专题18 分步计数原理 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题18 分步计数原理 一、知识梳理 分步计数原理: 一般地，如果完成一件事有n个步骤．完成第一个步骤有种方法，完成第2个步骤有种方法，⋯ ⋯ ，完成第n个步骤有种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有 N= (种) ． 上面的计数原理称为分步计数原理．分步计数原理又称乘法原理． 二、题型精练 题型1 分步计数原理 【典例1】．现有红玫瑰5枝、白玫瑰4枝、黄玫瑰6枝，若从不同颜色的花中各取一枝组成一个玫瑰小花束，则不同的结果种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分步计数乘法原来即可得解. 【详解】现有红玫瑰5枝、白玫瑰4枝、黄玫瑰6枝，若从不同颜色的花中各取一枝组成一个玫瑰小花束， 完成该事件分三步进行：抽取红玫瑰有5种方法，抽取白玫瑰有4种方法，抽取黄玫瑰有6种方法， 所以完成该事件总数为. 故选：D. 【典例2】．新型智能锁有6个密码，密码从0~9选择，有多少种方法（    ） A． B． C．60 D．16 【答案】A 【分析】通过分步计数原理即可得解. 【详解】新型智能锁有6个密码，密码从0~9选择， 每一位密码都有种选择，则共有种方法， 故选：. 【典例3】．在石头、剪刀、布的游戏中，两个人做同样手势的概率为（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据计数原理求出两个人玩石头、剪刀、布的游戏的所有情况，再利用概率公式即可求解. 【详解】两个人玩石头、剪刀、布的游戏共有种情况， 两个人做同样手势有“（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布）”，共3种情况， 所以两个人做同样手势的概率为. 故选：C. 【典例4】．把3封信投到4个信箱，不同的投法种数有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】由题意得，第1封信投到信箱有4种方法，第2封信投到信箱有4种方法， 第3封信投到信箱有4种方法，由分步计数原理可得不同的投法种数有. 故选：A. 【典例5】．现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？ 【答案】48 【分析】根据题意，依次分析C、 D区域的涂色相同和不同两种情况，由分步计数乘法原理计算可得答案． 【详解】解：由题，当C、 D区域的涂色相同时，有：种方法； 当C、 D区域的涂色不同时，有：4×3×2×1＝24种方法. 所以共有48种着色方法. 三、知识检测 1．某同学有3件上衣和2条裤子，不同的穿搭方式有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据排列组合中的分步乘法计数原理求解即可. 【详解】某同学有3件上衣和2条裤子,则不同的穿搭方式有. 故选：B. 2．乒乓球国奥队某训练小组有3名男队员和4名女队员，现选拔男女各1名队员参加混双比赛，则不同的选法种数为（   ） A．7 B． C． D．12 【答案】D 【分析】先计算出选男队员的方法数，再计算出选女队员的方法数，最后根据分步乘法计数原理得到总的选法种数. 【详解】因为有3名男队员，从中选1名男队员参加比赛，那么选男队员的方法数有3种， 有4名女队员，从中选1名女队员参加比赛，选女队员的方法数有4种， 根据分步乘法计数原理，选男队员是第一步，有3种方法；选女队员是第二步，有4种方法，所以总的选法种数为种. 故选：D． 3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据分步计数原理解决问题即可. 【详解】将5封信投入3个邮筒，每封信有3种选择， 故共有种不同的投法. 故选：B. 4．已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．6个 【答案】D 【分析】由第四象限的点坐标确定符合的元素，利用分步乘法计数原理得到答案. 【详解】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负， 所以集合中只有符合， 集合中只有符合， 所以第四象限的点P有个， 故选：D． 5．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A．7 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】根据题意分两步完成任务： 第一步：从A地到C地，有3种不同的走法； 第二步：从C地到B地，有4种不同的走法， 根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种， 故选：B． 6．从“1，2，3，4，5”中任选3个数组成无重复数字的三位数，其中奇数有（    ） A．120个 B．64个 C．36个 D．24个 【答案】C 【分析】利用分步计数原理，依次排个位，十位，百位，据此可求解. 【详解】分步完成，第一步，先排个位，有3种排法；第二步，排十位，有4种排法； 第三步，排百位，有3种排法， 所以符合条件的个数为：（个）. 故选：C. 7．有3名游客，4处不同的景点，且每人只能选一处，则不同的选法有（    ） A．12 B．81 C．64 D．132 【答案】C 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】每个游客有4种选法， 则3名游客共有种选法. 故选：C. 8．景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】利用分步计数原理即可得出答案. 【详解】上山有2种，下山有3种，或者上山有3种，下山有2种，符合分步计数原理，. 故选：C. 9．三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有8种，而投入一个盒子包含2个基本事件，根据古典概型及性质可求解. 【详解】设“每个盒子都有乒乓球”为事件A，由题可知 三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，基本事件的总数有（种）， 三个不同颜色的乒乓球随机投入一个盒子包含2个基本事件，所以 . 故选：D 10．如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据分类计数原理与分步计数原理计算可得答案． 【详解】要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为． 故选：C． 11．由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的3位数共有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理即可解得. 【详解】利用分步计数原理可得，对于首位数字共有4种选法， 十位数字有4种选法， 个位数字有3种选法， 则共有种选法； 故选：B 12．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.    【答案】12 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】根据题意，先涂A有3种涂法，再涂B有2种涂法，最后涂C有2种涂法， 所以不同的涂法有种. 故答案为：12. 13．由四个数组成的无重复数字的三位数的个数为________. 【答案】 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】已知由四个数组成的无重复数字的三位数， 0不能排在百位上，故百位有3种选择， 则十位有3种选择，个位有2种选择， 故组成的无重复数字的三位数的个数为. 故答案为：. 14．某铁路段上有12个车站，共需要准备普通客票______种. 【答案】132 【分析】利用分步计数原理即可得解. 【详解】依题意，解决这个问题可以分成两个步骤： 第1步任选1站为起点，有12种选择； 第2步任选1站为终点，有11种选择﹒ 根据分步计数原理，共需要准备普通客票（种）. 故答案为：132. 15．生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 【答案】 【分析】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个， 总的基本事件数为， 由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为， 故概率为. 故答案为：. 16．甲、乙、丙三名同学做“石头，剪刀、布”游戏，三个人每出手一次，会有______种不同的情况发生. 【答案】27 【分析】利用分步计数原理即可得解. 【详解】依题意，每个人都有3种出手方法， 根据分步计数原理，不同的情况共有（种）. 故答案为：27. 17．如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到达B村，再经过C村，最后到达D村，共有多少条不同的线路可以选择?    【答案】18（条） 【分析】根据分步计数原理求解即可. 【详解】李明从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条. 因此整个行程共有条线路可选择. 18．有 0、 1、2 、3 、4、 5 六个数字 . (1)可以组成多少个不同的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ 【答案】(1)180 (2)100 (3)52 【分析】利用特殊位置法可求. 【详解】（1）百位不能为零，十位个位无要求， 则有个不同的三位数； （2）百位不能为零，十位个位无要求， 则有个不同的三位数； （3）百位不能为零，个位要是偶数， 个位为零，则个， 个位不为零，百位不能为零，则， 则可以组成个无重复数字的偶数的三位数. 19．将A，B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： (1)共有多少种不同的结果? (2)两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？ 【答案】(1)36 (2)12 【分析】（1）利用分步计数原理即可求解. （2）采用列举法即可求解. 【详解】（1）第一枚有6种结果，第二枚有6种结果， 所以共有种不同的结果. （2）若用来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有: 所以两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有12种. 20．在中国古代有一种诗体叫“回文诗”，如“龙盘宝地宝盘龙，洪福尽享尽福洪”，从前往后读与从后往前读是一样的.数学中也有一种数叫“回文数”，如222，45654，13800831，573375等，那么这样的五位回文数共有多少个? 【答案】900（个） 【分析】根据回文数的定义，结合分步计数原理即可得解. 【详解】根据定义可知，五位回文数只要前3个数字确定了，则这个回文数就确定了， 解决这个问题可以分成三个步骤： 第1步组万位数字，有9种选择（不能取0）； 第2步组千位数字，有10种选择； 第3步组百位数字，有10种选择. 根据分步计数原理，这样的五位回文数共有（个）. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 分步计数原理 一、知识梳理 分步计数原理: 一般地，如果完成一件事有n个步骤．完成第一个步骤有种方法，完成第2个步骤有种方法，⋯ ⋯ ，完成第n个步骤有种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能完成，那么完成这件事的方法共有 N= (种) ． 上面的计数原理称为分步计数原理．分步计数原理又称乘法原理． 二、题型精练 题型1 分步计数原理 【典例1】．现有红玫瑰5枝、白玫瑰4枝、黄玫瑰6枝，若从不同颜色的花中各取一枝组成一个玫瑰小花束，则不同的结果种数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．新型智能锁有6个密码，密码从0~9选择，有多少种方法（    ） A． B． C．60 D．16 【典例3】．在石头、剪刀、布的游戏中，两个人做同样手势的概率为（     ）. A． B． C． D． 【典例4】．把3封信投到4个信箱，不同的投法种数有（   ） A． B． C． D． 【典例5】．现用4种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？ 三、知识检测 1．某同学有3件上衣和2条裤子，不同的穿搭方式有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 2．乒乓球国奥队某训练小组有3名男队员和4名女队员，现选拔男女各1名队员参加混双比赛，则不同的选法种数为（   ） A．7 B． C． D．12 3．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．已知集合，．现从集合A中取一个元素作为点P的横坐标，从集合B中取一个元素作为点P的纵坐标，则位于第四象限的点P有（    ） A．16个 B．12个 C．9个 D．6个 5．从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A．7 B．12 C． D． 6．从“1，2，3，4，5”中任选3个数组成无重复数字的三位数，其中奇数有（    ） A．120个 B．64个 C．36个 D．24个 7．有3名游客，4处不同的景点，且每人只能选一处，则不同的选法有（    ） A．12 B．81 C．64 D．132 8．景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 9．三个不同颜色的乒乓球随机投入两个盒子，每个盒子都有乒乓球的概率为（    ） A． B． C． D． 10．如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．12 11．由0，1，2，3，4这5个数组成无重复数字的3位数共有（    ） A． B． C． D． 12．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.    13． 由四个数组成的无重复数字的三位数的个数为________. 14． 某铁路段上有12个车站，共需要准备普通客票______种. 15．生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为______. 16．甲、乙、丙三名同学做“石头，剪刀、布”游戏，三个人每出手一次，会有______种不同的情况发生. 17．如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到达B村，再经过C村，最后到达D村，共有多少条不同的线路可以选择?    18．有 0、 1、2 、3 、4、 5 六个数字 . (1)可以组成多少个不同的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ 19．将A，B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问： (1)共有多少种不同的结果? (2)两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？ 20．在中国古代有一种诗体叫“回文诗”，如“龙盘宝地宝盘龙，洪福尽享尽福洪”，从前往后读与从后往前读是一样的.数学中也有一种数叫“回文数”，如222，45654，13800831，573375等，那么这样的五位回文数共有多少个? 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $