大题专项07线性规划（讲义）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第7个专题，内容为线性规划。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题7 线性规划 一、课标解读 1.理解决策变量、目标函数、约束条件、可行域及最优解等基本概念。 2.能根据实际情境建立线性规划数学模型（确定变量、目标函数与约束条件）。 3.掌握用图解法求解二元线性规划问题，包括可行域绘制与最优解确定。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 22 线性规划 5 （1）题型：一个解答题 （2）分值：10分. （3）内容：等差数列，等比数列，数列综合 2024 解答题 22 线性规划 10 2023 解答题 22 线性规划 10 2022 解答题 22 线性规划 10 2021 解答题 22 线性规划 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查线性规划。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 线性规划应用题 四、知识梳理 （1） 二元一次不等式表示的平面区域 1.线性规划问题的有关概念 概念 解释 约束条件 问题中变量需满足的所有不等式或等式条件。 线性约束条件 约束条件均为关于变量的一次不等式或等式。 目标函数 根据问题需求构造的关于变量的函数，用以求最大值或最小值。 线性目标函数 目标函数为关于变量的一次函数。 可行解 满足所有约束条件的解。 可行域 所有可行解在坐标平面内构成的区域。 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解。 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题。 2.二元一次不等式（组）表示的平面区域 （1）平面区域的基本性质：二元一次不等式（或<0）表示直线某一侧的所有点组成的区域. 边界线画法：不等式含等号（如或）时，画实线表示包含边界；不含等号时，画虚线表示不包含边界。 区域符号特性：在同一侧区域内，符号一致；不同区域符号相反。 （2）二元一次不等式组的平面区域：表示的平面区域是各不等式对应区域的公共部分（即所有不等式解集的交集）。 （3）判定平面区域的方法 方法 步骤 斜截式定侧法 将不等式化为（或），取直线上方（“>”）或下方（“<”）区域。 选点定侧法 取直线外一点（如原点），若坐标满足不等式，则其所在侧为解集区域；否则为另一侧。 一般式简易定侧法 对于（或<0）： 时，“>”取直线上方，“<”取下方； 时相反； 时，“>”取直线右侧，“<”取左侧。 3.建立线性规划模型的一般方法 （1）确定决策变量，并用字母表示。 （2）分析约束条件，列出线性不等式（组）。 （3）构造线性目标函数，明确求最大值或最小值。 （4）求可行域，结合图形确定最优解（通常为可行域的顶点）。 说明：可行域是封闭或有界的凸多边形区域；最优解存在时，必在可行域的顶点处取得。 （2） 线性规划问题 解决线性规划问题的两种方法 （1） 图解法 步骤 具体操作说明 要点归纳 1.列出约束条件与目标函数 明确问题中的决策变量（如），将所有约束条件（线性不等式组）和目标函数（如）以数学形式列出。 确保约束条件完整，目标函数需为线性表达式。 2.画出可行域 在平面直角坐标系中，画出每个约束条件对应的直线，并根据不等式方向（如或）确定对应半平面，所有半平面的交集即为可行域。 可行域为封闭或开放的凸多边形区域；需标注边界直线方程及交点。 3.作目标函数的0等值线 画出目标函数的0等值线，即令的直线，用于后续平移操作。 0等值线为后续平移确定方向和基准。 4.平移0等值线，确定最优解位置 将0等值线沿增大（或减小）方向平行移动，观察其与可行域的最后（或最先）接触点，该点通常为可行域的顶点，即最优解。 最优解必在顶点处（顶点定理）；若目标函数等值线与可行域某边平行，则可能有无穷多解。 5.求最值 确定最优解对应的顶点坐标，代入目标函数中计算最大值或最小值。 若为无穷多解，则所有对应的点均满足最优。 （2） 列表法 步骤 说明 1.整理约束条件：将所有约束转化为等式或不等式，明确变量范围。 2.整理约束条件：根据约束方程求解所有可能的交点（包括变量取边界值的情况）。 3.筛选可行解：剔除不满足所有约束的解，保留可行解集合。 4.计算目标函数值：代入每个可行解，比较结果。 5.确定最优解：选择使目标函数最大（小）的解。 适用于离散或简单连续问题； 需穷举所有可能解，计算量大； 适用于变量较少的情形（如两个变量）。 五、10分钟小测验 1． 中国一汽集团准备生产两种类型的新能源小轿车，需要甲、乙两种新型材料．生产一辆A型车需要消耗甲材料1吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利6万元；生产一辆B型车需要消耗甲材料2吨、乙材料2吨，用个工时，产品获利8万元．该集团旗下某生产车间现有甲材料吨，乙材料吨，在不超过个工时的条件下，怎么安排生产才能使利润最大？并求出最大利润． 2．某投资商计划用60万元投资甲、乙两个项目．根据预判，甲项目最大亏损率为20%，乙项目最大亏损率为30%，最大亏损不能超过16万元；甲、乙两个项目的最大盈利率分别为70%和60%．问投资商对甲、乙两个项目分别投资多少万元时，才能使盈利最大？最大盈利是多少万元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．生产A型车6辆，B型车4辆，最大利润万元． 【分析】设生产A型车x辆，B型车y辆，再由题意列出约束条件，根据约束条件画出可行域，设，再由可行域求出最值即可. 【详解】设生产A型车x辆，B型车y辆， 约束条件为， 则最大利润为， 可行域如下， 如图可知，当目标函数过点时，为最大， 联立方程组， 解得，此时利润最大：万元． 2．投资商对甲、乙两个项目分别投资60万元和0万元才能使盈利最大，最大盈利为42万元 【分析】根据题意建立约束条件不等式组和目标函数，画出可行域，即可求解目标函数最大值.. 【详解】设投资商对甲、乙两个项目分别投资万元，获得的盈利为万元， 则有，即， 目标函数， 作可行域，如图所示： 作零等值线，并平移零等值线，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最大值, 点为直线的交点，即， 所以，当时，最大盈利为(万元) 因此，投资商对甲、乙两个项目分别投资60万元和0万元才能使盈利最大，最大盈利为42万元． 六、经典例题解析 线性规划 【例1】（2020·湖南对口升学高考）某服装工人加工上衣和裤子，加工一件上衣可获利50元，加工一条裤子可获利20元；加工一件上衣需要2小时，加工一条裤子需要1小时．由于布料限制，该工人每天最多加工3件上衣和4条裤子，且每天工作不超过8小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大？利润最大值是多少？ 【答案】每天3件上衣2条裤子，最大利润190元 【知识点】线性规划问题的应用、图解法、二元一次不等式表示的平面区域 【分析】根据所给题意，列出约束条件，求解目标函数，求解即可. 【详解】设每天生产x件上衣，y件裤子，可能获得的盈利额为z元， 则约束条件为，组成的点如图， 目标函数为， 由，解得， 所以生产3件上衣和2件裤子，可获得的盈利最大,最大为元. 综上，每天3件上衣2条裤子，最大利润190元. 【例2】（2021·湖南对口升学高考）某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶ 车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） A 60 3600 B 36 2400 学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值. 【答案】A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 【分析】首先设A型车和B型车分别为辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决. 【详解】设A型车和B型车分别为辆，则租金为， 依题意，需满足，即，如图，作出可行域，    令，目标函数变形为，即， 当直线平移至点时，目标函数取得最小值， 由解得，，即. 此时元. 所以A型车和B型车分别为辆和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 【例3】（2022·湖南对口升学高考）某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品的利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】生产甲种产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元 【分析】根据题意列出不等式，作出可行域，再求最大值. 【详解】设甲、乙两种电子产品分别生产件，件， 则每天利润， 由题意得， 即， 画出可行域，如图所示：    由得， 最大，即直线的纵截距最大， 作出直线：，平移直线至可行域， 当直线经过点时，直线的纵截距最大， 由， 解得， 即， 所以的最大值为（千元）， 则生产家中产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元. 【例4】（2023·湖南对口升学高考）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲地至乙地的长途客运业务，每车每天出车一次，A，B两种型号的车辆的载客量分别为30人和50人，营运成本分别为1200元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过28辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车8辆．如果要求每天运送从甲地去乙地的旅客不少于1000人，那么公司应配备A型车、B型车各多少辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是多少元？ 【答案】公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 【分析】根据题意作出可行域，进而求解. 【详解】设应配备A型车，B型车各x辆，y辆，营运成本为z元， 则有 作出平面区域图    由得， 平移， 当直线过的交点时， 在y轴上截距最小， 联立， 则， 所以公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 【例5】（2024·湖南对口升学高考）某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】答案见解析 【分析】设甲、乙两种产品每天的生产件数分别为,,利润为,根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解. 【详解】 分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ， 其图像为    且目标函数为，作出可行域，如图中阴影部分所示. 由，解得， 由得， 平移直线，当直线经过点时，取最大值， 所以当时，. 所以该公司每天生产甲产品4件，乙产品2件时，能获得最大利润，最大利润为1000元. 【例6】（2025·湖南对口升学高考）某快递公司接到两类快件，且数量足够多，基本数据如下表： 快件类别 体积（立方分米/件） 重量（千克/件） 快递员工资（元/件） A 20 10 7 10 20 9 快递员小李接受派送任务，他的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为220千克. (1)在某次派送中，公司要求类快件只送两件，求小李此次送货可获得的工资收益的最大值； (2)小李应如何安排两类快件送货，才能使一次性送货获得的工资收益最多. 【答案】(1)130 (2)16件A类快件、3件类快件时，工资收益最多 【难度】0.15 【知识点】二元一次不等式组表示的平面区域、图解法、线性规划问题的应用 【分析】（1）根据题意，列出线性约束条件，及目标函数，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据题意，列出线性约束条件，及目标函数，作出可行域，即可求得最优解，继而求解. 【详解】（1）设送A类快件件，工资收益为元， 已知类快件送件，根据载货车最大容积立方分米、最大载重量千克， 可得约束条件，即，所以， 所以且， 目标函数，因为，随增大而增大， 所以当时，元， 即此次送货工资收益最大值为元. （2）设送A类快件件，类快件件，工资收益， 约束条件为，化简得， 画出可行域（由、及坐标轴围成的区域），如下图所示：    联立，即解得，即, 又目标函数，即， 所以当直线在轴上的截距最大时，收益取得最大值， 令，则，即，将直线像可行域平移，当经过点P时，截距最大， 即当，时，收益取得最大值，即， 即送16件A类快件、3件类快件时，工资收益最多. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 第一步：审题建模。先读题，找出两个未知量（通常设为x、y）；再找出所有限制条件（比如“不超过”“至少”“不少于”），转化为二元一次不等式（组）；最后明确题目要求的最值（最大/最小），写出目标函数（形如z=ax+by，a、b为已知数）。 第二步：画可行域。1. 在平面直角坐标系中，画出每个约束条件对应的直线（不等号是“≤”“≥”画实线，“<”“>”画虚线）；2. 找特殊点（优先选原点(0,0)），代入约束不等式，判断不等式成立的区域，用阴影标出所有区域的公共部分，就是可行域（满足所有条件的x、y取值范围）。 第三步：找最优解。中职数学中，最优解（使目标函数取最值的x、y）几乎都在可行域的顶点上。1. 找出可行域所有顶点的坐标（可通过解两条直线的方程组得到）；2. 把每个顶点坐标代入目标函数z=ax+by，计算出对应的z值；3. 对比所有z值，最大的就是最大值，最小的就是最小值，对应的顶点坐标就是最优解。 第四步：验结果。把找到的最优解代入所有约束不等式，检查是否都成立；再核对目标函数的计算过程，确保没有计算错误，避免因粗心丢分。 【专题内容总结2】易错点 1.约束条件转化时，别搞反不等号（比如“不少于”是“≥”，“不超过”是“≤”）； 2.画直线时，虚实线别画错，否则可行域会找错； 3.顶点坐标求解时，解方程组要细心，避免计算失误； 4.若题目要求x、y为非负整数（比如人数、件数），需在可行域内找符合条件的整数点，再计算z值。 【专题内容总结3】备考策略 1.基础优先，吃透核心步骤：备考先不贪难，重点练“审题建模→画可行域→找顶点→算最值”四步，每天练2-3道基础题（无复杂约束、无整数要求），确保每一步都不出错，比如能快速转化约束条件、准确画出可行域。 2.聚焦高频考点，针对性刷题：中职线性规划考点固定，重点练3类题——求目标函数最大值/最小值、已知最值求参数、简单整数解问题（如人数、件数），避开偏题、难题，刷题不在多，在于每道题都能对应到解题步骤。 3.重视错题复盘，避免重复踩坑：整理错题本，标注每道错题的错误原因（比如不等号搞反、顶点坐标算错、虚实线画错），每天花10分钟复盘错题，重复练习同类错题，直到不再出错，这是提分最关键的一步。 4.熟练掌握工具，节省应试时间：练熟平面直角坐标系画图技巧，记住“原点代入判断区域”的快捷方法；解直线方程组时，多验算一遍，避免计算失误；考试时先做线性规划基础题，再做难题，合理分配时间。 5.总结技巧，灵活应对变式题：记住“最优解大概率在可行域顶点”的规律，若可行域是多边形，直接找所有顶点代入计算；遇到含参数的题目，先固定参数练基础，再慢慢理解参数对可行域、最值的影响，不慌不乱。 6.贴合考情，不盲目拔高：中职考试以基础和中档题为主，备考重点放在基础步骤和高频题型上，不用钻研复杂的多元约束、非线性结合题型，确保基础题不丢分，中档题能拿分，就能应对考试。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $