专题02 相交线与平行线（期中真题汇编）数学新教材北师大版七年级下册

专题02 相交线与平行线 10大高频考点概览 考点01利用对顶角相等求角 考点02与余角、补角相关的计算 考点03点到直线的距离与垂线段最短 考点04 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 考点05 求证两直线平行 考点06 平行线的判定和性质多结论题 考点07 平行线的性质在生活中的应用 考点08 平行线的判定和性质综合问题 考点09 根据平行线的判定和性质探究角的关系 考点10 根据平行线的判定和性质解决光线问题 ( 地 城 考点01 利用对顶角相等求角 ) 1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对顶角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴． 故选：A． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（   ）    因为， ，所以. （依据：__________） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了补角的性质及对顶角相等的推理依据，解题的关键是明确补角定义(和为 的两个角互为补角)，准确识别 和（对顶角）均为 的补角，再依据补角性质确定推理依据． 先根据已知、，结合补角定义，判断 与、 与 分别互为补角( 和 是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、余角性质、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是 “始边与终边在同一直线且方向相反的角为 ”，本题是通过两个角与 的和为 推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的余角相等的前提是 “角的和为 ”，本题中角的和为 ，属于补角关系，与余角无关，此选项不符合题意； C、同角的补角相等是 “若两个角均为同一个角的补角(和为 ，则这两个角相等”，本题中、，即 和都是 的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； D、同位角相等需满足 “两直线平行被第三条直线所截” 的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 【答案】/48度 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江西南昌·月考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则_____． 【答案】/30度 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等可得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ( 地 城 考点02 与余角、补角相关的计算 ) 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线，角的运算；先求出，再根据角平分线的性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了余角和补角，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 先根据已知条件求出，再根据和已知条件，求出，从而求出即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算． 先由求出的度数，再由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键． 由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ( 地 城 考点0 3 点到直线的距离与垂线段最短 ) 11．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义即可求解，理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，， ∴代表点M到直线l的距离的是线段的长度． 故选：C． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（   ） A．20 B．12 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，过点作于点，根据题意得出，根据的面积为，，得出的面积为，根据三角形的面积公式求得，由为的中点，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点 ∵到的距离为， ∴， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 13．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，，，，，那么点B到的距离是____，点C到的距离是____． 【答案】 8 4.8 【分析】本题考查了点到直线的距离，理解点到直线的距离的概念是解题的关键． 点到直线的距离即为该点到该直线垂线段的长度，据此求解即可． 【详解】， 点B到的距离等于的长，为8 ． 如下图所示，过点C作于D，则点C到的距离等于的长， ， ， ， ， 点C到的距离等于4.8 ． 故答案为：8；4.8． 14．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3)和 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键； （1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求； （2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案； （3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短； （3）解：∵， ∴， ∴的余角是和． ( 地 城 考点0 4 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 ) 16．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角． 根据同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，解答即可． 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A． 17．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内错角的定义，根据内错角的定义即可求解，掌握内错角的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，的内错角是， 故选：． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图：的同旁内角是______． 【答案】、、、 【分析】本题主要考查了同旁内角的定义．根据同旁内角的定义即两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角进行解答即可． 【详解】解：是同旁内角的有：、、、． 故答案为：、、、． 20．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的内错角是， 故答案为：． ( 地 城 考点0 5 求证两直线平行 ) 21．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由． 如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明：（已知）， （______） 平分，（已知）， （______） （已知） （______） （______） 【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ． 【分析】本题考查了平行线的判定方法，余角的性质等；结合垂直的定义、角平分线的定义及余角的性质得，由平行线的判定方法，即可得证． 【详解】证明：（已知）， （垂直的定义）, 平分，（已知）， （角平分线的定义）, （已知）, （等角的余角相等）, （内错角相等，两直线平行）, 故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行 ． 22．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又 （______）． ______（______）． （______）． 又， ． ∴（______）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键． 求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：∵（对顶角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵． ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行． 23．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线的定义、垂直等知识，熟练掌握平行线的判定是解题关键． （1）根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得； （2）先根据角的和差可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的性质，角平分线的定义等．根据角平分线的定义以及，可得，再由，可得，即可求证． 【详解】证明：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． ( 地 城 考点0 6 平行 线的判定和性质多结论题 ) 26．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③平分；其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据，，得出；；根据，得到；即可判断①；根据，得出，即可判断②；根据已知条件，无法推出的度数，即可判断③； 【详解】解：∵，， ∴； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴，解得：；故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据已知条件，无法推出的度数， ∴无法推出平分，故③错误； 故选：B． 27．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质. 延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答. 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 无法计算和的倍数关系， ∴的值未必为，未必为， ∴无法证明平分，. ∴③，④不一定正确． 故选：． 28．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 故选：B． 29．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【分析】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论： ①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定及性质；①由平行线的性质得，结合角平分线的定义即可判断；②过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可判断；③过作，由平行线的性质得，结合角平分线的定义得，即可判断；④由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，即可判断；能熟练利用平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】解：①， ， 平分， ， ； 故①正确； ②过作， ， ， ，， ， ，即； 故②正确； ③过作， ， ， ， ， ， ， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， ， ， 故此项错误； ④， ， 与的角平分线交于点， ，， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． ( 地 城 考点0 7 平行线 的性质在生活中的应用 ) 31．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质的应用；由得，进而求得；再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 32．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过作，由平行线的性质得，，可得，即可求解；理解题意，能熟练利用平行线的性质求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 过作， 由题意得：，， ， ， ， ， ， 故选：B． 33．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 34．（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 【答案】/32度 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 35．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． ( 地 城 考点0 8 平行线 的判定和性质综合问题 ) 36．（24-25七年级下·四川内江·开学考试）如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定等知识．根据得到，进而证明，得到，根据平行线性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，一元一次方程等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得，再结合得，由平行线的判定即可证明； （2）设，则，由平行线的性质求得，，；由平分得，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴； ∵， ∴，，； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即． 38．（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知：如图（1）直线、被直线所截，．    (1)求证：； (2)如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）作，根据平行线的判定与性质可得，同理可得，根据，再根据角平分线的定义可得，，即有，问题随之得解． 【详解】（1）证明：如下图 ∵（已知），（对顶角相等） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）， 理由：作． ， ， 同法可证：， ∵， ， 又，， ∴ 39．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）根据平行线的性质和角平分线定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 又， ， 又平分， ， ， ． 40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）分别过点作的平行线，则，设，利用（2）中结论，结合平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则， ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：分别过点作的平行线，则， 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 由（2）知： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ． ( 地 城 考点0 9 根据 平行线 的判定与性质探究角的关系 ) 41．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 42．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 43．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图，分别过点E，F作，，证明，可得，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，过点F作，由（2）知，，设，则，证明，，证明，，可得，从而可得答案． 【详解】（1）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （2）如图，过点F作， 由（1）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质探究角度的大小关系是解本题的关键． 44．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过点作，得到，推出，，得到； （2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此． 【详解】（1）如图1，过点作， ， ． ，， ， ， ，，之间的数量关系为：， 故答案为：； （2）①如图2，，理由如下： ，， ， 由（1）知：， ； ②如图3，由（1）得：，     平分， ， ， ， ， 平分， ， ． 45．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 46．（24-25九年级下·广东中山·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等，根据，得出，再根据已知条件得出即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， 故选：C． ( 地 城 考点 10 根据 平行线 判定与性质解决光线问题 ) 47．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则______． 【答案】/60度 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论．过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对顶角相等得出． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 48．（24-25七年级下·全国·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，进而可得，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 49．（24-25七年级下·福建漳州·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角度的计算，由两直线平行，同位角相等得出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 50．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了；当我们去观赏鱼时，看到的鱼的位置要比鱼的实际位置浅，这就是所谓的“潭清疑水浅”，其实这些都是光的折射现象．如图，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，若，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法，请你给他们的过程补充理由或结果． 小聪： 解：∵，(已知) ∴.（      ） ∵，(已知) ∴， ∵，(已知) ∴． ∵，（      ） ∴（      ）. 小明： 解：∵，，(已知) ∴．（      ） ∵，(已知) ∴．（  ） ∴（      ）． 【答案】小聪：两直线平行，同旁内角互补；平角的定义； 小明：两直线平行，内错角相等；对顶角相等； 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，小聪：先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再结合角的和差运算进行计算；小明：先根据两直线平行，内错角相等得出，再运用对顶角相等得，结合角的和差运算进行计算，即可作答． 【详解】解：小聪：∵，(已知) ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵，(已知) ∴， ∵，(已知) ∴． ∵，（平角的定义） ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；； 小明：∵，，(已知) ∴．（两直线平行，内错角相等） ∵，(已知) ∴．（对顶角相等） ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02相交线与平行线 题号 6 > 11 12 16 17 18 26 答案 A C D B C C A D C B 题号 27 28 31 32 41 46 答案 A B A B C C 1.A 【详解】解：，∠BOC与∠AOD是对顶角， ∴.∠AOD=∠B0C=40° 故选：A 2.C 【详解】解：A、平角的定义是“始边与终边在同一直线且方向相反的角为180°”，本题是通过两个角 与∠2的和为180°推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意： B、同角的余角相等的前提是“角的和为90°”，本题中角的和为180°，属于补角关系，与余角无关， 此选项不符合题意： 180) C、同角的补角相等是“若两个角均为同一个角的补角（和为 ,则这两个角相等”，本题中 ∠1+∠2=180°、∠2+∠3=180°，即∠1和∠3都是∠2的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； D、同位角相等需满足“两直线平行被第三条直线所截”的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项 不符合题意： 故选：C 3.48°148度 【详解】解：：直线AC,BD相交于点O,∠AOB=48°， .∠COD=∠AOB=48°. 故答案为：48°. 4.30°130度 【详解】解：，∠PDM=50°， .∠BDN=∠PDM=50°， ,∠BDC=20°， .∠CDN=∠BDN-∠BDC=50°-20°=30°， 故答案为：30°. 5.∠AOC=76° 1/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：，OE⊥OF, .∠FOE=90°， ∠DOF=52°， ∴.∠D0E=∠FOE-∠D0F=90°-52°=38°， :OE平分∠BOD .∠0B=2∠E=2×38°=76°， ,∠AOC=∠DOB, .∠A0C=76°. 6.D 【详解】解：，∠AOD=155°， .∠BOD=180°-∠AOD=25°， :OD平分∠BOE, ∴.∠BOE=2∠BOD=50°， .∠AOC=65°， ∴.∠COE-180°-∠AOC-∠BOE=65°， 故选：D. 7.B 【详解】解：：∠AOC:∠BOC=1:4,∠AOB=90°， .∠BOC=4∠AOC=∠AOB+∠AOC, 4∠A0C=90°+∠AOC, 3∠A0C=90°， ∠A0C=30°， '∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，∠AOB=∠COD=90°， .∠A0C+∠BOD=360°-90°-90°=180°， ∴.∠BOD=180°-∠AOC=180°-30°=150° 故选：B 8.136° 【详解】解：：∠BOD=90°，∠COD=44°， :.∠B0C=∠B0D-∠C0D=90°-44°=46°， .∠A0C=90°， 2/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠AOB=∠A0C+∠B0C=90°+46°=136°， 故答案为：136°. 9.1230 【详解】解：：∠BOD与∠BOE互为余角， .∠BOD+∠BOE=90°， ·∠B0E=24°， .∠B0D=90°-∠B0E=90°-24°=66°， .∠B0C=180°-∠B0D=180°-66°=114°， OF平分∠BOC, ∠COF=∠D0H=,∠B0C=57, 2 .∠BOH=∠BOD+∠DOH=66°+57°=123° 故答案为：123° 10.(1)∠EOF=∠COD,理由见解析 (2)∠AOF的补角是∠BOF,∠AOF的余角是∠BOD 3)28° 【详解】(1)解：∠EOF=∠COD,理由如下： .∠FOD=∠COE=90°， .∠EOF+∠DOE=90°，∠COD+∠DOE=90°， ∴.∠EOF=∠COD: (2)解：，∠FOD=∠COE=90°，∠AOB=180°， .∠AOF+∠BOF=180°，∠AOF+∠FOD+∠BOD=180°， ∴.∠AOF+∠BOD=90° .∠AOF的补角是∠BOF,∠AOF的余角是∠BOD: (3)解：由(2)知∠AOF+∠BOD=90°， ,∠A0F=34°， .∠B0D=56°， :OC平分∠BOD, ∴∠C08=5∠B0D=28. 11.C 【详解】解：A,B,C,D四点在直线1上，点M在直线1外，MC⊥I, 3/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .代表点M到直线1的距离的是线段MC的长度， 故选：C 12.C 【分析】本题考查了点到直线的距离，过点E作EF⊥BC于点F,根据题意得出EF=3,根据△AEC的面 积为12，ED=2AE,得出△CDE的面积为2×12=24，根据三角形的面积公式求得CD=16,由D为BC 的中点，即可求解. 【详解】解：如图，过点E作EF L BC于点F D F E到BC的距离为3， .EF=3, :△AEC的面积为12，ED=2AE, ∴.△CDE的面积为2×12=24， CDx EF2. ∴.CD=16, :D为BC的中点， .BC=2CD=32, 故选：C. 13. 84.8 【详解】：BC1AC, .点B到AC的距离等于BC的长，为8Cm, 如下图所示，过点C作CD⊥AB于D,则点C到AB的距离等于CD的长， A △g5=4n4cc 2 .AB.CD=AC.BC, .10CD=6×8, .CD=4.8, 4/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴·点C到AB的距离等于4.8Cm. 故答案为：8；4.8 6 14.9 【详解】解：在△ABC中，AB=9,BC=8,AE为BC边上的高，AE=7,如图，过点C作CD⊥AB于 点D, D 人 D C:. S.wc=1AB-CD-BC.AE 2 2 ABCD=BC·AE, 9CD=8×7, 56 解得：CD= 9, 垂线段最短， 当点P与点D重合时，PC最小， 56 即PC最小值为9， 56 故答案为：9· 15.(1)见解析 (2)PF,PF<PE,垂线段最短 (3)∠OEP和∠OPF 【详解】(1)解：如图所示，即为所求； B (2)解：PF⊥OA,PE⊥OB, 线段PF的长度是点P到直线OA的距离，线段PE、PF这两条线段大小关系是PF<PE,理由是垂线 5/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 段最短： (3)解：PF⊥OAPE⊥OB, :.∠AOB+∠OEP=∠AOB+∠OPF=90°， .∠AOB的余角是∠OEP和∠OPF. 16.A 【详解】解：由同位角的定义可知选项A符合题意， 故选：A. 17.D 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：∠4和∠5是同旁内角. 故选：D。 18.C 【详解】解：如图，∠B的内错角是∠3， 故选：C 19.∠ACB、∠ADB、∠ABC、∠ABD 【详解】解：∠A是同旁内角的有：∠ACB、∠ADB、∠ABC、∠ABD 故答案为：∠ACB、∠ADB、∠ABC、∠ABD 20.∠AED 【详解】解：由题意得，图中∠FAE的内错角是∠AED, 故答案为：∠AED. 21.垂直的定义：角平分线的定义：等角的余角相等：内错角相等，两直线平行· 【详解】证明：：DB⊥BF(已知)， :∠DBE+∠EBF=∠DBF=90°（垂直的定义）， :BF平分∠EBC,(已知)， .∠EBF=∠CBF(角平分线的定义)， ∠D+∠CBF=90°（已知）， ∴.∠DBE=∠D(等角的余角相等)， .AD∥BE(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：垂直的定义：角平分线的定义：等角的余角相等：内错角相等，两直线平行， 22.对顶角相等：等量代换：DE;同位角相等，两直线平行：两直线平行，同旁内角互补：内错角相等， 两直线平行. 【详解】证明：：∠I=∠BFH(对顶角相等)， 6/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又.∠1=∠2（已知）， ,.∠BFD=∠2（等量代换）， .BC∥DE(同位角相等，两直线平行)， ∴.∠C+∠CDE=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又：∠B+∠CDE=180°. ∴.∠B=∠C, .AB∥CD(内错角相等，两直线平行)， 故答案为：对顶角相等；等量代换：DE;同位角相等，两直线平行：两直线平行，同旁内角互补：内错 角相等，两直线平行。 23.(1)∠DCF=65 (2)AB∥CE;理由见解析 【详解】(1)解：∠ACE=50°，∠ACE+∠ECF=180°， .∠ECF=130°， ,CD平分∠ECF, .∠DCF=号∠ECF=659 (2)解：AB∥CE;理由如下： :∠ACB=∠DCF,∠B=∠ACB, .∠DCF=∠B, :CD平分∠ECF, ∴.∠DCE=∠DCF, .∠B=∠DCE, ∴.AB∥CE. 24.(1)OE⊥OF,理由见解析 (2)AB∥EF,理由见解析 【详解】(1)解：OE⊥OF,理由如下： ..OE,OF 分别是∠10C和∠B0C的平分线， ∠E0c=40c,∠roc=B0c. ,∠AOC+∠BOC=180°， 7/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE0c+∠F0CX180°=90°，即E0E90 .OE⊥OF (2)解：AB∥EF,理由如下： 由(1)已得：∠EOF=90°， :∠A0E=35, ∴.∠BOF=180°-∠EOF-∠AOE=55°， ∠F=55°， .∠BOF=∠F, AB∥EF 25.证明见解析 【详解】证明：：BD平分∠ABE, ∴.∠ABD=∠EBD ,∠ABD+∠F=90° .∴.∠EBD+∠F=90 ,BD⊥BF .∠EBD+∠EBF=90 .∠F=∠EBF .BE∥CF. 26.B 【详解】解：，FD∥EH,FG⊥EH, ∴.∠GFD=180°-∠FGH=90°： ∴.∠AFG+∠BFD=180°-∠GFD=90°： :AB∥CD, .∠BFD=∠D: .∠AFG=2∠D, ∴.2∠D+∠D=90°，解得：∠D=30°：故①正确： :FD∥EH, .∠EHC=∠D=30°， .2∠D+∠EHC=90°，故②正确： 根据已知条件，无法推出∠HFD的度数， 8/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .无法推出FD平分∠HFB,故③错误： 故选：B. 27.A 【详解】解：延长FG,交CH于1. A F B E G CI H D.:ABI CD ∠BFD=∠D,∠AFI=∠FIH, FD∥EH, ∠EHC=LD, :FE平分∠AFG,∠AFG=2∠D .∠FIH=2∠AFE=2∠EHC, ∴.3∠EHC=90° ∴.∠EHC=30° ∴.∠D=30°， .2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°， ①错误；②正确 :FE平分∠AFG, .∠AFI=30°×2=60°， ∠BFD=∠D=30°， .∠GFD=90°， ∴.∠GFH+∠HFD=90° 无法计算∠GFH和∠HFD的倍数关系， ∴.∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°， ∴.无法证明FD平分∠HFB,∠GHF=45 ③，④不一定正确。 故选：A. 28.B 【详解】解：FG⊥EH, .∠FGE=90°， 9/26 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：FDI/EH, ÷∠GFD=180°-∠FGE=90°， ∠AFG+∠BFD=180°-90°=90°， ∠AFG=2∠D, 2∠D+∠BFD=90°， AB∥CD, ∠D=∠BFD, 2∠D+∠D=90°， 解得∠D=30°，则结论①正确： :FD∥EH, ∠EHC=∠D=30°， ÷2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，则结论③正确： :∠D=30°， ·∠BFD=∠D=30°，∠GFD=90° 但∠HFD不一定等于30°，也不一定等于45°， 所以FD平分∠HFB,FH平分∠GFD都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③ 故选：B 29.② 【详解】解：延长FG,交CH于I, A -B E< D :AB∥CD, .∠BFD=∠D,∠AFI=∠FIH, :FD∥EH, ∴.∠EHC=∠D. :FE平分∠AFG, .∠AFI=2∠AFE, 10/26 专题02 相交线与平行线 10大高频考点概览 考点01利用对顶角相等求角 考点02与余角、补角相关的计算 考点03点到直线的距离与垂线段最短 考点04 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 考点05 求证两直线平行 考点06 平行线的判定和性质多结论题 考点07 平行线的性质在生活中的应用 考点08 平行线的判定和性质综合问题 考点09 根据平行线的判定和性质探究角的关系 考点10 根据平行线的判定和性质解决光线问题 1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）数学课堂上，探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其推理的依据为（   ）    因为， ，所以. （依据：__________） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．同位角相等 3．（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是__________． 4．（24-25七年级下·江西南昌·月考）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则_____． 5．（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． ( 地 城 考点02 与余角、补角相关的计算 ) 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图所示，把平角放置在量角器上，O与量角器的中心重合，射线分别对准刻度和，在内部做射线，使平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，，，则_______． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则_______． 10．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． ( 地 城 考点0 3 点到直线的距离与垂线段最短 ) 11．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，，则下列线段的长度中代表点M到直线l的距离的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（   ） A．20 B．12 C．32 D．36 13．（23-24七年级下·广东中山·期中）如图，，，，，那么点B到的距离是____，点C到的距离是____． 14．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 15．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． ( 地 城 考点0 4 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别 ) 16．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图：的同旁内角是______． 20．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，直线、被直线所截，则图中的内错角是_____ ( 地 城 考点0 5 求证两直线平行 ) 21．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由． 如图，点A、B、C在同一条直线上，已知平分，，，求证：． 证明：（已知）， （______） 平分，（已知）， （______） （已知） （______） （______） 22．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）完成下列证明，在括号内填写出推理依据 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又 （______）． ______（______）． （______）． 又， ． ∴（______）． 23．（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，与是否平行？请说明理由． 25．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，．求证：． ( 地 城 考点0 6 平行 线的判定和性质多结论题 ) 26．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③平分；其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 27．（24-25六年级下·山东东营·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 29．（24-25七年级下·天津·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 30．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，点为上一点，作，连接，若与的角平分线交于点．下列结论： ①；②若，则；③；④．其中一定正确的结论有___________（填写序号即可）． ( 地 城 考点0 7 平行线 的性质在生活中的应用 ) 31．（24-25七年级下·山东德州·月考）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．某同学正在做仰卧起坐，如图，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·山东济南·期中）请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角）．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在至． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线BC和书本所在平面所成角度可能为以下哪个角度（    ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 34．（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 35．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． ( 地 城 考点0 8 平行线 的判定和性质综合问题 ) 36．（24-25七年级下·四川内江·开学考试）如图，，，．求的度数． 37．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图，已知，E为射线上一点，平分，． (1)求证：． (2)，求的度数． 38．（24-25七年级下·新疆和田·期中）已知：如图（1）直线、被直线所截，．    (1)求证：； (2)如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由． 39．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，连接、，在上，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 40．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． ( 地 城 考点0 9 根据 平行线 的判定与性质探究角的关系 ) 41．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是______． 43．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图1，已知． (1)探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点P，求的度数． 44．（24-25七年级下·四川成都·期中）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 45．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 46．（24-25九年级下·广东中山·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射。如图，水面与水杯下沿平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． ( 地 城 考点 10 根据 平行线 判定与性质解决光线问题 ) 47．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则______． 48．（24-25七年级下·全国·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，，则的度数为______． 49．（24-25七年级下·福建漳州·期中）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，求的度数． 50．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在生活中，当我们把吸管放到清水中时，会发现吸管“折”了；当我们去观赏鱼时，看到的鱼的位置要比鱼的实际位置浅，这就是所谓的“潭清疑水浅”，其实这些都是光的折射现象．如图，水面与容器底部平行，光线从空气中射入水中发生了折射，折射光线与相交于点，点在的延长线上，若，求光线偏折的角度的度数．在解决这道题时，小聪和小明分别用了不同方法，请你给他们的过程补充理由或结果． 小聪： 解：∵，(已知) ∴.（      ） ∵，(已知) ∴， ∵，(已知) ∴． ∵，（      ） ∴（      ）. 小明： 解：∵，，(已知) ∴．（      ） ∵，(已知) ∴．（  ） ∴（      ）． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $