8.6 样本均值与标准差（教案）--北师大版《数学 基础模块下册》《上好课》

北师大版《数学基础模块 下册》 第八章 概率与统计初步 8.6 样本均值与标准差 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（基础模块 下册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “样本均值与标准差”是概率与统计初步章节的核心数字特征内容，核心知识点包括样本均值、样本标准差的统计意义、计算公式及实际应用，为后续学习统计推断等内容奠定了重要的分析基础。教材以生活中调查学生电话费等实际场景为逻辑主线，既衔接了学生对样本数据、频率分布表与直方图的认知，又深化了用数字特征描述数据集中趋势与离散程度的统计思维，提升学生运用均值与标准差分析数据、解决实际统计问题的能力。 五、学情分析 多数学生已具备样本数据整理、基础统计图表解读及四则运算等基础知识，并且对生活中成绩高低起伏等体现数据波动的实际场景有明确认知，这为他们学习样本均值与标准差打下了基础。但如果只采用纯公式记忆的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对均值与标准差的统计意义理解不透彻，混淆标准差与方差的计算步骤。因此可以通过与生活关联的实例对比帮助学生掌握样本均值与标准差的知识，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握样本均值、方差与标准差的统计意义及计算公式； 2.能根据样本数据准确计算均值、方差与标准差并解释数据的集中趋势与离散程度； 3.通过样本均值、方差与标准差的学习，发展数据分析、数学运算、逻辑推理的核心素养，建立用统计特征数概括数据的意识。 七、教学重点 1.样本均值、方差与标准差的统计意义； 2.样本均值、方差与标准差的计算公式。 八、教学难点 根据样本数据准确计算均值、方差与标准差并解释数据的集中趋势与离散程度。 九、教学方法 案例法：通过案例帮助学生理解样本均值与标准差的相关知识点，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对样本均值与标准差相关知识点进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究样本均值与标准差相关知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 观察思考： 我们用简单随机抽样的方法在某职业学校某专业三年级（1）班中抽出了10名学生，调查其某月的电话费，结果如下（单位：元）： 70 60 50 40 70 60 30 60 60 30 观察思考： 如何衡量这10名学生该月的电话费的平均水平呢？这10名学生该月的电话费的差距情况又如何衡量呢？ 分析： 10名学生该月的电话费的平均水平可以用平均值（均值）来衡量： （元）。 10名学生该月的电话费在平均值附近的波动情况通常用方差和标准差来衡量： ， （元）。 注意：平均值和标准差的单位与样本数据的单位是一致的。 通过回顾旧知识出新知识点：样本均值与标准差。 新知讲授 样本均值与标准差 假设从总体中抽取一个容量为的样本，得到个数据，，，，，那么 ， ， 分别称为样本的均值、方差和标准差。 总结样本均值、方差与标准差的计算公式。 案例分析 【例题】某电视台的健康节目随机抽取了市场上的10种零食，测出它们的热量如下。(单位：) 11 12 12 16 40 19 15 20 32 30 上述10种零食的热量组成样本，计算样本的均值、方差和标准差。（结果精确到0.01） 【解析】样本均值为 .7()； 样本方差为 =89.01； 样本标准差为 . 【例题】在某一次歌唱比赛中，7位评委为某位选手打出以下分数：9.4，9.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数、方差、标准差和离散系数分别是多少？ 【解析】平均数：. 高教版方差： ， 标准差：.离散系数：. 人教版方差： . 标准差： .离散系数：. 通过案例来帮助学生更好地理解样本均值、方差与标准差的计算公式。 学以致用 【练习】2022年2月4日—2月20日，北京冬奥会顺利召开，全民关注冬奥赛事.为了更好的普及冬奥知识，某中学举办了冬奥知识竞赛，并随机抽取了100名学生的成绩，且这100名学生的成绩（单位：分）都在，其频数分布表如下图所示. 成绩（单位：分） 人数 6 4 a b 18 由分布表得知该中学冬奥知识竞赛成绩的中位数的估计值为82分. (1)求a，b的值； (2)该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（参考数据：） 【解析】（1）因为该中学冬奥知识竞赛成绩的中位数的估计值为82分， 所以，解得：， 则a，b的值分别为32和40； （2）该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数为： ； 该中学冬奥知识竞赛成绩的标准差为： 所以. 该中学冬奥知识竞赛成绩的平均数与标准差的估计值分别为81和10.2. 【练习】甲、乙两位选手即将参加全国技能比赛，教练组整理了两位选手最近5次的训练成绩分别如下（单位：分）： 甲：90  83  86  85  86 乙：79  92  79  89  91 (1)分别计算甲、乙两位选手成绩的均值和方差； (2)根据计算结果，说明哪位选手成绩比较稳定． 【解析】（1）：，， ， ； （2）由于，所以甲选手成绩比较稳定； 老师安排小明和小红各自独立调查本校学生的身高情况．小红随机选取了60名学生进行调查，小明随机选取了20名学生进行调查．请思考： 小明和小红所得到的样本的标准差是否一定相同？如果不同，哪组样本的标准差可能更大？ 答案： 因为小明和小红采用的是随机抽样的方法进行调查，所得样本数据不一样， 所以小明和小红所得到的样本的标准差不一定相同；如果不同，因为选取数据多的样本组，统计结果将更接近总体，其离散程度相对较小，则标准差相对较小，所以小红选取的样本的标准差可能更小，则小明选取的样本的标准差可能更大. 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对样本均值、方差与标准差的计算公式的综合应用的记忆。 课堂练习 【练习1】下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是（ ） A．众数 B．极差 C．方差 D．标准差 【解析】 对A：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，众数是一组数据中占比例最多的那个数， 它不能反映样本数据的离散程度大小，故A项不符合； 对B：又称全距或范围误差，是指一组数据中最大值与最小值的差值， 是刻画数据离散程度的最简单指标，故B项符合； 对C： 方差是刻画随机变量在其中心位置附近散布程度的数学特征， 反映了随机变量取值的离散程度，故C项符合； 对D：标准差是方差的算术平方根，标准差能反映样本数据的离散程度大小，故D符合. 故选：A. 【练习2】早在三千年前，我国《周易》即已产生了平均数的思想．《周易》“谦”卦说：“谦，君子以衰多益寡，称物平施．”在统计学中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中位置的一个统计量．现给出一组数据，则这组数据的算术平均值为（ ） A．80 B．78 C．78.4 D．79 【解析】. 故选：B. 【练习3】甲、乙、丙、丁四名运动员参加巴黎奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和标准差分别为，，，，，，，，根据以上数据，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为（ ）. A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解析】因为平均成绩反映了运动员的射击水平高低，平均成绩越高，说明射击水平越高； 标准差反映了成绩的稳定性，标准差越小，说明成绩越稳定， 因为甲的平均成绩，在四人中最低，首先排除甲， 乙、丙、丁的平均成绩均为，处于同一水平， 但，，，因为， 所以丙的标准差最小，成绩最稳定. 综上，参加巴黎奥运会比赛的最佳人选应为丙. 故选：C. 【练习4】下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A． B． C． D． 【解析】，， ，， ， ， ， ， 所以数据中方差最大的一组是， 【练习5】某班学生数学成绩的方差为4，若每个学生的成绩都增加分，则新成绩的方差为（ ） A．4 B． C． D． 【解析】设某班学生数学成绩的平均数为，学生人数为， 每名学生的成绩分别为 则原成绩的方差为， 若每个学生的成绩都增加分，则学生数学成绩的平均数为， 此时新成绩的方差为 ， 故选：A. 【练习6】已知甲、乙两个样本的均值相同，甲的样本方差是0.65，乙的样本方差是0.56，则（ ） A．甲与乙的稳定程度相同 B．甲的稳定程度比乙的稳定程度高 C．甲的稳定程度比乙的稳定程度低 D．不能确定 【解析】由题意知甲的样本方差是，乙的样本方差是， 因为，所以甲的波动性强， 即甲的稳定程度比乙的稳定程度低. 故选：C. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 样本均值与标准差 假设从总体中抽取一个容量为的样本，得到个数据，，，，，那么 样本的均值：， 样本的方差：， 样本的标准差： 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 样本均值与标准差 假设从总体中抽取一个容量为的样本，得到个数据，，，，，那么 样本的均值：， 样本的方差：， 样本的标准差： 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过生活数据实例引入样本均值、方差与标准差的概念，多数学生能初步理解均值、方差与标准差的含义，掌握基本计算方法，并能结合数值做简单分析。但在课堂检测中也发现：个别学生对标准差的统计意义理解模糊，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $