大题专项06概率与统计（A卷·基础巩固）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题6 概率与统计 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．从装有5个红球和3个白球的箱子中，不放回地取2次，每次取出1个球，设随机变量表示取出白球的个数，求： (1)随机变量的分布列； (2)取出的球中至多有1个白球的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先得出随机变量的所有可能取值，根据古典概型计算出所有可能取值的概率，即可得到分布列； （2）利用互斥事件概率公式可求出至多有1个白球的概率 【详解】（1）随机变量的可能取值为0，1，2     且 故的分布列为： 0 1 2 P （2）取出的球中至多有一个白球的概率为 . 2．一个袋子里装有大小相同的2个红球和2个黄球，从中取出2个，含红球的个数为X． (1)求取出两个球是一个红球和一个黄球的概率； (2)求X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见详解，. 【分析】（1）根据概率公式即可写出对应事件的概率. （2）根据等可能事件的概率公式写出变量对应事件的概率，代入期望公式即可． 【详解】（1）由题意，所求概率为； （2）当时，有； 当时，有； 当时，有； 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 期望为： . 3．盒子中有4个大小相同的球，其中2个白球，1个红球，1个绿球．从盒子中随机无放回地取球，每次取1个，直到取出绿球为止．设在此过程中取到白球的个数为． (1)求的分布列； (2)求以及的数学期望． 【答案】(1)分布列见解析 (2)，1 【分析】（1）由题意知，的取值为0，1，2，分别计算其对应的概率，可得分布列； (2)利用分布列可得，，根据数学期望公式可求的数学期望． 【详解】（1）的取值为0，1，2，则 =0时，一个白球也取不出，则取出顺序有红绿和绿两种，所以；. 时，取出1个白球，则取出顺序有白绿，白红绿，红白绿三种， 所以; 时，. 故的分布列为 0 1 2 P （2）. 的数字期望E()=. 4．学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投中个数 7 9 8 9 8 10 7 7 6 9 (1)求这10名学生投中球的个数的方差； (2)从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先计算平均数，再由方差的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可得到结果. 【详解】（1）依题意，这10名学生投中球的个数的平均数为. 方差为. （2）依题意，这10名学生的投中10个球的有1人，记为， 投中9个球的有3人，记为A，B，C，从中任选2人，共有6种情况，即， 从投进9个球和10个球的学生中各选1人，有3种情况，即， 所以从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率为. 5．从装有3个红球和2个白球的箱子中，随机抽取2个球观察颜色，设随机变量X表示取出白球的个数 (1)随机变量X的概率分布； (2)随机变量X的数学期望. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题可知，随机变量X可能取0，1，2，利用组合问题及古典概型的计算公式，求出相对应的概率，可得分布列； （2）根据分布列，利用数学期望公式求解即可. 【详解】（1）由题可知，随机变量X可能取0，1，2， ； ； ， 随机变量X分布列见下表： X 0 1 2 P （2）. 6．一个袋中装有个同样大小的小球，编号分别为,现从袋中随机取个小球，用表示取出的小球的最大号码： (1)随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望. 【答案】(1)见详解. (2). 【分析】（1）由离散型随机变量分布列即可得解. （2）由期望公式即可得解. 【详解】（1）的值可能为. 所以随机变量的分布列为 （2）. 所以. 7．某射击爱好者进行射击，每次命中目标的概率为0.8，如果连续射击3次，每次是否命中目标是相互独立的，记命中目标的次数为． (1)求的分布列： (2)求命中目标的次数小于3的概率，以及的数学期望与方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)概率，数学期望，方差. 【分析】（1）由伯努利概型的概率公式计算出每一个取值的概率，再列分布列即可. （2）由期望和方差的计算公式代入计算即可. 【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为: 0 1 2 3 P （2）命中目标的次数小于3的概率为 . 的数学期望， 又因为， 所以的方差 . 8．在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，表示摸出红球的个数. (1)求的分布列； (2)至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率. 【答案】(1)分布列见详解 (2) 【分析】（1）根据X的不同取值求解概率，再列分布列求解即可. （2）由（1）中的结论，求解的概率即可. 【详解】（1）的取值为，则 ，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 （2）中奖的概率为. 9．元宵节这天，小明在家煮了10个汤圆，其中黑芝麻馅的有5个，豆沙馅的有3个，肉馅的有2个，这三种汤圆的外观完全相同，小明从中任意捞取了2个． (1)求捞取这两个汤圆全是芝麻馅的概率； (2)用表示小明捞取的2个汤圆中肉馅的个数，求随机变量的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由组合数计算公式和古典概型概率计算公式计算即可. （2）先求出随机变量的所有取值，再分别计算对应的取值的概率. 【详解】（1）捞取这两个汤圆全是芝麻馅的概率为． （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2， ， ， ． 随机变量的分布列为 0 1 2 P 随机变量的数学期望为：． 10．某中职学校的1名射击运动员射击1次，击中环数（最多为10环）的概率统计见表. 表 命中环数 10环 9环 8环 不足8环 概率 0.22 0.36 0.16 a 若该射击运动员射击1次，求： (1)射中9环或10环的概率； (2)射中不足9环的概率. 【答案】(1)0.58 (2)0.42 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即可得解； （2）利用对立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）记事件“射击一次，命中环”为，则事件彼此互斥. 记事件“射击一次，射中9环或10环”，则， 由互斥事件的加法公式得. （2）记事件“射击一次，射中不足9环”，则， 根据对立事件的概率公式得. 11．某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动． (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数； (2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率． 【答案】(1)男生3人，女生2人 (2) 【分析】（1）按照分层抽样的方法，各层被抽到的比例相同解答. （2）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名男同学的所有可能，利用古典概率公式解答即可. 【详解】（1）抽取的5人中男同学的人数为人，女同学的人数为人. （2）记3名男同学为，2名女同学为， 从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有 ，共10个， 用C表示:“选出的两名同学中恰有一名男同学”这一事件， 则C中的结果有6个，它们是， 所以选出的两名同学中恰有一名男同学的概率. 12．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式求解； （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，分别求出概率，进而求解. 【详解】（1）根据题意可知，“”指事件“取出的2个球中，恰有1个白球”， 所以． （2）根据题意可知，的所有可能取值为0，1，2． 所以随机变量的分布列如下． 0 1 2 则的数学期望． 13．某工厂生产一批产品，其中优等品占，一等品占，次品占，每件优等品获利40元，每件一等品获利20元，每件次品亏损30元.设每件产品的获利金额为元. (1)求随机变量的分布列； (2)每件产品平均获利多少元？ 【答案】(1)答案见解析 (2)26.25元. 【分析】（1）根据随机变量的取值，分别求其对应的概率，写出分布列； （2）求随机变量的数学期望，可得结果. 【详解】（1）的所有可能取值为，20，40，则 ，，. 故随机变量的分布列为 20 40 P （2）因为随机变量的数学期望 （元）， 所以每件产品平均获利26.25元. 14．盒子中装有分别标记了数字1，2，3，4的大小均匀的小球各两个，现从中随机一次取出3个小球，用随机变量表示取出的3个小球上标记的最小数字. (1)求的分布列； (2)求的数学期望. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）确定随机变量的所有可能取值，然后分别计算每个取值的概率，从而得到分布列. （2）根据数学期望的公式求解即可. 【详解】（1）的可能取值为1，2，3，则 ，， . 故随机变量的分布列为： 1 2 3 P （2）的数学期望 . 15．抛掷两颗质地均匀的骰子，求： (1)出现点数为2的概率； (2)点数一样的概率； (3)点数之和不大于5的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据枚举法列出基本事件和概率公式易得答案. 【详解】（1）抛掷两颗质地均匀的骰子共有种， 出现点数为2的有总共种， 所以出现点数为2的概率； （2）抛掷两颗质地均匀的骰子共有种， 点数一样的有总共种， 所以点数一样的概率； （3）抛掷两颗质地均匀的骰子共有种， 点数之和不大于5的概率总共种， 所以点数之和不大于5的概率. 16．袋中有9个黄色球、6个红色球和3个白色球，现从中任取1个球． (1)求取到白色球的概率； (2)求取到彩色球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概率公式可直接算出取到白色球的概率， （2）取到彩色球即取到黄色球或者取到红色球，利用互斥事件的概率加法公式将取到黄色球的概率与取到红色球的概率相加即可. 【详解】（1）设事件｛取到黄色球｝，｛取到红色球｝，｛取到白色球｝，｛取到彩色球｝，则，，两两互斥，． 因为，所以取到白色球的概率是． （2）因为，，又因为，所以． 即取到彩色球的概率是． 17．某网站就观众对春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表： 喜欢程度 喜欢 一般 不喜欢 人数 560 240 200 现用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本．若从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5，求n的值． 【答案】25 【分析】根据分层抽样的抽样比以及特点求解即可. 【详解】由题可知，样本容量与总体容量之比为， 则应从不喜欢小品的观众中抽取的人数为，解得， ∴n的值为25． 18．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数． (1)求这个两位数是奇数的概率； (2)求这个两位数能被3整除的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】利用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】（1）这个试验的样本空间 ，共包含20个样本点． 设“这个两位数是奇数”为事件． 由题意得，共包含12个样本点， 所以． （2）设“这个两位数能被3整除”为事件． 由题意得，共包含8个样本点， 所以． 19．某数学兴趣小组有男生5名，女生3名，现从中任选3人参加数学竞赛． (1)恰有1名女生的选法有多少种？ (2)至少有1名男生的选法有多少种？ (3)求既有男生又有女生入选的概率． 【答案】(1)30 (2)55 (3) 【分析】（1）恰有1名女生则另外两名为男生，根据分步乘法计数原理即可求解. （2）至少有1名男生包含：一名男生两名女生、两名男生一名女生和三名男生的情况，根据分类计数原理即可求解. （3）求出基本事件的总数和既有男生又有女生的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式即可求出. 【详解】（1）小组有男生5名，女生3名，从中任选3人， 恰有1名女生则另外名为男生，所以选法有种． （2）选中的3人中有一名男生两名女生的情况有种， 选中的3人中有两名男生一名女生的情况有种， 选中的3人中有三名男生的情况有种， 所以至少有1名男生的选法有种． （3）从8名同学中选3名有种选法， 选中的3人中既有男生又有女生入选的情况有种， 所以既有男生又有女生入选的概率为. 20．已知战士甲射击的命中率为，乙射击的命中率为．两人的射击互不影响．求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)目标被击中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】根据相互独立事件的概率的计算方法，即可求解. 【详解】（1）设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，事件是互为独立事件． 所以两人同时击中目标的概率； （2）目标被击中的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题6 概率与统计 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．从装有5个红球和3个白球的箱子中，不放回地取2次，每次取出1个球，设随机变量表示取出白球的个数，求： (1)随机变量的分布列； (2)取出的球中至多有1个白球的概率． 2．一个袋子里装有大小相同的2个红球和2个黄球，从中取出2个，含红球的个数为X． (1)求取出两个球是一个红球和一个黄球的概率； (2)求X的分布列和期望． 3．盒子中有4个大小相同的球，其中2个白球，1个红球，1个绿球．从盒子中随机无放回地取球，每次取1个，直到取出绿球为止．设在此过程中取到白球的个数为． (1)求的分布列； (2)求以及的数学期望． 4．学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投中个数 7 9 8 9 8 10 7 7 6 9 (1)求这10名学生投中球的个数的方差； (2)从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率. 5．从装有3个红球和2个白球的箱子中，随机抽取2个球观察颜色，设随机变量X表示取出白球的个数 (1)随机变量X的概率分布； (2)随机变量X的数学期望. 6．一个袋中装有个同样大小的小球，编号分别为,现从袋中随机取个小球，用表示取出的小球的最大号码： (1)随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望. 7．某射击爱好者进行射击，每次命中目标的概率为0.8，如果连续射击3次，每次是否命中目标是相互独立的，记命中目标的次数为． (1)求的分布列： (2)求命中目标的次数小于3的概率，以及的数学期望与方差． 8．在某年级的联欢会上设计一个摸奖游戏，在一个口袋中装有4个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，表示摸出红球的个数. (1)求的分布列； (2)至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率. 9．元宵节这天，小明在家煮了10个汤圆，其中黑芝麻馅的有5个，豆沙馅的有3个，肉馅的有2个，这三种汤圆的外观完全相同，小明从中任意捞取了2个． (1)求捞取这两个汤圆全是芝麻馅的概率； (2)用表示小明捞取的2个汤圆中肉馅的个数，求随机变量的概率分布列及数学期望． 10．某中职学校的1名射击运动员射击1次，击中环数（最多为10环）的概率统计见表. 表 命中环数 10环 9环 8环 不足8环 概率 0.22 0.36 0.16 a 若该射击运动员射击1次，求： (1)射中9环或10环的概率； (2)射中不足9环的概率. 11．某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动． (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数； (2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率． 12．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X． (1)求的值； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 13．某工厂生产一批产品，其中优等品占，一等品占，次品占，每件优等品获利40元，每件一等品获利20元，每件次品亏损30元.设每件产品的获利金额为元. (1)求随机变量的分布列； (2)每件产品平均获利多少元？ 14．盒子中装有分别标记了数字1，2，3，4的大小均匀的小球各两个，现从中随机一次取出3个小球，用随机变量表示取出的3个小球上标记的最小数字. (1)求的分布列； (2)求的数学期望. 15．抛掷两颗质地均匀的骰子，求： (1)出现点数为2的概率； (2)点数一样的概率； (3)点数之和不大于5的概率. 16．袋中有9个黄色球、6个红色球和3个白色球，现从中任取1个球． (1)求取到白色球的概率； (2)求取到彩色球的概率． 17．某网站就观众对春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表： 喜欢程度 喜欢 一般 不喜欢 人数 560 240 200 现用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本．若从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5，求n的值． 18．从1，3，4，5，8中任取两个不同的数组成一个两位数． (1)求这个两位数是奇数的概率； (2)求这个两位数能被3整除的概率． 19．某数学兴趣小组有男生5名，女生3名，现从中任选3人参加数学竞赛． (1)恰有1名女生的选法有多少种？ (2)至少有1名男生的选法有多少种？ (3)求既有男生又有女生入选的概率． 20．已知战士甲射击的命中率为，乙射击的命中率为．两人的射击互不影响．求： (1)两人同时击中目标的概率； (2)目标被击中的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $