指出点E位置；若 不存在，请说明理由。 18(体愿清分17分)若精圆：子+茶=a>0,b>0上一点PK,为处的切线方超为多+罗1已 a2 62 和桶圆C:二+大=a>0,b>0,22分别为左，右顶点且离心率2二直线I过7-10交椭圆 于A,B两点当直线1垂直于x轴时，AB=√3. (1)求椭圆C的方程； (2)连接AQ,BQ,BP,并过A,B两点分别作椭圆的切线，这两条切线相交于点D,过D作BQ的平行线交AQ 于M点，直线OM(O为坐标原点)交直线BQ于点N,直线AQ和直线BP的斜率分别为k和k2,N,B 两点横坐标分别为xN,xa· 证明(i) 为定值；《)2Xw-为 19.(本题满分17分)己知函数f(x)=alnx(a>0) 1)若a=1时，求函数g(x)=八)在点(e,ge》上的切线方程 (2)若x,x2>0,使得当x∈[x,x2]时，f(x)的值域为[玉，] (i)求实数a的取值范围：(i)证明：(：-x2)2>4(a2-ea). 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷 第4页 共4页江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷 答案 一、选择题 题号 3 6 > dP 9 1011 答案 A D B D A C AC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.252x5 13.-114.[0, 答案详解如下： 1.A【解析】CuA={x0≤x≤4，x∈N}={0,1,2,3,4},故A={5,6} 2.D【解析】|1+3i非V12+(3)2=2,故2+i=z1-), 2+i(2+i01+i)2+2i+i+21+3i1,3 Z= 1-i1-01+)1-2 Γ=222 ,故<的虚部为 2 3.B【解析】由已知可得-sino+3cosc=0,故tana=3, sin 2a=2sin acosa=- 2sin acosa 2tana 63 sin2a+cos2a tan2a+1 10 5 4D【解析】方在d上的投影数量为ab a 2 h=G+2g)(28)=2g+3e6-2g=2+3xx1x(3-2=- →→ 2 →2→→2 1an-G+2g-Gi+4d+4-1+41ix+4-3. 方在a上的投影数量为- 2 5.C由已知得an=4”, 8,eg,1-马-a+. 6=[+L]=[n+] n 当n=1时，b=2,当n≥2时，bn=n 设数列数列{bn}的前30项和为T30, Z0=h+b,++b0=2+2++30=2+2+30)×29 2 =466 6.B【解析】设第一次从甲盒取出白球、红球、黑球分别为事件A,A,,A,从甲盒中取出的球和从乙盒中取 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第1页共8页 的球颜色相同为事件B,则P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+P(A)P(BA) =×x++x4+1x3=3x+3+8+3-3x+14≥4 2x+63x+66x+66x(x+6)6xx+6≥g,即9x+42≥8x+48, 故x≥6，所以x的最小值为6. 7A【解析】焦距FE,上6，半焦距c=3,离心率e=3,求e的最小值即求实半轴长a的最大值 a=)ME-ME,先求M-ME的最大值由于M-ME≤FF1(其中F'为F关于直线I 的对称点，当且仅当M在E'延长线与l的交点时等号成立， F,(3,0)关于直线1：y=2x+4的对称点F'(-5,4)。故EF=25, 即M-ME的最大值为2W5,因此(2ams=2W5,anx=V5. 故双曲线离心率的最小值为em=C-35。 &.C【解析】f(x)=e+x-m,g(x)=hx+x-m=nx+enx-m=enx+lnx-m=f(nx), f(x)在R上单增，e+x=m,当x=0时，e+x=1,当m>1时，x>0,故hx2>0, x2>1,即hx2=x1 令1=点=血5，为∈+o,tx,)=1-h x,x, 故函数)在，e)上递增，(e,+0)在上递减，则1∈(0，，所以1+[e+,+0)。 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.AC【解析】由不等式性质可知A正确，B错误 c强项.出已知海方L即a+动=+0日+》小5+5=5+26，故c正确 a b D选项， 2≥a十b心a+b2≥2，a2+b2最小值为2，D选项错误 10.ACD【解析】由抛物线焦点弦最短可知A选项正确 由2FA=AM,F 433 抛物线在A,B处的切线分别为yy=x+x1,y》2y=x+x2,两条切线斜率之积为yy2=-p2=-1,C选项正确 白4B22-己g4得sm0-行A 1 sin8sinθ 2卫=8，（其中6为直线的倾斜角） sin20 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第2页共8页 SAmA=)M+BB小AB号0Ar+BFAA=)AAB=16.D选项正确 1BCD【解析】三棱锥S-ABC的外接球半径为体对角线的一半，R=夏，表面积4nR2=3m,故(A)错误。 二面角S-BC-A即平面SBC与平面ABC的夹角。平面ABC的法向量为i1=(O,0,1),平面SBC的法向量为 成=(a,1).设夹角为0，则cos0=高=言故am0=V2,因此)正确： 以A为原点，建立空间直角坐标系：A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1)。平面SBC的方程为x+y+z=1。 设Px,y,z),由条件z=√x2+y2+(2-1)2,化简得2z=x2+y2+1。联立x+y+z=1得(x+1)2+y+ 1)2=3,xy≥0，x+y≤1，。由轨迹方程可求得zpE3-V6,2-V②三棱锥P-ABC的体积V=2p,由得 Ve。,冯，因此(@)正确。 过P且平行于平面ABC的平面方程为z=zp,截面为直角三角形，面积S=(1-zp)2, 又zp∈[3-V6,2-V2]∴.Smax=5-2V6,故D)正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.252x5【解析】(x+1)展开式的第r+1项系数为Co1'=C0,其中r=0,110,当r=5时， 系数为最大，故系数最大的项为C0x=252x 13.-1【解析】已知f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x)f(x+1)·f(x+2), 所以f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=f(x+1)·f(x+2)·f(x+3),两式相减得 f(x+3)-f(x)=(f(x+3)-f(x)f(x+2)·f(x+1),.f(I)f(2)≠0，∴.f(x+2)·f(x+1)≠0， 则f(x+3)-f(x)=0,.∴f(13)-f14)=f1)-f(2)=-1, 14.[O,【解析】设AB=c,AC=b,BC=a,三角形ABC的面积为S。 由面积公式：S-bcs如60- 1 4bc,得6c二令 由中线长公式：AD2=2b2+2c2-a=4,即2b2+2c2-a2=16…(1) 4 由余弦定理：a2=b2+c2-2 bc cos60°=b2+c2-bc…(2) 将(2)代入(1)得：2b2+2c2-b2+c2-bc)=16,即b2+c2+bc=16…(3) 暨bc=5代入式③)，得2+c216约 52. 4S 由基本不等式b2+c2≥2bc,得16- “后解得ss 3:结合三角形存在性， s>0故5co9. 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第3页共8页 外接圆半径R满足：2R sm60V后·即R=A a 2a ②和6)消去+c2,结合bc店得=16-8贺 4S oc-3(Om+0丽+0C)平方得0G=R2_a2+b2+c2_16-4v3s 9 9 求OG的取值范围： 当s→0*时，10G→：当s=时，1oG=0。答案：o, 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 3 15.【解析】（①愿意报名参加答题活动的人数为200×写120，愿意参加答题活动的学生为男生的人数为 120×2-80,故愿意参加活动的学生为女生的人数为120-80=40，不愿意参加答题活动的学生为男生的 3 人数为100-80=20，不愿意参加答题活动的学生为女生的人数为100-40=60 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 …4分 由表格得不愿意参加答题活动得80人有60个女生，所以卫的估计值为 603 …7分 804 (2)零假设为H。：该校学生报名参加答题活动与性别无关， 根据表中数据可得，x? 200×(20×40-60×80)2100 …11分 80×120×100×100 3 ≈33.333>10.828=x.001, 根据小概率值=0.001的x2独立性检验，我们推断H。不成立，即认为该校学生报名参加答题活动与性别 有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 …13分 16.【解析】(1)己知Sm=2an-3·2m+1(n∈N) 当n=1时，S1=4=2a1-3·22,解得a1=12 …1分 当n≥2时，Sn-1=2an-1-3.2，由Sn-Sm1得：an-2an-1=32”, …3分 两边同除以2，和号-号会=3，因此分 是首项为%=6，公差为3的等差数列， 21 …6分 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第4页 共8页 故8=6+3n-1)=3m+3,即a,=3n+10-2” …8分 由a,=30n+10-2,则b,=+2a.=n+2-3n+10-2°。30u+2) nn+1024-nn+12.22m*2nn+1）-2*2 31 1 4n2- …12分 (n+1)2” 则数列{bn}的前n项和为： 3 (n+)-2”4n+1)-2*2 …15分 17.【解析】(1)方法一：由BC⊥平面PAB,PAC平面PAB,得BC⊥PA。 因为平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC⌒平面ABCD=AC,取AC的中点为K,又因为BA=BC,所以 BK⊥AC,所以BK⊥平面PAC,因为PAC平面PAC,所以BK⊥PA,又因为BC∩BK=B,所以PA⊥ 平面ABCD. 方法二：因为BC⊥平面PAB,BAC平面PAB,得BC⊥BA,又因为AB=BC=1,所以 AC=√2，∠BAC=45°，又因为∠BAD=90°，所以∠CAD=45 又AD=2,由余弦定理得CD=√2，所以DC⊥CA,又因为平面ABCD⊥平面PAC,且平面ABCD∩平面 PAC=AC,所以DC⊥PA,又因为BC⊥PA,且BC∩CD=C,所以PA⊥平面ABCD.4分 (2)(i)以A为原点，AB,AD,AP方向为x,y,乙轴方向建系，则有A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), PE-则E D02,0.P0.0,D,由于PD3 22 3’31 …6分 PAC的法向：设（任X白AC周-0AP网-0用二)0令-1得%--10…7有 x+y=0 平面ACE的法向量：设n2=(x,y,z),由AC·n2=0,AE·n2=0得2,2 (3y+=0 3 令x=1,得n2=(1,-1,1) …9分 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第5页共8页 设二面角P-AC-E的平面角为0，注意到0为锐二面角， 所以c0s8= n'n 2V6 万.53即三面角P-AC-E的除陪猫为，V6 …10分 l 3 (2)(ii)设PE=PD(0<元<1)，则E(0,22,1-2)(0<<1); …11分 设过B,C,P,E四点的球的球心为O(x,y,z),半径为R,则R2=OB2=OC2=OP2=OE2，即 (x-1)2+y2+z2=R2 r-251 2 (x-1)2+(y-1)2+z2=R2 可得y= 1 x2+y2+(z-1)2=R2 x2+(y-2)2+[z-(1-)]'=R2 令2=2-52-0解得元=4∈(0，D满足条件， 4 2 综上：即PE=考PD时点E使得B.C,PE四点关球且该球心位于平面ACD内 4 …15分 18【解折】0)题意可知(~L5在椭圆上，且由e=5,可得a=2b,联立方程 2 +61。a=2 〔1.3 a=2b b=1'所以椭圆C: 4+y2=1 …4分 (②0由题意可知直线AB不与x轴重合，设直线AB:x=y-1,点A(X,乃，B(x,) +y=10m2+49y2-2mv-3=0 4 x=my-1 2m -3 y1+y2=- m2+4y m2+4△=16m2+48>≥05分 y k=-2=y(x+1)=my,+2)-myy2+ ..6分 k22y2(x1-3)y20my-2)myy2-3y2 七+2 M 又因为y+y2=- 3少…8分 2m 3 所以- 20%+)+y1 .9分 k2-3 0+%)-3y, 3 ()由题意可知过点A的切线和点B的切线分别为： +y=1,和+y=1,联立方程 4 4 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第6页共8页 4+yy=1 xx _4(y1-y2)_4y-y2) —=-4…11分 +2y=1 x2y-xy2(my2-1)y1-(y1-1)y2 4 2-1+五=m,所以D-4m…12分 y 面线:y-m-+,直线4oy2r-2 52 y-m=22x+4) 七3-2 y=Yx-2)） x-2x2-2 七-2 (”，w=2》3t4tm→ my-3 my2-3 my1-3my2-3 xw=-32-y)+m'+6myy-(3m2+9y+y)+9m 3(y2-) m3+6m）-、3 21m m2+4(3m2+9) +9m =-1+ m2+4 =-1…15分 3(y2-y) 1,KM-2) ,又由（①可知k2=3k,所以koM=k2, =3k XM 即OM∥BP.16分 可得N为BQ中点，所以xw=十，即2xw-xB=2.17分. 2 9.(0当a=1时，g0)=n',8'=2,所以8'(e)=48@= 故切线方程 为y= e 广)=5→an无，所以=5- 2O显然了)在k上单调递指.则f)=,ah名=。 x x2 a >F)=n人.则F()=故F)在0，©)上单调魔增，在e0上单调避 Fe)=,函数F()的大致图象为下图，故有0<<}，即a的取值范国为(e 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第7页共8页 y 1 e e @记)=hx+2,则h四三。=之，故)在0，e)上单调递减，在（伦，+w 单调递增，故W≥e=0即nx≥2-，1≠e=h>2-,即x2-2x+e>0, 1 a x 同理’-2x,+e>0,因为函数0=x2-2x+e的△=4-4e>0,且对称轴为x=a, a 则方程t(x)=0存在两根m,(m<a<n),且m+n=2a,mn=ae, n-m=(m+n)2-4mn v4a2-4ea,m<a<n,t()0,1(x2)>0t(e)<0,x<e<x, 所以x<m<e<a<n<飞'则x-x>n-m=V4a2-4ea,即(x-)>4(a2-ea).17分 …4分 +0).……10分 江西省八所重点中学2026届高三联考数学试卷答案 第8页共8页