大题专项06概率与统计（讲义）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题5 概率与统计 一、课标解读 1.排列与组合 (1) 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题； (2) 了解排列、组合的意义，理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题； (3) 了解组合数的性质． 2.概率与统计初步 (1) 了解随机现象和概率的统计定义； (2) 理解必然事件和不可能事件的意义；了解基本事件和离散样本空间的概念；理解随机事件的概率的性质； (3) 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式，并能运用它求出简单随机事件的概率； (4) 了解互不相容事件概率的加法定理和相互独立事件概率的乘法定理，并能利用这些定理解决一些简单的问题； (5) 了解n次独立重复试验模型，了解n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，并能进行简单实际应用 (6)理解不同抽样方法的原理与适用场景，能设计简单的抽样方案 (7)能对数据进行初步整理，并用恰当的统计图表展示数据，会使用计算器或计算机软件处理数据 (8)理解各特征量的统计意义，能计算并解释实际含义，能用样本特征估计总体特征 (9)能判断变量间的相关关系，会求一元线性回归方程，并能进行初步预测 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 18 概率与统计 10 （1）题型：一个解答题 （2）分值：10分. （3）内容：概率与统计 2024 解答题 17 概率与统计 10 2023 解答题 18 概率与统计 10 2022 解答题 18 概率与统计 10 2021 解答题 17 概率与统计 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年湖南省对口招生考试会有1道题目考查概率与统计。分值共10分.具体考点可能涉及如下内容： · 排列组合、离散型随机变量、古典概型 四、知识梳理 （1） 排列组合 1.排列与排列数 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n！．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1． 2.组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m＜n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝1． (4)组合数的性质：①C＝C；②C＝C＋C． 重要结论 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． （二）概率 1.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等. 2．古典概型的概率公式 P(A)＝. 3.事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立． 若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立． （三）离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝p1＋p2＋…＋pn＝1. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An). (2)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). （四）统计 1. 随机抽样 （1）简单随机抽样的概念 （2）系统抽样 （3）分层抽样 2.统计图表 画频率分布直方图的步骤 1．求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差. 2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 3．将数据分组. 4．列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. 5．画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.各小长方形的面积和等于1． 3.样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 五、10分钟小测验 1．甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是，，. (1)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率； (2)用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望. 2．从4名男生和3名女生中任选取3人参加数学竞赛，用变量表示所选3人中女生的人数 (1)求X的分布列； (2)求“所选3人中女生人数”的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案解析】 1．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式，计算得到答案. （2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率并写出分布列，进而计算期望. 【详解】（1）记“甲投篮1次投进”为事件，“乙投篮1次投进”为事件，“丙投篮1次投进”为事件，“3人都没有投进”为事件A，则 ，，， 所以， 所以3人都没有投进的概率为 . （2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，则 ， ， ， 的概率分布为 0 1 2 3 P . 2．(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据题目信息可得服从参数的超几何分布，的可能取值，接下来分别求出对应的概率，进而列出分布列即可； （2）根据题目信息可得，接下来进行计算即可. 【详解】（1）因为总共选3人，女生有3名，所以的可能取值为. ：即所选3人都是男生的概率. 从4名男生中选3人的组合数为，从7人中选3人的组合数为. . ：即所选3人中有1名女生2名男生的概率. 从3名女生中选1人的组合数为，从4名男生中选2人的组合数为， 则. ：即所选3人中有2名女生1名男生的概率. 从3名女生中选2人的组合数为，从4名男生中选1人的组合数为， 则. ：即所选3人都是女生的概率. 从3名女生中选3人的组合数为， 则. 故X的分布列为： 0 1 2 3 （2）由（1）的分布列可知， . 六、经典例题解析 概率与统计 【例1】（2020·湖南对口升学高考）盒子里装有五个大小相同的球，其中两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3，从盒子里任取两个小球： (1)求取出的两个小球中，含有编号为3的小球的概率； (2)在取出的两相小球中，设编号的最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、离散型随机变量的均值、实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解. （2）先写出随机变量X的所有可能取值，再由古典概型概率公式分别计算，最后由分布列求解期望即可. 【详解】（1）根据题意可得，任取两个小球的方法数为种， 含有编号为3的方法数为种， 所以含有编号3的概率为. （2）编号最大值X可能取值为1，2，3，其中， ， ， ， X 1 2 3 P . 【例2】（2021·湖南对口升学高考）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； (2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【分析】（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率. （2）根据（1）的结果求概率. 【详解】（1）由条件可知， ， ， ， 所以的分布列，如下表， （2）由（1）得，选取的2个中至少有1个豆沙粽， 即. 所以. 则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【例3】（2022·湖南对口升学高考）某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. (1)用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； (2)求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 【答案】(1)分布列见解析(2) 【分析】（1）由题意，5名男生与3名女生，从中任意选取3名，女生人数的可能为，分别求出概率，列出分布列即可. （2）女生多于男生的情况有女生有3人，或女生有2人，将两种情况的概率相加即可. 【详解】（1）已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观， 表示选取的人中女生的人数，则的所有可能的取值是， ，， ，， 所以的分布列是： 0 1 2 3 （2）女生人数多于男生的选法为或， 女生人数多于男生的概率为. 【例4】（2023·湖南对口升学高考）为推进地区教育均衡发展，某市教育局拟从６名优秀教师中抽取人员分三批次赴农村薄弱学校进行支教．每批次需从6名教师中随机抽取2名教师支教，且每批次抽取互不影响． (1)求在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率； (2)已知这6名教师中有2名数学教师．设第一批次抽到的数学教师人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据次独立重复试验恰好发生的概率公式即可求解； （2）写出所有可能的取值，求出每一个取值对应的概率，可得分布列. 【详解】（1）甲在每批次抽取抽取中，被抽中的概率为， 所以在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率为 ； （2）所有的取值是0，1，2， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 P 【例5】（2024·湖南对口升学高考）在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 (1)根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； (2)从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 【答案】(1)甲生产的零件质量更好 (2)概率分布见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求出方差即可判断； （2）根据概率公式分别求出的取值为0，1，2时的概率即可. 【详解】（1）解法一（对应高教版）： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， ， 所以甲生产的零件质量更好. 解法二(对应人教版)： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， . 所以甲生产的零件质量更好. （2）的取值有0，1，2. ， 所以的概率分布为 0 1 2 【例6】（2025·湖南对口升学高考）某射击队甲、乙两名运动员射击成绩的概率分布分别为 甲成绩（环） 8 9 10 乙成绩（环） 8 9 10 0.3 0.4 0.3 0.2 0.6 0.2 (1)分别求甲、乙两名运动员射击成绩的均值； (2)若你是该射击队的教练，你觉得选哪位运动员去参加射击比赛合适呢？请说明理由. 【答案】(1)甲的均值为9环，乙的均值为9环 (2)选择乙运动员更合适，理由见解析 【难度】0.55 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、离散型随机变量的均值 【分析】根据题意，结合随机变量概率分布表，及均值的计算公式，即可代入求解； 根据两名运动员射击成绩的均值及稳定性，即可判断求解. 【详解】（1）甲运动员射击成绩的均值为环； 乙运动员射击成绩的均值为环； （2）选择乙参赛更合适； 理由：虽然两人均值相同，但乙的成绩分布更集中在9环（概率0.6），稳定性优于甲（9环概率0.4），因此选择乙参赛更合适. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1】解题策略与技巧 三步定位法 【专题内容总结2】易错点 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 “排列”还是“组合”混淆 从10人中选3人当代表，和选3人分别任班长、学委、团支书，结果一样 混淆“选代表”（无序组合）与“分配职务”（有序排列） 问自己：交换元素顺序，是另一种情况吗？ “分类”还是“分步”混淆 从4男3女中选2男1女组成小组，误用 “选男”和“选女”是同时完成的步骤，非分类 问自己：少选一个人，小组完成了吗？ 重复计数 4个球放入3个盒子，每盒不空，误用（先选3球各放一盒，再放剩下1球） 剩下1球放入任一盒，与先放入的球产生重复 复杂分配问题，先分组再分配 焦点位置不清 数字1,1,2,3,4组成五位数，能组多少个？误为 两个1是相同的，交换位置不算新情况 有重复元素时，要除以重复元素的全排列： 【专题内容总结3】备考策略 1、学生能力培养重点： 审题训练：带领学生逐字分析问题，用“三步定位法”判断是分类/分步、有序/无序。 模型识别：对四大经典模型进行专项训练，做到看到关键词（“相邻”、“不相邻”、“至少一个”）就能反应。 规范书写：要求写出简要的文字说明（如：“先排...再排...”），再用算式计算，避免盲目套公式。 2. 真题演练方向： 题型1：纯排列/组合问题（如：排队、选代表）。 题型2：排列组合综合问题（如：分配问题、数字问题）。 题型3：与概率结合（先利用排列组合，再套概率公式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $