大题专项06概率与统计（B卷·能力提升）--2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题6 概率与统计 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．袋中有1个白球，2个红球，3个蓝球，从中任取二球，若取到白球记4分，取到红球记3分，取到蓝球记2分，设随机变量为取到二球记分之和. (1)求随机变量的分布列； (2)求和 2．件产品中，有件次品，从中任取件进行检查，设取到正品得分，取到次品得分，记随机变量为所取件产品得分之和. (1)求的概率分布； (2)求得分之和为正的概率及. 3．盒中有4个大小形状相同的月饼，其中有2个五仁月饼编号为3，有1个莲蓉蛋黄月饼编号为2，有1个豆沙枣泥月饼编号为1，从中任取两个月饼，设编号最小值为.求： (1)取到豆沙枣泥月饼的概率； (2)随机变量的分布列及数学期望. 4．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 5．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样），求这三人中，月均用水量在至吨的居民数的分布列和数学期望． 6．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球和2个黑球，从中任取3个球，设取到黑球的个数为.求： (1)的值； (2)随机变量的分布列. 7．某小组有6名男生4名女生，任选3人参加比赛，设所选3人中男生数为随机变量. (1)求所选3人中男生数不小于2的概率； (2)求随机变量的分布列及数学期望. 8．已知小明在罚球线附近定点投篮的命中率为，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分． (1)设ξ为小明三次投篮得分的总和，求ξ的分布列及期望； (2)求小明投篮3次至少命中2次概率． 9．4个大小相同的小球分别标有数字1，2，3，4，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记. (1)求随机变量的分布列； (2)求“摸出的2个小球标号之和大于4”的概率. 10．已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球，先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球. (1)在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率； (2)求从乙袋取出白球的概率. 11．甲、乙两人在罚球线投球命中经概率分别为与，投中得1分，投不中得0分. (1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的概率分布和数学期望； (2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 12．5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记． (1)求； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 13．为参加市中职学生运动会，某中职学校需要从A，B2名射击运动员中选出1名选手参加比赛，A，B2名射击运动员分别射击了6次，所得的成绩（环数）见表. 表 甲 7 6 7 8 9 5 乙 5 7 7 7 8 8 (1)分别求出A，B2名运动员成绩（环数）的平均数及方差； (2)根据（1）中的数据，你认为选哪一名运动员参加比赛更合适，并说明理由. 14．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下．    450名高二学生数学成绩的频率分布直方图 (1)求的值； (2)估计这次数学考试的平均成绩； (3)求这次数学考试的及格率（不低于60分视作及格）． 15．10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次.用表示取到不合格品的次数，求： (1)随机变量的分布列； (2)三次中至少有一次取到不合格品的概率. 16．（1）从8名旅游服务与管理专业的学生中选派3人到某旅行社参加实习，其中学生甲和乙至少选派1人，共有多少种不同的选派方法？ （2）从8名旅游服务与管理专业的学生中选派3人分别担任旅行社的翻译、礼仪、导游3项工作，其中学生甲担任导游工作，共有多少种不同的选派方法？ 17．甲、乙两人进行网球比赛，事先约定每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，没有平局.经过测算，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，设甲的得分为，求的分布列和数学期望： (2)比赛采用3局制，第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率是多少？ 18．我校某班组织一次街道路口文明劝导活动,有名同学参加,其中名男生,名女生,为了活动需要,要从这名同学中随机抽取名同学去做活动记录． (1)已知名同学中有名共青团员,求抽取的人中至少有名共青团员的概率. (2)设表示抽取的名同学中女生的人数,求的分布列和数学期望． 19．4运动员争在3个项目的金牌，设X表示获得金牌的人数.求： (1)X的概率分布； (2)X的数学期望和方差 20．农历八月十五中秋佳节吃月饼是我国的传统习俗，小明妈妈今年中秋节做了7个月饼，其中2个蛋黄馅､2个莲蓉馅､3个豆沙馅.现从中任意选取3个. (1)记为取到豆沙馅的个数，求的分布列； (2)求选取的3个月饼中最多有1个豆沙馅的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及湖南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版湖南省（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为概率与统计。 2026版湖南省（对口招生）《数学考纲专题练》 专题6 概率与统计 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．袋中有1个白球，2个红球，3个蓝球，从中任取二球，若取到白球记4分，取到红球记3分，取到蓝球记2分，设随机变量为取到二球记分之和. (1)求随机变量的分布列； (2)求和 【答案】(1)详见解析. (2)，. 【分析】(1)首先写出随机变量的所在取值，然后计算出各个值对应的概率，最后列出表格即可； (2)根据分布列的数据，利用公式分别计算、. 【详解】（1）解：随机变量的所有可能的取值为4,5,6,7,并且 ；； ；. 所以随机变量的分布列为 4 5 6 7 （2）; . 综上所述，，. 2．件产品中，有件次品，从中任取件进行检查，设取到正品得分，取到次品得分，记随机变量为所取件产品得分之和. (1)求的概率分布； (2)求得分之和为正的概率及. 【答案】(1)答案见解析 (2), 【分析】（1）由离散型随机变量及分布列即可得解. （2）由概率的计算及期望公式即可得解. 【详解】（1）所取件产品中有件正品,件次品时. . 所取件产品中有件正品,件次品时. . 所取件产品都是正品时. . 所以随机变量的所有可能取值为.                           （2）得分之和为正的概率即. . 综上所述:得分之和为正的概率为,. 3．盒中有4个大小形状相同的月饼，其中有2个五仁月饼编号为3，有1个莲蓉蛋黄月饼编号为2，有1个豆沙枣泥月饼编号为1，从中任取两个月饼，设编号最小值为.求： (1)取到豆沙枣泥月饼的概率； (2)随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）利用古典概型的概率公式，求解即可； （2）根据离散型随机变量的概率分布及期望公式，分析求解即可. 【详解】（1）整个实验包含的基本事件个数为， 设事件任取两个月饼，取到豆沙枣泥月饼， 事件包含的基本事件有，共个， 所以. （2）随机变量可能的取值为，从中任取两个月饼共有种可能； 最小编号为的有：，共种，即； 最小编号为的有，共种，即； 最小编号为的有，共种，即， 所以的分布列为 1 2 3 所以. 4．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率． 【答案】(1)所有可能的结果见解析； (2)所有可能的结果见解析； 【分析】（1）（2）利用基本事件的定义写出所有可能的结果，再得到满足要求的基本事件的个数，从而利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】（1）依题意，甲校的男教师用A、B表示，女教师用C表示， 乙校的男教师用D表示，女教师用E、F表示， 根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名， 有AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF，共9种可能结果； 其中性别相同的有AD，BD，CE，CF，共4种； 则选出的2名教师性别相同的概率为. （2）若从报名的6名教师中任选2名， 有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种可能结果； 其中选出的教师来自同一个学校的有AB，AC，BC，DE，DF，EF，共6种； 则选出的2名教师来自同一学校的概率为. 5．下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样），求这三人中，月均用水量在至吨的居民数的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率之和为即可求解. （2）由题意，，由此可计算分布列并求出数学期望. 【详解】（1）频率分布直方图中，所有频率之和为， 因此，解得. （2）由（1）知，若将频率视为概率， 则从这个城市随机抽取位居民月均用水量在至吨的概率为, 所以从这个城市随机抽取位居民（看作有放回的抽样）， 这三人中月均用水量在至吨的居民数， 因此，， ，， 故的分布列为 所以. 6．袋中有大小相同，质地均匀的3个白球和2个黑球，从中任取3个球，设取到黑球的个数为.求： (1)的值； (2)随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)根据排列组合的相关知识求出黑球取出两个，白球取出一个的概率即可； (2)根据离散型随机变量分布列的求法解题即可. 【详解】（1）根据题意可知，“”指事件“取出的3个球中，恰有2个黑球”， 所以. （2）根据题意可知，的可能取值为. ，，， 所以随机变量的分布列见下表. 0 1 2 7．某小组有6名男生4名女生，任选3人参加比赛，设所选3人中男生数为随机变量. (1)求所选3人中男生数不小于2的概率； (2)求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）运用古典概型的概率公式结合组合数求出概率即可. （2）首先分别求出随机变量不同取值的概率，然后列出分布列求出数学期望即可. 【详解】（1）， （2）随机变量的所有可能取值为. 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 8．已知小明在罚球线附近定点投篮的命中率为，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分． (1)设ξ为小明三次投篮得分的总和，求ξ的分布列及期望； (2)求小明投篮3次至少命中2次概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）根据题意，确定的值，求出对应的概率，结合二项分布即可求解. （2）根据至少命中2次，即命中2次和3次概率之和即可求解. 【详解】（1）由题意得，投篮3次，投中记2分，投不中扣1分， 则①投篮3次投中0次，得分；②投篮3次投中1次，得0分； ③投篮3次投中2次，得3分；④投篮3次投中3次，得6分． 所以所有可能的取值为：. 因为小明在罚球线附近定点投篮命的中率为， 由题意知，服从二项分布，且， 故；； ；. 随机变量的分布列为： E 0 3 6 P . （2）记至少命中2次， 则 9．4个大小相同的小球分别标有数字1，2，3，4，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记. (1)求随机变量的分布列； (2)求“摸出的2个小球标号之和大于4”的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）确定的可能取值，分别计算取每个值的概率即可求解. （2）根据概率的加法公式即可求解. 【详解】（1）因为是摸出2个小球的标号，所以， 又，所以的可能取值为， 从4个大小相同的小球中任意摸出2个小球，总的有种， 当时，即，只有一种情况，所以， 当时，即，只有一种情况，所以， 当时，即或，有两种情况，所以， 当时，即，只有一种情况，所以， 当时，即，只有一种情况，所以， 则随机变量的分布列为： 3 4 5 6 7 （2）摸出的2个小球标号之和大于4，即，和， 所以. 10．已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球，先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球. (1)在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率； (2)求从乙袋取出白球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据甲袋取出白球，则乙袋变为5白5黑，结合古典概型求解概率. （2）分情况考虑甲袋取出白球和黑球的情况，即可计算乙袋取出白球的概率. 【详解】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为； （2）从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球， 所求概率为. 11．甲、乙两人在罚球线投球命中经概率分别为与，投中得1分，投不中得0分. (1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的概率分布和数学期望； (2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 【答案】(1)分布列见详解， (2) 【分析】（1）根据甲乙是否投中球的得分求解的取值，再分别求解的取值的概率，写出分布列并由期望公式代入求解即可. （2）由对立事件求解概率即可. 【详解】（1）因为投中得1分，投不中得0分， 所以的所有可能取值为0,1,2， 因为甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与， 所以甲、乙两人在罚球线投球不会命中的概率分别为与， 所以， ， ， 所以的概率分布为 0 1 2 P 所以. （2）甲、乙两人在罚球线各投球两次， 这四次投球中“至少一次命中”的对立事件“至所0次命中”， 即甲、乙两人在罚球线各投球两次，甲乙都未命中， 记事件A为甲、乙两人在罚球线各投球两次，甲乙都未命中， 所以， 所以这四次投球中至少一次命中的概率为. 12．5个大小相同的小球分别标有数字1，1，2，2，3，把它们放在一个盒子中，现从中任意摸出2个小球，它们的标号分别为，记． (1)求； (2)求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）分别求出基本事件总数和目标事件数，根据概率公式即可解得. （2）根据的可能取值分别求出对应概率，列出分布列，再根据数学期望计算公式计算即可解得. 【详解】（1）由题，从盒子中摸出小球的基本事件总数为， 的基本事件数有， 故. （2）可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为： 数学期望 13．为参加市中职学生运动会，某中职学校需要从A，B2名射击运动员中选出1名选手参加比赛，A，B2名射击运动员分别射击了6次，所得的成绩（环数）见表. 表 甲 7 6 7 8 9 5 乙 5 7 7 7 8 8 (1)分别求出A，B2名运动员成绩（环数）的平均数及方差； (2)根据（1）中的数据，你认为选哪一名运动员参加比赛更合适，并说明理由. 【答案】(1)针对高教版： 针对人教版： (2)选B运动员参加比赛更合适，理由见解析 【分析】（1）根据表格，由平均数和方差的公式求解即可. （2）根据平均数和方差进行比较分析即可. 【详解】（1）A运动员成绩的平均数 ， B运动员成绩的平均数 ， 解法一：（针对高教版）A运动员成绩的方差； B运动员成绩的方差； 解法二：（针对人教版）A运动员成绩的方差； B运动员成绩的方差； （2）解法一：（针对高教版）由（1）知 ，且 ，即A、B两位运动员成绩的平均水平一样，但A运动员成绩的稳定性不如B选手， 故选B运动员参加比赛更合适. 解法二：（针对人教版）由（1）知 ，且 ，即A、B两位运动员成绩的平均水平一样，但A运动员成绩的稳定性不如B选手， 故选B运动员参加比赛更合适. 14．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下．    450名高二学生数学成绩的频率分布直方图 (1)求的值； (2)估计这次数学考试的平均成绩； (3)求这次数学考试的及格率（不低于60分视作及格）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图小矩形面积之和为1即可计算； （2）根据频率分布直方图直接计算即可； （3）用频率估计概率即可. 【详解】（1）由， 解得； （2）这次数学考试的平均成绩为： ； （3）由频率分布直方图得这次数学考试的及格率为： . 15．10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次.用表示取到不合格品的次数，求： (1)随机变量的分布列； (2)三次中至少有一次取到不合格品的概率. 【答案】(1)分布列见详解 (2) 【分析】（1）先求解随机变量的所有可能取值，再计算相应的概率列分布列即可. （2）由分布列求解概率即可. 【详解】（1）每次取一件，有放回地抽取三次相当于做3次独立重复试验， 且每次抽取不合格品的概率都是， 所以 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， . 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P （2）三次中至少有一次取到不合格品，即， 所以三次中至少有一次取到不合格品的概率为. 16．（1）从8名旅游服务与管理专业的学生中选派3人到某旅行社参加实习，其中学生甲和乙至少选派1人，共有多少种不同的选派方法？ （2）从8名旅游服务与管理专业的学生中选派3人分别担任旅行社的翻译、礼仪、导游3项工作，其中学生甲担任导游工作，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】（）种；（）种. 【分析】（）根据题意分类讨论甲乙中选派一人和选派两人的情况，结合组合数的计算即可得解. （）根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】（）当在甲乙中选派1人时，选派方法有种， 再从其他的人中选法人，选派方法有种，则共有种； 当甲乙中选派两人时，只需在其他人中，选派一人即可有种， 综上所述，甲和乙至少选派1人，有种选派方法. （）由题意可知，只需除甲以外的人中选人分别担任翻译、礼仪的工作即可， 则选派方法有种. 17．甲、乙两人进行网球比赛，事先约定每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，没有平局.经过测算，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响. (1)经过3局比赛，设甲的得分为，求的分布列和数学期望： (2)比赛采用3局制，第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率是多少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据题意分析得服从二项分布，再利用二项分布的概率公式即可得解； （2）根据题意，结合（1）中结论，分析得所求概率为，从而得解. 【详解】（1）依题意，的所有可能取值为，， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望. （2）因为第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分， 所以甲胜2局或甲胜3局， 因此所求概率为. 18．我校某班组织一次街道路口文明劝导活动,有名同学参加,其中名男生,名女生,为了活动需要,要从这名同学中随机抽取名同学去做活动记录． (1)已知名同学中有名共青团员,求抽取的人中至少有名共青团员的概率. (2)设表示抽取的名同学中女生的人数,求的分布列和数学期望． 【答案】(1). (2)分布列见解析,. 【分析】（）由古典概型及组合数的应用即可得解. （）由离散型随机变量分布列及数学期望的公式即可得解. 【详解】（1）抽取的人中有名共青团员的概率为. 抽取的人中有2名共青团员的概率为. 所以抽取的人至少有名共青团员的概率为. （2）可能取值为. . 19．4运动员争在3个项目的金牌，设X表示获得金牌的人数.求： (1)X的概率分布； (2)X的数学期望和方差 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）根据获得金牌的人数有可能1个，2个，3个，求出概率，然后作分布列即可； （2）根据数学期望和方差的公式带入即可. 【详解】（1）；， ; 1 2 3 0.0625 0.5625 0.375 （2）； 20．农历八月十五中秋佳节吃月饼是我国的传统习俗，小明妈妈今年中秋节做了7个月饼，其中2个蛋黄馅､2个莲蓉馅､3个豆沙馅.现从中任意选取3个. (1)记为取到豆沙馅的个数，求的分布列； (2)求选取的3个月饼中最多有1个豆沙馅的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合组合数的应用，随机变量概率的计算，即可求得分布列； （2）根据题意，结合随机变量的分布列，即可求解. 【详解】（1）由题意可知的所有可能取值为， 所以 ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）由题意知选取的3个月饼中最多有1个豆沙馅， 则取到豆沙馅的个数为0和1，即和这两种情况， 由（1）知，， 所以. 即选取的3个月饼中最多有1个豆沙馅的概率是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $