专题17 分类计数原理 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题17 分类计数原理 一、知识梳理 分类计数原理: 一般地，如果完成一件事有n类方式. 第1类方式有种方法， 第2类方式有种方法，⋯ ⋯ ，第n类方式有种方法，那么完成这件事的方法共有 N= （种） ． 上面的计数原理称为分类计数原理．分类计数原理又称加法原理． 二、题型精练 题型1 分类计数原理 【典例1】．书架的上层放有本不同的数学书，中层放有本不同的语文书，下层放有本不同的英语书，从中任取本书的不同取法的种数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分类加法计数原理即可求解． 【详解】书架的上层放有本不同的数学书，中层放有本不同的语文书， 下层放有本不同的英语书，从中任取本书的不同取法的种数是＝. 故选：A． 【典例2】．张三某天从甲地前往乙地，已知每天从甲地到乙地的航班有班，铁路有高铁趟、动车趟，城际大巴有班.则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3600种 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理进行计算. 【详解】由分类加法计数原理可得从甲地到乙地不同的方案数为. 故选：B. 【典例3】．一个三层书架放着不同的教辅书籍，其中上层放着语文类书籍10本，中间放数学类书籍6本，下层放英语类书籍5本.现从书架上任取一本书，则取到的是语文类书籍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分类加法计数原理及古典概型的概率公式计算即可. 【详解】由题意可得，从从书架上任取一本书，则取到的是语文类共有种不同的情况； 由分类加法计数原理可得，从书架上任取一本书则有种不同的情况； 故取到的是语文类书籍的概率是. 故选：B. 【典例4】．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有__________个. 【答案】8. 【分析】通过题意进行分类讨论解答即可. 【详解】十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个， 十位上的数为2时，有324，423，共2个， 所以共有个， 故答案为：8. 【典例5】．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 【答案】(1)68 (2)66 【分析】利用分类加法计数原理进行求解 【详解】（1）当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看个不同的节目． （2）因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个， 而其余频道共有个正在播放互不相同的节目， 所以一台电视机共可以选看个不同的节目． 三、知识检测 1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（    ）． A．10 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】利用分类计数原理即可得解. 【详解】由题意，每一种方法都能证明该问题， 根据分类加法计数原理，可得共有（种）， 故选：A． 2．由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（   ） A．15 B．12 C．10 D．5 【答案】D 【分析】写出组成一位整数，两位整数，三位整数中偶数的情况即可得解. 【详解】当组成一位整数，偶数有； 当组成两位整数，其中偶数有，； 当组成三位整数，其中偶数有，； 所以共有偶数5个， 故选：. 3．小明想用1元，5元，元三种币值，在钱币总数不超过张的前提下，直接支付价值为元的货款（商家不用找零钱），问有几种不同的付款方式（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据分类计数原理计算即可. 【详解】第一类，用1元，5元付款： 5张5元与张1元， 6张5元与张1元， 7张5元与张1元，共3种， 第二类，用1元，元付款： 2张元与张1元， 张元与张1元，共种， 第三类，用1元，5元，元付款： 张元，张元，张1元， 张元，张元，张1元， 张元，张元，张1元， 张元，张元，张1元， 张元，张元，张1元， 张元，张元，张1元， 张元，张元，张1元，共种. 所以共有种付款方式. 故选：C. 4．如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（   ）种    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论脱落点为个，个，个，个的情况即可得解. 【详解】按照可能脱落的个数分类讨论， 若脱落1个，则有，两种情况， 若脱落2个，则有，，，，，共6种情况， 若脱落3个，则有，，，，共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 综上共有（种）情况. 故选：. 5．从集合任取两个数作为，可以得到不同的焦点在轴上的椭圆方程的个数为（    ） A．25 B．20 C．10 D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆的性质可知，结合列举法即可求解. 【详解】焦点在x轴上的椭圆方程中，必有， 则a可取5，7，9，11共4个可能，b可取3，5，7，9共4个可能， 若，则，1个椭圆； 若，则，2个椭圆； 若，则，3个椭圆； 若，则，4个椭圆， 所以共有1+2+3+4=10个椭圆. 故选：C. 6．将4个入团名额分配到3个班级中，要求每个班级至少有1个名额，则不同的分配方案有（    ） A．3种 B．6种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意,将4个名额分成三组,将分好的三组全排列,对应3个班级,由分类计数原理计算可得答案. 【详解】解:根据题意,将四个名额分成三组,分别是 将分好的三组分配到三个班级,故有3种分配方案. 故选:A 7．由数字1，2，3组成无重复数字的自然数，可以组成（    ） A．6个 B．12个 C．15个 D．30个 【答案】C 【分析】根据分类计数原理，可能是一位，两位，三位自然数，分类讨论求解. 【详解】由数字组成无重复数字的自然数有三类， 第一类，一位自然数，则有3个. 第二类，两位自然数，则有个. 第三类，有三位自然数，则有个. 所以总共有个. 故选：C. 8．设椭圆的焦点在轴上，其中，，则满足上述条件的椭圆个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，得出，再分别列出所有可能，即可解答. 【详解】已知椭圆的焦点在轴上， 则，且，， 当时，，有6个， 当时，，有5个， 当时，，有4个， 当时，，有3个， 当时，，有2个， 由分类加法计数原理得（个）. 故选：A. 9．设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据理想匹配的概念一一列举，再由分类计数原理计算即可. 【详解】已知集合，且A与B是U的不同子集， 因为， 若，则，，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，共个“理想匹配”， 所以符合条件的“理想匹配”的个数是个， 故选：A. 10．从甲地到乙地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发5次，火车发6次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理求解. 【详解】任选1种交通工具，分3类， 从汽车中任选1个有5种，从火车中任选1个有6种，从轮船中任选1个有2种， ∴不同的取法种数为种. 故选：D. 11．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 【答案】9 【点睛】利用分类加法计数原理，计算得到答案. 【详解】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法， 若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种， 故答案为：9. 12．班级内有男生人，女生人，现要选一人参加演讲比赛，有_______种不同的选法． 【答案】 【分析】根据分类计数原理计算即可. 【详解】已知有男生人，女生人， 现要选一人参加演讲比赛， 则选男生共有种选法，选女生共有种选法， 所以共有种不同的选法. 故答案为：. 13．某校美术大赛组委会收到参赛作品若干件，其中高一年级有12件，高二年级有7件，高三年级有5件.现在要从三个年级参赛作品中选出1件作为金牌作品，不同的选法共有______种. 【答案】24 【分析】根据分类计数原理即可求解. 【详解】解：要从三个年级参赛作品中选出1件作为金牌作品，可分为三类： 第一类，从高一年级选1件，有12种不同的选法； 第二类，从高二年级选1件，有7种不同的选法； 第三类，从高三年级选1件，有5种不同的选法. 根据分类计数原理，不同的选法共有（种）. 故答案为：24. 14．5名篮球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有__________种．（用数字作答） 【答案】9 【分析】由分类计数原理即可得解. 【详解】分为两类：两名老队员，一名新队员时，有3种选法； 两名新队员、一名老队员时，有 (种)选法， 由分类计数原理可得，共有种不同选法， 故答案为：9． 15．已知集合，，集合，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有__________种． 【答案】7 【分析】根据分类计数原理易得答案 【详解】分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种． 因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)， 故答案为：7. 16．一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则共有多少种不同的取法? 【答案】37 【分析】根据分类加法计数原理求解. 【详解】第1类：从语文书中取出一本，有12种取法； 第2类：从数学书中取出一本，有14种取法； 第3类：从英语书中取出一本，有11种取法， 所以不同的取法有（种）． 17．已知，且，则有序自然数对有多少个? 【答案】15 【分析】按照分类计数原理求解即可. 【详解】按x的取值进行分类. 当时，，共构成5个有序自然数对； 当时，，共构成4个有序自然数对； 当时，，共构成3个有序自然数对； 当时，，共构成2个有序自然数对； 当时，，共构成1个有序自然数对. 根据分类计数原理，有序自然数对共有（个）. 18．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？ 【答案】25 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理求解即得. 【详解】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个； 当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个； 当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个； 同理可知，当个位数字是2时，共7个， 当个位数字是0时，共9个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）. 19．已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，则其中的数对有多少个? 【答案】15 【分析】通过列举法，求满足条件的数对个数. 【详解】的数对可以分类来解： 当时，，有种结果； 当时，，有种结果； 当时，，有种结果； 当时，，有种结果； 当时，，有5种结果. 综上所述，共有（个）满足条件的数对. 20．某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 【答案】8 【分析】两次进货的总的种数减去两次都进的货的种数，即可得答案. 【详解】由题意知，两次进货都进了圆珠笔、方便面， 因此两次一共进了种货. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 分类计数原理 一、知识梳理 分类计数原理: 一般地，如果完成一件事有n类方式. 第1类方式有种方法， 第2类方式有种方法，⋯ ⋯ ，第n类方式有种方法，那么完成这件事的方法共有 N= （种） ． 上面的计数原理称为分类计数原理．分类计数原理又称加法原理． 二、题型精练 题型1 分类计数原理 【典例1】．书架的上层放有本不同的数学书，中层放有本不同的语文书，下层放有本不同的英语书，从中任取本书的不同取法的种数是（　　） A． B． C． D． 【典例2】．张三某天从甲地前往乙地，已知每天从甲地到乙地的航班有班，铁路有高铁趟、动车趟，城际大巴有班.则其出行方案共有（    ） A．22种 B．33种 C．300种 D．3600种 【典例3】．一个三层书架放着不同的教辅书籍，其中上层放着语文类书籍10本，中间放数学类书籍6本，下层放英语类书籍5本.现从书架上任取一本书，则取到的是语文类书籍的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有__________个. 【典例5】．某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ 三、知识检测 1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有6名同学只会用综合法证明，有4名同学只会用分析法证明，现从这些同学中任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为（    ）． A．10 B．16 C．20 D．24 2．由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（   ） A．15 B．12 C．10 D．5 3．小明想用1元，5元，元三种币值，在钱币总数不超过张的前提下，直接支付价值为元的货款（商家不用找零钱），问有几种不同的付款方式（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（   ）种    A．9 B．11 C．13 D．15 5．从集合任取两个数作为，可以得到不同的焦点在轴上的椭圆方程的个数为（    ） A．25 B．20 C．10 D．16 6．将4个入团名额分配到3个班级中，要求每个班级至少有1个名额，则不同的分配方案有（    ） A．3种 B．6种 C．种 D．种 7．由数字1，2，3组成无重复数字的自然数，可以组成（    ） A．6个 B．12个 C．15个 D．30个 8．设椭圆的焦点在轴上，其中，，则满足上述条件的椭圆个数为（   ） A． B． C． D． 9．设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是（   ） A．8 B．9 C． D． 10．从甲地到乙地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发5次，火车发6次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 11．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种. 12．班级内有男生人，女生人，现要选一人参加演讲比赛，有_______种不同的选法． 13．某校美术大赛组委会收到参赛作品若干件，其中高一年级有12件，高二年级有7件，高三年级有5件.现在要从三个年级参赛作品中选出1件作为金牌作品，不同的选法共有______种. 14．5名篮球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有__________种．（用数字作答） 15．已知集合，，集合，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有__________种． 16． 一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则共有多少种不同的取法? 17． 已知，且，则有序自然数对有多少个? 18． 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？ 19． 已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，则其中的数对有多少个? 20．某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $