数学期中复习讲义（数列）（高教版）-2025-2026学年高二下学期《期中考点大串讲》

编写说明：2025-2026学年高一下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块下册》（高教版）教材6、7章内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括2份复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本专题是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（高教版）的期中复习讲义第二部分《数列》。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义—数列 核心考点 复习目标 考情规律 数列的概念与通项公式 能根据数列的前几项写出通项公式；根据通项公式求指定项；会从递推关系求特定项 基础考点，考查形式：单项选择题、填空题；直接求值型、写通项公式型、由前n项和求通项、递推关系求项 等差数列 能直接用通项公式求任意项，用求和公式求前n项和；能根据两个条件列方程组求首项和公差；已知或，能反求、或；与二次方程结合——“韦达定理+下标和性质” 必考考点，出现在选择题、填空题中，条件求通项——“设未知数列方程”；求和公式选择——“已知什么选什么”；等差中项——“三个数成等差，中间是两头平均” 等比数列 能直接用通项公式求任意项，用求和公式求前n项和；能根据两个条件列方程组求首项和公比；已知an​或Sn​，能反求n、a1​或q 必考考点，出现在选择题、填空题中，条件求通项——“设未知数列方程”；等比中项——“三个数成等比，中间平方等于两头积”；下标和性质——“若m+n=p+q，则am•an=ap•aq” 等差、等比数列的综合应用 能根据等差/等比条件列方程组求解参数；能灵活运用下标和性质、片段和性质简化计算；能处理两类数列混合问题、与二次方程结合问题；能将实际问题抽象为等差数列或等比数列模型 必考考点，解答题；设元技巧——“等比设元用比值，等差设元用公差”； 中项问题——“等差中项用2倍，等比中项用平方”；条件求通项；求和计算；实际应用题 第7章 数列 知识点1 数列的概念及递推公式 1. 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定顺序排列的一列数 数列的项 数列中的 每一个数 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an＝f(n) 表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝ a1＋a2＋…＋an 叫做数列{an}的前n项和 2.数列的表示方法 通项 公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 3.　an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ 4.　数列的分类 5．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 知识点2 等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 如果一个数列从第_2__项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公差__，通常用字母_d__表示，定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)为等差数列． (5)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. 知识点3 等比数列 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 一、单选题 1．（2025高三·河北·专题练习）已知数列，则该数列的通项公式（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式为，则该数列的第3项是（    ） A．4 B． C． D． 3．（2025高三·河北·专题练习）在数列中，已知，且，则等于（ ） A．2 B． C． D．29 4．（23-24高一下·全国·单元测试）等差数列…的第14项是（    ） A．40 B．53 C．62 D．67 5．（23-24高三·山东菏泽·一模）2024是等差数列的（    ） A．第267项 B．第268项 C．第507项 D．第508项 6．（25-26高三上·云南·一模）在等差数列中，若，则（ ） A．60 B．57 C．30 D．27 7．（21-22高三·河北·模拟预测）数列3，，9为等差数列，则等差中项等于（    ） A． B．3 C． D．6 8．（18-19高三·河北·模拟预测）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．6 C．5 D．15 9．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）在等比数列中，若，，则（    ） A．210 B．240 C．480 D．700 10．（24-25高一下·河北·期末）等比数列，，，从第项到第项的和为（    ） A． B． C． D． 答案 1．【答案】C 【分析】将数列依次代入四个选项验证即可. 【详解】记， 选项A.，不符合题意. 选项B.，不符合题意. 选项C.符合题意. 选项D.，不符合题意. 故选：C. 2．【答案】C 【分析】根据数列的通项公式代值求解即可. 【详解】由可得： 故选：C. 3．【答案】C 【分析】由数列的递推公式代入求解即可. 【详解】， ∴， ， .   故选：C． 4．【答案】C 【分析】由等差数列的通项公式即可求解. 【详解】解：依题意得，， 则. 由等差数列的通项公式可得， . . 故选：C 5．【答案】D 【分析】先求出等差数列的通项，再根据通项判断2024是第几项即可. 【详解】由等差数列可知，其公差为4，首项为， 则， 令，解得． 故选：D． 6．【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式和前n项和公式即可得解. 【详解】依题意，设等差数列的公差为d， 则， . 故选：D. 7．【答案】D 【分析】利用等差中项公式可解. 【详解】数列3，，9为等差数列， 则由等差中项公式有， 故选：D. 8．【答案】C 【分析】利用等差数列的下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列， 所以，则. 故选：C. 9．【答案】C 【分析】根据等比数列的概念，以及各项的关系求解. 【详解】∵等比数列中：，， ∴， 即， ， . 故选:C. 10．【答案】A 【分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】根据题意可知，该等比数列的公比首项为1，公比， 所以该数列的前10项和为， 前4项和为， 所以该数列从第项到第项的和为. 故选：A. 题型一 数列通项公式 【典例1】（24-25高二下·河北·期中）数列的通项公式是，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列的通项公式，令，求出的值即可. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以. 故选：B. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列中的各项找规律确定数列的通项公式即可. 【详解】因为数列， 所以它的一个通项公式为． 故选：C． 【典例3】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）数列3，33，333，3333，⋯的一个通项公式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列项的特征得到其通项公式，从而得解. 【详解】将数列3，33，333，3333，⋯的每一项都乘3， 得到9，99，999，9999，⋯， 而， 故数列3，33，333，3333，⋯的一个通项公式为，故C正确； 经检验，其他选项都不正确. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1．正负相间数列用定符号． 2．类似数列3，33，333，3333，⋯，和1，11，111，1111，⋯联系求解． 3. 常见数列的通项公式要牢记 【变式1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知数列，，则（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式2】（25-26高三·云南·模拟预测）已知数列1，，，，…，则它的通项公式可能是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高二下·全国·期末）已知数列为1，，9，，，，…，则数列的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】在通项公式中，令可求解. 【详解】由题可知，. 故选：A. 2、【答案】D 【分析】根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】由题意可知1，，，，…， 通项公式可能是. 故选：D. 3、【答案】B 【分析】根据数列规律写出通项公式即可解得. 【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为， 所以数列：的通项公式为. 故选：B 题型二 已知数列前n项和求通项公式 【典例1】（2024高三·专题练习）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用与的关系即可得解. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：C. 【典例2】（24-25高三上·山东·期中）若数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系，分类讨论，当时，，当时，利用计算结果，验证后可得结论. 【详解】由题意，当时，， 当时，，满足上式，所以. 故选：B. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）数列的前n项和 ，则 的值为（    ） A．121 B．122 C．123 D．124 【答案】D 【分析】根据和的关系进行求解，. 【详解】由数列和的关系可得 则. 故选：D． 解｜题｜技｜巧 1．核心公式 必须验算 n=1 【变式1】（19-20高三·河北·对口/高职单招）数列的前n项和，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式2】（24-25高二上·江苏·期末）已知数列的前项和，则该数列的通项（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据数列的前n项和公式和的关系求解即可. 【详解】因为， 所以时，， 时，， 所以. 故选：C. 2、【答案】C 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 又，也适合上式， ∴，. 故选：C. 题型三 递推公式 【典例1】（24-25高二下·河北·期中）在数列中，，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数列的递推公式求出数列的前几项，找出数列的周期，再根据周期计算的值. 【详解】已知，，可得： ， ， ， 可以发现数列是以为周期的周期数列， 因为，所以. 故选：B. 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）数列中，，且，则（    ） A．1024 B．1023 C．510 D．511 答案 1、【答案】D 【分析】根据递推公式结合等比数列的求和公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 则：，， ，， ，， ，， 将上式相加可得， ， 即， 所以. 故选：D. 题型四 等差数列的基本运算 【典例1】（2025高三·河北·专题练习）等差数列满足，，则该等差数列的公差（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质以及通项公式求解即可. 【详解】因为是等差数列，且，， 故，解得，则，解得. 故选：B. 【典例2】（2024高三·专题练习）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】设出公差，根据等差数列求和公式得到方程，求出首项和公差，求出答案. 【详解】设公差为，则有， 解得， 故. 故选：B 【典例3】（23-24高二下·湖南·期末）在等差数列中，已知，则公差（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用等差中项的定义及等差数列的通项公式即可得出答案． 【详解】因为是等差数列，， 所以，得， 所以公差. 故选：D. 解｜题｜技｜巧 1． 2． 【变式1】（22-23高三下·河北·对口/高职单招）等差数列中，，则公差d和首项分别为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025高三·广东·专题练习）在等差数列中，前n项和为，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】已知等差数列中，， 则，解得， 故选：A. 2、【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可. 【详解】已知为等差数列， 设公差，， 则，即， 解得，则通项公式为． 故选：B. 题型五 等差数列性质的运用 【典例1】（25-26高三上·河北保定·期末）在等差数列中，已知与是方程的根，则（   ） A．7 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据韦达定理以及等差数列的性质求解即可, 【详解】因为与是方程的根， 所以，所以. 故选：C. 【典例2】（21-22高一下·河北邢台·期末）在等差数列中，，则该数列前11项的和为（   ） A．12 B．16 C．43 D．66 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质以及前n项和，即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以， 所以. 故选：D. 【典例3】（23-24高二下·全国·课堂例题）在等差数列中，若，，则（    ） A．12 B．20 C．24 D．30 【答案】C 【分析】根据等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】解：由题意得，，也成等差数列，即，得. 故选：C. 解｜题｜技｜巧 1．若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. 2.．am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列 3．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期中）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）等差数列中，，则（      ） A．130 B．62 C．155 D．47 【变式3】（2024高三·专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．27 B．45 C．81 D．18 答案 1、【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】若，则，得. 故选：C. 2、【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 即, 解得. 故选：D. 3、【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，成等差数列，从而可列方程可求出结果. 【详解】因为等差数列，所以，，成等差数列， 可得，即，解得 ，即. 故选：B. 题型七 等比数列的基本运算 【典例1】（21-22高三·辽宁抚顺·模拟预测）在等比数列中，，，则公比为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为在等比数列中，，， 所以由，得，解得. 故选：A. 【典例2】（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知数列是首项为1的等比数列，，则的前6项和为（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，然后利用等比数列的前项和公式求解． 【详解】设数列的公比为，首项， ∵，∴，解得， ∴的前6项和为， 故选：C． 【典例3】（22-23高三·河北·一模）两个数的等差中项是10，等比中项是6，则这两个数是（    ） A．2，18 B．4，16 C．4，9 D．3，12 【答案】A 【分析】先设这两个数分别为，然后利用等差中项和等比中项列出方程组求解. 【详解】设这两个数分别为，由题意得， ，解得或. 故选：A. 【典例4】（23-24高二下·江苏·期中）在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【分析】根据等比数列的第一项和第六项先求公比，再根据等比数列前项和易得答案. 【详解】因为等比数列，， 因为，即，解得， 所以. 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1． 2． 【变式1】（25-26高三上·河北保定·期末）在等比数列中，，，,则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（2025高三·全国·专题练习）在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高三·专题练习）已知是等比数列，若，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式4】（2020高三·贵州·学业考试）1和16的等比中项是（    ） A． B． C． D． 答案 1、【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式即可得解. 【详解】在等比数列中，，，则， ，解得， 故选：. 2、【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式求出公比和首项，代入等比数列前项和公式即可. 【详解】设等比数列的公比为， ∵，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 故选：B． 3、【答案】A 【分析】设公比，运用等比数列的“等积性”和通项公式将数列的项表示出来计算即得. 【详解】因是等比数列，设公比为，则由，因 ，则， 又由，代入解得，故. 故选：A. 4、【答案】C 【分析】根据等比中项的定义求解. 【详解】令1和16的等比中项是， 根据等比中项的定义，有， 故得到. 故选：C. 题型八 等比数列的性质运用 【典例1】（25-26高三上·河北·期中）已知数列是正项等比数列，若，则（   ） A．24 B．32 C．64 D．1024 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是正项等比数列， 则，解得或（舍去）， 则. 故选：D. 【典例2】（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）等比数列中，，则（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，寻找之间的关系，整体代换可求解. 【详解】已知为等比数列，设公比为， 由， 则， 即，则， 解得， 所以 ， 故选：B. 【典例3】（25-26高三上·山西朔州·期末）在等比数列中，前n项和为，已知，则（    ） A．16 B．14 C．26 D．12 【答案】C 【分析】由等比数的性质可知，成等比数列，据此可求解. 【详解】由题可知，成等比数列， 所以， 由代入，可得， 解得. 故选：C 解｜题｜技｜巧 1．若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a 2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． 3、数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等比数列． 【变式1】（2019高三·河北·学业考试）在等比数列中，.若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中，，那么（　　） A． B．或 C． D．或 【变式3】（2024高三·专题练习）已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（   ） A．8 B．5 C．6 D．7 答案 1、【答案】A 【分析】根据等比数列的下标和性质与对数的运算求解即可. 【详解】因为等比数列中，. 所以. 所以. 故选：A. 2、【答案】B 【分析】根据等比数列的性质可知与的比值等于，即可通过已知条件求出的值， 然后根据，对分情况计算即可求解. 【详解】， ∴，即. 当时，， 当时，. 故选：B. 3、【答案】A 【分析】根据给定条件，结合等比数列前n项和求出公比，再列式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，，解得， 所以. 故选：A 题型九 等差、等比数列的综合运算 【典例1】（23-24高二下·河北邢台·期末）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且,,构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等等差中项的性质，结合等比数列的前项和及通项公式，即可求解. （2）先列出数列的前项和，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）因为是公比大于1的等比数列，且,,构成等差数列， 所以，即，所以 即 又， 所以，所以，代入得，故，所以，即，即， 解得. 所以 （2）由（1）得， 又，所以， 即， ， 两式相减得， 所以， 故数列的前项和. 【典例2】（2025高三·河北·专题练习）已知等差数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式列方程求出等差数列的首项以及公差，再根据等差数列的通项公式求解即可. （2）根据（1）求出，再根据裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， ， 所以，解得， 所以， （2）因为，所以， 所以， 所以 . 解｜题｜技｜巧 1．公式求和 2．分组求和 3、裂项相消 4、错位相减 【变式1】（25-26高三·湖北·模拟预测）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2】（24-25高三下·陕西宝鸡·模拟预测）等差数列 的前项和为 ，已知 ， . (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 答案 1、【答案】(1)，. (2). 【分析】（）根据等差数列及等比数列的通项公式将已知条件进行化简求出公差及公比，结合等差数列及等比数列的通项公式即可得解. （）根据题意结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为（），， 设等差数列通项，等比数列通项， 由得： ①； 由得： ②； ①②得：，解得（舍）或， 代入①中得，解得， 因此，，. （2）由（1）得, ①; ②, ① - ②得， 所以 2、【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式，可求公差，据此可求解； （2）采用裂项相消法可求和. 【详解】（1）设公差为，由 ， 故 ； （2）， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $