专题20 组合 - 《数学》高教版拓展模块一下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题20 组合 一、知识梳理 （1）组合的定义 组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． （2）组合数 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示． 组合数的计算公式：C＝＝＝ 这里规定C＝__1__． （3）组合数的性质： ①C＝ C ；②C＝ C ＋ C ． 二、题型精练 题型1 组合的定义 【典例1】．下面问题中，不是组合问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【答案】A 【分析】根据排列和组合的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，则共有种排法，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题； 对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题； 对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题. 故选：A. 【典例2】．有a，b，c，d这4个元素，写出每次取出2个元素的所有组合. 【答案】 【分析】根据组合的定义列举即可. 【详解】 解：根据题意， 其组合有. 题型2 组合数 【典例1】．从名学生中选出3名代表，则所有的不同的选法的种数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用组合数表示即可. 【详解】从名学生中选出3名代表， 则所有的不同的选法的种数为， 故选：B. 【典例2】．平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由组合数的计算即可解得. 【详解】由题，从四个点中选两个为端点， 则组成的线段共有条. 故选：B. 【典例3】．（    ） A．20 B．40 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据组合数公式计算即可. 【详解】. 故选:A. 【典例4】．已知，则n的值为（    ） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由组合数的计数公式即可得解. 【详解】由，得，解得或 (舍)． 故选：B 【典例5】．一个数学兴趣小组有3名男生，2名女生，从中任选2位参加数学竞赛，恰有一位女生参加的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式，结合组合数的计算，求解即可. 【详解】从3名男生，2名女生中任选两人共有种不同的组合， 恰有一位女生参加的组合有种， 所以恰有一位女生参加的概率是. 故选：A. 题型3 组合数的性质 【典例1】．已知，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】利用组合数的性质，得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以或， 解得或（舍去）. 故选：C. 【典例2】．若要使为最大值，则m等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．13或14 【答案】D 【分析】根据组合数的性质求解即可. 【详解】可取0，1，2，…，27，易知共有28项，由组合数的性质可知，中间两项最大. 故或时，为最大值. 故选：D. 【典例3】．若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．1或4 【答案】D 【分析】根据组合数性质易得答案. 【详解】∵， 或. 故选：D. 【典例4】．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数的性质进行求解即可. 【详解】原式, , 故选：D. 三、知识检测 1．下列问题中，组合问题的个数是（    ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据组合的定义逐一分析即可得出答案. 【详解】解：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题. 所以组合问题的个数是2个. 故选：B. 2．已知则x等于（    ） A．7 B．9 C．7或9 D．7或21 【答案】C 【分析】根据组合数的性质求解. 【详解】∵ ∴根据组合数的性质，或. 即得到或. 故选：C. 3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于从五个数中任取两个数，共有个基本事件，其中，和为偶数包含个基本事件，根据古典概型的计算公式可求解. 【详解】设{从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，和为偶数}， 从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，共有个基本事件，事件共包含个基本事件， 所以. 故选：B 4．第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据题意分成一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品和一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品两种情况即可得解. 【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类： 第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种； 第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种； 共计种赠送方案． 故选：. 5．求值：等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据组合数的计算即可解得. 【详解】 . 故选：D 6．100件产品中有5件次品，从中任取3件，其中有2件次品的取法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意判断该题属于组合问题.从中任取3件,有2件次品,则有1件正品.即从95件正品中任选1件，从5件次品中选2件就可以. 【详解】由题意可知，正品为件，次品为件， 先从件正品中任取件，即, 然后从件次品中任选件，即, 所以，任取件其中有件次品的取法有. 故选：. 7．______. 【答案】 【分析】由组合数计算公式即可求解. 【详解】. 故答案为：. 8．已知，则______； 【答案】2或4 【分析】根据组合数方程计算即可. 【详解】因为， 所以或， 解得或. 故答案为：2或4. 9．不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球，同时取两个球都是黄球的概率为__________；同时取两个球至少一个红球的概率为_________ 【答案】 / / 【分析】根据古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球， 同时取两个球都是黄球的概率为； 同时取两个球至少一个红球的概率为， 故答案为：；. 10．在集合的子集中，含有3个元素的子集的个数为______. 【答案】 【分析】根据子集的定义，结合组合数的计算即可解得. 【详解】集合中有7个元素， 所以含有3个元素的子集的个数为. 故答案为： 11．有A，B，C，D，E这5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合. 【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE. 【分析】根据组合定义，利用列举法即可求出. 【详解】解：根据题意，其组合有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE. 12．（1）求值：； （2）解方程：. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用组合数的性质可计算出所求代数的值； （2）利用组合数的性质结合已知等式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】解：（1）因为， 所以，； （2）因为，由可得或，解得或. 13．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）2名医生必须参加，选派的4人只有2人从护士中挑选，再由组合数计算即可. （2）2名医生都不参加，需从护士中挑选4人，再由组合数计算即可. （3）2名医生至少有1人参加，分两类情况考虑，分别由组合数计算即可. 【详解】（1）2名医生必须参加， 因此选派的4人只有2人从护士中挑选，有种选法． 因此，不同的选派方法共有（种）. （2）2名医生都不参加， 就需要从护士中挑选4人，有种选法 因此，不同的选派方法共有（种）. （3）2名医生至少有1人参加，可分两类情况考虑： 第一类：2名医生中只有1人参加， 此时，不同的选派方法共有（种） 第二类：2名医生都参加， 此时，不同的选派方法共有（种）， 综上，不同的选派方法共有（种）． 14．从这6个数中随机抽取2个不同的数字，求： (1)这两个数字都是奇数的概率； (2)这两个数字之和是奇数的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先运用组合数计算出基本事件的总数，再求出取出两个数都是奇数的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. （2）首先运用组合数计算出基本事件的总数，再求出取出两个数之和是奇数的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】（1）从这6个数中随机抽取2个不同的数字， 共有个基本事件， 其中两个数字都是奇数有个基本事件， 所以这两个数字都是奇数的概率为. （2）从这6个数中随机抽取2个不同的数字， 共有个基本事件， 其中两个数字之和是奇数有个基本事件， 所以这两个数字之和是奇数的概率为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 组合 一、知识梳理 （1）组合的定义 组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． （2）组合数 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示． 组合数的计算公式：C＝＝＝ 这里规定C＝__1__． （3）组合数的性质： ①C＝ C ；②C＝ C ＋ C ． 二、题型精练 题型1 组合的定义 【典例1】．下面问题中，不是组合问题的是（   ） A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【典例2】．有a，b，c，d这4个元素，写出每次取出2个元素的所有组合. 题型2 组合数 【典例1】．从名学生中选出3名代表，则所有的不同的选法的种数（    ） A． B． C． D． 【典例2】．平面内有A，B，C，D共4个点，以其中2个点为端点的线段共有多少条（    ） A．4 B．6 C． D． 【典例3】．（    ） A．20 B．40 C．60 D．120 【典例4】．已知，则n的值为（    ） A．10 B．5 C．3 D．2 【典例5】．一个数学兴趣小组有3名男生，2名女生，从中任选2位参加数学竞赛，恰有一位女生参加的概率是（   ） A． B． C． D． 题型3 组合数的性质 【典例1】．已知，则（   ） A． 或 B．或 C． D． 【典例2】．若要使为最大值，则m等于（    ） A．13 B．14 C．15 D．13或14 【典例3】．若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．1或4 【典例4】．（   ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．下列问题中，组合问题的个数是（    ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知则x等于（    ） A．7 B．9 C．7或9 D．7或21 3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办．某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（    ） A．6 B．9 C．12 D．24 5．求值：等于（    ） A． B． C． D． 6．100件产品中有5件次品，从中任取3件，其中有2件次品的取法有（    ） A． 种 B．种 C．种 D．种 7． ______. 8． 已知，则______； 9． 不透明布袋中有六个出颜色外都相同的小球，其中两个红球四个黄球，同时取两个球都是黄球的概率为__________；同时取两个球至少一个红球的概率为_________ 10． 在集合的子集中，含有3个元素的子集的个数为______. 11． 有A，B，C，D，E这5个元素，写出每次取出3个元素的所有组合. 12．（1）求值：； （2）解方程：. 13．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 14．从这6个数中随机抽取2个不同的数字，求： (1)这两个数字都是奇数的概率； (2)这两个数字之和是奇数的概率. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $